匝道中卵形曲线坐标的计算
道路卵形回旋曲线任意点坐标及方位角计算方法
道路卵形盘旋曲线任意点坐标及方位角计算方法时间:2021-01-25 10:18:27 来源:本站作者:叶松林我要投稿我要收藏投稿指南【摘要】本文提出了卵形曲线中缓和曲线段上点位坐标计算方案，推导了其计算过程及公式，并附实例。
对始于高等级道路的平面卵形曲线的测设有重要的指导作用。
高等级公路，特别是高速公路的平面线形设计形式很多，但归根结底，它们都由直线、圆和缓和曲线 ( 我国?公路道路设计标准?中规定盘旋线或称菲涅尔螺旋线为缓和曲线线形 ) 等公路平面线形要素组合而成。
各种平面线形设计形式，如根本形、卵形、 S 形、 C 形等等，对高速公路更加适应汽车转弯时的行车轨迹，消除曲率突变，增进线形美观及行车舒适感、安全感都有极其重要的意义，但同时，也使曲线计算及野外测设更为复杂。
本文针对在高速公路设计实际中出现的卵形曲线，推导了缓和曲线段点位坐标计算方法及公式，为现场测设人员提供了有效的计算方案和测设指导。
一、盘旋线的根本特征及坐标计算盘旋线上，任意一点的曲率半径ρ 与该点至曲线起点的曲线长 l 之积为一常数 ( 图 1) 即ρl =A2(1)或式中， A 2 为盘旋曲线常数，表征盘旋曲线曲率变化缓急程度的量，称 A 为盘旋曲线参数。
图 11. 盘旋曲线上任意一点坐标计算由图 1( 曲线右旋 ) ，取盘旋线的起始点 ZH 处的切线方向为 x 轴，法线方向为 y 轴，任意一点的切线方向方位角为缓和曲线角β 。
在缓和曲线上对任意一点 P 取微分dl=ρdβdx=dlcosβdy=dlsinβ考虑式 (1) 对β 或 l 在区间 [0 ，β ］或 [0 ， l ］上积分后有以下关系式成立l 2 ＝ 2A 2 β(2)(3)(4)或者(5)(6)对于公路平面线形的根本形，其缓和曲线始于直线终于圆曲线，故缓和曲线的曲率半径ρ 变化于∞ ～ R ( 圆曲半径 ) 。
设缓和曲线段长度为 l s, 那么(7)(8)2. 盘旋线的几何要素见图 1 ，盘旋线的几何要素计算公式如下：任意点 P 处的曲率半径 ( 由式 (1) 和式 (2))(9)P 点的盘旋曲线长(10)P 点的缓和曲线角 ( 切线方位角，由 (9) 式 )(11)上面导出了当参数分别为β 和 l 时的右旋缓和曲线上任一点的坐标和几何要素公式。
匝道等不完整缓和曲线计算解释和说明
匝道等不完整缓和曲线坐标计算随着全站仪在道路工程施工测量中的普及，传统的中线放样方法逐渐被淘汰。
目前道路工程中线放样时，只要能计算出中线上任意一点的坐标，用全站仪或者GPS RTK的坐标放样功能就可很方便、快捷地完成实地放样。
道路线形是由直线、圆曲线、缓和曲线三种线形组合而成的，而直线与圆曲线组合的线形（见图一）中桩坐标计算比较简单，在此不作阐述。
下面就缓和曲线与其它两种线形组合的线形中桩坐标计算予以分析。
缓和曲线与其它两种线形组合构成的线形主要有缓和曲线的完整形（即基本形）（见图二）和非完整形（即卵形）（见图三）二种。
一、基本形曲线中桩坐标计算:1、对于第一缓和曲线及圆曲线段（ZH~YH）（如图四），建立以ZH为坐标原点，切线方向为X′轴，半径方向为Y′轴的曲线坐标系（X′O′Y′）。
先计算曲线各点在曲线坐标系下的坐标。
⑴对于第一缓和曲线段（ZH~HY）内任一点i（此时L=Ki-KZH）若圆曲线半径R≥100m时，则X i ′=L-L5/(40R2Ls12) 公式①Y i ′=L3/(6RLs1) 公式②若圆曲线半径R＜100m时，则X′=L-L5÷［40（RLS ）2］+L9÷［3456（RLS）4］–L13÷［599040（RLS）6］+L17÷［175472640（RLS ）8］- L21÷［7.80337152×1010（RLS）10］（公式③）Y′=L3÷［6（RLS ）］ - L7÷［336（RLS）3］+L11÷［42240（RLS）5］ - L15÷［9676800（RLS ）7］+L19÷［3530096640（RLS）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RLS）11］（公式④）⑵对于圆曲线段（HY~YH）上任一点iX i ′=q+Rsin¢iY i ′=R(1-cos¢i)+pL=Ki-KZH¢i=(L- Ls1)*180/(Rπ)+β内移值P=Ls12/(24R)切线增值q= Ls1/2- Ls13/（240R2）综合⑴、⑵，根据不同坐标系的相互转换，可得ZH~YH上任一点i的中桩测量坐标为：X i =XZH+cosA×Xi′-sinA×f×Yi′（公式⑤）Y i = YZH+sinA×Xi′+cosA×f×Yi′（公式⑥）式中f为线路的转向系数，右转时f=1，左转时f=-1 。
公路卵形曲线及基本曲线坐标及切线方位角计算_secret
基本型曲线及卵形回旋线的中（边）桩坐标、方位角计算基本型曲线一、 基本型曲线的特征在平面线型中有多种多样的曲线形式，由直线—缓和曲线—圆曲线—缓和曲线—直线形式构成的曲线称为基本型曲线。
特征：1、几何特征，基本型曲线中的缓和曲线起始于直线段，终于圆曲线，即 R ρ=∞→。
