2018-2019学年湖南师大附中高二下学期期中考试数学(文)答案
湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试文科数学参考答案－(这是边文，
请据需要手工删加)
湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(文科)参考答案
第Ⅰ卷
二、填空题 11．4 12.14 13．6
14.⎣
⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π
6(k ∈Z )
15．16π 【解析】正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，V P －ABCD ＝
163
， 所以13·2R 2·R ＝16
3，解得R ＝2，则球O 的表面积是16π.
三、解答题 16．【解析】(1)略；(3分)
(2)f (x )max ＝1，f (x )min ＝－35.(6分)
17．【解析】设公比为q ，则q ≠1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5－a 1q 3＝216，
a 1q 2
－a 1＝8，
a 1（1－q n
）1－q ＝13，
(5分)
解得：⎩⎪⎨⎪
⎧q ＝3，
a 1＝1，n ＝3.
(8分)
18．【解析】(1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵AB ∥D 1C 1，AB ＝D 1C 1，
∴四边形ABC 1D 1是平行四边形， ∴AD 1∥BC 1，
∵AD 1⊄平面C 1BD ，BC 1⊂平面C 1BD ， ∴D 1A ∥平面C 1BD .(4分) (2)由(1)知，AD 1∥BC 1，
∴异面直线D 1A 与BD 所成的角即为∠C 1BD ， 由题可知，△C 1BD 为等边三角形， ∴∠C 1BD ＝60°，
即异面直线D 1A 与BD 所成的角为60°.(8分) 19．【解析】(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4.
所以，f (x )的最小正周期T ＝
2π
2
＝π.(4分) (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π
4上是减函数，
又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭
⎫π
4＝1，
故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π
4上的最大值为2，最小值为－1.(8分)
20．【解析】(1)∵圆心C 在x 轴上且该圆与y 轴相切， ∴设圆心C (a ，0)，半径r ＝|a |，a ≠0， 设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2，
将点A (－1，2)代入得(－1－a )2＋22＝a 2， ∴a ＝－5
2
，
∴所求圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋522
＋y 2＝25
4
.(5分) (2)方法一：联立方程y ＝x ＋2与⎝⎛⎭⎫x ＋522
＋y 2＝25
4得交点P ⎝⎛⎭⎫－12，32，Q (－4，－2)． ∴直线l 被圆截得的弦长|PQ |＝
⎝⎛⎭⎫－12＋42＋⎝⎛⎭⎫32＋22
＝722
.(10分) 方法二：∵圆心C ⎝⎛⎭⎫－5
2，0到直线l ：y ＝x ＋2的距离d ＝⎪⎪⎪
⎪
－52－0＋22
＝2
4
， ∴直线l 被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝2
254－216＝72
2.(10分) 第Ⅱ卷
一、填空题
21．(1)10 (2)n ()
n ＋12
【解析】(1)图①有1层，第1层正方体的个数为S 1＝1； 图②有2层，第2层正方体的个数为S 2＝1＋2； 图③有3层，第3层正方体的个数为S 3＝1＋2＋3；
依次类推，第4个图有4层，第4层正方体的个数为S 4＝1＋2＋3＋4＝10.
(2)由(1)猜想：第n 个图有n 层，第n 层正方体的个数为S n ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋n ＝
n ()
n ＋12
. 22．10 【解析】由f (x )＝0，得⎝⎛⎭⎫12||x －1＝－2cos πx .
函数y ＝⎝⎛⎭
⎫
12||
x －1和y ＝－2cos πx 的图象都关于直线x ＝1对称，在同一平面直角坐标系
中作出函数y ＝⎝⎛⎭
⎫12||
x －1和y ＝－2cos πx 的图象，如图所示．
由图象可知在[－4，6]上共有5对关于x ＝1对称的交点，不妨设关于x ＝1对称的其中一对交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2
2＝1，即x 1＋x 2＝2，∴所有10个交点横坐标之和
为5(x 1＋x 2)＝5×2＝10，即所有零点之和为10.
二、解答题 23．【解析】(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0 ①(1分) 当x ＜－1时，①式可化为x 2－3x －4≤0，无解； 当－1≤x ≤1时，①式可化为x 2－x －2≤0， 解得－1≤x ≤2，∴－1≤x ≤1；
当x ＞1时，①式可化为x 2＋x －4≤0，
解得－1－172≤x ≤－1＋172，∴1<x ≤－1＋172.(4分)
综上所述，不等式f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
x |－1≤x ≤
－1＋172.(6分) (2)当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，
∴不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2恒成立．(8分)
又f (x )在[－1，1]上的最小值必为f (－1)或f (1)，
∴只需f (－1)≥2且f (1)≥2，解得－1≤a ≤1，即a 的取值范围为[－1，1]．(12分) 24．【解析】(1)当m ＝－1时，f (x )＝e 2x －x ， ∴f ′(x )＝2e 2x －1，则f ′(0)＝1.(2分)
又f (0)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋1.(4分) (2)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且f ′(x )＝2e 2x ＋m (m ≤0)．(6分) ①当m ＝0时，f (x )＝e 2x >0恒成立，满足条件；(7分)
②当m <0时，由f ′(x )>0，得x >12ln ⎝⎛⎭⎫－m 2，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫12ln ⎝⎛⎭⎫－m 2，＋∞上单调递增；同理函数f (x )在⎝⎛⎭
⎫－∞，1
2ln ⎝⎛⎭
⎫－m 2上单调递减．(9分) 因此f (x )在x ＝12ln ⎝⎛⎭⎫－m 2处取得最小值m
2⎣⎡⎦⎤ln ⎝⎛⎭⎫－m 2－1.(10分) ∴m 2⎣⎡⎦
⎤
ln ⎝⎛⎭⎫－m 2－1>0，解得－2e<m <0.(12分) 综上所述，当m ∈(－2e ，0]时，不等式f (x )>0在定义域(－∞，＋∞)内恒成立．(13分)
25．【解析】(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p
2＝1，
所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(3分)
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y
消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.(5分)
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，
解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1
＝2x 1x 1－
x 214＝8
4－x 1.(7分) 同理，点N 的横坐标x N ＝8
4－x 2.(8分)
所以|MN |＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪
⎪84－x 1－84－x 2 ＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16＝82k 2＋1|4k －3|，(10分)
令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋3
4，
当t >0时，|MN |＝2225t 2＋6
t
＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝22
⎝⎛⎭⎫5t ＋352
＋1625≥85
2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是8
5
2.(13分)。
2018-2019学年湖南师范大学附属中学高二上学期期末考试数学(文)答案
湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期末考试数学(文科)参考答案13．－314．π是无理数15.2 【解析】由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ，由复数相等得⎩⎨⎧x ＝1，x ＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝ 2.16．(0，1)∪(2，＋∞) 【解析】f ′(x )＝1x －1a(x >0)，当x ∈(0，a )时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )max ＝f (a )． x 0∈R ，使得 x 1∈[1，2]都有f (x 1)<f (x 0)，即f (a )>f (x 1) x 1∈[1，2]恒成立，故a [1，2]，所以实数a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．三、解答题17．【解析】(1)圆C ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆C 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.3分直线l ：ρsin ⎝⎛⎫θ－π4＝22， 即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.6分(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，8分 故直线l 与圆C 公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2.10分 18．【解析】(1)由图可知众数落在第三组[)15，16中，其值是15＋162＝15.5.3分 (2)因为数据落在第一、二组的频率为1×0.04＋1×0.18＝0.22，所以该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数为0.22×50＝11.6分(3)成绩在[)13，14的人数有：50×0.04＝2人，设为a ，b ，成绩在[]17，18的人数有：50×0.06＝3人，设为A ，B ，C .8分m ，n ∈[)13，14时有ab 一种情况，m ，n ∈[]17，18时有AB ，AC ，BC 三种情况， m ，n 分别在[)13，14和[]17，18时有aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC 六种情况，基本事件的总数为10，设事件||m －n >2为事件A ，它由aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC 这6个基本事件组成.11分所以P ()A ＝610＝35.12分 19．【解析】(1)设公差为d (d ≠0)，由已知得：(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )，∴d ＝3a 1，又∵a 3＝7，∴a 1＋2d ＝7，解得：a 1＝1，d ＝3，∴a n ＝3n －2.6分(2)b n ＝1a n a n ＋1＝1（3n －2）（3n ＋1）＝13⎝⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1，S n ＝n3n ＋1.12分20．【解析】(1)∵P A ＝AD ＝2，F 为PD 中点，∴AF ⊥PD ，∵P A ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD .∴P A ⊥CD .∵AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD .∵AF 平面P AD ，∴AF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴AF ⊥平面PCD .6分(2)取PC 的中点G ，连接EG 、GF ，则GF ∥CD ，GF ＝12CD ，又∵EA ∥CD ，EA ＝12CD ，∴AE ∥GF ，AE ＝GF ，∴四边形AEGF 为平行四边形，∴EG ∥AF ，由(1)AF ⊥平面PDC ，∴GE ⊥平面PCD ，EG 为三棱锥E －PFC 的高， 又GF ＝AF ＝EG ＝2，PF ＝12PD ＝2，∴S △PCF ＝12PF ·CD ＝2，得三棱锥P －EFC 的体积V ＝13S △PCF ·EG ＝223.12分21．【解析】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∵点P (1，2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，3分准线方程是x ＝－1.6分(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)．∴y 1＋y 2＝－4.9分由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x1≠x 2).12分22．【解析】(1)a ＝1时，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝ln x ＋1，x ∈(0，＋∞)， 切线斜率k ＝f ′(1)＝1，切点为(1，0)，切线方程为y ＝x －1.4分(2)f ′(x )＝ln x ＋1a ，令f ′(x )＝0 x ＝1e .①当a ≥1e 时，f ′(x )>0，f (x )在[a ，2a ]上单调递增，∴f (x )min ＝f (a )＝ln a ；②当a <1e <2a ，即12e <a <1e 时，f (x )在⎣⎡⎦⎤a ，1e 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1e ，2a 上单调递增，∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1a e ；③当2a ≤1e ，即0<a ≤12e 时，f ′(x )<0，f (x )在[a ，2a ]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2a )＝2ln(2a ).8分(3)要证的不等式两边同乘以x ，则等价于证明x ln x >xe x －2e (x ∈(0，＋∞))．令g (x )＝x ln x ，则由(1)知g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e .令φ(x )＝xe x －2e (x ∈(0，＋∞))，则φ′(x )＝1－xe x ，当0<x <1时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增； 当x >1时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减；∴φ(x )max ＝φ(1)＝－1e ，所以g (x )min ＝φ(x )max ，且最值不同时取到，即x ln x >x e x －2e ， ∴ x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x .12分。
湖南师范大学附属高二下学期期中考试文科数学试卷 有答案
