2020山东专升本高等数学(一)真题和解析
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15．已知函数
h
sin ，求 .
16．计算二重积分
ht h
所围成的第一象限的闭区域．
，其中 是由直线
，
与圆 h t h h
17．求微分方程 㤵 t
t 的通解．
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18． 求幂级数 xn2 的收敛域及和函数． n0 n 1 19．求曲线 뭀 h t 与直线 뭀 h t 所围成图形的面积．
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20．证明：当 t h 时， t ln t 뭀 .
21．设函数 ሺ ݔ在 h 上连续，且 ሺh ݔh，证明：对于任意 t ሺ hݔ，存在 t ሺ hݔ，使
得
h.
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뭀 h的定义域为______________．
7．曲线 h t h ln 在点ሺh hݔ点处的切线方程为______________．
8．若
h， h t hሺ ݔ
Байду номын сангаас
，则 h
______________．
9．已知两点 ሺ 뭀 h h ݔ和 ሺh 뭀 hݔ,则与向量 同方向的单位向量为 ______________．
4．曲线 h t
A．
뭀
h h
뭀
h h
h 뭀 h 的拐点是
B．
뭀
h h
h h
5．以下级数收敛的为
A．
n 1
n2 1 n3 2n2
B．
sin
n
n 1
3
B．
h뭀 t
− h
D．
h
t
− h
C． 뭀 h
D． 뭀 h
C．
n 1
ln
1
1 n2
D．
n 1
3n 2n2 1
二、填空题
6．函数 ሺ ݔ
山东省 2020 年专升本真题试卷
高等数学(一)
一、单项选择题
1．当
时，以下函数是无穷小量的是
A．
B．ln t h
C． th
2．平面 h 뭀 t
与与直线 뭀h th 的位置关系是
h
뭀
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D． D．直线在平面上
3．微分方程 㤵㤵 t 㤮 㤵 뭀
A．
h뭀 t h
C．
h th
的通解为
10． 已知函数 ሺ ݔ在 h上连续，设
h
积分顺序后 ______________．
三、解答题
11．求极限
t
ؙ
t ht
h
th
뭀
t
h h
h뭀
，则交换
-1-
12． 求极限 t sin h 13．求不定积分 tln
14．求过点ሺh 뭀 h hݔ且与两平面 t h 뭀 h 和 h t t
h 都垂直的平面方程.
专升本考试：2020专升本《高等数学一》真题及答案(4)
专升本考试：2020专升本《高等数学一》真题及答案(4)1、第30题的答案是( )（单选题）A. createB. produceC. inspireD. encourage试题答案：B2、 Compared with Solex, Bergasol__（单选题）A. helps one go brown more quicklyB. better protects one's skinC. is more competitive in priceD. is a better sun tan oil试题答案：A3、请填写最佳答案（）（单选题）A. sameB. specialC. commonD. traditional试题答案：B4、（单选题）A. -2sinx 2+CB.C. 2sinx 2+CD.试题答案：D5、中国相声的主要表现手法是（）（单选题）A. 表情性、造型性B. 程式化、虚拟性C. 唱、念、做、打D. 说、学、逗、唱试题答案：D6、请填写最佳答案（）（单选题）A. sameB. specialC. commonD. traditional试题答案：B7、 I´ll consider Ms．Smith tonight, but I am not sure if I have the time．（单选题）A. to seeB. seeingC. to have seenD. see试题答案：B8、《中国植被》(1980)中未采用的植物群落分类单位是（）（单选题）A. 群丛B. 群系C. 植被型D. 生态型试题答案：D9、（）（单选题）A. 0B.C. 1D. 2试题答案：B10、设函数y=2x+sin x，则y´=（）（单选题）A. 1-cos xB. 1+cos xC. 2-cos xD. 2+cos x试题答案：D11、方程x 2+2y 2+3z 2=1表示的二次曲面是（）（单选题）A. 圆锥面B. 旋转抛物面C. 球面D. 椭球面试题答案：D12、函数f(x)=x 3—12x+1的单调减区间为( )（单选题）A. (-∞,+∞)B. (-∞,-2)C. (-2,2)D. (2,+∞)试题答案：C13、 What is the reason for setting an official holiday for stepparents?（单选题）A. Because they love their role as stepparents．B. Because they are often treated as heroes in the family．C. Because they deserve respect and honor as family members．D. Because they are often seen as the most loving family members。
数学专升本山东试题及答案
数学专升本山东试题及答案试题一：函数与极限题目：求函数f(x) = x^2 - 3x + 2在x=2处的导数。
答案：首先求f(x)的导数f'(x)。
根据导数的定义，f'(x) = 2x - 3。
将x=2代入，得到f'(2) = 2*2 - 3 = 4 - 3 = 1。
所以，f(x)在x=2处的导数为1。
试题二：微分方程题目：求解微分方程dy/dx + y = x^2，其中初始条件为y(0) = 1。
答案：这是一个一阶线性微分方程。
首先，我们求解齐次方程dy/dx + y = 0的通解。
特征方程为r + 1 = 0，解得r = -1，所以齐次方程的通解为y_h(x) = Ce^(-x)。
接下来，我们找到特解。
设特解为y_p(x) = Ax^2 + Bx + C。
将y_p(x)及其导数代入原方程，解得A = 1，B = 0，C = 0。
所以特解为y_p(x) = x^2。
因此，原方程的通解为y(x) = y_h(x) + y_p(x) = Ce^(-x) + x^2。
