曲线坐标计算
曲线坐标计算万能公式
曲线坐标计算通用公式（复化Simpson 公式）推导一、已知条件1、线元起点坐标：(),A A A x y2、线元起点切线方位角：A α3、线元起点里程：A K4、线元终点里程：B K 5、线元起点曲率半径：A ρ 6、线元终点曲率半径：B ρ二、求解问题求线元上任意点的坐标：(),C x y 。
即推导曲线坐标计算通用公式。
三、图示：如右上图（图中未示y ∆值） 四、坐标计算公式线元上任意点C 的坐标计算公式为：A x x x =+∆————① A y y y =+∆————②由上式可知，关键问题是求出x ∆、y ∆。
五、x ∆计算若AC 是直线，直接采用公式cos x l α∆=可求出x ∆（其中l 为A 、C 两点间直线距离，α为AC 直线方位角），但是，A 、C 两点间是任意曲线相连,不能直接用上述公式计算x ∆,需利用微积分原理计算。
1、曲线AB 上任意一点的曲率ρ计算采用内插法得：()B AA AB Ak k k k ρρρρ-=+--————③其中：k ——曲线AB 上任意一点的里程。
2、曲线AB 上任意一点的切线方位角α计算如右图：C 是曲线AB 上任意一点，AT 、TC 是A 、C 两点的切线，利用圆曲线求弧长公式得：()90A A k k A R π-=()90A k k Rδβπ-==其中：k ——曲线上任意点里程。
R ——曲线上任意点的曲率半径。
（通过公式③求得，1R ρ=）()()1190A A A R R k k ααπ=++-()()90A A A k k αρρπ=++-————④ 使用公式③、④时的符号规定：线元右偏：A ρ、B ρ均为“+”（即线元起终点曲率半径输正值）。
线元左偏：A ρ、B ρ均为“—”（即线元起终点曲率半径输负值）。
3、x ∆计算根据公式③、④可推知，()cos y k α=⎡⎤⎣⎦是里程间隔[],A C k k 上k 的一个连续函数，计算A 、C 两点的坐标增量x ∆，也就是求在里程段[],A C k k 内，x 坐标的改变量。
曲线坐标计算公式
曲线坐标计算公式曲线坐标是用于表示曲线上其中一点的位置的一种坐标系统。
在数学和物理学中广泛应用，特别适用于描述弯曲的路径和曲线的方程。
曲线坐标系统通常由两个坐标组成，一个是沿曲线的长度坐标，另一个是垂直于曲线的偏移坐标。
沿曲线的长度坐标通常表示为s，垂直于曲线的偏移坐标通常表示为n。
曲线坐标的计算公式主要取决于曲线的形状和方程。
下面将介绍几种常见的曲线坐标计算公式。
1.直线的曲线坐标：对于一条直线，曲线坐标很容易计算。
沿曲线的长度坐标s可以简单地等于直线的长度。
偏移坐标n可以根据垂直距离计算。
2.抛物线的曲线坐标：对于抛物线，曲线坐标的计算需要一些复杂的公式。
具体的计算方法取决于抛物线的方程形式。
a) 对于标准的纵轴开口抛物线，其方程形式为：y = ax^2，其中 a是常数。
沿曲线的长度坐标s可以通过积分计算得到，公式为：s = ∫(1 + (dy/dx)^2)^0.5 dx，积分区间为曲线上其中一点到原点。
偏移坐标 n 可以通过求解 y = n，即 n = ax^2 的方程，计算得到。
b) 对于横轴开口抛物线，其方程形式为：y = ax^2 + bx，其中 a、b 是常数。
沿曲线的长度坐标s的计算方法同样是通过积分计算得到。
偏移坐标 n 可以通过求解 y = n，即 n = ax^2 + bx 的方程，计算得到。
3.圆的曲线坐标：对于圆，曲线坐标的计算比较简单。
沿曲线的长度坐标s可以通过弧长计算得到，公式为：s=rθ，其中r是圆的半径，θ是圆心角。
偏移坐标n可以直接使用垂直距离计算得到，公式为：n=r-，r-d，其中d是点到圆心的距离。
4.椭圆的曲线坐标：对于椭圆，曲线坐标的计算相对复杂，需要使用数值计算方法，如数值积分或迭代法。
沿曲线的长度坐标可以通过积分计算得到。
偏移坐标可以通过迭代法计算得到，每次迭代使用点到椭圆的最小距离的切线与椭圆的交点作为新的计算点。
以上是几种常见曲线的曲线坐标计算公式，当然还有其他曲线的曲线坐标计算方法，具体取决于曲线的形式和方程。
圆曲线坐标计算(坐标正算法)
二、圆曲线要素计算
1、圆曲线要素 R —— 半径 —— 转向角 T —— 切线长
L —— 曲线长
Eo —— 外矢距
q —— 切曲差
R、、T、L、Eo、q 称为 圆曲线要素。
2、计算公式
为测量得到，R 为设计值。
T R tg
L R
2
180
Eo R (
1 cos
起点
ZY1 QZ2 JD1 YZ1
ZY2
QZ2
YZ2
终点
Y
O
2）计算曲线点坐标
① 计算坐标方位角
i 点为曲线上任意一点。
li 为 i 点与ZY点里程之差。
li 180 i R π
ZY- i JDZY-
90 li δi 2 πR