湖南师范大学附属高二下学期期中考试数学（文）试卷(考试范围：除立体几何与统计概率，选修1－2,4－4外内容)时量：120分钟 满分：150分得分：一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U ＝{x ∈N |0＜x ≤8}，集合A ＝{1,2,4,5}，B ＝{3,5,7,8}，则图中阴影部分所表示的集合是A.{1,2,4}B.{3,7,8}C.{1,2,4,6}D.{3,6,7,8}2.已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是A.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B.f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D.f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 3.函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点所在的区间为 A.(4,5) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)4.在三角形ABC 中，A 、B 、C 的对应边分别是a 、b 、c ，若a cos C ＝c cos A ，且a 、b 、c 成等比，则三角形ABC 是A.等边三角形B.直角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形5.在等比数列{a n }中，已知a 3＝12，a 9＝8，则a 5a 6a 7的值为A.±8B.－8C. 8D.646.已知平面向量a ，b 满足|a|＝4，|b|＝3，向量a 与b 的夹角是60°，则|a ＋b |＝ A.13 B.15 C.19 D. 377.已知sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 2αcos 2α的值等于 A.32 B.34 C.－32 D. －348.函数y ＝ln cos x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2的图象是9.已知定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (2－x )成立，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0(其中f ′(x )为f (x )的导数).设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 三者的大小关系是A.a <b <cB.c <a <bC.c <b <aD.b <c <a10.x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数(如[－1.5]＝－2，[0]＝0，[2.3]＝2)，则关于函数f (x )＝x －[x ]，x ∈R 的说法不正确．．．的是 A.函数不具有奇偶性B.x ∈[1,2)时函数是增函数C.函数是周期函数D.若函数g(x)＝f(x)－kx 恰有两个零点，则k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫13，12选择题答题卡二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.11.计算sin 600°＝ .12.已知圆C 的圆心坐标为(0,1)，且与直线2x －y －4＝0相切，则圆C 的标准方程是 .13.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x )＝f (x ＋4)，f (1)＝2，则f (2 015)等于 . 14.下面是一个算法的程序框图，当输入的x 值为5时，则输出的结果是 .15.若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4，(－2<x <14)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB ＋OC )·OA ＝ .(其中O 为坐标原点)三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知函数f (x )＝log 2(－4x ＋5·2x ＋1－16). (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[2，log 27]上的值域.17.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7π6－2x －2sin 2x ＋1(x ∈R ). (1)求函数f ()x 的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB ·AC ＝9，求a 的值.已知数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，且－a 2，S n,2a n ＋1成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n(a n －1)(a n ＋1－1)，求证：数列{b n }的前n 项和T n ∈⎣⎡⎭⎫23，1.19.(本小题满分13分)甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过60千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本与速度v (千米/小时)的平方成正比，已知速度为50千米/小时时每小时可变成本是100元；每小时固定成本为a 元.(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/小时)的函数并标明定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？已知两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，动点M 满足直线MA 1与MA 2的斜率之积是定值m4(m∈R ，m ≠0).(1)求动点M 的轨迹方程，并指出随m 变化时方程所表示的曲线的形状；(2)若m ＝－3，已知点A (1，t )(t >0)是轨迹M 上的定点，E ，F 是动点M 的轨迹上的两个动点且E ，F ，A 不共线，如果直线AE 的斜率k AE 与直线AF 的斜率k AF 满足k AE ＋k AF ＝0，试探究直线EF 的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.21.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1). (1)求证：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝f (x )－t 有零点，求t 的最小值；(3)若x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围.高二第二学期期中考试试题数学(文科)参考答案一、选择题1.B 【解析】图中阴影部分所表示的集合是(C U A )∩B ＝{3,7,8}，故选B.2.C 【解析】因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故选C.3.D 【解析】∵f (1)＝ln 1＋1>0，f (2)＝ln 2>0，f (3)＝ln 3－1>0，f (4)＝ln 4－2<0，f (5)<0，选D.4.A 【解析】∵sin A cos C ＝sin C cos A A －C )＝A ＝C a ＝c ，由b 2＝ac ，故a ＝b ＝c ，选A.5.A 【解析】因{a n }为等比数列，则a 26＝a 5·a 7＝a 3·a 9＝4，所以a 6＝±2，a 5·a 6·a 7＝±8，故选A.6.D 【解析】由已知|a|＝4，|b|＝3，a·b ＝|a|·|b |cos θ＝4×3×12＝6.(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝16＋12＋9＝37，||a ＋b ＝37.7.C 【解析】因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝－45，tan α＝－34.所以sin 2αcos 2α＝2tan α＝－32，故选C.8.A 【解析】函数是偶函数排除B 、D ，而ln cos π3＝－ln 2<0，选A.9.B 【解析】由f (x )＝f (2－x )可得，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f (3)＝f (－1).又当x ∈()－∞，1时，(x －1)f ′(x )<0，即f ′(x )>0，则f (x )在()－∞，1上单调递增.所以f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12.即c <a <b ，故选B.10.D 【解析】画出函数f (x )＝x －[x ]的图像如图，据图可知选D. 二、填空题 11.－32 【解析】sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 12.x 2＋(y －1)2＝5 【解析】因为直线2x －y －4＝0与圆C 相切，所以圆C 的半径r ＝|－1－4|5＝ 5. 故圆C 的标准方程是x 2＋(y －1)2＝5. 13.－2 【解析】f (2 015)＝f (4×503＋3)＝f (3)＝－f (－3) ＝－f (－3＋4)＝－f (1)＝－2.14.2 【解析】第一次x ＝5－3＝2，第二次x ＝2－3＝－1，满足x ≤0，计算y ＝0.5－1＝2.15.72 【解析】f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4的周期是16，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4(－2<x <14)的图像仅与x 轴交于点A (6,0)且关于点A 对称，故A 是线段BC 的中点，则(OB ＋OC )·OA ＝2OA2＝72.三、解答题16.【解析】(1)－4x ＋5·2x ＋1－x －2)(2x －xx <3. 即函数f (x )的定义域是(1,3)；6分(2)当x ∈[2，log 27]时2x ∈[4,7]，－4x ＋5·2x ＋1－16＝9－(2x －5)2∈[5,9]， 此时 f (x )的值域是[log 25,2log 23].12分17.【解析】f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7π6－2x －2sin 2x ＋1 ＝－12cos 2x ＋32sin 2x ＋cos 2x＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π63分 (1)最小正周期：T ＝2π2＝π，4分由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )可解得：k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为：⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )；6分 (2)由f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12可得：2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z ) 所以A ＝π3，8分又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，9分 而AB ·AC ＝bc cos A ＝12bc ＝9，∴bc ＝1810分∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝4a 2－54，∴a ＝3 2.12分18.【解析】(1)∵2S n ＝－a 2＋2a n ＋1，∴当n ≥2时，2S n －1＝－a 2＋2a n 2分 两式相减得2a n ＝2a n ＋1－2a n ，故a n ＋1＝2a n (n ≥2)，所以a n ＋1a n ＝2.4分又当n ＝1时，2a 1＝－a 2＋2a 2，得a 2＝2a 1，所以n ＝1时也满足a n ＋1a n ＝2∴{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n .6分 (2)∵b n ＝2n (2n －1)·(2n ＋1－1)＝12n －1－12n ＋1－1，8分 ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫121－1－122－1＋⎝⎛⎭⎫122－1－123－1＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1，10分∵2n ＋1≥4，∴T n ≥1－13＝23，又12n ＋1－1>0，∴T n <1，∴23≤T n ＜1.12分19.【解析】(1)由已知有可变成本＝v 225，全程所用的时间为sv ，3分全程运输成本为y ＝a ·s v ＋125v 2·sv ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25， 所求函数及其定义域为y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25，v ∈(0,60].6分(2)y ′＝s ⎝⎛⎭⎫125－a v 2＝v 2－25a 25v 2s ＝(v ＋5a )(v －5a )25v 2s ，v ∈(0,60]8分由题意：s ，a ，v 均为正数，当5a <60即a <144时， y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25在(0,5a ]上单减 ，在[5a ，60]上单增 所以此时当v ＝5a 时，全程运输成本y 最小.11分(或用均值不等式：当5a <60即a <144时，y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25≥2s a 25，当且仅当a v ＝v25，即v ＝5a 时等号成立)当5a ≥60即a ≥144时，当v ∈(0,60]时，y ′<0， y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25在(0,60]上单减 ， ∴此时当v ＝60时，全程运输成本y 取最小值综上，当a <144时，行驶速度v ＝5a 千米/小时时全程成本最小； 当a ≥144时，行驶速度v ＝60千米/小时时全程成本最小.13分 20.【解析】(1)设动点M (x ，y )，依题意有：y x －2·y x ＋2＝m4(m ≠0)整理得x 24－y 2m ＝1 (x ≠±2)，即为动点M 的轨迹方程，3分m >0时轨迹是焦点在x 轴上的双曲线；m ∈(－4,0)时，轨迹是焦点在x 轴上的椭圆； m ＝－4时，轨迹是圆；m ∈(－∞，－4)时，轨迹是焦点在y 轴上的椭圆. 且点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在曲线上.6分(2)m ＝－3时，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)∵点A (1，t )(t >0)在轨迹M 上，∴14＋t 23＝1解得t ＝32，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，327分 设k AE ＝k (k ≠0)，则直线AE 方程为：y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1并整理得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝⎛⎭⎫32－k 2－12＝0设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，∵点A ⎝⎛⎭⎫1，32在动点M 的轨迹上， ∴x E ＝4⎝⎛⎭⎫32－k 2－123＋4k 2 ③，y E ＝kx E ＋32－k ④9分又k AE ＋k AF ＝0得k AF ＝－k ，将③、④式中的k 代换成－k ，可得 x F ＝4⎝⎛⎭⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k 10分 ∴直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x F ＋x E )＋2kx F －x E∵x E ＋x F ＝8k 2－64k 2＋3，x F －x E ＝24k4k 2＋3∴k EF ＝－k ·8k 2－64k 2＋3＋2k24k 4k 2＋3＝－k (8k 2－6)＋2k (4k 2＋3)24k ＝12即直线EF 的斜率为定值，其值为12.13分21.【解析】(1)f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a 1分由于0<a <1或a >1，故当x ∈(0，＋∞)时，ln a 与a x －1同号，所以 f ′(x )>0，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.3分 (2)当a >0，a ≠1时，易知f ′(0)＝0，设g (x )＝2x ＋(a x －1)ln a g ′(x )＝2＋a x (ln a )2>0 则f ′(x )在R 上单调递增， 故f′(x)＝0有唯一解x ＝05分且x ，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：故f min (x)＝f(0)＝1，即使函数y ＝f(x)－t 有零点的t 的最小值是1.7分 (3)因为1，x 2∈[－1,1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，所以当x ∈[－1,1]时，|(f(x))max －(f(x))min |＝(f(x))max －(f(x))min ≥e －18分 由(2)知，f(x)在[－1,0]上递减，在[0,1]上递增，所以当x ∈[－1,1]时，(f(x))min ＝f(0)＝1，(f(x))max ＝max {}f(－1)，f(1)， 而f(1)－f(－1)＝(a ＋1－ln a)－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1a －2ln a ， 记g(t)＝t －1t－2ln t(t>0)，因为g′(t)＝1＋1t 2－2t ＝⎝⎛⎭⎫1t－12≥0(当t ＝1时取等号)，所以g(t)＝t －1t －2ln t 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0，所以当t>1时，g(t)>0；当0<t<1时，g(t)<0，11分也就是当a>1时，f(1)>f(－1)；当0<a<1时，f(1)<f(－1) ①当a>1时，由f(1)－f(0)≥e －－ln a ≥e －≥e ， ②当0<a<1时，由f(－1)－f(0)≥e －1a＋ln a ≥e －≤1e， 综上知，所求a 的取值范围为a ∈⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[)e ，＋∞.13分。
