《离散数学》期末复习提要

《离散数学》期末复习提要

课程的主要内容

1、集合论部分（集合的基本概念和运算、二元关系和函数）；

2、数理逻辑部分（命题逻辑、谓词逻辑）；

3、图论部分（图的基本概念、特殊的图，树及其性质）。

一、各章复习要求与重点

第一章命题逻辑

[复习知识点]

１、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价），复合命题

２、命题公式与解释，真值表，公式分类（永真、矛盾、可满足），公式的等价

３、析取范式、合取范式，极小（大）项，主析取范式、主合取范式

４、公式类别的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）

５、全功能集

６、推理理论

本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、推理理论[复习要求]

１、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。

２、理解公式与解释的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等价式化简其他公式，公式在解释下的真值。

３、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。

４、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方法。掌握24个重要等值式。

５、掌握推理理论，会写出推理的证明，掌握附加前提证明法和归谬发。 [本章重点习题]

习题P31-36: 1.1,1.7-1.9,1.12,1.18,1.19，1.15 [疑难解析]

1、公式恒真性的判定

判定公式的恒真性，包括判定公式是恒真的或是恒假的。具体方法有两种，一是真值表法，对于任给一个公式，主要列出该公式的真值表，观察真值表的最后一列是否全为1（或全为0），就可以判定该公式是否恒真（或恒假），若不全为0，则为可满足的。二是推导法，即利用基本等价式推导出结果为1，或者利用恒真（恒假）判定定理：公式G 是恒真的（恒假的）当且仅当等价于它的合取范式（析取范式）中，每个子句（短语）均至少包含一个原子及其否定。

这里要求的析取范式中所含有的每个短语不是极小项，一定要与求主析取范式相区别，对于合取范式也同样。

2、范式

求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等价式中的分配律、同一律和互补律，结果的前一步适当使用等幂律，使相同的短语（或子句）只保留一个。

3、推理理论

掌握构造证明法，一是要理解并掌握8个推理定理，二是会使用常用的推理规则，附加前提证明法和归谬法，需要进行一定的练习。 [例题分析] 例1 求()()P R Q P G

→⌝∨∧=的主析取范式与主合取范式。

解 （1）求主析取范式， 方法1：利用真值表求解

()()()()()()

R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P G ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=

方法2：推导法

()()()()()()()()()()()()()()

()()()

()()()()()()()()()()()()()()

R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R R Q Q P P P R Q Q Q R P P R Q R P P R Q P P R Q P P R R Q P G ⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧∧∨∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨∧∧⌝=⌝∧⌝∧∨∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧∧∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨∧∧⌝=⌝∨∧⌝∨∧∨⌝∨∧∧⌝∨∨⌝∧∧⌝=∨∧⌝∨∧⌝=∨∧⌝∨⌝=∨⌝∨∧⌝=→⌝∨∧=

（2）求主合取范式 方法1：利用上面的真值表

()()P R Q P →⌝∨∧为0的有两行，它们对应的极大项分别为R Q P R Q P ∨⌝∨∨∨,

因此，

()()()()R Q P R Q P P R Q P ∨⌝∨∧∨∨=→⌝∨∧

方法2：利用已求出的主析取范式求主合取范式

已用去6个极小项，尚有2个极小项，即

R Q P ⌝∧⌝∧⌝与R Q P ⌝∧∧⌝ 于是

()()

()()()()()()

R Q P R Q P R Q P R Q P G G R Q P R Q P G ∨⌝∨∧∨∨=⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⌝=⌝⌝=⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=⌝

例2 试证明公式()()()()R P R Q Q P G

→→→∧→=为恒真公式。

证法一 ：G=⌝（（⌝P ∨Q ）∧（⌝Q ∨R ））∨（⌝P ∨R ） =（P ∧⌝Q ）∨（Q ∧⌝R ）∨⌝P ∨R

=（（（P ∨Q ）∧（P ∨⌝R ）∧（⌝Q ∨Q ）∧（⌝Q ∨⌝R ））∨⌝P ）∨R =（（P ∨Q ∨⌝P ）∧（P ∨⌝R ∨⌝P ）∧（⌝Q ∨⌝R ∨⌝P ））∨R =（1∧（⌝Q ∨⌝R ∨⌝P ））∨R =⌝Q ∨⌝R ∨⌝P ∨R =1

故G 为恒真公式。 例3 构造下面的推理证明 前提：p →(q ∨r) , s →⌝r , p ∧s 结论：q

证明：①p ∧s 前提引入 ②p ①化简 ③p →(q ∨r) 前提引入 ④q ∨r ②③假言推理 ⑤s ①化简 ⑥s →⌝r 前提引入

⑦ r ⑤⑥假言推理

⑧q ④⑦析取三段论

推理正确。

第二章一阶逻辑

[复习知识点]

1、谓词、量词、个体词、个体域、变元（约束变元与自由变元）

2、一阶逻辑公式与解释，谓词公式的类型（永真、矛盾、可满足）

3、一阶逻辑公式等值式

4、前束范式

本章重点内容：谓词与量词、公式与解释、前束范式

[复习要求]

1、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题；了解命题符号化。

2、理解公式与解释的概念；掌握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定解释下真值的方法；了解

谓词公式的类型。

3、证明等值式。

4、掌握求公式前束范式的方法。

[本章重点习题]

习题P52-55：2.3，2.12 , 2.13,2.14, 2.15

[疑难解析]

1、谓词与量词