全同粒子体系概念
全同粒子体系
第六章 全同粒子体系6.1 全同粒子体系之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。
首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。
1、全同粒子我们称质量m ，电荷q ，磁矩M，自旋S 等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。
其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。
全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。
2、量子力学基本假设全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。
（不可区分性与交换不变性）量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。
由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。
在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。
3、全同粒子体系ˆH算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。
在量子力学情况下，微观粒子不存在严格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。
但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N = ），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋），第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋），但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N = 各有一个粒子。
专题讲座9-全同粒子
专题讲座9-全同粒子全同粒子: 质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的粒子称为全同粒子。
在一个微观体系中，全同粒子是不可区分的。
费米子：自旋为1/2, 3/2, 5/2……, 体系的波函数是反对称的, 两个全同费米子不能处于同一个状态.波色子: 自旋为0, 1, 2, 3, 体系的波函数是反对称的, 两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态.交换力假设我们有一个两粒子体系, 一个粒子处于()a x ψ,另一个处于()b x ψ态.(简单起见,先不考虑自旋)如果两个粒子是可以区分的,粒子1处于()a x ψ,粒子2处于()b x ψ态,那么体系的波函数为1212(,)()()a b x x x x ψψψ=如果是全同玻色子, 波函数必须是对称的]1212211(,)()()()()a b a b x x x x x x ψψψψψ+=+ 如果两个态相同 a b =1212(,)()()a a x x x x ψψψ=对于费米子, 波函数必须是反对称的]1212211(,)()()()()a b a bx x x x x xψψψψψ-=-两个费米子的状态不能相同,否则波函数为零.我们来求两个粒子坐标差平方的期待值222121212()2x x x x x x-=+-1.可区分粒子222 2222 111122111()()()a b a a x x x dx x dx x x dx x ψψψ===⎰⎰⎰2222222 211222222()()()a b b b x x dx x x dx x x dx x ψψψ===⎰⎰⎰2212111222()()a b a bx x x x dx x x dx x xψψ==⎰⎰所以22212()2a bd a bx x x x x x-=+-2.对全同粒子()22211122112221()()()()212a b a ba bx x x x x x dx dxx xψψψψ=±=+⎰同样有其中显然有：同可分辨粒子情况相比较,两者差别在最后一项和处于相同状态的可分辨粒子相比，全同波色子（取上面的+号项）将更趋向于相互靠近，而全同费米子（取下面的-号项）更趋向于相互远离。
§5.5 全同粒子系统
既然所有Pij都是守恒量，所以其对称性不 随时间变化,即全同粒子的统计性质(Bose 或Fermi统计)是不变的。
结论：描写全同粒子系统状态的波函数只能是 5对2 称的或反对称的，它们的对称性不随时间变化。10
④全同粒子的分类 所有的基本粒子可分为两类：
玻色子Fermion和费米子Boson
1）玻色子：
凡自旋为整数倍，波函数满足交换对称，
遵从Bose-Einstein统计的粒子。 如π介子（s=0）、光子（ s=1 ）等。
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引力子(Graviton)