i
ZYi ZYJD i
2
1)
q 2T L
三、主点里程计算
1、基本知识 里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的 距离。
表示方法：DK26＋284.56。
“+”号前为公里数，即26km，“+”后为米数，即 284.56m。 CK —— 表示初测导线的里程。 DK —— 表示定测中线的里程。
Ｋ —— 表示竣工后的连续里程。
铁路和公路计算方法略有不同。
2、计算方法
根据交点里程和圆曲线要素计算主点里程。
公路习惯推算方法：
四、单圆曲线测设资料计算
曲线测设是指每隔一定距离测设一个曲线点以在地 面上标志曲线平面位置。 现阶段曲线测设主要采用全站仪或GPS进行，而这 两种方法所需测设资料是曲线点的坐标，故实施测设前 必须计算曲线点的坐标。
圆曲线坐标计算坐标正算法
“+”号前为公里数，即26km，“+”后为米数， 即284.56m。
CK —— 表示初测导线的里程。 DK —— 表示定测中线的里程。
Ｋ —— 表示竣工后的连续里程。 铁路和公路计算方法略有不同。
二、圆曲线要素计算
1、圆曲线要素 R —— 半径 —— 转向角 T —— 切线长 L —— 曲线长 Eo —— 外矢距 q —— 切曲差 R、、T、L、Eo、q 称为 圆曲线要素。
2、计算公式 为测量得到，R 为设计值。
T R tg
2
L R
180
Eo
R
(
1 cos
1)
2
q2TL
三、主点里程计算
Y
XZ2YXJD 2 T2coαsJD 1JD 2 YZ2YYJD 2 T2sinαJD 1JD 2 XY2ZXJD 2 T2coαsJD 2JD 3 YY2ZYJD 2 T2sin αJD 2JD 3
通用公式：
XZY i XJDi Ti coαsi1,i YZY i YJDi Ti sinαi1,i
例如：ZY点里程为18＋197.36，中桩间距为20m，
则第一点里程为____________1_8_+_2__0_0______________。
第二点里程为________1_8_+_2__2_0________________。
依此类推。
2、曲线点坐标计算
X
起点
ZY1
QZ2 YZ1
JD2
QZ2
i
ZY-
JD
Z Y i Z Y JD i
坐标计算公式
圆曲线坐标计算公式β=180°/π×L/R△X=sinβ×R△Y=(1-cosβ)×RC=X=X1+cos (α ±β/2)×CY=Y1+sin (α ±β/2)×Cβ代表偏角, △X、△Y代表增量值。
X、Y代表准备求的坐标。
X1、Y1代表起算点坐标值。
α代表起算点的方位角。
缓和曲线坐标计算公式β= L2/2RL S ×180°/πC= L - L5/90R2L S2X=X1+cos (α ±β/3)×CY=Y1+sin (α ±β/3)×CL代表起算点到准备算的距离。
LS代表缓和曲线总长。
X1、Y1代表起算点坐标值。
直线坐标计算公式X=X1+cosα×LY=Y1+sinα×LX1、Y1代表起算点坐标值α代表直线段方位角。
L代表起算点到准备算的距离。
左右边桩计算方法X边=X中+cos（α±90°)×LY边=Y中+sin（α±90°)×L在计算左右边桩时，先求出中桩坐标，在用此公式求左右边桩。
如果在线路方向左侧用中桩方位角减去90°，线路右侧加90°，乘以准备算的左右宽度。
例题:直线坐标计算方法α(方位角)=18°21′47″X1=84817.831 Y1=352.177 起始里程DK184+714.029求DK186+421.02里程坐标解:根据公式X=X1+cosα×LX=84817.831+COS18°21′47″×(86421.02—84714.029)=86437.901Y=Y1+sinα×LY=352.177+sin18°21′47″×(86421.02—84714.029)=889.943求DK186+421.02里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m.解:根据公式线路左侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86437.901+cos(18°21′47″- 90°)×3.75=86439.082Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=889.943+sin(18°21′47″- 90°)×3.75=886.384线路右侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86437.901+cos(18°21′47″+ 