湖南师大附中2019-2020学年高二下学期(在线)期中考试数学(文)试题Word版含答案
湖南师大附中2019-2020学年高二下学期（在线）期中考试数学（文）试题时量：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{}－1，0，1，2，3，4，A ＝{}－1，0，2，4，则∁U A ＝ A ．∅ B ．{0，2，4} C ．{1，3} D ．{－1，1，3}2．函数f(x)＝x －1x －2的定义域为A ．[1，2)∪(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，2)D ．[1，＋∞)3．设f ()x ＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x ∈()1，2内近似解的过程中得f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根落在区间A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定4．如果直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于A ．－2B ．－13C ．－23D ．25．如图的程序运行后输出的结果为x ＝5y ＝－20IF x <0 THEN x ＝y －3 ELSEy ＝y ＋3 END IFPRINT x －y ENDA ．－17B ．22C ．25D ．286．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．平行或重合7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，cos B ＝45，则cos (A ＋B)的值为A ．－1665B ．－5665C .1665或5665D .16658．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是A ．5，10，15，20，25，30B ．3，13，23，33，43，53C ．1，2，3，4，5，6D ．2，4，8，16，32，489．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2 m 的概率是 A .15 B .13 C .14D ．不确定 10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是 A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π答题卡11．已知m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝4，则mn 的最大值是__________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x （x >0），2x （x ≤0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19的值为__________．13．等差数列{}a n 中，a 3＝3，a 8＝33，则数列{}a n 的公差为__________．14．不等式sin x ≥12的解集是__________．15．如图，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P －ABCD＝163，则球O 的表面积是________________________________________________________________________．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分6分)已知函数f ()x ＝－x 2＋2x .(1)证明：f ()x 在[1，＋∞)上是减函数；(2)当x ∈[]－5，2时，求f ()x 的最大值和最小值．17．(本小题满分8分)在等比数列{a n }中，其前n 项和记为S n ，若a 6－a 4＝216，a 3－a 1＝8，S n ＝13，求公比q ，首项a 1及项数n .18．(本小题满分8分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)证明：D1A∥平面C1BD；(2)求异面直线D1A与BD所成的角．已知函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x －1，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．已知直线l：y＝x＋2，一个圆的圆心C在x轴上且该圆与y轴相切，该圆经过点A(－1，2)．(1)求圆C的方程；(2)求直线l被圆截得的弦长．第Ⅱ卷一、填空题：本大题共2小题，每小题6分，共12分．21．如图所示，图①是棱长为1的小正方体，图②，③是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别将第1层，第2层，…，第n 层的小正方体的个数记为S n ，解答下列问题：(1)按照要求填表：(2)S n ＝__________．22．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________________________________________________________________________．二、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围．24.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝e 2x＋mx ，其中m ≤0.(1)当m ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若不等式f (x )>0在定义域内恒成立，求实数m 的取值范围．25．(本小题满分13分)已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．湖南师大附中2019-2020学年高二下学期（在线）期中考试数学（文）试题参考答案第Ⅰ卷二、填空题 11．4 12.14 13．614.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z) 15．16π 【解析】正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，V P －ABCD ＝163，所以13·2R 2·R ＝163，解得R ＝2，则球O 的表面积是16π.三、解答题 16．【解析】(1)略；(3分)(2)f (x )max ＝1，f (x )min ＝－35.(6分)17．【解析】设公比为q ，则q ≠1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5－a 1q 3＝216，a 1q 2－a 1＝8，a 1（1－q n）1－q ＝13，(5分)解得：⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，a 1＝1，n ＝3.(8分)18．【解析】(1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵AB ∥D 1C 1，AB ＝D 1C 1，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形， ∴AD 1∥BC 1，∵AD 1⊄平面C 1BD ，BC 1⊂平面C 1BD ， ∴D 1A ∥平面C 1BD .(4分) (2)由(1)知，AD 1∥BC 1，∴异面直线D 1A 与BD 所成的角即为∠C 1BD ， 由题可知，△C 1BD 为等边三角形， ∴∠C 1BD ＝60°，即异面直线D 1A 与BD 所成的角为60°.(8分)19．【解析】(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(4分) (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.(8分)20．【解析】(1)∵圆心C 在x 轴上且该圆与y 轴相切， ∴设圆心C (a ，0)，半径r ＝|a |，a ≠0，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2，将点A (－1，2)代入得(－1－a )2＋22＝a 2， ∴a ＝－52，∴所求圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522＋y 2＝254.(5分)(2)方法一：联立方程y ＝x ＋2与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522＋y 2＝254得交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，Q (－4，－2)．∴直线l 被圆截得的弦长|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋22＝722.(10分) 方法二：∵圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0到直线l ：y ＝x ＋2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52－0＋22＝24， ∴直线l 被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝2254－216＝722.(10分) 第Ⅱ卷一、填空题 21．(1)10 (2)n ()n ＋12【解析】(1)图①有1层，第1层正方体的个数为S 1＝1； 图②有2层，第2层正方体的个数为S 2＝1＋2； 图③有3层，第3层正方体的个数为S 3＝1＋2＋3；依次类推，第4个图有4层，第4层正方体的个数为S 4＝1＋2＋3＋4＝10.(2)由(1)猜想：第n 个图有n 层，第n 层正方体的个数为S n ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋n ＝n ()n ＋12.22．10 【解析】由f (x )＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1＝－2cos πx .函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1和y ＝－2cos πx 的图象都关于直线x ＝1对称，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1和y ＝－2cos πx 的图象，如图所示．由图象可知在[－4，6]上共有5对关于x ＝1对称的交点，不妨设关于x ＝1对称的其中一对交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝1，即x 1＋x 2＝2，∴所有10个交点横坐标之和为5(x 1＋x 2)＝5×2＝10，即所有零点之和为10.二、解答题23．【解析】(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0 ①(1分)当x ＜－1时，①式可化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式可化为x 2－x －2≤0， 解得－1≤x ≤2，∴－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式可化为x 2＋x －4≤0，解得－1－172≤x ≤－1＋172，∴1<x ≤－1＋172.(4分)综上所述，不等式f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1≤x ≤－1＋172.(6分) (2)当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，∴不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2恒成立．(8分) 又f (x )在[－1，1]上的最小值必为f (－1)或f (1)，∴只需f (－1)≥2且f (1)≥2，解得－1≤a ≤1，即a 的取值范围为[－1，1]．(12分)24．【解析】(1)当m ＝－1时，f (x )＝e 2x－x ，∴f ′(x )＝2e 2x－1，则f ′(0)＝1.(2分)又f (0)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋1.(4分)(2)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且f ′(x )＝2e 2x＋m (m ≤0)．(6分)①当m ＝0时，f (x )＝e 2x>0恒成立，满足条件；(7分)②当m <0时，由f ′(x )>0，得x >12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，＋∞上单调递增；同理函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2上单调递减．(9分)因此f (x )在x ＝12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2处取得最小值m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2－1.(10分)∴m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2－1>0，解得－2e<m <0.(12分)综上所述，当m ∈(－2e ，0]时，不等式f (x )>0在定义域(－∞，＋∞)内恒成立．(13分)25．【解析】(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(3分)(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.(5分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1.(7分) 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.(8分)所以|MN |＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2 ＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16＝82k 2＋1|4k －3|，(10分) 令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34， 当t >0时，|MN |＝2225t 2＋6t ＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是852.(13分)。
湖南省师大附中高二数学下学期期中试卷 文(含解析)