引力子(Graviton)，又称重力子，在物理学中是一个传 递引力的假想粒子。为了传递引力，引力子必须永远 相吸、作用范围无限远及以无限多的型态出现。在量 子力学中，引力子被定义为一个自旋为2、质量为零的 玻色子。
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2、两个全同粒子组成的体系 ①简介
忽略相互作用，Hamiltonian可表为
Hˆ h(q1) h(q2 )
q1 q2 Hˆ 不变
故
[P12, Hˆ ] 0
设h(q)的单粒子本征态为
k
(q)，本征能为
，
k
则有
h(q)k (q) kk (q)
其中k为力学量（包含Hˆ）的一组完备量子数
(q1, q2,, qi ,q j ,)
来描述。其中 qi (i 1,2,N) 表示第i个
粒子的全部坐标（空间和自旋）。
若Pij表示第i个粒子与第j个粒子的全部 坐标变换，即
Pij (q1, q2,, qi ,q j ,, qN )
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(q1, q2,, q j ,qi ,, qN ) 5
置换群全同粒子系统的对称群
目 录
• 置换群基础概念 • 全同粒子系统基础概念 • 对称群基础概念 • 置换群全同粒子系统的对称群 • 对称群在置换群全同粒子系统中的应用
01 置换群基础概念
置换群定义
置换群定义
置换群是集合元素之间的置换所构成的群。具 体来说，设 $G$ 是集合 $S$ 的一个子集，如 果对于任意元素 $a in G$，都存在一个元素 $b in G$，使得 $a$ 和 $b$ 交换后仍属于 $G$，则称 $G$ 为一个置换群。
置换群的表示
置换群可以用矩阵或置换图来表示， 其中矩阵表示法更为常用。
置换群的性质
封闭性
置换群中的元素之间经过置换后仍属于该集 合。
结合性
置换群中的元素之间经过多次置换后仍属于 该集合。
单位元存在性
置换群中存在一个单位元，即不进行任何置 换的元素。
逆元存在性
对于任意元素 $a in G$，存在一个逆元 $b in G$，使得 $a$ 和 $b$ 交换后仍属于 $G$。
对称群在科学技术进步中发挥了重要作用，通过对称群的研究，可以推 动新材料、新能源等领域的发展，为科学技术进步做出贡献。
对称群在置换群全同粒子系统中的未来发展
深入研究新型态物质的对称性
随着科学技术的不断发展，将会有更多新型态的物质被发现，深入研究这些新型态物质的对称性，将有助于揭示物质 的基本性质和推动物理学的发展。
全同粒子系统的基本特征是粒子的不 可分辨性，即无法区分系统中的任何 一个粒子与其他粒子。
全同粒子系统的性质
全同粒子系统具有平移对称性， 即在空间中移动整个系统不会改
变系统的性质。
全同粒子系统还具有旋转对称性， 即旋转整个系统也不会改变系统
全同粒子的概念
全同粒子的概念
嘿，朋友们！今天咱来聊聊全同粒子这个神奇的玩意儿。
你说啥是全同粒子呀？就好比一群长得一模一样、没啥区别的小家伙。
咱打个比方，就像一筐红彤彤的苹果，你能分得清哪个是哪个吗？它们在本质上没啥不同呀。
全同粒子可有意思啦！它们就像是一群默契十足的小伙伴，一起在微观世界里玩耍。
比如说电子吧，在一个原子里的电子，那可都是全同粒子呢。
它们就像是一个模子里刻出来的，有着相同的性质。
这就好像一个班级里的同学们，大家都穿着一样的校服，有着相似的身份，但每个人又有自己独特的性格和行为。
全同粒子也是这样，虽然它们本质一样，但在不同的环境和情况下，表现也会不一样哦。
想象一下，如果这个世界没有全同粒子，那会变成啥样呢？科学研究可就难咯！好多奇妙的现象都没法解释啦。
全同粒子还和很多重要的科学理论紧密相关呢。
比如说量子力学，那可是个高深莫测的领域。
全同粒子在里面就像是主角一样，演绎着各种精彩的故事。
咱再换个角度想想，生活中不也有很多类似全同粒子的情况吗？比如说，同一批生产出来的商品，它们不也很相似吗？但每个商品又会有自己的命运，被不同的人买走，去到不同的地方。
全同粒子的存在让我们对世界有了更深刻的认识，让我们知道在微观世界里有着这么一群神奇的小家伙。
它们虽然微小，但却有着巨大的影响力。
全同粒子不就是大自然给我们的一个奇妙礼物吗？让我们能够窥探到微观世界的奥秘。
我们应该好好珍惜这个礼物，不断去探索、去发现。
所以啊，全同粒子可真是个了不起的东西！咱可得好好研究研究它们，说不定还能从中发现更多神奇的事情呢！。
什么是全同性原理
什么是全同性原理
全同性原理是量子力学中的一个基本原理，也被称为泡利不可区分原理。
根据全同性原理，具有相同量子状态（包括相同自旋、动量、位置等）的粒子是无法区分的，它们在物理性质上完全相同。
换句话说，如果两个粒子的量子态完全相同，那么无论从实验上还是理论上都无法分辨它们是哪个粒子。
例如，在考虑两个具有相同自旋的电子的情况下，无法确定某一个电子是A，另一个是B，因为它们在物理性质上完全相同。
全同性原理的重要性体现在一些基本的量子效应中，如波色-爱因斯坦凝聚现象和费米子的泡利不相容原理等。
其中，波色子具有全同性，可以聚集在相同的量子态上形成波色-爱因斯坦凝聚；而费米子则根据泡利不相容原理，不同自旋的费米子无法占据完全相同的量子态。
全同性原理在量子力学的研究和应用中起到重要的指导作用。
它导致了诸如玻色-爱因斯坦凝聚、准粒子等重要现象，也为量子计算、量子通信等领域的发展奠定了基础。
量子力学--第九章 全同粒子体系