90°)×7.05=86435.680Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=889.943+sin(18°21′47″+90°)×7.05=896.634例题:缓和曲线坐标计算方法α(ZH点起始方位角)=18°21′47″X1=86437.901 Y1=889.941 起始里程DK186+421.02曲线半径2500 缓和曲线长120m求HY点坐标,也可以求ZH点到HY点任意坐标解:根据公式β=L2/2RLS×180°/πβ=｛1202/(2×2500×120)｝×(180°/π)= 1°22′30.36″C=L-L5/90R2LS2C=120-1205/(90×25002×1202)=119.997X=X1+cos(α±β/3)×CX=86437.901+cos(18°21′47″-1°22′30.36″/3)×119.997=86552.086Y=Y1+sin(α±β/3)×CY=889.941+sin(18°21′47″-1°22′30.36″/3)×119.997=926.832求DK186+541.02里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m.解:根据公式线路左侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86552.086+cos｛(18°21′47″-1°22′30.36″)- 90°｝×3.75=86553.182Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=926.832+sin｛(18°21′47″-1°22′30.36″)- 90°｝×3.75=923.246线路右侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86552.086+cos｛(18°21′47″-1°22′30.36″)+ 90°｝×7.05=86550.026Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=926.832+sin｛(18°21′47″-1°22′30.36″)+ 90°｝×7.05=933.574缓和曲线方位角计算方法α=(起始方位角±β偏角)= 18°21′47″-1°22′30.36″=16°59′16.64″注:缓和曲线在计算坐标时,此公式只能从两头往中间推,只能从ZH点往HY点推,HZ点往YH 点推算,如果YH往HZ点推算坐标,公式里的β为β2/3.例题:圆曲线坐标计算方法α(HY点起始方位角)= 16°59′16.64″X1=86552.086 Y1=926.832曲线半径2500 曲线长748.75 起始里程DK186+541.02求YH点坐标,也可以求QZ点坐标或任意圆曲线一点坐标.解:根据公式β=180°/π×L/Rβ= 180°/π×748.75/2500=17°09′36.31″△X=sinβ×R△X=sin17°09′36.31″×2500=737.606△Y=(1-cosβ)×R△Y=(1-cos17°09′36.31″)×2500=111.290C=C=745.954X=X1+cos(α±β/2)×CX= 86552.086 +cos(16°59′16.64″+360°-17°09′36.31″/2) ×745.954=87290.023Y=Y1+si n(α±β/2)×CY=926.832+ sin(16°59′16.64″+360°-17°09′36.31″/2) ×745.954=1035.905圆曲线方位角计算方法α=(起始方位角±β偏角)= 16°59′16.64″+360°-17°09′36.31″=359°49′40.33″求DK187+289.77里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m.解:根据公式线路左侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=87290.023+cos(359°49′40.33″-90°)×3.75=87290.012Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=1035.905+sin(359°49′40.33″-90°)×3.75=1032.155线路右侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=87290.023+cos(359°49′40.33″+90°)×7.05=87290.044Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=1035.905+sin(359°49′40.33″+90°)×7.05=1042.955。