2、线形特征，缓和曲线段有始有终，具有完整性。
二、 基本参数方程（切支距方程）1、 缓和曲线段：1432222(1)2)!2(43)()n n n s L n RL ----- 1412121(1)1)!2(41)()n n n n s L n RL +----- β=sRL L 22π180（缓和曲线上某点切线方位角）注：笔者给出了按级数展开式的通式，小半径曲线可取至第7项；把β列入参数方程之一，为后续求算边桩用；:L 某点到ZH 或HZ 点的曲线长。
2、 圆曲线段：sin x R q ϕ=+ (1cos )y R p ϕ=-+RL =ϕπ1800β+注：0β:缓和曲线方位角，001802Ls R βπ=；q ：切线增长量； p ：圆曲线内移值；L : 某点至HY 或YH 点的曲线长；ϕ：其实为圆曲线上某点的切线方位角（读者可自己证明）。
三、 坐标及切线方位角计算1、 第一缓和曲线段上的中（边）桩坐标、切线方位角计算 中桩：第一缓和曲线包括ZH —YH 段，先算出切线支距坐标x 、y ，然后通过坐标转换公式转换为大地测量坐标X 、Y 。
公式为：cos sin sin cos ZH ZH X X A A x Y Y A A y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 注：当曲线为左转角时，以y y =-代入计算。
A 为上一交点（角桩）至曲线交点的导线坐标方位角或ZH 点切线方位角；ZH X 为ZH 点横坐标； ZH Y 为ZH 点纵坐标。
()cos ()sin ZH JD H ZH JD H X X S T A Y Y S T A =+-⎫⎪⎬=+-⎪⎭注：JD X 、JD Y 分别为上一交点的横、纵坐标； S 为上一交点至曲线交点的边长； H T 为曲线的切线长边桩：任意中桩之边桩（法线）坐标为：cos(90)sin(90)X X D Y Y D αα⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩左左cos(90)sin(90)X X D Y Y D αα⎧=++⎪⎨=++⎪⎩右右 注：X 、Y 分别为中桩横、纵坐标；D 为中桩至边桩之距离； α为中桩之切线方位角。
卵形曲线计算原理
卵形曲线计算原理一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。
三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1==59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2==84.999A3==67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）LM=LS（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ'桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213LE=HY2至HZ'的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ'-LE=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ'点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)！—阶乘R —圆曲线半径Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] （公式1）Y=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ'-YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS 代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。
高等级公路卵形曲线的计算公式
高等级公路卵形曲线的计算方法摘要在高等级公路施工过程中，常遇到卵形曲线，而设计单位的出发点不同，中线的解算方法也大相径庭。
本文着重从卵形中线几种计算方法入手，在此基础之上阐述了卵形曲线的测设。
关键词卵形曲线复曲线匝道桥高等级公路卵形曲线是高等级公路、立交桥匝道常见的曲线形式，它由基本的三部分构成：第一圆曲线段、缓和曲线段和第二圆曲线段。
中间段缓和曲线用来连接两个不同半径的圆曲线。
其中线坐标解算方法有如下几种：1 补全缓和曲线我国公路上采用的缓和曲线为辐射螺旋线，夹在两圆曲线中间的缓和曲线为整个缓和曲线的一部分，缓和曲线上任一点半径与该点至该缓和曲线起点的距离乘积为一定值：R×L ＝ A ，假设 R1＞ R2，可由两圆半径及两圆间的缓和段长 ls，求缓和曲线的总长 L 。
Δl ＝ L － ls(1)Δl 就是夹在两圆曲线间缓和段省去的部分，由 YH 点补长Δl 至 o 点，以 o 点为该缓和曲线起点，起点的切线方向为 x 轴，与之垂直的曲线内侧方向为 y 轴方向建立坐标系（图 1 ）。
