2021-2022学年河南省郑州市上街区上街实验高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年河南省郑州市上街区上街实验高级中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设x ∈R ，则2-0x ≥“”是111x -≤-≤“” 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合集合的包含关系可解． 【详解】设p ：若2-0x ≥，则2x ≤， q ：若111x -≤-≤，则02x ≤≤； 则q 表示的集合是p 表示的集合真子集， 即2-0x ≥“”是111x -≤-≤“”必要不充分条件， 故选：B ．2．若正数a ，b 满足1a b +=，则91a b+的最小值为（ ）A ．16B ．13C ．20D ．15【答案】A【分析】根据()9191a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再结合基本不等式求解即可．【详解】因为正数a ，b 满足1a b +=，则()91919101016b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当9b a a b =且1a b +=，即34a =，14b =时取等号，此时91a b +取得最小值16．故选：A ．3．若对于一切实数x 不等式240x ax -+>恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()4,4- B ．[]4,4-C ．(],4∞-D ．()4,+∞【答案】A【分析】x ∀∈R ，不等式240x ax -+>恒成立240x ax ⇔-+=无实数根，利用判别式小于零可得答案．【详解】∵对于一切实数x 不等式240x ax -+>恒成立，∴二次函数24=-+y x ax 的图象在x 轴上方， ∴240x ax -+=无实数根，∴()2244160a a --⨯=-<，解得44a -<<， 故选：A ．4．一个半径为4的扇形，其弧长为1，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．2【答案】C【分析】利用扇形的弧长公式，列出方程，即可求解. 【详解】设该扇形的圆心角的弧度数为α，因为扇形所在半径为4的扇形，其弧长为1，可得41α⨯=，解得14α=. 故选：C.5．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(4,)+∞【答案】D【详解】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,()y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,() y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.6．函数log (3)1a y x =-+(0a >且1a ≠)的图像恒过定点P ,则点P 的坐标是( ) A ．(4,1) B ．(3,1) C ．(4,0) D ．(3,0)【答案】A【分析】令对数的真数等于1,求得x y 、 的值,可得它的图像恒过定点P 的坐标,即可求得答案. 【详解】 函数log (3)1a y x =-+,(0a >且1a ≠). ∴令31x -=,解得4x =当4x =,1y =∴ 函数log (3)1a y x =-+(0a >且1a ≠)的图像恒过定点(4,1)P .故选:A ．【点睛】本题考查了对数函数的图像经过定点问题,解题关键是掌握对数函数定义和函数过定点的解法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题． 7．命题“R sin 10x x ∀∈+≥，”的否定是（ ） A ．R sin 10x x ∃∈+<， B ．R sin 10x x ∀∈+，＜ C ．R sin 10x x ∃∈+≥， D ．R sin 10x x ∀∈+≥，【答案】A【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得． 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题可得，所以命题“R sin 10x x ∀∈+≥，”的否定是R sin 10x x ∃∈+<，. 故选：A ．8．若角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(p ，则2sin cos θθ+=（ ）A．12B．1CD1【答案】A【解析】根据任意角的三角函数的定义求出sin θ，cos θ，从而代入计算可得； 【详解】解：因为角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(p ，所以sin θ==1cos 2θ==，所以112sin cos 222θθ+=+= 故选：A9．下列函数定义域为()0,∞+且在定义域内单调递增的是( )A ．x y e =B ．1πy log x =-C ．y =D ．12y log x =【答案】B【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，x y e =，为指数函数，其定义域为R ，不符合题意； 对于B ，1ππy log x log x=-=，为对数函数，定义域为()0,∞+且在定义域内单调递增，符合题意；对于C ，y =[)0,∞+，不符合题意； 对于D ，12y log x=，为对数函数，定义域为()0,∞+且在定义域内单调递减，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及对数函数的性质，属于基础题． 10．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数()f x 一定存在零点的区间是（ ）A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4)D ．(4,+)∞【答案】A【解析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．【详解】解：因为函数()f x 是定义在R 上的连续函数，且()10f >，()20f <， 根据函数零点的存在定理可知故函数()f x 在区间()1,2内存在零点． 故选：A ．【点睛】本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号，属于基础题．11．已知函数(2),2()1,2x a x x f x a x +≥⎧=⎨+<⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(0,3)D ．