道路曲线坐标计算步骤
道路曲线坐标计算步骤已知量：转角α=23°3’38”缓和曲线长L 0=100m圆曲线半径R=1000m圆曲线长L=00180)2(πβα⨯-⨯R 曲线长 L h ==000180)2(2πβα⨯-⨯+R L起始边方位角A zh-jd =tan -1(Y jd -Y zh /X jd -X zh )= tan -1((750-500)/ (750-500))=45°切线加长 q=23002402R L L -圆曲线相对切线内移量 p=L 02/(24R)切线长T h = q ＋(R ＋p)•tan(α/2)第一步计算ZH 坐标：方位角A jd-zh =A zh-jd +180°=225°T= q ＋(R ＋p)•tan(α/2) ___这里α为转角Xzh=Xjd+TcosA jd-zhYzh=Yjd+TsinA jd-zh第二步计算HY 坐标：缓和曲线切线角 βi =π001802⨯R L缓和曲线偏角(i)： δi=βi /3=L i 2/6RL s *180°/π缓和曲线方位角：аi 缓=A jd-zh+δi====== A jd-zh 已知（45°）用方位角(线路向左转A jd-zh -δi ) 缓和曲线坐标(i)： X i =230040R L L -Y I = L 02/6R缓和曲线ZH 的弦长坐标(i)：C i =22Y X +所以缓和曲线最后要求坐标为： X HY =X zh + C i cos аi 缓Y HY =Y zh + C i sin аi 缓 第三步计算QZ 的坐标：外矢距 E h = (R ＋p)/cos(α/2)－R 这里α为转角αjd-qz = A jd-zh +90°+α/2 这里α为转角线路向左转（A jd-zh -90°-α/2） QZ 的坐标X qz =X jd +Ecos αjd-qz Y qz =Y jd +Esin αjd-qz第四步DK1+100坐标计算：ZH 点里程=JD 里程-T=1300-254.08=1045.92=DK1+45.92L i = DK1+100-ZH 点里程=1100-1045.92=54.08缓和曲线切线角 βi =π0021802⨯RL L i缓和曲线偏角(i)： δi=βi /3缓和曲线方位角：аi =A jd-zh+δi====== A jd-zh 已知（45°）用方位角(线路向左转A jd-zh -δi ) 缓和曲线坐标(i)： X i =02540L R L L i i -Y i =L i 3/6RL 0缓和曲线ZH 的弦长坐标(i)：C i =22i i Y X +所以缓和曲线最后要求坐标为： X HY =X zh + C i cos аiY HY =Y zh + C i sin аi 第五步DK1+280坐标计算：HY 点到DK1+280的弧长L i =DK1+280- DK1+45.92-L 0=134.08 HY 点到DK1+280的弧长对应的圆心角Ψi =π0180⨯R L i 圆曲线HY 点到任意一点DK1+280的偏角△i =Ψi /2 圆曲线HY 点到任意一点DK1+280的弦长C i =2Rsin(△i ) 圆曲线HY 点到任意一点DK1+280的方位角аi =аi 缓+△i 圆曲线上任意一点DK1+280的坐标：X i =X hy + C i cos аi Y i =Y hy + C i sin аi。
圆曲线坐标计算公式带例题
精心整理圆曲线坐标计算公式β=180°/π×L/R （L= βπ R/180°）弧长公式β为圆心角△X=sinβ×RSX=X1+cos (α±β/3)×CY=Y1+sin (α±β/3)×CL代表起算点到准备算的距离。
LS代表缓和曲线总长。
X1、Y1代表起算点坐标值。
直线坐标计算公式X=X1+cosα×LY=Y1+sinα×LX1、Y1代表起算点坐标值Y1=352.177 起始里程DK184+714.029求DK186+421.02里程坐标解:根据公式X=X1+cosα×LX=84817.831+COS18°21′47″×(86421.02—84714.029)=86437.901Y=Y1+sinα×LY=352.177+sin18°21′47″×(86421.02—84714.029)=889.943求DK186+421.02里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m.