缓和曲线公式（推导过程略）如下：(2)(3)图 1利用 x 、 y 值可以求得 o—YH 弦与 x 轴的夹角：β ＝3δ 。
α1为YH 点的切线方位角，则 ox 的方位：α ＝α1±β 。
o 点的坐标可由几何关系求得为（ x0， y）。
缓和段上任一点统一坐标可求得：(4)y=yo+xsinα±ycosα (5) 2 曲率推算缓和曲线段曲率半径由第一段圆曲线半径 R1变为第二段曲率半径 R2（假设 R1＞ R2），则缓和曲线曲率半径变化为：(6)其中 ls为中间段缓和曲线长，为求缓和曲线方程，现建立以缓和曲线起点为坐标原点，起点的切线方向为 x 轴，与之垂直的曲线内侧方向为 y 轴的坐标系（图2 ），设 P 点为缓和曲线上任一点，距原点的曲线长为 l ，该点附近的微分弧长为 dl ，缓和曲线偏角为β ，则有dx=dlcosβ (7)dy=dlsinβ (8)图 2由于将其代入上式并进行积分可得缓和曲线方程：(9)(10)中间缓和段统一坐标计算为：(11)Y ＝ yYHxsinα±ycosα (12)α 为曲线 YH 点切线方位。
卵形曲线
一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。
三、坐标计算以安宁（安）至晋宁（晋）高速公路6合同段立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：-1-1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1==59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2==84.999A3==67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度L F由已知条件知：L F=HY2-YH1=271.881-223. 715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度L S，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）L M=L S（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ'桩号=YH1+L M=223.715+144.498=368.213L E=HY2至HZ'的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或L E= L M-L F=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度L F=L M-L E=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ'-L E=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ'点坐标计算（见图二）-2-（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)；！—阶乘R —圆曲线半径；Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~A K0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8 cm），公式如下：-3-X=L-L5÷[40（RL S）2]+L9÷[3456（RL S）4]–L13÷[599040（R L S）6]+L17÷[175472640（RL S）8]- L21÷[7.80337152×1010（RL S）10] （公式1）Y=L3÷[6（RL S）] - L7÷[336（RL S）3]+L11÷[42240（RL S）5] - L15÷[9676800（RL S）7]+L19÷[3530096640（RL S）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RL S）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=L S=HZ'-YH1=368.213-223.715=144.498将L=L S代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。
高速公路立交匝道卵型曲线及其坐标编程计算
高速公路立交匝道卵型曲线及其坐标编程计算
刘明华
【期刊名称】《科技创新导报》
【年(卷),期】2009(000)026
【摘要】许多高速公路立交在设计环形匝道和迂回式匝道时,为使线路由线线型圆顺、美观,根据地形情况在两段不同半径的贺曲线直接用一段特殊的回旋线--卵形曲线连接.在卵型曲线边桩计算中,每计算一个桩号,就需要进行大量重复的计算,过程较为繁琐.本篇给出一种采用计算机或计算器进行编程计算的方法,能很大程度的提高计算速度和精度,极大的方便现场施工.
