《数列》题型归纳与训练三参考答案

2月8日《数列》题型归纳与训练三参考答案

考点6、数列求和一、公式法求和

题组一等差数列的求和公式

例1设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 17＞0，S 18＜0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S

15a 15

中最大的项为

A ．S 7

a 7B ．

S 8

a 8

C ．

S 9a 9

D ．S 10

a 10

【答案】C

【解析】因为{a n }是等差数列，所以S 17=

11717()2a a +=17a 9＞0，所以a 9＞0，又S 18=11818()

2

a a +=9(a 9＋a 10)

＜0，所以a 10＜0，即该等差数列前9项均是正数项，从第10项开始是负数项，则S

9a 9最大，故选C ．

【易错点】等差数列的公差和求和的关系.题组二等比数列的求和公式

例2在等比数列{a n }中，a 1＋a n =34，a 2·a n ?1=64，且前n 项和S n =62，则项数n 等于

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

【答案】B

【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由题意得a 2a n ?1=a 1a n =64，又a 1＋a n =34，解得a 1=2，a n =32或a 1=32，a n =2.

当a 1=2，a n =32时，S n =1(1)1n a q q

--=a 1－a n q 1－q =2－32q

1－q =62，解得q =2.又a n =a 1q n ?1，所以2×2n ?1=2n =32，解得n =5.

同理，当a 1=32，a n =2时，由S n =1(1)1n a q q --=a 1－a n q 1－q =3221q q --=62，解得q =1

2.又a n =a 1q n ?1?1

=2，所

以?1

=1

16

=，即n ?1=4，n =5.综上，项数n 等于5，故选B ．【易错点】等比数列中项性质的求解.

【思维点拨】1．两组求和公式(1)等差数列：11()(1)

=

=22

n n n a a n n S na d +-+；(2)等比数列：111,1(1),111n n n na q S a a q a q q q q =??

=--?=≠?--?

．

2．在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．

注：在运用等比数列前n 项和公式时，一定要注意判断公比q 是否为1，切忌盲目套用公式导致失误．

二、错位相减法求和

例1

已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则数列{}n na 的前n 项和为

A ．()312n

n -++?B ．()312n

n ++?C ．()112n

n ++?D ．()112

n

n +-?【答案】D

【解析】当1q =时，不成立；当1q ≠

，两式相除得3631171163q q q -==-+，解得2q =，则11a =，所以1112n n n a a q --==，所以12n n n a n -?=?，则数列{}n na 的前n 项和为

21122322n n n T -=+?+?++? ，

2n T =()211222122n n n n -?+?++-?+? ，

两式相减得到：2

1

12222n n

n T n --=++++-? ()12212112

n n n n n -=-?=-?--，

所以()112n n

n T =+-?，故选D ．

【易错点】注意错位相减的运算步骤.

例2

已知等差数列{}n a 满足:*1()n n a a n +>∈N ，11a =，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数

列，22log 1n n a b +=-.

(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式;(2)求数列{}n n a b ?的前n 项和n T .【答案】(1)21n a n =-，b n

=

；(2)T n =23

32n

n +-

.【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，且d>0，

由11a =，23112a d a d =+=+,，分别加上1，1，3后成等比数列，得()()2

2242d d +=+，解得d=2，

∴()11221n a n n =+-?=-.∵22log 1n n a b +=-，∴2log n b n =-，即b n =12

n .(2)由(1)得a n ·b n =

21

2

n

n -.∴T n

=

+…+

21

2n

n -

，①T n =+…+

1

21

2

n n +-，②①?

②，得

T n

=+

2+…

+

1

21

2n n +-.∴T n =11121211212

n n n --

-+--=2121322n n n ----=2332n n +-.【易错点】注意错位相减的运算步骤.【思维点拨】

错位相减法

适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把S n =a 1＋a 2＋…＋a n 两边同乘

以相应等比数列的公比q ，得到qS n =a 1q ＋a 2q ＋…＋a n q ，两式错位相减即可求出S n .

三、裂项相消法求和

例1

已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，则数列11n n a a +?

?

?

????的前6项和为

A ．215

B ．

415C ．

511

D ．

1011

【答案】A

【解析】数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，2n ≥时，211n S n -=-，两式作差得到21(2)n a n n =+≥，当1n =时，也适合上式，所以21n a n =+

A.【易错点】需要检验n =1时通项公式.

【思维点拨】本题考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法.数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 的表达式，一般是写出1n S -后两式作差得通项，但是这种方法需要检验n =1时通项公式是否适用.数列求和的常用方法有：错位相减、裂项求和、分组求和等.例2

已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S n =3n ＋1＋a (n ∈N *)．

(1)求a 的值及数列{a n }的通项公式；

(2)若b n =(1?an )log 3(a 2n ·a n ＋1)，求数列{1

b n }的前n 项和T n .

【答案】(1)a =?3，a n =3n ?1(n ∈N *)；(2)T n =n

3n ＋1.