根据初始条件y(0) = 1，我们有1 = Ce^(0) + 0^2，解得C = 1。
所以，原方程的解为y(x) = e^(-x) + x^2。
试题三：多元函数微分学题目：设函数z = f(x, y) = x^2 + xy + y^2，求∂z/∂x和∂z/∂y。
答案：根据偏导数的定义，我们分别对x和y求偏导。
对于∂z/∂x，我们固定y并求x的导数，得到∂z/∂x = 2x + y。
同样地，对于∂z/∂y，我们固定x并求y的导数，得到∂z/∂y = x + 2y。
试题四：级数题目：判断级数Σ(从n=1到∞) (n^2 + 1)/(n^4 + 3n^2 + 2)的收敛性。
答案：这个级数可以通过比较判别法来判断其收敛性。
我们比较这个级数与Σ(从n=1到∞) 1/n^2的级数。
因为1/n^2的级数是收敛的，而(n^2 + 1)/(n^4 + 3n^2 + 2) ≤ 1/n^2（对于所有n > 0），所以原级数也收敛。
2020年成人高考专升本高等数学一真题及答案
答卷时应注意事项
１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；
３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；
４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；
５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；
６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；
７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！
2020年成人高考专升本高等数学一真题及答案。
2020年山东省专升本真题(数一)及解析
机密★启用前 试卷类型：公共课 科目代码：102山东省2020年普通高等教育专升本统一考试高等数学I 试题本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分100分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写到试卷规定的位置上，并将姓名、考生号、座号填（涂）在答题卡规定的位置。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在本试卷上无效。
3.第Ⅱ卷答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将答题卡的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1. 当0x →时，以下函数是无穷小量的是( ) A. xe B. ln(2)x + C. sin x D. cos x 2. 平面2348x y z -+=与直线12234x y z-+==-的位置关系( ) A. 平行 B. 垂直 C. 相交不垂直 D.直线在平面上3. 微分方程''7'80y y y +-=的通解为( )A. 812xx y C eC e -=+ B. 812x x y C e C e --=+C. 812xxy C e C e =+ D. 812xxy C e C e -=+4. 曲线32231y x x =+- 的拐点( ) A. 11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C. ()1,0-D. ()0,1- 5. 以下级数收敛的为( )A. 232112n n n n ∞=++∑ B. 1sin 3n n π∞=∑ C. 211ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ D. 1321n n n ∞=+∑第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.函数()f x =__________. 7. 函数12ln y x x=+在(1,1)处的切线方程为___________. 8. 若()1baf x dx =⎰，[]2()3()8baf xg x dx +=⎰，则()bag x dx =⎰___________.9. 已知两点(1,2,0)A -和(2,B -，则与向量AB 同方向的单位向量是____________.10. 已知函数(,)f x y 在2R 上连续，设12201(,)(,)xI dx f x y dy dx f x y dy -=+⎰⎰⎰，则交换积分次序后I =____________.三、解答题（本大题共8小题，第11-17小题每小题6分，第18小题7分，共49分）11. 求极限3223lim 2x x x x x x →∞⎛⎫+- ⎪++⎝⎭.12.求极限203sin limxx t dt x→⎰.13.求不定积分. 14.求过点(1,2,2)-且与两平面21x y z +-=和232x y z ++=都垂直的平面方程.15.已知sin yz x x=，求2z x y ∂∂∂.16.计算二重积分22cos()Dx y d σ+⎰⎰，其中D由3y x =，y =与222x y π+=所围成的在第一象限内的闭区域. 17.求微分方程'xy y e x +=+的通解。
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题(山东卷)解析版试题(2)
2020年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学解析版第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)若复数z 满足(2)117i (i z i -=+为虚数单位)，则z 为 (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i 解析：iii i i i z 535)1114(7225)2)(711(2711+=++-=++=-+=.答案选A 。
另解：设),(R b a bi a z ∈+=，则i i a b b a i bi a 711)2(2)2)((+=-++=-+ 根据复数相等可知72,112=-=+a b b a ，解得5,3==b a ，于是i z 53+=。
(2)已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U A B U ð为 (A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4} 解析：}4,2,0{)(},4,0{==B A C A C U U Y 。
