【答案】A 。 【解析】
【方法1】直接法：
由lim n→∞
a n =a,且a ≠0，则当n 充分大时有
|a n |>
|a |2
【方法2】排除法：
若取a n =2+2
n ,显然a =2,且(B )和(D )都不正确；
取a n =2−2
n
,显然a =2，且(C )不正确
综上所述，本题正确答案是(A )
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质 (2)下列曲线中有渐近线的是
(A )y =x +sin x (B )y =x 2+sin x (C ) y =x +sin 1
x
(D ) y =x 2+sin 1
x
【答案】C 。 【解析】 【方法1】
由于lim
x→∞f(x)
x
=lim
x→∞
x+sin1
x
x
=1=a
lim x→∞[f(x)−ax]=lim
x→∞
[x+sin1
x
−x]=lim
x→∞
sin1
x
=0=b
所以曲线y=x+sin1
x
有斜渐近线y=x，故应选(C)
解法2
考虑曲线y=x+sin1
x
与直线y=x纵坐标之差在x→∞时的极限
lim x→∞[x+sin1
x
−x]=lim
x→∞
sin1
x
=0
则直线y=x是曲线y=x+sin1
x
的一条斜渐近线，故应选(C)
综上所述，本题正确答案是(C)
【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线
(3)设p(x)=a+bx+cx2+dx3.当x→0时，若p(x)−tan x是比x3
高阶的无穷小，则下列选项中错误的是
(A)a=0 (B)b=1
(C)c=0 (D)d=1
6
【答案】D。
【解析】
【方法1】
当x→0时，tan x−x ~ 1
3
x3知，tan x的泰勒公式为
tan x=x+ 1
3
x3+o(x3)
又lim
x→0p(x)−tan x
x3
=lim
x→0
a+(b−1)x+cx2+(d−1
3
)x3+o(x3)
x3
=0
则a=0,b=1,c=0,d=1
3
显然，a=0，
lim x→0p(x)−tan x
x3
=lim
x→0
a+bx+cx2+dx3−tan x
x3
=lim
x→0
b+2cx+3dx2−sec2x
3x2
由上式可知，b=1,否则等式右端极限为∞，则左端极限也为∞，与题设矛盾。
lim x→0p(x)−tan x
x
=lim
x→0
2cx+3dx2−sec2x
3x
=lim
x→0
2c
3x
+d−1
3
故c=0,d=1
3
综上所述，本题正确答案是(D)。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较(4)设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1−x)−f(1)x,则在区间
[0,1]上
(A)当f′(x)≥0时，f(x)≥g(x)
(B)当f′(x)≥0时，f(x)≤g(x)
(C)当f′′(x)≥0时，f(x)≥g(x)
(D)当f′′(x)≥0时，f(x)≤g(x)
【答案】D。
【解析】
【方法1】
由于f(0)=g(0),f(1)=g(1),则直线y=f(0)(1−x)−f(1)x过点(0,f(0))和(1,f(1)),当f′′(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0,1]上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0,f(0))和(1,f(1))的弦y=f(0)(1−x)−f(1)x的下方，即f(x)≤g(x)
令F(x)=f(x)−g(x)=f(x)−f(0)(1−x)−f(1)x,则
F′(x)=f′(x)+f(0)−f(1),F′′(x)=f′′(x),
当f′′(x)≥0时，F′′(x)≥0。则曲线F(x)在区间[0,1]上是凹的，又F(0)=F(1)=0，
从而，当x∈[0,1]时，F(x)≤0,即f(x)≤g(x)
【方法3】
令F(x)=f(x)−g(x)=f(x)−f(0)(1−x)−f(1)x,
则F(x)=f(x)[(1−x)+x]−f(0)(1−x)−f(1)x,
=(1−x)[f(x)−f(0)]−x[f(1)−f(x)]
=x(1−x)f′(ξ)−x(1−x)f′(η)ξ∈(0,x),η∈(x,1) =x(1−x)[f′(ξ)−f′(η)]
当f′′(x)≥0时,f′(x)单调增，f′(ξ)≤f′(η)，从而，当x∈[0,1]时，F(x)≤0,即f(x)≤g(x)
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明
(5)行列式|0a
a0
b0
0b
0c
c0
d0
0d
|=
(A)(ad−bc)2 (B)− (ad−bc)2 (C)a2d2−b2c2 (D) b2c2−a2d2
【答案】B。
【解析】灵活使用拉普拉斯公式