解:根据公式线路左侧计算:7.05=896.634例题:缓和曲线坐标计算方法α(ZH点起始方位角)=18°21′47″X1=86437.901 Y1=889.941 起始里程DK186+421.02曲线半径2500 缓和曲线长120m求HY点坐标,也可以求ZH点到HY点任意坐标解:根据公式β=L2/2RLS×180°/πβ=｛1202/(2×2500×120)｝×(180°/π)= 1°22′30.36″C=L-L5/90R2LS2Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=926.832+sin｛(18°21′47″-1°22′30.36″)- 90°｝×3.75=923.246线路右侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86552.086+cos｛(18°21′47″-1°22′30.36″)+ 90°｝×7.05=86550.026Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=926.832+sin｛(18°21′47″-1°22′30.36″)+ 90°｝×7.05=933.574解:根据公式β=180°/π×L/Rβ= 180°/π×748.75/2500=17°09′36.31″△X=sinβ×R△X=sin17°09′36.31″×2500=737.606△Y=(1-cosβ)×R△Y=(1-cos17°09′36.31″)×2500=111.290C= 弦长C=745.954X=X1+cos(α±β/2)×CX= 86552.086 +cos(16°59′16.64″+360°-17°09′Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=1035.905+sin(359°49′40.33″-90°)×3.75=1032.155线路右侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=87290.023+cos(359°49′40.33″+90°)×7.05=87290.044Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=1035.905+sin(359°49′40.33″+90°)×7.05=1042.955。
曲线坐标计算
圆曲线起点和终点坐标，圆曲线半径。
求这段曲线上任意点的坐标.通过起终点坐标算出弦长S和起点到终点的坐标方位角A，R为已知，即：S=2Rsin(θ/2)Sin(θ/2)=S/2/Rθ=2*arcsin(S/2/R)θ——圆曲线对应的圆心角由于圆心和两端点成一个等腰三角形，所以另三角形两个内角也可算出来：β=(180-θ)/2由坐标正算公式可算得圆心坐标,和圆心到起点的坐标方位角，即：X0=N0+Rcos(A+β)Y0=E0+Rsin(A+β)A0= A+β+180根据弧长公式l=R*θ（θ——长度为l的弧长所对应的圆心角，以弧度为单位）可以算得该圆曲线上距起点任意弧长所对应的圆心角偏转值：θ’=180*l/π/R故圆曲线上任意一点的坐标即可再次使用坐标正算公式得出：X=X0+Rcos(A0+θ’)Y=Y0+Rsin(A0+θ’)以上算例只需用到坐标正反算知识，其他知识都是基于初中几何水平的解算，所以只要多动一下脑子，办法是很多的，读者也可以算出JD 坐标和前直线方位角用手头上已有的程序解算。
一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反xZ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反xZ，yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值。
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曲线坐标计算一、 圆曲线圆曲线要素：α---------------曲线转向角R---------------曲线半径根据α及R 可以求出以下要素：T----------------切线长L----------------曲线长E----------------外矢距q----------------切曲差（两切线长与曲线全长之差） 各要素的计算公式为：︒⋅=180παR L (弧长))12(sec -=αR E （sec α=cos α的倒数）圆曲线主点里程：ZY=J D －TQZ=ZY ＋L ／2 或 QZ=JD －q /2YZ=QZ ＋L ／2 或 YZ=JD ＋T －qJD=QZ ＋q ／2（校核用）1、基本知识◆ 里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的距离。
◆ 表示方法：DK26＋284.56。