【解析】(1)∵6S n =3n ＋1＋a (n ∈N *)，∴当n =1时，6S 1=6a 1=9＋a ，

当n ≥2时，6a n =6(S n ?S n ?1)=2×3n ，即a n =3n ?1，∵{a n }是等比数列，

∴a 1=1，则9＋a =6，得a =?3，

∴数列{a n }的通项公式为a n =3n ?1(n ∈N *)．(2)由(1)得b n =(1?an )log 3(a 2n ·a n ＋1)=(3n ?2)(3n ＋1)，

∴T n =1b 1＋1b 2＋…＋1b n =11×4＋14×7＋…＋1(32)(31)n n -+=13(1?14＋14?1

7

＋…＋13n －2?13n ＋1=n 3n ＋1

.【易错点】裂项相消法注意分子.【思维点拨】裂项相消法

将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法．裂项相消法适用

其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列．

四、拆项分组法求和

例1

已知函数()()2

cos πf n n n =，且()()1n a f n f n =++，则12100a a a +++=

A ．100-

B ．0

C ．100

D ．10200

【答案】A

【解析】由题意可得，2112a =-+，22223a =-，22334a =-+，22445a =-，…，

所以()()

()()()222139912991001234991005050a a a +++=-+++-+=++++++= ，

()()

()22222410023100101231001015150a a a +++=-++-=-++++=- ，

所以1210050505150100a a a +++=-=- ．

【易错点】奇数项与偶数项分别求和，每个和都是等差数列的和，从而易于求解．

【思维点拨】数列求和的常用方法：公式法、分组求和法、裂项相消法、并项求和法、倒序相加法等，当遇到数列的通项为()()1n

n a f n =-的形式时，可以用并项求和法或者用分组求和法，由于本题中

()()

()

()

()1

2

1

211111n n n n a n n n n ++??=-+-+=-++??，因此我们把奇数项与偶数项分别求和，每个和都是

等差数列的和，从而易于求解．例2

已知等差数列{a n }中，a 2=5，前4项和S 4=28.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n =(?1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =4n ?3；(2)T 2n =4n .

【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d 2＝a 1＋d ＝5，

4＝4a 1＋

4×3

2

×d ＝28，

1＝1，＝4，

∴a n =a 1＋(n ?1)×d =4n ?3.

(2)由(1)可得b n =(?1)n a n =(?1)n (4n ?3)，∴T 2n =?1＋5?9＋13?17＋…＋(8n ?3)=4×n =4n .【易错点】注意拆项分组是为了合并.【思维点拨】拆项分组法

把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和．

五、含绝对值的数列求和123n n

S a a a a =+++???+请你自己编一道题并求解，要求写出题目和解答过程。

考点7、数列的综合应用

题组一数列与不等式的交汇

例1

设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=9，a 2为整数，且S n ≤S 5.

(1)求{a n }的通项公式；(2)设数列{

1a n a n ＋1

}的前n 项和为T n ，求证：T n ≤49.

【答案】(1)a n =11?2n ；(2)见解析.

【解析】(1)由a 1=9，a 2为整数可知，等差数列{a n }的公差d 为整数．又S n ≤S 5，

∴a 5≥0，a 6≤0，于是9＋4d ≥0，9＋5d ≤0，解得?94≤d ≤?9

5.

∵d 为整数，∴d =?2.

故{a n }的通项公式为a n =11?2n .(2)由(1)得，

1a n a n ＋1=1(112)(92)n n --=12(1

9－2n ?111－2n

)，∴T n =12[(17?19)＋(15?17)＋…＋(19－2n ?111－2n )]=12(19－2n ?1

9

)．

令b n =1

9－2n ，

由函数f (x )=1

9－2x

的图象关于点(4.5，0)对称及其单调性，知0＜b 1＜b 2＜b 3＜b 4，b 5＜b 6＜b 7＜…＜0，∴b n ≤b 4=1.∴T n ≤12×(1?19)=49

.

【易错点】数列的不等式注意最后的分析.题组二数列与函数的交汇

例2

设曲线y =2018x n ＋1(n ∈N *)在点(1，2018)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令 2 018log n n a x ，

则a 1＋a 2＋…＋a 2017的值为A ．2018B ．2017C ．1D ．?1

【答案】D

【解析】因为y ′=2018(n ＋1)x n ，所以切线方程是y ?2018=2018(n ＋1)(x ?1)，所以x n =n

n ＋1

，

所以a 1＋a 2＋…＋a 2017=log 2018(x 1·x 2·…·x 2017)=log 2018(12×23×…×2017

2018)=2018log 12018

=?1.故选D.

【易错点】数列结合了导数和对数的知识，综合性强.【思维点拨】

数列与不等式的交汇多为不等式恒成立或证明和的范围的形式，在求解时要注意等价转化，即分离参数法与放缩法的技巧应用．

已知函数条件解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法等对式子化简变形．