专题二 质数与合数

专题七 质数与合数姓名一、内容概述1.定义质数：只有1和其本身两个正因数的自然数称为质数（又称素数）。

例如：2，3，5等。

合数：正因数多于两个的自然数称为合数。

例如：4，6，8，9等。

这样，就可把全体非零自然数（正整数）分为三类：1，质数和合数。

2.性质1）质数的性质、结论a) 质数只有1和本身两个正约数；b) 2是质数中最小的一个，也是质数中唯一的一个偶数；小于100的质数有如下25个：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。

c) 如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；d) 如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2；e) 质数必有无限个；f) 若质数p 满足p|ab ，则p|a 或p|b ；g) 若正整数a, b 的积为质数p ，则一定是p=a 或p=b ；h) 若a 是一个大于1的正整数，则a 的大于1的最小正因数p 一定是质数；i) 若p 是质数，则对任一正整数a ，或者p|a ，或者（p ，a ）=1；j) 形如4n-1（n 为正整数）的质数有无穷多个。

2）合数的性质a) 任何合数都可以分解为几个质数的积；b) 能写成几个质数的积的正整数就是合数。

c) 最小的合数是4。

3）算术基本定理每一个大于1的自然数n ，必能写成以下形式: A=p 1a1p 2a2…p r ar ，这里的p 1，p 2，…，p r是质数，a 1，a 2，…，a r 是自然数。

如果不考虑p 1，p 2，…，p r 的次序，那么这种形式是唯一的。

一、知识要点1、 完全平方数及其性质定义1 如果一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数。

如：1、4、9、…等都是完全平方数，完全平方数有下列性质：性质1 任何完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9中的一个。

性质2 奇完全平方数的十位数一定是偶数。

性质3 偶完全平方数是4的倍数。

性质4 完全平方数有奇数个不同的正约数。

性质5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数，完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。

(1) 唯一分解定理：任何整数n(n>1)可以唯一地分解为：k a k a a p p p n2121 ,其中p 1<p 2<…<p k 是质数，a 1，a 2，…，a k 是正整数。

1.质数的个数在研究如何导出这个公式之前，我们首先要弄清楚的一点就是，质数的个数是否为有限个？换言之，是否存在一个最大的质数呢？关于这一点，古希腊数学家欧几里得(Euclid)研究过，并在他的著作《几何原本》中给出了一个简洁而优美的证明，这里他使用的是反证法。

为了研究这个问题，我们不妨假设已知质数的个数是有限的，最大的那一个用N来表示。

现在我们把所有已知质数都乘起来，再把这个积加上1写成数学式就是：(2×3×5×7×11……×N)+1很明显这个数不能被已知的任何一个质数整除，因为从这个数的产生方式来看就知道，拿所有的质数去除，最后都会余1因此，要么这个数本身就是一个质数，要么有比N更大的数能将其除尽。

不管怎样，都与N是最大的质数这一假设相矛盾。

我们可以得到结论，质数的个数是无穷的。

换言之，没有最大的质数。

3.质数的判断质数的判断有两种方法：1.只能被1和本身整除。

也就是说根据质数的定义，它的质因数只有1与它本身的数是质数2.不能被小于它的平方根的所有质数整除就是质数。

以73为例。

73的算数平方根√73≈8.5440037 。

小于这个数的质数有2，3，5，7 。

这四个数均不能除尽73，那么73就是一个质数。

2.公式n^2+n+41有人做过这样的验算：1^2+1+41=432^2+2+41=473^2+3+41=53于是经过合情推理，人们就得出这样一个“公式”：设一正整数为n，则n^2+n+41的值一定是一个质数。

这个式子一直到n=39时，都是成立的。

但n=40时40^2+40+41=1681=41×41由于这是一个合数，所以这个公式即宣告不成立。

3.费马数2^(2^n)+1被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质。

他发现，设F(n)=2^(2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4294967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。

这便是费马数。

但是，就是在F5上出了问题！费马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=4294967297=641×6700417它并非质数，而是一个合数！更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。

目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。

现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。

这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。

质数和费马开了个大玩笑！这又是一个合情推理失败的案例！4.梅森质数17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1 ，当p是质数时，2^p-1是质数他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，但p=11时，所得2047=23×89却不是素数。

已发现的最大梅森素数是p＝43,112,609的情形，此时Mp 是一个12,978,189位数。

如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过50公里！现在，数学家虽然可以找到很大的质数，但质数的规律还是无法找到。

5.质数猜想1.哥德巴赫猜想1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。

在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了以下的猜想:1.任何一个≥6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

2.任何一个≥9的奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是所谓的哥德巴赫猜想。

如果说，自然科学的皇后是数学。

数学的皇冠是数论。

哥德巴赫猜想，则是皇冠上的明珠。

直接证明哥德巴赫猜想不行，人们采取了“迂回战术”，就是先考虑把偶数表为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。