“+”号前为公里数，即26km ，“+”后为米数，即284.56m 。
CK ——表示初测导线的里程。
DK ——表示定测中线的里程。
Ｋ——表示竣工后的连续里程。
铁路和公路计算方法略有不同。
2、曲线点坐标计算（偏角法或弦切角法）已知条件：起点、终点及各交点的坐标。
1）计算ZY、YZ点坐标通用公式：2）计算曲线点坐标①计算坐标方位角i 点为曲线上任意一点。
li 为i 点与ZY点里程之差。
弧长所对的圆心角弦切角弦的方位角当曲线左转时用“-”，右转时用“+”。
②计算弦长③计算曲线点坐标此时的已知数据为：ZY（x ZY，y ZY）、 ZY- i、C。
根据坐标正算原理：切线支距法这种方法是以曲线起点ZY或终点YZ为坐标原点，以切线为X轴，以过原点的半径为Y轴，则圆曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得：式中：α为ZY(YZ)点沿线路前进方向的切线方位角。
当起点为ZY 时，“±”取“＋”，X0=X(ZY), Y0=Y(ZY), 曲线为左偏时应以y i=-y i代入；当起点为YZ时，“±”取“-”，X0=X(YZ), Y0=Y(YZ), 曲线为左偏时应以y i=-y i代入；注：1、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半2、切线性质圆的切线与过切点的半径相垂直3、弦切角定理弦切角等于它所夹弧上的圆周角4、弧长公式由L/πR=n°/180°得L=n°πR/ 180°=nπR/180 二、缓和曲线（回旋线）缓和曲线主要有以下几类：A：对称完整缓和曲线（基本形）------切线长、ls1与ls2都相等。
B: 非对称完整缓和曲线---------------切线长、ls1与ls2都不相等C: 非完整缓和曲线（卵形曲线）----连接两个同向、半径不等的圆的缓和段所组成的卵形曲线D: 回头曲线------------回头曲线是一种半径小、转弯急、线型标准低的曲线形式，其转角接近、等于或大于180度。
1、基本形缓和曲线基本公式：ρ=A2/l A=√Rlsρ为缓和曲线上任意点的曲率半径A为回旋线参数l为缓和曲线上任意点到起点（ZH）的距离（弧长）ls为缓和曲线的全长切线角公式：缓和曲线直角坐标任意一点P 处取一微分弧段ds ，其所对应的中心角为 d β x dx=dscos β xdy=dssin β x缓和曲线常数主曲线的内移值p 及切线增长值q内移值：p=Y s-R(1-cosβs)=l s2/24R切线增长值：q=X s-Rsinβs=l s/2-ls3/240R2缓和曲线的总偏角及总弦长总偏角：βs=l s/2R • 180／Π总弦长：C s=l s-l s3/90R2缓和曲线要素计算切线长外距曲线长圆曲线长切线差平曲线五个基本桩号：ZH ——HY ——QZ ——YH ——HZ缓和曲线主点里程：ZH=JD-T HY=ZH+Ls YH=HY+Ly HZ=YH+LsQZ=ZH+L总/2=HZ-L总/2 JD=QZ+q/2（校核）缓和曲线上任意点坐标计算切线支距法：以缓和曲线起点ZH(HZ)点为坐标原点，起点的切线为x轴，过原点的垂直于切线的垂线为y轴建立坐标系，则缓和曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得：式中：α为ZH(HZ)点沿线路前进方向的切线方位角。
当起点为ZH 时，“±”取“＋”，X0=X(ZH), Y0=Y(ZH), 曲线为左偏时应以y i=-y i代入；当起点为HZ时，“±”取“-”，X0=X(HZ), Y0=Y(HZ), 曲线为左偏时应以y i=-y i代入；曲线上任意点的方位角α(i)=α（ZH或HZ）±ββ为切线角±为右转“﹢”左转“﹣”当点位于圆曲线上，有：其中，，为点到坐标原点的曲线长。
2、非对称完整缓和曲线由于受特殊地形和地物条件限制采用对称缓和曲线型平曲线难以与地形条件相结合，于是引入非对称缓和曲线型平曲线。
非对称缓和曲线在计算时较困难，不能简单套用对称缓和曲线的公式。
以下阐述非对称缓和曲线几何要素和任意点坐标及方位角的计算原理。
（1）计算原理如图1所示，平曲线由非对称缓和曲线Ls1、Ls2及半径R的圆曲线组成，JD为平曲线切线交点，转角α。
由于平曲线两端的缓和曲线不等长，因此在计算平曲线各要素时就不能简单套用等长缓和曲线的计算公式。
平曲线各要素计算：注：第一式最后一项应+q1根据交点坐标和切线长计算缓和曲线起点（ZH或HZ）坐标：X(ZH)=X(JD)+T1×COSαY(ZH)=Y(JD)+T1×Sinαα为JD～ZH方位角X(HZ)=X(JD)+ T2×COSαY(ZH)=Y(JD)+T2×Sinαα为JD～HZ方位角曲线上任意点坐标按基本型缓和曲线的切线支距法和坐标变换、旋转来计算求出。