2015-2016学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，5}，则A∩（∁U B）等于（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}2．下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（）A．圆柱B．圆锥C．球D．三棱锥3．函数的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）4．化简：（sinα+cosα）2=（）A．1+sin2αB．1﹣sinαC．1﹣sin2αD．1+sinα5．向量=（1，﹣2），=（2，1），则（）A．∥B．⊥C．与的夹角为60°D．与的夹角为30°6．等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A．15B．30C．31D．647．下列坐标对应的点中，落在不等式x+y﹣1＜0表示的平面区域内的是（）A．（0，0）B．（2，4）C．（﹣1，4）D．（1，8）8．在△ABC中，已知A=120°，b=1，c=2，则a=（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）9．比较大小：log25 log23；（填“＞”或“＜”）10．某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师人．11．某程序框图如图所示，若输入的a，b，c的值分别是3，4，5，则输出的y值为．12．a＞1，则的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13．已知sinα=，0＜α＜，求cosα和sin（α+）的值．14．已知在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3．（1）求a n；（2）令b n=2an，判断数列{b n}是等差数列还是等比数列，并说明理由．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．（1）求证：AC⊥平面B1BDD1；（2）求三棱锥B﹣ACB1体积．16．已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．17．已知函数f（x）=log2（x+1）．（1）将函数f（x）的图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数g（x）的图象，写出函数g（x）的表达式；（2）若关于x的函数y=g2（x）﹣mg（x2）+3在[1，4]上的最小值为2，求m的值．一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）18．函数f（x）=的大致图象是（）A． B． C．D．19．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B． C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）20．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）21．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量=（4，a2+b2﹣c2），=（）满足∥，则∠C=．22．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+t∈D，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）23．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．24．设函数f（x）=ax2+bx+clnx，（其中a，b，c为实常数）（Ⅰ）当b=0，c=1时，讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）曲线y=f（x）（其中a＞0）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x﹣3，（ⅰ）若函数f（x）无极值点且f′（x）存在零点，求a，b，c的值；（ⅱ）若函数f（x）有两个极值点，证明f（x）的极小值小于﹣．2015-2016学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，5}，则A∩（∁U B）等于（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合B在全集中的补集，然后与集合A取交集．【解答】解：因为集合U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，所以C U B={1，3，4}，又A={1，3，5}，所以A∩（C U B）={1，3，5}∩{1，3，4}={1，3}．故选D．2．下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（）A．圆柱B．圆锥C．球D．三棱锥【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据空间几何体三视图的概念，对选项中的几何体三视图进行判断即可．【解答】解：球的正视图、侧视图和俯视图都是半径相等的圆面，都相同．故选：C．3．函数的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断函数值，利用零点定理推出结果即可．【解答】解：函数，可得：f（﹣1）=5＞0，f（0）=3＞0，f（1）=＞0，f（2）=＞0，f（3）=﹣0，由零点定理可知，函数的零点在（2，3）内．故选：D．4．化简：（sinα+cosα）2=（）A．1+sin2αB．1﹣sinαC．1﹣sin2αD．1+sinα【考点】二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用．【分析】把（sinα+cosα）2 展开，利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式可求得结果．【解答】解：∵（sinα+cosα）2 =1+2sinαcosα=1+sin2α，故选：A．5．向量=（1，﹣2），=（2，1），则（）A．∥B．⊥C．与的夹角为60°D．与的夹角为30°【考点】平面向量的坐标运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】运用数量积的坐标表示，求出两向量的数量积，再由夹角公式，判断两向量的位置关系．【解答】解：∵向量=（1，﹣2），=（2，1），∴=1×2+（﹣2）×1=0，∴夹角的余弦为0，∴⊥．故选B．6．等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A．15B．30C．31D．64【考点】等差数列的性质．【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值．【解答】解：设公差等于d，由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8．再由a4=1=a1+3d，可得 a1=﹣，d=．故 a12 =a1+11d=﹣+=15，故选：A．7．下列坐标对应的点中，落在不等式x+y﹣1＜0表示的平面区域内的是（）A．（0，0）B．（2，4）C．（﹣1，4）D．（1，8）【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】分别把A，B，C，D四个点的坐标代入不等式x+y﹣1＜0进行判断，即能够求出答案．【解答】解：把（0，0）代入不等式x+y﹣1＜0，得﹣1＜0，成立，∴点A在不等式x+y﹣1＜0表示的平面区域内；把（2，4）代入不等式x+y﹣1＜0，得5＜0，不成立，∴点B在不等式x+y﹣1＜0表示的平面区域内；把（﹣1，4）代入不等式x+y﹣1＜0，得2＜0，不成立，∴点C不在不等式x+y﹣1＜0表示的平面区域内；把（1，8）代入不等式x+y﹣1＜0，得8＜0，不成立，∴点D不在不等式x+y﹣1＜0表示的平面区域内．故选A．8．在△ABC中，已知A=120°，b=1，c=2，则a=（）A． B． C． D．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由A的度数求出cosA的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可求出a的值．【解答】解：由b=1，c=2，A=120°，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2cb•cosA=1+4+2=7，则c=．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）9．比较大小：log25 ＞log23；（填“＞”或“＜”）【考点】对数函数的图象与性质；对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性，判断即可．【解答】解：因为y=log2x，是单调增函数，所以log25＞log23．故答案为：＞．10．某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师100 人．【考点】分层抽样方法．【分析】根据教师的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，∴从高级教师和中级教师中抽取了20﹣10=10人，设全校共有老师x人，则全校人数为，即x=100，故答案为：10011．某程序框图如图所示，若输入的a，b，c的值分别是3，4，5，则输出的y值为 4 ．【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求a，b，c的平均数，代入计算可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c的平均数，∴输出y==4．故答案为：4．12．a＞1，则的最小值是 3 ．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据a＞1可将a﹣1看成一整体，然后利用均值不等式进行求解，求出最值，注意等号成立的条件即可．【解答】解：∵a＞1，∴a﹣1＞0=a﹣1++1≥2+1=3当a=2时取到等号，故答案为3三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13．已知sinα=，0＜α＜，求cosα和sin（α+）的值．【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可求得sin（α+）的值．【解答】解：因为：sinα=，0＜α＜，所以：cosα==， (3)所以：sin（α+）=sin==…14．已知在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3．（1）求a n；（2）令b n=2an，判断数列{b n}是等差数列还是等比数列，并说明理由．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用等比数列的通项公式及其定义即可判断出结论．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差是d，则，故a n=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．（2）由（1）可得，∴是一常数，故数列{b n}是等比数列．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．（1）求证：AC⊥平面B1BDD1；（2）求三棱锥B﹣ACB1体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）要证AC⊥平面B1BDD1，只需证明AC垂直平面B1BD1D上的两条相交直线DD1，BD；即可．（2）求三棱锥B﹣ACB1体积．转化为B1﹣ABC的体积，直接求解即可．【解答】（1）证明：∵DD1⊥面ABCD∴AC⊥DD1又∵BD⊥AC，且DD1，BD是平面B1BD1D上的两条相交直线∴AC⊥平面B1BDD1解：（2）=（其他解法酌情给分）16．已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据已知设出圆的标准方程，将点A，B的坐标代入标准方程，解方程组即可求出圆心及半径，从而得到圆C的方程．（Ⅱ）根据已知设出直线方程，利用直线与圆相切的性质d=r即可求出直线斜率k，从而求出直线方程．【解答】解：（Ⅰ）∵圆心在直线y=2x上，故可设圆心C（a，2a），半径为r．则圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2．∵圆C经过A（3，2）、B（1，6），∴．解得a=2，r=．∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆C的圆心为C（2，4），半径r=．直线l经过点P（﹣1，3），①若直线斜率不存在，则直线l：x=﹣1．圆心C（2，4）到直线l的距离为d=3＜r=，故直线与圆相交，不符合题意．②若直线斜率存在，设斜率为k，则直线l：y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+k+3=0．圆心C（2，4）到直线l的距离为d==．∵直线与圆相切，∴d=r，即=．∴（3k﹣1）2=5+5k2，解得k=2或k=．∴直线l的方程为2x﹣y+5=0或x+2y﹣5=0．17．已知函数f（x）=log2（x+1）．（1）将函数f（x）的图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数g（x）的图象，写出函数g（x）的表达式；（2）若关于x的函数y=g2（x）﹣mg（x2）+3在[1，4]上的最小值为2，求m的值．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象与图象变化．【分析】（1）根据函数图象平移关系进行求解即可．（2）利用换元法，转化为一元二次函数，利用一元二次函数单调性和最值之间的关系进行求解即可．【解答】解：（1）将函数f（x）的图象上的所有点向右平行移动1个单位，得到y=log2（x﹣1+1）=log2x．即g（x）=log2x（x＞0）；…（2），令t=log2x（t∈[0，2]）得y=t2﹣2mt+3=（t﹣m）2+3﹣m2…①若m＜0，则y=t2﹣2mt+3在t∈[0，2]上递增，∴当t=0时，y min=3≠2，无解；…②若0≤m≤2，则当t=m时，，解得m=1，﹣1（舍去），∴m=1…③若m＞2，则y=t2﹣2mt+3在t∈[0，2]上递减，∴当t=2时，y min=7﹣4m=2，解得，不符合条件，舍去；综上可得m=1…一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）18．函数f（x）=的大致图象是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象；幂函数图象及其与指数的关系．【分析】筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案．【解答】解：因为﹣＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，排除选项B、C；又f（x）的定义域为（0，+∞），故排除选项D，故选A．19．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B． C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】等比数列的前n项和．【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3a n+1+a n=0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选C20．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A． B． C． D．【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）21．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量=（4，a2+b2﹣c2），=（）满足∥，则∠C=．【考点】余弦定理；平行向量与共线向量．【分析】通过向量的平行的坐标运算，求出S的表达式，利用余弦定理以及三角形面积，求出C的正切值，得到C的值即可．【解答】解：由∥，得4S=（a2+b2﹣c2），则S=（a2+b2﹣c2）．由余弦定理得cosC=，所以S=又由三角形的面积公式得S=，所以，所以tanC=．又C∈（0，π），所以C=．故答案为：．22．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+t∈D，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是﹣1≤a≤1．【考点】函数单调性的性质．【分析】根据分段函数的意义，对f（x）的解析式分段讨论，可得其分段的解析式，结合其奇偶性，可得其函数的图象；进而根据题意中高调函数的定义，可得若f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）≥f（x），结合图象分析可得4≥4a2；解可得答案．【解答】解：根据题意，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，则当x≥a2时，f（x）=x﹣2a2，0≤x≤a2时，f（x）=﹣x，由奇函数对称性，有则当x≤﹣a2时，f（x）=x+2a2，﹣a2≤x≤0时，f（x）=﹣x，图象如图：易得其图象与x轴交点为M（﹣2a2，0），N（2a2，0）因此f（x）在[﹣a2，a2]是减函数，其余区间是增函数．f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）≥f（x），故当﹣2a2≤x≤0时，f（x）≥0，为保证f（x+4）≥f（x），必有f（x+4）≥0；即x+4≥2a2；有﹣2a2≤x≤0且x+4≥2a2可得4≥4a2；解可得：﹣1≤a≤1；故答案为﹣1≤a≤1．三、解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）23．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF=，AF=AD，从而GF=，cos∠BFG==，从而可求得答案．【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=，由AC=，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．在Rt△ACD中，由DC=2，AC=，得AD=；在Rt△AED中，由ED=1，AD=得AE=；在Rt△ABD中，由BD=，AB=2，AD=得BF=，AF=AD，从而GF=，在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=，BG=．在△BFG中，cos∠BFG==，所以，∠BFG=，二面角B﹣AD﹣E的大小为．24．