【总页数】2页(P85-86)
【作者】刘明华
【作者单位】中交第一航务工程局有限公司铁路工程分公司
【正文语种】中文
【中图分类】TU370.1
【相关文献】
1.公路卵型曲线坐标计算 [J], 王寿武;李厚贤
2.卵型曲线测量坐标的计算方法 [J], 王晓光;赵凯红
3.卵型曲线上中、边桩坐标计算的统一模型 [J], 赵永平;赵一飞
4.公路卵型曲线上任意点坐标计算新方法 [J], 张碧琴
5.还原方法计算卵型曲线中间缓和曲线点坐标 [J], 张福荣;焦广彦
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公路卵形曲线任意点坐标和切线方位角的计算方法
方法求卵形曲线上任意一点的坐标和切线方位角. 首先 ,缓和曲线的长度 l 为 :
l = K9 + 309. 542 - K8 + 700 = 549. 542 m 取式 (12) 的前三项 ,求得切线支距坐标为 :
x = 546. 393
y = 43. 725 利用式 (13) 及求得的支距坐标计算 K8 + 760 中桩在大地坐标系中的坐标为 :
Zhang Lingling1 , Zhang Zhiwei2
(1. School of Civil Engineering ,Lanzhou Jiaotong Universit y ,Lanzhou 730070 ,China ; 2. The Fift h Engineering Limited Co mpany ,China Railway 13t h Bureau Group ,Changchun 130033 ,China )
图 1 卵形曲线 Fig. 1 Oval curve
2. 1 缓和曲线起点坐标和方位角计算
首先需要计算实际并不存在只是在计算过程中
起辅助作用的完整缓和曲线段的起点即 ( H Z) 点的
桩号 、坐标和切线方位角 ,这样卵形曲线段的计算就
转化为完整缓和曲线段的计算 ,其解算过程如下 : 1) 卵形曲线参数 C 的计算公式为 :
表 1 卵形曲线参数 Tab. 1 Parameters of oval curve
坐标
X
Y
328 465. 153
518 718. 666
切线方位角 85°28′01″
328 400. 212
518 886. 371
115°05′49″
备 注 卵形曲线为右偏曲线
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匝道中卵形曲线坐标的计算
happy
【摘要】在高速公路立交平面线型中，现在越来越多采用卵形曲线这一线型形式，而卵形曲线坐标的计算在现有的书籍中很少提到，这就给施工中坐标的计算和放样增加了难度。
在***施工中**互通式立交的匝道上就有卵形曲线的形式，我通过实践和对缓和曲线坐标计算的分析研究，总结出了卵形曲线的计算方法和技巧。
【关键词】卵形曲线缓和曲线坐标计算
一、卵形曲线的概念
卵形曲线是指在两个半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线（目前高速公路多采用以回旋线形式的缓和曲线，本文所说的缓和曲线均是回旋线的形式）。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线坐标的计算原理
根据图纸上提供的已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整的缓和曲线的相关参数和曲线要素，然后再按照缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意一点的坐标。
972
D
（图一）
三、坐标计算的实例
以我所在沧黄高速六合同段黄骅互通式立交B匝道上的卵形曲线为例。
见图一所示，已
由图一和上表可知：YH1→HY2、YH2→HY3段均是卵曲线，半径变化为R=50→R=200、R=200→R=50。
下面就以YH1—HY2段卵曲线为例进行计算。
1. 卵曲线参数计算
A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（196.873-159.373）×
50×200÷（200-50）=2500 ∴A=50
2. 卵形曲线所在的缓和曲线要素计算
卵形曲线的长度L F由已知条件知：L F=HY2-YH1=196.873-159.373=37.5
卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度L S，由此找出HZ点的桩号及坐标（实际上HZ点不存在，只是作为卵形曲线的辅助计算用）。
L S=（YH1至HZ的弧长）= A2÷R1=2500÷50=50