3、非完整缓和曲线（卵形曲线）卵形曲线是指在两个同向、半径不等的圆曲线间插入一段不完整的缓和曲线，即卵形曲线是缓和曲线的一段，在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段。
首先需要计算出实际并不存在只是在计算过程中起辅助作用的完整缓和曲线段的起点即ZH或HZ点桩号、坐标和切线方位角。
这样卵形曲线段的计算就转化为完整缓和曲线段的计算。
（1）卵形曲线参数式中：R大，R小为卵形曲线相连的两圆曲线半径，为非完整缓和曲线段即卵形曲线段长度。
（2）与相对应的完整缓和曲线的长度为（3）卵形曲线的起点Q（接大半径圆的点）至假设存在的完整缓和曲线起点ZH或HZ点的弧长为或=－（4）与对应的弦长为又因为βQ-------切线角ΔQ-------切点Q至假设起点ZH(HZ)的弦切角故可得，Q点至ZH点的方位角ZH点的切线方位角Q点至HZ点的方位角HZ点的切线方位角求得卵形曲线起点Q至ZH(HZ)的弦长和方位角后，则ZH(HZ)点的坐标为求出假设的ZH(HZ)点的坐标后，就可以根据基本形缓和曲线的计算方法来计算曲线上任意点的坐标。
上面的公式（3）到（11）是以不完整缓和曲线的起点Q（接大圆点）来计算假设的完整缓和曲线起点ZH(HZ)的坐标。
也可以以接小圆的缓和曲线终点YH(HY)来计算起点ZH(HZ)坐标。
如下：①与相对应的完整缓和曲线的长度为②与对应的的弦长为总弦长：C s= l s-l s5/90R2 l s2= l s-l s3/90R2③接小圆的YH(HY)点的切线角总偏角：βs=l s/2R • 180／Π④接小圆的YH(HY)点到假设起点ZH(HZ)的弦切角⑤设接小圆的YH(HY)点为Z，则Z点至ZH点的方位角α（Z-ZH）=α(Z)＋180⑥ZH点的切线方位角α（ZH）=α(Z)±β(Z)⑦Z点至HZ点的方位角α（Z-HZ）=α(Z)⑧HZ点的切线方位角α（HZ）=α(Z)±β(Z)⑨ZH(HZ)点的坐标为(设接小圆的YH(HY)点为Z)X(ZH或HZ)=X(Z)+ C s cosαZ-ZH(HZ)Y(ZH或HZ)=Y(Z)+ C s SinαZ-ZH(HZ) C s为弦长注：卵形曲线上大圆包含小圆，也就是说接小圆处的曲率半径为R 小，沿大圆方向曲率半径渐大。
假设的完整缓和曲线的起点ZH(HZ)在大圆那边。
4、回头曲线什么是回头曲线回头曲线是一种半径小、转弯急、线型标准低的曲线形式，其转角接近、等于或大于180度。
在实际中，我们确实经常在山区道路碰到回头曲线，基本的感觉就是一个急弯，并且转了一百八十度，跟掉头差不多，也就是前面描述的：转角接近、等于或大于180度。
下图是湘西“公路奇观”的连续回头曲线。
这里所讨论的回头曲线，主要是基于其平面坐标计算的特殊性而言的，它只有一个定义，就是：转角大于或等于180度，由于实际使用中很少有转角正好等于180度的情况，所以就是指转角大于180度这种情况了。
为什么这么定义呢，因为一般情况下，交点与曲线的关系是：交点在曲线的外侧，即便是转角接近180度，它的交点也在曲线外侧，如下图：而当转角等于180度时，则成为两条平行线，没有交点，或者说无限远，其曲线位置不具有唯一性，这种情况实际中几乎不会采用；而当转角大于180度时，则交点的位置就比较特殊了，如下图：这个图中，JD1和JD3是普通情况下的交点，均在曲线的外侧，而JD2的转角大于180度，其位置在曲线的内侧，这种情况，才是本此讨论的回头曲线。
回头曲线的计算（1）曲线要素的计算先看一个案例，邵怀高速公路溆浦连接线（二级公路），有一个回头曲线，其曲线设计参数如下：JD5，交点坐标X=3046429.812，Y=450083.958，转角224°08′21.8″（左转），半径60m，缓和曲线长35m，曲线ZH点桩号K49+302.600，切线方位角359°23′17.9″，平面图形如下所示：交点桩号：ZH点桩号K49+302.600加上切线长T，结果为K49+169.972。
从这个计算结果来看，我们发现与一般曲线要素不同的地方是：1．切线长T和外距E为负值；2．交点桩号比ZH点桩号小。
设计文件中的直曲表数据也表明了这一点：（2）中桩坐标的计算虽然回头曲线的曲线要素与普通曲线有一些特别的地方，但现在我们更关心的是，按照普通平曲线的中桩坐标计算公式，能否计算出准确的结果。
答案肯定是不能的，否则我也不会写这篇文章，在这里白费神了。
中间具体的计算过程我就不展示了，按照普通平曲线的中桩坐标计算公式，能够计算出各个桩号的坐标，只可惜是错误的结果。
按照这个错误的结果，展示该回头曲线的图形如下：回头曲线的处理回头曲线按照普通曲线中桩坐标计算方法不能得到正确的结果，原因在于它的交点实际在曲线内侧，而程序则把它当作普通曲线来处理，从上面那个图形即可看出。