设函数f（x）=ax2+bx+clnx，（其中a，b，c为实常数）（Ⅰ）当b=0，c=1时，讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）曲线y=f（x）（其中a＞0）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x﹣3，（ⅰ）若函数f（x）无极值点且f′（x）存在零点，求a，b，c的值；（ⅱ）若函数f（x）有两个极值点，证明f（x）的极小值小于﹣．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）分类讨论求解：当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，此时f（x）的单调递增区间是（0，+∞），无单调递减区间，当a＜0时，令f′（x）＞0，解得0；令f′（x）＜0时，（2）根据函数的切线的性质求解，列方程即可．（3）根据函数极值的判断，多次求导判断，根据单调性，切点极值点，来解决．【解答】解：（1当b=0，c=1时，f（x）=x2+lnx，定义域是（0，+∞），当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，此时f（x）的单调递增区间是（0，+∞），无单调递减区间，当a＜0时，令f′（x）＞0，解得0；令f′（x）＜0时，解得x，∴f（x）的单调的递增区间是（0，），单调递减区间（，+∞），综上当a≥0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞），无单调递减区间；当a＜0时，f（x）的单调的递增区间是（0，），单调递减区间（，+∞），（2）（i）曲线y=f（x）（其中a＞0）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x﹣3，f′（x）=2ax+b+，斜率k═f′（1）=2a+b+c=3，由点（1，f（1））在y=3x﹣3上，∴f（1）=3﹣3=0，∴f（1）=a+b+cln1=a+b=0，即b=﹣a，c=3﹣a，则f（x）=ax2﹣ax+（3﹣a）lnx，f′（x）=当F（x）无极值点且f′（x）存在零点时，则方程f′（x）==0，即关于的方程2ax2﹣ax+3﹣a=0有两个相等的实数根，（a＞0），∴△=a2﹣8a（3﹣a）=0，解得a=，b=﹣a=﹣，c=3﹣a=，即a=，b=﹣，c=，（ii）由f′（x）=（x＞0）要使函数f（x）有两个极值点，只要方程2ax2﹣ax+3﹣a=0有两个不相等的实数根，时两正根为x1，x2，x1＜x2，∴△=a2﹣8a（3﹣a）＞0，（a＞0），解得：a，∴x1=＞0，x2=，∴＜a＜3，∴0，＜x2＜，∴当＜x＜x2时，f′（x）＜0时，当x2＜x时，f′（x）＞0时，∴当x=x2时，有极小值f（x2），由2ax﹣ax2+3=0，得：a=，∴f（x2）=ax22﹣ax2+（3﹣a）lnx2=a（x﹣ax2﹣lnx2）+3lnx2=3lnx2﹣，＜x2＜，而f′（x）=，即g（x）=x2﹣x﹣lnx，（＜x≤1），有g′（x）=2x﹣1=对于x∈（，1]恒成立，又g（1）=0，故对x∈（，），恒有g（x）＞g（1），即g（x）＞0，∴f′（x）＞0，对于＜x2，恒成立．即f（x2）在（，）上单调递增∴f（x2）。
湖南师范大学附属中学高二下学期期末考试理数(答案)
湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期末考试数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D2．A 【解析】函数y ＝ln(1－x )的定义域为M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x 2－x <0}＝{x |0<x <1}，结合选项M ∩N ＝N 正确，选A.3．C 【解析】由均值不等式知p 为真命题；因为sin x 0＋cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4≤2，所以q 为假命题，则綈q 为真命题，所以p ∧(綈q )为真命题．故选C.4．A 【解析】由题意可得a 23＝a 1a 4，即(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解之可得a 1＝－8，故S 10＝－8×10＋10×（10－1）2×2＝10.故选A.5．C 【解析】由题意，因为函数f (x )＝e x ＋a e x (a ∈R )为奇函数，则f (0)＝e 0＋ae0＝0，解得a ＝－1，即f (x )＝e x －1e x ，则f ′(x )＝e x ＋1e x ，所以f ′(0)＝e 0＋1e0＝2，即k ＝2，且当x ＝0时，f (0)＝e 0－1e0＝0，即切点的坐标为(0，0)，所以切线的方程为y ＝2x ，故选C.6．B 【解析】如图，过E 作EF ∥BC ，由向量加法的平行四边形法则可知BE →＝BF →＋BC →＝－12AB →＋AD →，故选B.7．C 【解析】f (x )＝y 1－y 2＝－2x 3＋18x 2，f ′(x )＝－6x 2＋36x ＝0，x ＝6，故选C.8．A 【解析】如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|MN →|＝|MA →＋AB →＋BN →|＝⎪⎪⎪⎪－13AC 1→＋AB →＋12BB 1→＝⎪⎪⎪⎪23a －13b ＋16c . 又a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0， ∴|MN →|2＝⎝⎛⎭⎫23a －13b ＋16c 2，可得|MN →|＝216a .或者建立空间直角坐标系来求解．9．B 【解析】抛物线y 2＝4x ，其焦点坐标F (1，0)，准线为x ＝－1也就是直线l 1，故P 到直线l 1的距离就是P 到F 的距离．如图所示，设P 到直线l 2的距离为d ，则d ＋|PF |≥|1－0＋1|2＝2，当且仅当P ，E ，F 三点共线时等号成立，故选B.10．A 【解析】g (x )＝f (x )＋m ＋x 有两个零点， 等价于f (x )＋m ＋x ＝0有两个根， 即y ＝f (x )与y ＝－x －m 有两个交点， 画出y ＝f (x )与y ＝－x －m 的图象，如图，由图可知，当y ＝－x －m 在y 轴的截距不大于1时， 两函数图象有两个交点，即－m ≤1，m ≥－1，m 的取值范围是[－1，＋∞)，故选A. 11．C 【解析】因为M 是PF 1的中点，O 为F 1F 2的中点， 所以OM 为三角形F 1PF 2的中位线． 因为OM ⊥PF 1，所以PF 2⊥PF 1.又因为|PF 2|－|PF 1|＝2a ，2|PF 1|＝|PF 2|，|F 1F 2|＝2c ， 所以|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a .在△F 1PF 2中，PF 2⊥PF 1，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2. 代入得(2a )2＋(4a )2＝(2c )2，所以c 2a2＝5.即e ＝ 5.选C.12．A 【解析】根据题意，对任意的x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (x 1)－g (x 2)≤0， 即f (x 1)≤g (x 2)，f (x )max ≤g (x )min 恒成立，g ′(x )＝－3x 2＋2x ，在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2内先增后减，g (2)<g ⎝⎛⎭⎫12，故g (x )min ＝1. 则f (x )≤1，ax＋x ln x ≤1，解a ≤x －x 2ln x .令h (x )＝x －x 2ln x ，则h ′(x )＝1－2x ln x －x ，h ″(x )＝－2ln x －3.在区间⎣⎡⎦⎤12，2内，h ″(x )<0，h ′(x )递减，h ′(1)＝0，故x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，h ′(x )>0， x ∈[1，2]时，h ′(x )<0，h (x )min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h ⎝⎛⎭⎫12，h （2）＝h (2)＝2－4ln 2， ∴a ≤2－4ln 2，则实数a 的取值范围是(－∞，2－4ln 2]．故选A. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．x n ＋nx>n ＋114．2 【解析】作出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋3≤0x －1≤0y －1≥0表示的平面区域，得到如图的区域，其中A (－1，1)，设z ＝F (x ，y )＝－x ＋y ，将直线l ：z ＝－x ＋y 进行平移， 当l 经过点A 时，目标函数z 达到最小值， ∴z 最小值＝F (－1，1)＝1＋1＝2. 故答案为：2. 15.π4－2 【解析】由定积分的几何意义可知，⎠⎛011－x 2d x 是以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆的面积，等于π4.⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x)|π0＝－cos π＋cos 0＝2.∴⎠⎛011－x 2d x －⎠⎛0πsin x d x ＝π4－2.答案为：π4－2.16．－12<a<0 【解析】f(x)＝x ln x ＋ax 2(x ＞0)，f ′(x)＝ln x ＋1＋2ax.令g(x)＝ln x ＋1＋2ax ，函数f(x)＝ax 2＋x ln x 有两个极值点 g(x)＝0在(0，＋∞)上有两个实数根．g′(x)＝1x＋2a ＝1＋2ax x，当a ≥0时，g ′(x)＞0，函数g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，因此g(x)＝0在区间(0，＋∞)上不可能有两个实数根，应舍去．当a<0时，令g ′(x)＝0，解得x ＝－12a .令g′(x)＞0，解得0＜x ＜－12a，此时函数g(x)单调递增；令g′(x)＜0，解得x ＞－12a，此时函数g(x)单调递减．∴当x ＝－12a 时，函数g(x)取得极大值．要使g(x)＝0在区间(0，＋∞)上有两个实数根，则g ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＞0，解得－12<a<0.∴实数a 的取值范围是－12<a<0. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】(Ⅰ)∵b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，S ＝12bc sin A ，∴代入已知等式得：2bc cos A ＝433·12bc sin A ，得：tan A ＝3，∵A 是三角形内角，∴A ＝60°.6分(Ⅱ)∵B 为三角形内角，cos B ＝45，∴sin B ＝1－cos 2B ＝35，∴sin C ＝sin (B ＋A)＝sin (B ＋60°)＝12sin B ＋32cos B ＝3＋4310，∵a ＝53，sin A ＝32，sin C ＝3＋4310， ∴由正弦定理得：c ＝a sin Csin A＝3＋4 3.12分18．【解析】(Ⅰ)∵3a n ＝2S n ＋n ，∴a 1＝1，当n ≥2时，3a n －1＝2S n －1＋n －1，即a n ＝3a n －1＋1，∴a n ＋12＝3a n －1＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n －1＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列.6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，a n ＋12＝32·3n －1，∴a n ＝12×3n －12，∴S n ＝3a n －n 2＝34·3n －14()2n ＋3，8分∴T n ＝S 1＋S 2＋...＋S n ＝34()3＋32＋ (3)－14×()5＋2n ＋3n 2＝98()3n －1－n ()n ＋44.12分19．【解析】(Ⅰ)如图，作SO ⊥AD ，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ，∴SO ⊥AB. 又AB ⊥AD ，SO ∩AD ＝O ，∴AB ⊥平面SAD.又∵AB 平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面SAD.5分 (Ⅱ)连结BO ，CO ，∵SB ＝SC ，∴Rt △SOB ≌Rt △SOC ，BO ＝CO ，又四边形ABCD 为长方形，∴Rt △AOB ≌Rt △DOC ，∴OA ＝OD. 取BC 中点E ，得OE ∥AB ，连结SE ，∴SE ＝3，其中OE ＝1，OA ＝OD ＝1，OS ＝3－12＝ 2.由以上证明可知OS ，OE ，AD 互相垂直，不妨以OA ，OE ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∴DC →＝(0，1，0)，SC →＝(－1，1，－2)，BC →＝(－2，0，0)， 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面SCD 的法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝0，m ·SC →＝0，即⎩⎨⎧y 1＝0，－x 1＋y 1－2z 1＝0，令z 1＝1得m ＝(－2，0，1)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面SBC 的法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·SC →＝0.即⎩⎨⎧－2x 2＝0，－x 2＋y 2－2z 2＝0，令z 2＝1得n ＝(0，2，1)．则|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝13×3＝13.12分20．【解析】(Ⅰ)圆M: x 2＋y 2＋22y －10＝0的圆心为M ()0，－2，半径为23，点N()0，2在圆M 内， ||PM ＋||PN ＝23>||MN ，所以曲线E 是以M, N 为焦点，长轴长为23的椭圆，由a ＝3， c ＝2，得b 2＝3－2＝1，所以曲线E 的方程为x 2＋y 23＝1.4分(Ⅱ)①设B ()x 1，y 1， C ()x 2，y 2，直线BC: x ＝ty ＋m ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，x 2＋y 23＝1， 得()1＋3t 2y 2＋6mty ＋3m 2－3＝0，Δ＝36t 2－12m 2＋12，y 1＋y 2＝－6mt1＋3t 2， y 1y 2＝3m 2－31＋3t 2，由k 1k 2＝9知y 1y 2＝9()x 1－1()x 2－1＝9()ty 1＋m －1()ty 2＋m －1＝9t 2y 1y 2＋9()m －1t ()y 1＋y 2＋9()m －12，且m ≠1，代入化简得()9t 2－1()m ＋1－18mt 2＋3()m －1()1＋3t 2＝0，解得m ＝2.8分 ②由Δ＝36t 2－12m 2＋12＝36(t 2－1)>0，解得t 2>1，S △ABC ＝12||y 2－y 1＝3t 2－11＋3t 2＝3t 2－14＋3()t 2－12＝34t 2－1＋3t 2－1≤34(当且仅当t 2＝73时取等号)．综上，△ABC 面积的最大值为34.12分21．【解析】(Ⅰ)由已知x >0，f ′(x )＝2x ＋a ＋1x ＝2x 2＋ax ＋1x，①当a ≥－22时，f ′(x )≥0，则函数f (x )在(0，＋∞)单调递增. 2分 ②当a <－22时，Δ＝a 2－8>0时，2x 2＋ax ＋1＝0有两个正根，记x 1＝－a －a 2－84，x 2＝－a ＋a 2－84，当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )>0，f (x )递增，当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，f (x )递减，当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )递增．综上，当a ≥－22时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <－22时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a －a 2－84，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－84，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－84，－a ＋a 2－84上单调递减.5分 (Ⅱ)函数g (x )＝e x －1＋x 2＋a －f (x )＝e x －1－ln x －ax ＋a ，则g ′(x )＝e x －1－1x －a ＝h (x )，则h ′(x )＝e x －1＋1x2>0，所以g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，当x →0时，g ′(x )→－∞；x →＋∞时，g ′(x )→＋∞；所以g ′(x )∈R ， 所以g ′(x )在(0，＋∞)上有唯一零点x 0， 所以g (x 0)为g (x )的最小值．由已知函数g (x )有且只有一个零点m ，则m ＝x 0.