如果把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"，那么哥氏猜想就是要证明"1+1"成立。

而我国数学家陈景润，于1966年证明了“1+2”2.黎曼猜想黎曼猜想是一个困扰数学界多年的难题，最早由德国数学家波恩哈德·黎曼提出，迄今为止仍未有人给出一个令人完全信服的合理证明。

即如何证明关于素数的方程的所有意义的解都在一条直线上由于该猜想涉及到高等数学，在这里就不多加介绍了。

3.孪生素数猜想1849年，波林那克提出孪生素数猜想，即猜测存在无穷多对孪生素数孪生素数相差2的一对素数。

例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。

孪生素数有一个十分精确的普遍公式，是根据一个定理：若自然数Q与Q+2都不能被不大于根号(Q+2)的任何素数整除则Q与Q+2是一对素数，称为相差2的孪生素数。

4）因子（约数）个数公式若A= p1a1·p2a2·p3a3·……·p r ar为标准分解式，则A的所有因子（包括1和A本身）的个数等于（a1+1）·(a2+1)·(a3+1)·……·(a r+1).5）约数和公式S（A）= (1+p1+p12+……+p1a1) (1+p2+p22+……+p2a2)…(1+p r+p r2+……+p r ar)6）互质数如果两个整数a与b仅有公因子1，则a与b称为互质数。

互质的数不一定都是质数，如8，9和15这三个数互质记作：（8，9，15）=1。

3.质数的判别方法1）当一个数比较小时，用定义直接判断；2）当一个数比较大时，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除，如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数。

（检查n是否可被不大于√n的质数整除）4.质因数分解每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。

其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。

分解质因数的方法：1）短除法：从最小的质数开始，每次都用质数做除数去除，一直到余下的也是质数为止。

2）口诀法：就是利用乘法口诀来分解。

如果不是乘法口诀表以内的数,可以先看看这个数能被哪个数整除,然后再利用乘法口诀来分解。

3）几个常用分解式： 111=3×37，1001=7×11×13，2001=3×23×29二、例题解析例1：设p，q，r都是质数，并且p+q=r，p＜q．求p．例2：两个质数的积是46，求这两个质数的和。

例3：用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？例4：将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。

例5：有30个约数的最小自然数是多少？例6：在做一道两位数乘以两位数乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872。

那么原来的乘积是多少？例7：已知一个两位数除1477，余数是49，求满足这样条件的所有两位数。

例8：设p(≥5)是质数，并且2p+1也是质数．求证：4p+1是合数．例9：证明素数有无穷多个．例10：是否存在连续88个自然数都是合数？例11：证明：当n＞2时，n与n！之间一定有一个质数．例12：证明：每一个大于11的自然数都是两个合数的和．《质数和合数》练习卷一、填空题1.在1,2,3,…,n这n个自然数中,已知共有p个质数,q个合数,k个奇数,m个偶数,则(q-m)+(p-k)=________.2.p是质数,并且p6+3也是质数,则p11-52=________. (北京市竞赛题)3.若a、b、c、d为整数,且(a2+b2)(c2+d2)=1997,则a2+b2+c2+d2=_________.4.已知a是质数,b是奇数,且a2+b=2001,则a+b=________. (第16届江苏省竞赛题)5.若p、q为质数,m,n为正整数,p=m+n,q=mn,则p qn mp qm n+-=________.6.若质数m、n满足5m+7n=129,则m+n=_______. (河北省竞赛题)7.已知三个质数m、n、p的积等于这三个质数的和的5倍,则m2+n2+p2=_____.(2004年武汉市选拔赛试题) 8.一个两位质数,将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数,•我们称它为“无暇质数”,则所有“无暇质数”之和等于________.9.机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则进行染色:•凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色,不合上述要求的自然数都染成黄色,若被染成红色的数由小到大数下去,则第1992个数是________. (北京市“迎春杯”竞赛题)二、选择题10.以下结论中( )个结论不正确.(1)1既不是合数也不是质数;(2)大于0的偶数中只有一个数不是合数;(3)•个位数字是5的自然数中,只有一个数不是合数;(4)各位数字之和是3的倍数的自然数,个个都是合数.A.1B.2C.3D.4 (2001年“五羊杯”竞赛题)11.若p为质数,p3+5仍为质数,p5+7为( ).A.质数B.可为质数也可为合数C.合数D.既不是质数也不是合数 (湖北省黄冈市竞赛题)12.超级计算机曾找到的最大质数是2859433-1,这个质数的末尾数字是( ).A.1B.3C.7D.913.若正整数a、b、c满足a2+b2=c2,a为质数,那么b、c两数( ).A.同为奇数B.同为偶数C.一奇一偶D.同为合数三、解答题14.设n为自然数,n+3与n+7都是质数,求n除以3所得的余数.15.试证明:形如111111+9×10n(n为自然数)的正整数必为合数.16.证明有无穷多个n,使多项式n2+n+41。