(1,3)【答案】D【分析】利用分段函数的单调性进行求解即可．【详解】解：若()f x 在R 上为增函数，则满足220112(2)a a a a +>⎧⎪>⎨⎪+≤+⎩，即221230a a a a >-⎧⎪>⎨⎪--≤⎩，得2113a a a >-⎧⎪>⎨⎪-<<⎩，得13a <<，即实数a 的取值范围是(1,3). 故选：D ．12．函数()()1ln 23f x x x =++-的定义域为（ ） A ．()2,-+∞ B ．[)2,-+∞C ．()()2,33,⋃-+∞D ．[)()2,33,-⋃+∞【答案】C【分析】根据对数函数的概念和分式的意义计算即可.【详解】由题意知，2030x x +>⎧⎨-≠⎩，解得2x >-且3x ≠，所以函数的定义域为(23)(3)-+∞，，，故选：C13．与y x =为同一函数的是（ ） A ．y x =B．y C ．()(),0,0x x y x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩D ．log ax y a =【答案】B【分析】根据定义域和对应法则，逐项判断即可得解.【详解】对于A ，函数y x =与y x =的对应法则不同，所以两函数不是同一函数，故A 错误； 对于B，函数y x ==，与函数y x =的对应法则相同，且定义域均为R ， 所以两函数为同一函数，故B 正确；对于C ，函数()(),0,0x x y x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩的定义域为{}0x x ≠，y x =的定义域为R ， 两函数定义域不同，不是同一函数，故C 错误；对于D ，函数log ax y a =的定义域为{}0x x >，y x =的定义域为R ，两函数定义域不同，不是同一函数，故D 错误. 故选：B.14．已知20.6a =，0.62b =，2log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】B【分析】由指数函数、对数函数的单调性可得10b a c >>>>，即可得解. 【详解】由题意，2000.60.61a <=<=，0.60221b =>=，22log 0.6log 10=<=c ， 所以10b a c >>>>. 故选：B.15．02341lg8lg125161)7-⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭＝（ ） A ．﹣38 B ．﹣37 C ．﹣39 D ．﹣40【答案】B【分析】由已知结合指数幂的运算性质及对数的运算性质进行化简即可求解．【详解】()233024441lg8lg125161)lg 812572134981377-⎛⎫+-++⨯=++++ ⎪⎝⎭（）-＝-＝﹣.故选：B ． 16．若1tan()2αβ-=，1tan()3αβ+=，则tan 2β等于 A ．17B ．43C ．17-D ．43-【答案】C【详解】11tan()tan()132tan2tan[()()]11tan()tan()716αβαββαβαβαβαβ-+--=+--===-++⋅-+，故选C. 点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可.二、解答题17．已知不等式2(21)(1)0x a x a a -+++≤的解集为集合A ，集合(2,2)B =-．(1)若2a =，求A B ⋃；(2)若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(]2,3A B = (2){|3a a ≤-或}2a ≥【分析】（1）可得出[],1,2A a a a =+=时，可得出集合A ，然后进行并集的运算即可；（2）根据[],1,(2,2)A a a B =+=-，并且A B ⋂=∅即可得出12a +≤-或2a ≥，从而可得出a 的取值范围．【详解】（1）2a =时，2(21)(1)0x a x a a -+++≤解得23x ≤≤，[]2,3A =，且(2,2)B =-，∴(]2,3A B =-；（2）由2(21)(1)0x a x a a -+++≤解得1a x a ≤≤+， [],1A a a =+，(2,2)B =-，且A B ⋂=∅，12a ∴+≤-或2a ≥，3a ∴≤-或2a ≥，∴实数a 的取值范围为{|3a a ≤-或}2a ≥． 18．已知函数()331x x m f x +=+是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)用函数单调性定义证明()f x 是R 上的增函数. 【答案】(1)1-； (2)证明见解析.【分析】(1)f (x )是R 上奇函数，则f (0)＝0，或根据()()f x f x -=-求解m ； (2)分离常数化简f (x )解析式，用定义法研究其单调性即可. 【详解】（1）∵函数()331x x mf x +=+是奇函数，∴()()f x f x -=-，333131x x x xm m--++=-++，133x x m m +⋅=--，即()()1310xm ++=，1m =-.（2）()31213131x x x f x -==-++， 设12x x <，则1233x x <，∴1203131x x <+<+.12113131x x >++，∴12223131x x -<-++，∴1222113131x x -<-++. ∴()()12f x f x <，函数()f x 在R 上单调递增.19．已知函数()()()log 3log 3a a f x x x =-++（0a >且1a ≠）. (1)求函数()f x 的定义域；(2)判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； (3)当3a =时，求函数()f x 的最大值. 【答案】(1)()3,3-； (2)偶函数，理由见解析； (3)2.【分析】（1）根据对数的真数大于零可得出关于x 的不等式组，由此可解得函数()f x 的定义域； （2）判断出函数()f x 为偶函数，再利用偶函数的定义可说明结论成立； （3）利用二次函数的基本性质结合对数函数的单调性可求得函数()f x 的最大值.【详解】（1）解：对于函数()f x ，有3030x x ->⎧⎨+>⎩，解得33x -<<，故函数()f x 的定义域为()3,3-.（2）解：函数()f x 为偶函数，理由如下：函数()f x 的定义域为()3,3-，且()()()()log 3log 3a a f x x x f x -=++-=， 因此，函数()f x 为偶函数.（3）解：当3a =时，()()()()2333log 3log 3log 9f x x x x =-++=-，因为33x -<<，则2099x <-≤，且函数3log y u =为增函数，故()()(]23log 9,2f x x =-∈-∞，即函数()f x 的最大值为2.20．