所以g ′(m )＝0，g (m )＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧e m －1－1m －a ＝0，e m －1－ln m －am ＋a ＝0，则e m －1－ln m －⎝⎛⎭⎫e m －1－1m m ＋⎝⎛⎭⎫e m －1－1m ＝0，得(2－m )e m －1－ln m ＋m －1m＝0， 令p (x )＝(2－x )e x －1－ln x ＋x －1x (x >0)，所以p (m )＝0，则p ′(x )＝(1－x )⎝⎛⎭⎫e x －1＋1x 2，所以x ∈(0，1)时，p ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)时，p ′(x )<0，所以p (x )在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，因为p (1)＝1>0，p (e)＝(2－e)e e －1－1＋e －1e ＝(2－e)e e －1－1e<0，所以p (x )在(1，e)上有一个零点，在(e ，＋∞)无零点，所以m <e.12分22．【解析】(Ⅰ)∵圆C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，∴消去参数α得普通方程为：x 2＋(y －1)2＝1. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴(ρcos θ)2＋(ρsin θ－1)2＝1，化简得圆C 的极坐标方程为：ρ＝2sin θ.4分(Ⅱ)∵射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为P .∴把θ＝π6代入圆的极坐标方程可得：ρP ＝2sin π6＝1.又射线OM ：θ＝π6与直线l 的交点为Q ，∴把θ＝π6代入直线l 的极坐标方程可得：ρsin ⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝2.ρQ ＝2.∴线段PQ 的长|PQ |＝|ρP －ρQ |＝1.10分23．【解析】(Ⅰ)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－2x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1，2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x ≤2.∴－1≤x ≤1，∴不等式解集为[－1，1].4分 (Ⅱ) ∵|x －1|＋|x ＋1|≥|(x －1)－(x ＋1)|＝2， ∴m ＝2，6分 又1a ＋4b ＝2，a >0，b >0，∴12a ＋2b＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ＝52＋2a b ＋b 2a ≥52＋2＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋4b ＝2，b ＝2a ，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3时取等号，所以(a ＋b )min ＝92.10分(这是边文，请据需要手工删加)。
湖南省湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题(精品解析)
湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试文科数学试题一、选择题(本大题共11个小题，每小题5分，共55分)1.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用二倍角的余弦公式求解即可.详解：,故选C.点睛：本题主要考查二倍角的余弦公式，属于简单题.2.已知数列1，，，，…，，…，则是它的( )[A. 第22项B. 第23项C. 第24项D. 第28项【答案】B【解析】试题分析：由题意可知数列的通项公式，∴令=，可得．考点：数列的通项公式．3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝c＝2a，则cos B＝A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】将三角形的三边都用表示，然后根据余弦定理求解即可．【详解】在△ABC中，由余弦定理得．故选B．【点睛】本题考查余弦定理的应用，解题的关键是把三边进行统一表示，属于简单题．4.在△中，角所对的边分别为,若，则△为A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，所以是钝角，选A.5.已知点在函数的图象上，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，利用基本不等式计算出的最小值为.【详解】故选.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属中档题.6.《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设此等差数列为{a n}，公差d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，可得4a1+6d=3，3a1+21d=4，联立解出即可得出a1与d的值，由等差数列的通项公式计算可得答案．详解：根据题意，设该竹子自上而下各节的容积为等差数列{a n}，设其公差为d，且d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，则4a1+6d=3，3a1+21d=4，解可得a1=，d=，则第6节的容积a6=a1+5d=故答案为：A点睛：本题主要考查等差数列的通项，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力. 7.设为等比数列{}的前n 项和,,则＝A. 10B. 9C. -8D. -5 【答案】A 【解析】由,得,故.故选A 8.数列满足，则数列的前20项的和=( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】由，得，，的前项的和为，故选A.9.若实数满足约束条件，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使最大，则直线在轴上的截距最大，结合可行域可知当直线过点时z 最大，求出的坐标，代入得答案．详解：由满足约束条件作出可行域如图，由，得．要使z最大，则直线的截距最大，由图可知，当直线过点时截距最大．联立，解得），∴的最大值为．故选：B．点睛：本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．10.已知，则取最大值时的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由，利用基本不等式可得结果.详解：∵，∴，当且仅当时取等号．∴取最大值时的值为．故选．点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.11.已知等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若对所有的n(n∈N*)，都有S n≥S10，则A. a n≥0B. a9·a10<0C. S2<S17D. S19≤0【答案】D【解析】【分析】由题意得到等差数列前n项和的最小值为，进而得到，然后再根据等差数列项的下标和的性质以及求和公式，对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】由对所有的n(n∈N*)，都有，得等差数列{a n}的前n项和S n的最小值为，所以a10≤0，a11≥0.对于A，由以上结论可得显然不成立，所以A错误；对于B，由以上结论可得，所以B错误；对于C，由于，所以，因此C错误；对于D，由以上结论可得，故，所以D正确．故选D.【点睛】本题考查等差数列中的基本运算和分析判断的能力．解题的关键是由题意得到数列项的正负的结论，另外还要注意等差数列中“下标和”性质的应用，属于基础题．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.在等比数列{a n}中，a4·a6＝2 018，则a3·a7＝________ .【答案】2018【解析】【分析】根据等比数列中项的下标和的性质求解即可．【详解】∵数列{a n}为等比数列，∴．故答案为：2018.【点睛】本题考查等比数列的项的下标和的性质，即在等比数列中，若，且，则，运用此性质可简化计算，提高解题的效率．13.在△ABC中，a＝，b＝1，∠A＝，则cos B＝________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求出sin B，再根据平方关系求出cos B即可．【详解】在△ABC中，由正弦定理得，∴．又，∴B为锐角，∴．故答案为：．【点睛】本题考查正弦定理和同角三角函数关系式的运用，解题时根据要求逐步求解后可得结论，属于基础题．14.对于实数a、b、c，有下列命题：①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0.其中正确的是________．(填写序号)【答案】②③④⑤【解析】【分析】根据不等式的有关知识对给出的每个命题分别进行判断，进而可得正确的命题．【详解】对于①，当c＝0时，由a>b，可得ac＝bc，故①为假命题；对于②，由ac2>bc2，得c≠0，故c2>0，所以可得a>b，故②为真命题；对于③，若，则，且，所以，故③为真命题；对于④，若，则，则，则，故④为真命题；对于⑤，若a>b，，则，故a·b<0，所以，故⑤为真命题．综上可得②③④⑤为真命题．故答案为：②③④⑤.【点睛】本题考查不等式的性质及其应用，解题的关键是熟练、正确地运用有关性质进行解题，要特别注意在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向要改变等，这是容易出现错误的地方，属于基础题．三、解答题(本大题共3小题，共30分)15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求的角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长. 试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定理解三角形.16.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3 000元、2 000元. 甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在A、B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 h，2 h，加工一件乙产品所需工时分别为2 h，1 h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400 h和500 h，分别用x，y表示计划每月生产甲、乙产品的件数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问每月分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使月收入最大？并求出最大收入．【答案】（1）见解析（2）安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元．【解析】试题分析：（1）设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，列出约束条件和目标函数，画出可行域。
湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期期末数学答案
湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题参考答案1．D 【思路点拨】由题意结合复数的除法运算即可得解. 【解析】由题意()()()()3134221112i i i ii i i i +-+-===-++-， 故选：D.【名师指导】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算法则、细心计算是解题关键，属于基础题.2．A 【思路点拨】根据真数大于零，求得集合M ；解不等式求得N ，结合选项选择. 【解析】函数()ln 1y x =-的定义域为{}1M x x =<，{}{}2001N x x x x x =-<=<<，结合选项M N N ⋂=正确. 故选：A.【名师指导】本题考查集合的运算，涉及对数函数定义域、不等式的求解，属综合基础题. 3．C 【解析】依题意可知，命题为真，命题为假，故选C.4．A 【思路点拨】由题意可得(a 1+4)2＝a 1(a 1+6)，解之可得a 1，代入等差数列的求和公式可得．【解析】由题意可得a 32＝a 1a 4， 即(a 1+4)2＝a 1(a 1+6)， 解之可得a 1=-8， 故()1010101810210.2S ⨯-=-⨯+⨯=故选A ．【名师指导】本题考查等差数列的求和公式，涉及等比中项的应用，属中档题．5．C 【思路点拨】由函数()f x 为奇函数，解得1a =-，得到1()xx f x e e=-，求得(0)f '，得到切线的斜率，进而可求解切线的方程. 【解析】由题意，因为函数()()xxa f x e a R e=+∈为奇函数，则()0000a f e e =+=，解得1a =-， 即1()xx f x e e =-，则1()x x f x e e +'=，所以01(0)2f e e'=+=，即2k =， 且当0x =时，01(0)0f e e =-=，即切点的坐标为(0,0)， 所以切线的方程为2y x =，故选C.【名师指导】本题主要考查了利用导数求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义求解切线的斜率，再利用直线的点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．A 【思路点拨】过E 作//EF BC ，根据平面向量基本定理，即可得出结果.【解析】如图，过E 作//EF BC ，因为四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，所以12BF AB =-，AD B FE C ==， 所以12BE BF FE AB AD =+=-+.故选：A.【名师指导】本题主要考查用基底表示向量，属于基础题型.7．C 【思路点拨】构造利润的函数，求导，判断单调性，求得最大值处对应的自变量即可.【解析】设产品利润3212218y y y x x =-=-+对函数求导得：2636y x x '=-+ 令0y '=，解得0x =或6x =则该函数在()0,6单调递增，在()6,+∞单调递减. 函数在6x =时，取得极大值. 故当利润最大时候，应生产6千台. 故选：C .【名师指导】本题考查利用导数解决实际问题，属导数应用基础题.8．A 【思路点拨】建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用坐标关系求得线段的长度．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系则N(a ，a ，12a)，C 1（0，a ，a ），A （a ，0，0） 因为11AM MC 2=所以11AM AC 3=所以113DM DA AC =+()()1211,0,0,,,,3333a a a a a a a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭所以121,,336MN DN DM a a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以222121213366MN a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以选A【名师指导】本题考查了空间直角坐标系的简单应用，利用坐标求得线段长度，属于基础题． 9．B 【思路点拨】1l 是抛物线的准线，利用抛物线的定义可把P 到准线的距离转化为P 到焦点的距离，故可得P 到两条直线的距离之和的最小值就是焦点到直线2l 的距离. 【解析】抛物线24y x =，其焦点坐标()1,0F ，准线为1x =-也就是直线1l ，故P 到直线1l 的距离就是P 到F 的距离.如图所示，设P 到直线2l 的距离为d ，则10122d PF -++≥=，当且仅当,,P E F 三点共线时等号成立，故选B.【名师指导】抛物线上的动点满足到焦点的距离等于它到准线的距离，我们常常利用这个性质实现两类距离的转换.10．A 【思路点拨】()g x 存在两个零点，等价于 y x m =--与()f x 的图像有两个交点，数形结合求解.【解析】()g x 存在两个零点，等价于 y x m =--与()f x 的图像有两个交点 下面在同一直角坐标系中绘制两个函数的图像：由图可知，当直线在0x =处的函数值小于等于1，即可保证两个交点. 故：1m -≤，解得：[)1,m ∈-+∞ 故选：A.【名师指导】本题考查由函数零点的个数推导参数的范围，涉及指数函数与对数函数的图像. 11．C 【思路点拨】运用双曲线的定义和△PF 1F 2为直角三角形，则|PF 2|2+|PF 1|2 =|F 1F 2|2，由离心率公式，计算即可得到离心率的范围．【解析】因为M 是1PF 的中点，O 为12F F 的中点，所以OM 为三角形F 1PF 2的中位线. 因为1OM PF ⊥，所以21PF PF ⊥.又因为212PF PF a -=，122PF PF =，122F F c =， 所以122,4PF a PF a ==.在△F 1PF 2中，21PF PF ⊥，所以2221212PF PF F F +=，代入得()()()222242a a c +=，所以225c a=，即e =故选C.