∴HZ桩号=YH1+ L S=159.373+50=209.373
L E=HY2至HZ的弧长= A2÷R2=2500÷200=12.5或L E= L S- L F=50-37.5=12.5
卵形曲线长度L F= L S- L E=50-12.5=37.5（校核）
HY2=HZ- L E=209.373-12.5=196.873（校核）
由以上说明计算正确。
3. HZ点坐标的计算（见图二）
⑴用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：
X n=[(-1)n+1×L4n-3]÷[(2n-2)！×22n-2×(4n-3)×(RL S)2n-2]
Y n=[(-1)n+1×L4n-1]÷[(2n-2)！×22n-1×(4n-1)×(RL S)2n-1]
公式中的符号含义：
n —项数序号（1、2、3……n）
！—阶乘
R —圆曲线半径
L S —缓和曲线长
（图二）
⑵现取公式的前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中BK0+159.373～BK0+196.873段的缓和曲线用三项来算误差达5cm）公式如下：
X=L-L5÷[40（R L S）2]+L9÷[3456（R L S）4]- L13÷[599040（R L S）6] +L17÷[175472640（R L S）8] – L21÷[7.80337152×1010（R L S）10] （公式1）Y=L3÷[6R L S]-L7÷[336（R L S）3]+L11÷[42240（R L S）5]- L15÷[9676800（R L S）7] +L19÷[3530096640（R L S）9] – L23÷[1.8802409472×1012（R L S）11] （公式2）
公式中L为计算点至ZH或HZ点的弧长。
⑶ HZ点坐标的计算
HZ：BK0+209.373的坐标从YH1：BK0+159.373推算。
L= L S=HZ-YH1=209.373-159.373=50
将L= L S代入公式（1）、（2）中得 X=48.76438441 Y=8.185702369
L对应弦长C=（X2+Y2）1/2=49.446647 偏角a1=arctg-1（Y/X）=9°31′44.27″缓和曲线切线角a2=90L2÷（πK）=90×502÷（π2500）=28°38′52.4″
K为卵形曲线参数，本例中K=A2=2500
a3=180°- a1-（180°- a2）=19°07′8.13″
∴YH1→HZ切线方位角（M→B）=2°25′47″+19°07′8.13″=21°32′55.13″
∴HZ：BK0+209.373的坐标：
X=X YH1+Ccos21°32′55.13″=1233.754+49.446647 cos21°32′55.13″=1279.745 Y=Y YH1+Csin21°32′55.13″=3680.580+49.446647 sin21°32′55.13″=3698.741
⑷ HZ：BK0+209.373点的切线方位角（D→B）计算
D→B方位角=2°25′47″+28°38′52.4″=31°04′39.4″
∴B→D切线方位角=31°04′39.4″+180°=211°04′39.4″
⑸卵曲线上任意一点坐标的计算
以HZ：BK0+209.373点坐标推算
①计算HY2：BK0+196.873的坐标
∵L=HZ-HY2=209.373-196.873=12.5代入公式（1）、（2）中得
X=12.49877935 Y=0.130199251
偏角a1= arctg-1（Y/X）= arctg-1（0.130199251/12.49877935）=0°35′48.57″L对应的弦长C=（X2+Y2）1/2=12.49945747
坐标：
X=1279.745+12.49945747cos（211°04′39.4″-0°35′48.57″）=1268.973
Y=3698.741+12.49945747sin（211°04′39.4″-0°35′48.57″）=3692.401
②与设计值相比较：
ΔX=X计算值-X设计值=1268.973-1268.972=+0.001㎜=1㎜
ΔY=Y计算值-Y设计值=3692.401-3692.401=0㎜
同理依次可计算出卵形曲线上任意一点的坐标。
由此可见，采用上述的计算方法所求得的坐标与设计院通过电脑程序计算的结果相差很小，其计算相当精确。
这种方法完全可以应用于高速公路卵形曲线的坐标计算。
我在沧黄高速公路匝道中卵形曲线的坐标计算和施工放样中深受其益。
参考文献：
[1] 聂让《高等测量》2002年
[2] 聂让、许金良、邓云潮《公路测量施工手册》2000年。