已知函数2()2cos cos (0,R)f x x x x a a ωωωω=++∈>的最大值为1，且()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，求：(1)ω和a 的值；(2)当,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的单调递增区间．【答案】(1)1,2ω==-a (2)ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，求出ω和a 的值；（2）由题意可知，利用整体代入即可得出正弦函数的单调性，进而求出函数的单调递增区间.【详解】（1）由2()2cos cos (0,R)f x x x x a a ωωωω=++∈>得 π()1cos 2212sin 26f x x x a a x ωωω⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭所以，函数()f x 的最大值为121a ++=，得2a =-； 即函数π()2sin 216f x x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；又因为()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为12ππ222ω⨯=， 所以，1ω=，即π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（2）对于函数π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令πππ2π22π+,Z 262k x k k -≤+≤∈，得ππππ+,Z 36k x k k -≤≤∈， 可得函数()f x 的增区间为πππ,π+,Z 36k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ ；故当,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数的增区间为ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.21．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图.(1)求函数()f x 的解析式;(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，当,6x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()g x 值域.【答案】(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)[3,2]-.【分析】（1）根据图象由函数最值求得A ，由函数周期求得ω，由特殊点求得ϕ，即可求得解析式； （2）根据三角函数图象的变换求得()g x 的解析式，再利用整体法求函数值域即可.【详解】（1）由图象可知，()f x 的最大值为2，最小值为2-，又0A >，故2A =，周期453123T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2||ππω∴=，0ω>，则2ω=， 从而()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，得5sin 16⎛⎫+=⎪⎝⎭πϕ， 则5262k ππϕπ+=+，Z k ∈，即23k πϕπ=-+，Z k ∈， 又||2ϕπ<，则3πϕ=-.()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.（2）将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，故可得2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象 故可得()2sin()6g x x π=-；[,]6x ππ∈-5[,]636x πππ∴-∈-，3sin ,162x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 2sin 3,26x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，()[3,2]g x ∴-的值域为. 22．已知函数()443sin 2cos sin 1f x x x x ωωω=+-+（其中01ω<<），若点,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心.(1)求()f x 的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程；(2)先列表，再作出函数()f x 在区间[],ππ-上的图象.【答案】(1)()2sin 16f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数()f x 的图象距y 轴最近的一条对称轴的方程为3x π=； (2)答案见解析.【分析】（1）化简函数()f x 的解析式，由16f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭结合ω的取值范围求出ω的值，利用函数()f x 的对称性可求得该函数图象距y 轴最近的一条对称轴的方程； （2）由[],x ππ∈-可得57666x πππ-≤+≤，然后利用五点法，通过列表、描点、连线可作出函数()f x 在区间[],ππ-上的图象.【详解】（1）解：()()()22223sin 2cos sin cos sin 1f x x x x x x ωωωωω=++-+ 32cos 212sin 216x x x πωωω⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 点,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心， 则36k ωπππ-+=，Z k ∈，132k ω∴=-+，Z k ∈， 01ω<<，则0k =，12ω=，故()2sin 16f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 由()62x n n Z πππ+=+∈得()3x n n Z ππ=+∈，令0k =，得函数()f x 图象距y 轴最近的一条对称轴方程为3x π=.（2）解：由（1）知，()2sin 16f x x π⎛⎫=++ ⎪，当[],x ππ∈-时，57666x πππ-≤+≤，列表如下：则函数()f x 在区间[],ππ-上的图象如图所示.。