【名师指导】本题考查了平面几何知识在圆锥曲线中的基本应用，根据边长关系求得离心率，属于基础题.根据各个边长关系，判断出21PF PF ⊥，再根据勾股定理求出离心率. 12．A【解析】分析：由题意转化为()()max min f x g x ≤，求出()g x 的最小值，将其转化为关于a 的不等式进行求解详解：根据题意，对任意的12122x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，都有()()120f x g x -≤ 即()()12f x g x ≤()()max min f x g x ≤，恒成立()232g x x x '=-+，在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，内先增后减 ()122g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故()1min g x =则() 1f x ≤，1axlnx x+≤ 解得2a x x lnx ≤-令()2h x x x lnx =-，则()12h x xlnx x -'=-()23h x lnx ''=--在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内，()0h x ''<，()h x '递减，()10h '=，故()h x 递减 ()2242h ln =-242a ln ∴≤-，则实数a 的取值范围是(]242ln -∞-，故选A点睛：本题考查了不等式恒成立问题求解参数的范围问题，利用导数转化为两个函数的最值问题，求导后进一步转化为关于a 的不等式进行求解，当一阶导数不能判定符号时可以利用二阶导数来求解，本题的方法较为重要，需要掌握． 13．1nnx n x+>+【思路点拨】根据式子的顺序，以及数值的变化，找寻规律即可. 【解析】根据题意，归纳总结， 容易知，第n 个不等式为：1nnx n x+>+ 故答案为：1nnx n x+>+. 【名师指导】本题考查归纳总结能力，属基础题.14．2【思路点拨】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=﹣x+y 对应的直线进行平移，可得当x=﹣1，y=1时，目标函数z 取得最小值，从而得到本题答案．【解析】作出x ，y 满足约束条件2301010x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域，得到如图的区域，其中()1,1A -，设(),z F x y x y =-+═，将直线l ：z x y =-+进行平移， 当l 经过点A 时，目标函数z 达到最小值()z 1,1112F ∴=-=+=最小值．故答案为2．【名师指导】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z x y =-+的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 15．24π-【思路点拨】由定积分的几何意义求得21x -，直接求定积分得到0π⎰sinxdx ，则答案可求．【解析】求21x -﹣0π⎰sinxdx ．由定积分的几何意义可知，201x -⎰是以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆的面积，等于4π． 0π⎰sinxdx=()0|02cosx cos cos ππ-=-+=．∴21x -﹣0π⎰sinxdx=24π-．故答案为24π-．【名师指导】本题考查了定积分，考查了定积分的几何意义，是基础的计算题． 16．102a -<< 【解析】分析：2012f x xlnx ax x f x lnx ax =+'=++（）（＞），（）． 令12g x lnx ax =++（）， 由于函数函数()2ln f x ax x x =+有两个极值点点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．求出g x （）的导数，当0a ≥ 时，直接验证；当0a <时，利用导数研究函数g x （） 的单调性可得，要使g x （） 有两个不同解，只需要11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭解得即可．详解：2012f x xlnx ax x f x lnx ax =+'=++（）（＞），（）． 令12g x lnx ax =++（）， 由于函数函数()2ln f x ax x x =+有两个极值点点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．1122axgx a x x+'=+=（），当0a ≥ 时，0g x '（）＞ ，则函数g x （） 在区间∞（0，+）单调递增，因此0g x =（） 在区间∞（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去． 当0a < 时，令0gx '=（） ，解得12x a=- ， 令0gx '（）＞ ，解得102x a＜＜- ，此时函数g x （）单调递增；令0gx '（）＜ ，解得12x a＞- ，此时函数g x （）单调递减．∴当12x a=-时，函数g x （）取得极大值．要使0g x =（）在区间∞（0，+）上有两个实数根， 则11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得102a -<<． ∴实数a 的取值范围是（102a -<<. 点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．17．【思路点拨】()1已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出tan A 的值，即可确定出A 的度数；()2由cos B 的值求出sin B 的值，进而求出sin C 的值，由a ，sin A ，sin C 的值，利用正弦定理即可求出c 的值． 【解析】解：()22212cos b c a bc A +-=，1sin 2S bc A =，∴代入已知等式得：12cos sin 2bc A bc A =，整理得：tan A =A 是三角形内角，60A ∴=︒；()2B 为三角形内角，4cos 5B =，3sin 5B ∴==，()()1sin sin 60sin 2C B A sin B B B ∴=+=+︒==53a =sin A =，sin C =，∴由正弦定理得：sin 3sin a CC A==+． 【名师指导】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．【思路点拨】（1）2n ≥时，由32n n a S n =+,得11321n n a S n --=+-，然后利用1n n n S S a --=，可得到131n n a a -=+，进而得到1113,22n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭从而可以证明数列12n a ⎫⎧+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）由（1）可以得到n a 的通项公式，代入32n n a S n =+可得到n S 的表达式，进而利用分组求和即可求出n T 的表达式．【解析】（1）1n =时，11132121a S a =+=+，所以11a =， 当2n ≥时，由32n n a S n =+,得11321n n a S n --=+-，则()111332212121n n n n n n n a a S n S n S S a ----=+--+=-+=+， 即131n n a a -=+， 所以11111313,222n n n a a a --⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭又113022a +=≠，故12na⎫⎧+⎨⎬⎩⎭就是首项为32，公比为3的等比数列，则1133,22nna-+=⋅即131322nna-=⋅-.（2）将131322nna-=⋅-代入32n na S n=+得()3132344nnS n=⋅-+,所以()()2312313333572344nn nT S S S n=++⋯+=+++⋯+-++⋯++ =()()()()2231344393931413484884n nnn n n n nn+-++⋅-=--=----.【名师指导】分组求和与并项求和法：把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和，例如对通项公式为22nna n=+的数列求和．19．【思路点拨】（1）先证明AB⊥平面SAD，再推出面面垂直即可.（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解.【解析】（1）如图，作SO AD⊥，垂足为O：依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO AB⊥.又AB AD⊥，SO AD O⋂=，∴AB⊥平面SAD.又∵AB⊂平面SAB，所以平面SAB⊥平面SAD.（2）连结BO，CO，∵SB SC=，∴Rt RtSOB SOC≌，BO CO=，又四边形ABCD为长方形，∴Rt Rt AOB DOC ≌，∴OA OD =.取BC 中点E ，得//OE AB ，连接SE ， ∴3SE =，其中1OE =，1OA OD ==，2312OS =-=.由以上证明可知OS ，OE ，AD 互相垂直，不妨以OA ，OE ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示：∴()0,1,0DC =，(1,1,2SC =--，()2,0,0BC =-，设()111,,m x y z =是平面SCD 的法向量， 则有00m DC m SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即11110,20,y x y z =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩ 令11z =得()2,0,1m =-.设()222,,n x y z =是平面SBC 的法向量， 则有00n BC n SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即222220,20,x x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令21z =得()0,2,1n =. 1,3m ncos m n m n ⋅== 所以平面SCDSCD 与平面SBCSBC 所成锐二面角的余弦值为13【名师指导】本题考查由线面垂直推证面面垂直，以及用向量法求解二面角的余弦值，属立体几何综合题.20．【思路点拨】（1）先根据PA ⊥平面ABCD 可得CD PA ⊥，结合CD AD ⊥可得CD ⊥平面PAD ，从而AF CD ⊥，再根据PAD ∆为等腰直角三角形及F 为PD 的中点得到AF PD ⊥，从而可证AF ⊥平面PCD .（2）取PC 的中点为G ，连接,FG EG ，可证EG ⊥平面PFC ，从而可计算P EFC V -.【解析】∵2PA AD ==，F 为PD 中点，∴AF PD ⊥.∵PA ⊥平面ABCD ,又CD ⊂平面ABCD .∴PA CD ⊥.∵AD CD ⊥,PA AD A ⋂=,∴CD ⊥平面PAD .∵AF ⊂平面PAD .∴AF CD ⊥.∵PD CD D ⋂=，∴AF ⊥平面PCD .（2）取PC 的中点G ,连接EG 、GF ，则GF ∥CD ，12GF CD =. 又EA ∥CD ，12EA CD = ，∴AE ∥GF ，AE GF = .∴四边形AEGF 为平行四边形. ∴EG ∥AF ，由（1）AF ⊥平面PDC ，∴GE ⊥平面PCD ，EG 为三棱锥E PFC -的高. 又2GF AF EG ===122PF PD ==122PCF S PF CD ∆=⋅= . 得三棱锥P EFC - 的体积12233PCF V S EG ∆=⋅=. 【名师指导】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算21．【解析】（1）圆M：22100x y ++-=的圆心为(0,M，半径为N(在圆M内，PM PN MN +=>，所以曲线E 是M ，N为焦点，长轴长为由a =c =2321b =-=，所以曲线E 的方程为2213y x +=． （2）①设()11,B x y ，()22,C x y ，直线BC ：x ty m =+，联立方程组22,1,3x ty m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 ()222136330t y mty m +++-=，由0∆>，解得21t >，122613mt y y t +=-+，21223313m y y t-=+， 由129k k =知()()()()121212911911y y x x ty m ty m =--=+-+-()()()22121299191t y y m t y y m =+-++-，且1m ≠，代入化简得()()()()2229111831130t m mt m t -+-+-+=，解得2m =，②211243ABC S y y ∆=-==+344=≤（当且仅当273t =时取等号）． 综上，ABC ∆22．【思路点拨】（1）由圆的参数方程消去参数，得到普通方程，再由直角坐标与极坐标的互化公式，得到极坐标方程；（2）将6πθ=代入圆的极坐标方程，得到P ρ；将6πθ=代入直线l 的极坐标方程，得到Q ρ，再由||P Q PQ ρρ=-，即可得出结果.【解析】（1）由1cos 1cos sin sin x x y y αααα⎧=+-=⎧⇒⎨⎨==⎩⎩平方相加，得：22(1)1x y -+=，所以圆C 的普通方程为：22(1)1x y -+=又cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴22(cos 1)(sin )1ρθρθ-+= 化简得圆C 的极坐标方程为：2cos ρθ=．（2）把6πθ=代入圆的极坐标方程可得：2cos 6P πρ==把6πθ=代入直线l 的极坐标方程可得：sin 263ππρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴2Q ρ= 所以线段PQ的长||2P Q PQ ρρ=-=【名师指导】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，直角坐标与极坐标的互化，以及极坐标系下的弦长公式，熟记公式即可，属于常考题型.23．【思路点拨】（Ⅰ）分段去绝对值求解不等式即可；（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得2m =，再由()122a b a b a b ⎛⎫+=++⎪⎝⎭，展开利用基本不等式求解即可. 【解析】（Ⅰ） ()2121121x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，，， ∴ 122x x ≤-⎧⎨-≤⎩ 或 1122x -<≤⎧⎨≤⎩ 或 122x x >⎧⎨≤⎩∴ 11x -≤≤,∴不等式解集为[]1,1-.（Ⅱ）()()11112x x x x -++≥--+=,∴ 2m =, 又142a b+=,0,0a b >>, ∴1212a b +=,∴ ()125259222222a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭, 当且仅当1422a b b a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩即323a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号,所以()min 92a b +=. 【名师指导】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2018-2019湖南高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版
绝密★启用前湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题评卷人得分一、单选题1．已知全集，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由题意结合补集的定义，求出A的补集即可．【详解】∵全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{﹣1，0，2，4}，∴∁U A＝{1，3}．故选：C．【点睛】本题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的性质以及分母不是0，求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：，解得：x≥1且x≠2，故函数的定义域是[1，2）∪（2，+∞），故选：A．【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．3．设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则方程的根落在区间（）A．B．C．D．不能确定【答案】B【解析】∵，∴该方程的根所在的区间为。