注：交换简并显然存在： ) j ( )k ( ) 中填 粒子交换只不过是 i ( 入不同的排列，它们仍是 H 的属于 E 的本征函数。 2、对称化波函数与泡利原理 描述全同粒子体系的波函数必须是对称化的波函数。 交换简并的存在使我们有可能把波函数进行线性组合。
可以证明下面两个函数是H的属于能级E的本征函数 (q1 , q 2 ) i (q1 ) j (q 2 ) ( 7 .7 2 ) (q 2 , q1 ) i (q 2 ) j (q1 )
ˆ (q , q ) [ H ˆ (q ) H ˆ (q )] (q ) (q ) 证明： H 1 2 0 1 0 2 i 1 j 2
ˆ ， 则称 A 若P 为交换反对称波函数。 ij A A 交换对称性或反对称性是全同粒子体系波函数的特殊的 固有的性质，因此也是(微观)粒子的特殊的、固有的性质。 它决定了粒子所服从的统计。
也就是说，描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或 反对称的，它们的对称性不随时间改变。 这一点可以从全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换下不变 的这点出发,很易得到证明. 全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换不变的
其中
ˆ ( s s s ) ( s s s ) E ( s s s ) H 1 1 N 1 1 N s 1 1 N
对于两个费米子体系的情况，只有如下两种形式：
(q1q2 q N ) (r1 r2 rN ) ( s1 s2 s N ) ˆ H (r1 r2 rN ) (r1 r2 rN ) Er (r1 r2 rN )
2 2 2 ˆ [ H 1 U (q1 )] [ 2 2 U (q 2 )] 2 2 ˆ H ˆ (q ) H ˆ (q ) H
全同粒子和泡利不相容原理的关系
全同粒子和泡利不相容原理的关系引言：全同粒子和泡利不相容原理是量子力学中两个重要的概念。
全同粒子指的是具有相同内部属性（如质量、电荷、自旋等）的粒子，而泡利不相容原理则规定了这些全同粒子在量子态中的行为。
本文将探讨全同粒子和泡利不相容原理之间的关系，并解释其在物理学中的重要性。
一、全同粒子的定义和性质全同粒子是指在物理性质上完全相同的粒子，它们无法通过任何实验手段来区分。
例如，所有的电子都是全同粒子，它们具有相同的电荷和质量。
全同粒子之间不存在任何区别，它们之间的交换不会改变系统的性质。
二、泡利不相容原理的概念泡利不相容原理是由奥地利物理学家泡利于1925年提出的。
该原理规定，在一个量子态中，不允许有两个全同费米子（具有半整数自旋的粒子）处于相同的量子态，即不允许多个全同费米子同时处于系统的同一个量子态。
这意味着费米子的态空间是排斥的，每个量子态最多只能容纳一个费米子。
三、全同粒子和泡利不相容原理的关系全同粒子和泡利不相容原理之间存在着密切的关系。
泡利不相容原理实际上是对全同粒子的一种限制。
由于全同粒子之间无法区分，如果允许多个全同费米子同时处于相同的量子态，那么在描述系统的波函数中就无法正确地反映全同粒子的统计性质。
因此，泡利不相容原理保证了全同费米子在量子态中的正确描述。
四、泡利不相容原理的应用泡利不相容原理在物理学中有着广泛的应用。
首先，它解释了为什么原子中的电子能够按照能级填充，即为什么电子不能全部处于最低能级。
根据泡利不相容原理，每个能级最多只能容纳两个全同费米子，因此电子在填充能级时必须按照一定的顺序进行。
这就解释了为什么原子中的电子分布会呈现出规律性。
泡利不相容原理还解释了为什么物质会表现出不同的化学性质。
由于泡利不相容原理的存在，不同原子中的电子组态不同，导致它们的化学性质也不同。
例如，氢原子中只有一个电子，因此它只能形成一种化学键；氧原子中有六个电子，因此它可以形成多种化学键。
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全同粒子体系概念
全同粒子体系是物理学中的一个重要概念，涉及到全同粒子、粒子体系、全同性原理、量子态、玻色子和费米子等多个方面。
1.全同粒子
全同粒子是指具有完全相同属性的粒子。
这些粒子可以是光子、电子、质子、中子等基本粒子，也可以是由这些基本粒子组成的复合粒子，如原子、分子等。
2.粒子体系
粒子体系是指由一组粒子组成的系统。
这些粒子可以是全同粒子，也可以是不同的粒子。
在粒子体系中，粒子之间可以相互作用，例如通过力场、电磁场等相互耦合。
3.全同性原理
全同性原理是指在一个全同粒子体系中，无法区分单个粒子，因为它们的属性完全相同。
这一原理是全同粒子体系的基本特征之一，也是导致全同粒子表现出集体行为的重要原因。
4.量子态
量子态是描述量子系统状态的数学对象，它包含了系统的所有信息，包括粒子的位置、自旋、能量等。
在全同粒子体系中，粒子的量子态可以相同或不同，这将对体系的性质产生影响。
5.玻色子
玻色子是全同粒子中的一种特殊类型，其特性符合玻色子的统计规律。
玻色子具有整数自旋，包括光子、胶子、W和Z玻色子等。
玻色子在凝聚态物理、核物理和宇宙学等领域中具有重要应用价值。
6.费米子
费米子是另一种全同粒子，其特性符合费米子的统计规律。
费米子具有半整数自旋，包括电子、质子、中子等基本粒子以及由它们组成的原子和分子等。
费米子在描述多体系统中的粒子的行为时具有重要作用，例如在超导和费米凝聚等领域中。