选B4．如果直线与直线互相平行，那么的值等于（）A．-2B．C．-D．2【答案】D【解析】【分析】根据它们的斜率相等，可得1，解方程求a的值．【详解】∵直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相平行，∴它们的斜率相等，∴ 1∴a＝2故选D．【点睛】本题考查两直线平行的性质，熟知两直线平行则斜率相等是解题的关键，属于基础题．5．如图的程序运行后输出的结果为（）A．-17B．22C．25D．28【答案】B【解析】【分析】根据流程图，先进行判定是否满足条件x＜0？，满足条件则执行x＝y﹣3，不满足条件即执行y＝y+3，最后输出x﹣y即可．【详解】程序第三行运行情况如下：∵x＝5，不满足x＜0，则运行y＝﹣20+3＝-17最后x＝5，y＝-17，输出x﹣y＝22．故选：B．【点睛】本题主要考查了伪代码，条件结构，模拟程序的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题．6．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是（）A．异面B．相交C．平行D．平行或重合【答案】C【解析】【分析】由题意设α∩β＝l，a∥α，a∥β，然后过直线a作与α、β都相交的平面γ，利用平面与平面平行的性质进行求解．【详解】设α∩β＝l，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a∥b且a∥c，由线面平行的性质定理可得b∥c．又∵b⊂α，c⊄α，∴c∥α．又∵c⊂β，α∩β＝l，∴c∥l．∴a∥l．故选：C．【点睛】本题考查平面与平面平行的性质、线面平行的判定定理及性质定理的应用，解题的关键是熟练运用定理，属于基础题．7．在中，已知，，则的值为（）A．B．C．或D．【答案】A【解析】【分析】运用同角的平方关系，可得sin A，sin B，再由两角和的余弦公式，计算所求值．【详解】△ABC中，cos A，cos B，即有sin A，sin B，则cos（A+B）＝cos A cos B﹣sin A sin B＝故选：A．【点睛】本题考查两角和的余弦公式的运用，考查同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于基础题．8．要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25，30B．3，13，23，33，43，53C．1，2，3，4，5，6D．2，4，8，16，32，48【答案】B【解析】试题分析：系统抽样，要从60个个体中抽取容量为6的样本，确定分段间隔为，第一段1-10号中随机抽取一个个体，然后编号依次加10得到其余个体，构成样本考点：系统抽样点评：系统抽样的特点：被抽取的各个个体间隔相同，都为109．取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于的概率是（）A．B．C．D．不确定【答案】A【解析】【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，分析题意从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．【详解】记“两段的长都不小于2m”为事件A，将长度为5m的绳子依次分成2m、1m、2m的三段，若符合剪得两段的长都不小于2m，，则只能在中间1m的绳子上剪断，所以事件A发生的概率．故选：A．【点睛】本题主要考查概率中的几何概型长度类型，关键是找出两段的长都不小于2m的界点来．10．已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据关于x的方程有实根，可知方程的判别式大于等于0，找出，计算出cosθ，可得答案．【详解】，且关于x的方程有实根，则，设向量的夹角为θ，cosθ，∴θ∈，故选：B．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的逆应用，即求角的问题．，涉及二次方程根的问题，属于基础题．第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题11．已知，，且，则的最大值是__________．【答案】4【解析】【分析】由基本不等式可得mn4，注意等号成立的条件即可．【详解】∵m＞0，n＞0，且m+n＝4，∴由基本不等式可得mn4，当且仅当m＝n＝2时，取等号，故答案为：4【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．12．已知函数，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】先求出f（）2，从而f（f（））＝f（﹣2），由此能求出结果．【详解】∵函数f（x），∴f（）2，f（f（））＝f（﹣2）＝2﹣2．故答案为．【点睛】本题考查分段函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数解析式的合理运用．13．等差数列中，，，则数列的公差为__________．【答案】6【解析】【分析】根据题意和等差数列的性质、通项公式直接求出公差d．【详解】因为等差数列{a n}中，a3＝3，a8＝33，所以公差d6，故答案为：6．【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．14．不等式的解集是__________．【答案】【解析】【分析】利用正弦函数的图象与性质即可求得答案．【详解】∵sin x，∴2kπx≤2kπ（k∈Z），∴不等式sin x的解集为{x|2kπx≤2kπ，k∈Z}．故答案为：[2kπ2kπ](k∈Z)．【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质的应用，属于中档题．15．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是__________．【答案】.【解析】 【分析】由题意可知，PO ⊥平面ABCD ，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积． 【详解】如图，正四棱锥P ﹣ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，∴PO ⊥底面ABCD ，且PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，，所以•2 R 2•R ，解得：R ＝2，球O 的表面积：S ＝4πR 2＝16π， 故答案为：16π【点睛】在求一个几何体的外接球表面积（或体积）时，关键是求出外接球的半径，通常有如下方法：①构造三角形，解三角形求出R ；②找出几何体上到各顶点距离相等的点，即球心，进而求出R ；③将几何体补成一个长方体，其对角线即为球的直径，进而求出R ．16．函数()112cos 2x f x x π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（46x -≤≤）的所有零点之和为 ．【答案】10 【解析】试题分析：转化为121-⎪⎭⎫⎝⎛=x y 与x y πcos 2-=在64-≤≤x 的交点的和，因为两个函数均关于1=x 对称，所以1=x 两侧的交点对称，且关于1=x 对称，那么对称点的和为2，分别画出两个函数的图像两侧分别有5个交点，所以1025=⨯ 考点：函数图像的应用 评卷人 得分三、解答题17．已知函数.（1）证明：在上是减函数； （2）当时，求的最大值和最小值．【答案】（1）见解析.（2）在x=1处取得最大值1，在x=-5处取得最小值－35,. 【解析】本试题主要考查了函数单调性和最值的运用。
【全国百强校】湖南省师范大学附属中学2017-2018学年高二下学期期中考试理科数学答案
， ３ ［３ ２ ）
Hale Waihona Puke １ ５． ①③ 三、 解答题 【 解析 】 （ 是等差数列 ， 其中 １ ６． ȵ ｛∰ ｝ Ⅰ） ʑ由 ʑ
∰
１
＝２ ５，４ ＝１ ６，
得１ 解得 ６＝２ ５＋３ ， ４ ＝ １ ＋３ ， ＝
１
＝－３，
） ＝２ （ ） ＋（ ∰－１ ５－３ ∰－１ ＝２ ８－３ ∰． （ ３分） ８， 得２ 解得 ∰＞２ ８－３ ∰＜０， ＜０， ３
（ ８分） 【 解析 】 （ 当 ２ ０． Ⅰ）
－ ， － ＞０， （ － ） ＝１－３ ＜０ 时 ，
又 （） 是奇函数 ， （ ， － ） ＝－ （ ）
－ 故 （） ＝－１＋３ ． （ ３分）
当
） ＝０ 时 ， （ ０ ＝０，
故 （） ＝
｛
１－３ ， ≥０，
（ ４分） －１＋３－ ， ＜０．
２ ２ （ ｌ ｏ ＋ （ ５－ ｌ ｏ ｌ ｏ ５－ ｌ ｏ ． Ⅱ） （ ≥０ 得 （ ≥－ （ ｇ ｇ ｇ ｇ ２ ） ２ ） ２ ） ２ ）
是奇函数 ， ȵ （）
２ ） ʑ得 （ ｌ ｏ ｌ ｏ ． ≥ （ ｇ ｇ ２ ） ２ －５ ２ 又 （） 是减函数 ， 所以ｌ ］ 恒成立 ． ｏ ｏ ２， ８ ≤０， ∈ ［ ｇ ｇ ２ － ｌ ２ ＋５
（ 由 Ⅱ） ʑ
１
∰
＞ … ＞ ９ ＞０＞ １ ０＞ １ １ ＞ …， 故 ∰＝９ 时 ，∰ 取得最大值 ． （ ６分） ＞
２
【 解析 】 （ 由直方图的性质可得 （ １ ７． ０． ０ ０ ２＋０． ０ ０ ９５＋０． ０ １ １＋０． ０ １ ２５＋ Ⅰ） ） 解方程可得 ＋０． ０ ０ ５＋０． ０ ０ ２５ ˑ２ ０＝１， ʑ 直方图中 ＝０． ０ ０ ７５． 的值为 ０． （ ０ ０ ７５； ２分）
湖南省湖南师范大学附属中学2019年10月2018～2019学年度高二第一学期期中考试文科数学及参考答案教师专用
湖南师大附中2018～2019学年度高二第一学期期中考试文科数学试题一、选择题(本大题共11个小题,每小题5分,共55分)1.已知,则( )A. B. C. D.【参考答案】C分析:直接利用二倍角的余弦公式求解即可.详解:,故选C.本题主要考查二倍角的余弦公式,属于简单题.2.已知数列1,,,,…,,…,则是它的( )[A. 第22项B. 第23项C. 第24项D. 第28项【参考答案】B【试题解析】由数列前几项可知,令得知识考查点:数列通项公式3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b＝c＝2a,则cos B＝A. B. C. D. 1【参考答案】B【试题解析】将三角形的三边都用表示,然后根据余弦定理求解即可.在△ABC中,由余弦定理得.故选B.本题考查余弦定理的应用,解题的关键是把三边进行统一表示,属于简单题.4.在△中,角所对的边分别为,若,则△为A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【参考答案】A由正弦定理可得,即,所以是钝角,选A.5.已知点在函数的图象上,则的最小值是( )A. B. C. D.【参考答案】D【试题解析】根据,利用基本不等式计算出的最小值为.故选.本题考查基本不等式的应用,属中档题.6.《九章算术》中“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第6节的容积为( )A. B. C. D.【参考答案】A分析:设此等差数列为{a n},公差d＞0,由题意可得:a1＋a2＋a3＋a4＝3,a7＋a8＋a9＝4,可得4a1＋6d＝3,3a1＋21d＝4,联立解出即可得出a1与d的值,由等差数列的通项公式计算可得答案. 详解:根据题意,设该竹子自上而下各节的容积为等差数列{a n},设其公差为d,且d＞0,由题意可得:a1＋a2＋a3＋a4＝3,a7＋a8＋a9＝4,则4a1＋6d＝3,3a1＋21d＝4,解可得a1＝,d＝,则第6节的容积a6＝a1＋5d＝故答案为:A本题主要考查等差数列的通项,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力.7.设为等比数列{}的前n项和,,则＝A. 10B. 9C. -8D. -5【参考答案】A由,得,故.故选A8.数列满足,则数列的前20项的和为( )A. B. C. D.【参考答案】A由,得,,的前项的和为,故选A.9.若实数满足约束条件,则的最大值为( )A. B. C. D.【参考答案】B分析:由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由直线方程可知,要使最大,则直线在轴上的截距最大,结合可行域可知当直线过点时z最大,求出的坐标,代入得答案.详解:由满足约束条件作出可行域如图,由,得 .要使z最大,则直线的截距最大,由图可知,当直线过点时截距最大.联立,解得),∴的最大值为.故选:B.本题考查了简单的线性规划,解答的关键是正确作出可行域,是中档题.10.已知,则取最大值时的值为( ).A. B. C. D.【参考答案】B分析:由,利用基本不等式可得结果.详解:∵,∴,当且仅当时取等号.∴取最大值时的值为.故选.本题主要考查利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正；二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小)；三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立).11.已知等差数列{a n}的公差d≠0,前n项和为S n,若对所有的n(n∈N*),都有S n≥S10,则A. a n≥0B. a9·a10<0C. S2<S17D. S19≤0【参考答案】D【试题解析】由题意得到等差数列前n项和的最小值为,进而得到,然后再根据等差数列项的下标和的性质以及求和公式,对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论.由对所有的n(n∈N*),都有,得等差数列{a n}的前n项和S n的最小值为,所以a10≤0,a11≥0.对于A,由以上结论可得显然不成立,所以A错误；对于B,由以上结论可得,所以B错误；对于C,由于,所以,因此C错误；对于D,由以上结论可得,故,所以D正确.故选D.本题考查等差数列中的基本运算和分析判断的能力.解题的关键是由题意得到数列项的正负的结论,另外还要注意等差数列中“下标和”性质的应用,属于基础题.二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)12.在等比数列{a n}中,a4·a6＝2 018,则a3·a7＝ ________ .【参考答案】2018【试题解析】根据等比数列中项的下标和的性质求解即可.∵数列{a n}为等比数列,∴.故答案为:2018.本题考查等比数列的项的下标和的性质,即在等比数列中,若,且,则,运用此性质可简化计算,提高解题的效率.13.在△ABC中,a＝,b＝1,∠A＝,则cos B＝________.【参考答案】【试题解析】根据正弦定理求出sin B,再根据平方关系求出cos B即可.在△ABC中,由正弦定理得,∴.又,∴B为锐角,∴.故答案为:.本题考查正弦定理和同角三角函数关系式的运用,解题时根据要求逐步求解后可得结论,属于基础题.14.对于实数a、b、c,有下列命题:①若a>b,则ac<bc；②若ac2>bc2,则a>b；③若a<b<0,则a2>ab>b2；④若c>a>b>0,则；⑤若a>b,,则a>0,b<0.其中正确的是________.(填写序号)【参考答案】②③④⑤【试题解析】根据不等式的有关知识对给出的每个命题分别进行判断,进而可得正确的命题.对于①,当c＝0时,由a>b,可得ac＝bc,故①为假命题；对于②,由ac2>bc2,得c≠0,故c2>0,所以可得a>b,故②为真命题；对于③,若,则,且,所以,故③为真命题；对于④,若,则,则,则,故④为真命题；对于⑤,若a>b,,则,故a·b<0,所以,故⑤为真命题.综上可得②③④⑤为真命题.故答案为:②③④⑤.本题考查不等式的性质及其应用,解题的关键是熟练、正确地运用有关性质进行解题,要特别注意在不等式的两边同乘以一个负数时,不等号的方向要改变等,这是容易出现错误的地方,属于基础题.三、解答题(本大题共3小题,共30分)15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝,△ABC的面积为,求△ABC的周长.【参考答案】(1)；(2)分析:(1)利用正弦定理以及两角和与两角差的三角函数转化求解C.(2)通过三角形的面积以及余弦定理转化求解即可.详解:(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C,2cos C sin(A＋B)＝sin C,故2sin C cos C＝sin C.可得cos C＝,因为,所以C＝.(2)由已知S△ABC＝ab sin C＝,又C＝,所以ab＝6,由已知及余弦定理得a2＋b2-2ab cos C＝7,故a2＋b2＝13,从而(a＋b)2＝25,所以a＋b＝5.所以△ABC的周长为5＋.该题考查的是有关解三角形的问题,涉及到的知识点有正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理等,在解题的过程中,注意对公式的正确使用,从而求得结果.16.某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3 000元、2 000元. 甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工,在A、B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 h,2 h,加工一件乙产品所需工时分别为2 h,1 h,A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400 h和500 h,分别用x,y表示计划每月生产甲、乙产品的件数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域；(2)问每月分别生产甲、乙两种产品各多少件,可使月收入最大？并求出最大收入.【参考答案】(1)见解析(2)安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200,100件可使月收入最大,最大为80万元.【试题解析】(1)设甲、乙两种产品月的产量分别为x,y件,列出约束条件和目标函数,画出可行域。