答案选C 。
(3)函数1()l n (1)f x x =+的定义域为 (A)[2,0)(0,2]-U (B)(1,0)(0,2]-U (C)[2,2]- (D)(1,2]- 解析：要使函数)(x f 有意义只需⎩⎨⎧≥-≠+040)1ln(2x x ，即⎩⎨⎧≤≤-≠->220,1x x x ，解得21≤<-x ，且0≠x .答案应选B 。
(4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差解析：设A 样本数据的数据为i x ，根据题意可知B 样本数据的数据为2+i x ，则依据统计知识可知A ，B 两样本中的众数、平均数和中位数都相差2，唯有方差相同，即标准差相同。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(山东卷)教师
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(山东卷)(本试卷共4页,22小题,满分150分,考试用时120分钟)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}数形结合)由数轴可知所以A∪B={x|1≤x<4},故选C.2.2-i1+2i=()A.1B.-1C.iD.-i=(2-i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=2-i-4i-21+4=-5i5=-i,故选D.3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有()A.120种B.90种C.60种D.30种1名有C61种方法,乙场馆安排2名有C52种方法,丙场馆安排3名有C33种方法,所以共有C61·C52·C33=60种方法,故选C.4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成的角为()A.20°B.40°C.50°D.90°,如图,圆O为赤道所在的大圆.圆O1是在点A处与赤道所在平面平行的晷面.O1C为晷针所在的直线.直线OA在圆O所在平面的射影为直线OB,点B在圆O上,则∠AOB=40°,∴∠COA=50°.又∠CAO=90°,∴∠OCA=40°.∴晷针与点A处的水平面所成角为40°,故选B.5.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%x.由维恩图可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故选C.6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I (t )=e r t 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R 0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天R 0=3.28,T=6,R 0=1+rT 得3.28=1+6r ,∴r=2.286=0.38,∴e 0.38t =2,即0.38t=ln 2,0.38t ≈0.69,∴t ≈0.690.38≈1.8(天),故选B .7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6),以AB 所在的直线为x 轴,AE 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系,易知A (0,0),B (2,0),F (-1,√3),C (3,√3).设P (x ,y ),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ),AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0), ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x+0×y=2x. ∵-1<x<3,∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为(-2,6),故选A . 8.若定义在R 的奇函数f (x )在(-∞,0)单调递减,且f (2)=0,则满足xf (x-1)≥0的x 的取值范围是( )A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]xf (x-1)≥0可化为{x ≥0,f (x -1)≥0,或{x ≤0,f (x -1)≤0,∵f (2)=0,∴f (-2)=0.∵f (x )是R 上的奇函数,∴f (0)=0.∵f (x )在(-∞,0)上单调递减,∴f (x )在(0,+∞)上也单调递减.∴{x ≥0,x -1≥0,x -1≤2或{x ≤0,x -1≤0,x -1≥-2, 解得1≤x ≤3或-1≤x ≤0,∴满足xf (x-1)≥0的x 的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选D .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知曲线C :mx 2+ny 2=1.( )A.若m>n>0,则C 是椭圆,其焦点在y 轴上B.若m=n>0,则C 是圆,其半径为√nC.若mn<0,则C 是双曲线,其渐近线方程为y=±√-m nx D.若m=0,n>0,则C 是两条直线mx 2+ny 2=1,∴x 21m +y 21n =1.∵m>n>0,∴1n >1m >0,∴C 是焦点在y 轴上的椭圆,A 正确;∵m=n>0,∴x 2+y 2=1n ,即C 是圆,∴r=√n n ,B 错误;由mx2+ny2=1,得x 21 m +y21n=1,∵mn<0,1m与1n异号,∴C是双曲线,令mx2+ny2=0,可得y2=-mnx2,即y=±√-mnx,C正确;当m=0,n>0时,有ny2=1,得y2=1n ,即y=±√nn,表示两条直线,D正确,故选ACD.10.右图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像,则sin(ωx+φ)=()A.sin(x+π3)B.sin(π3-2x)C.cos(2x+π6)D.cos(5π6-2x),T 2=2π3−π6=π2,∴T=π,∵2πω=π,∴ω=2,A错误;∴y=sin(2x+φ).又∵过点(2π3,0),∴sin(2×2π3+φ)=0,即4π3+φ=2π,∴φ=2π3.∴y=sin(2x+2π3)=sinπ-2x+2π3=sin(π3-2x),故B正确;∵y=sin(π3-2x)=sinπ2−(π6+2x)=cos2x+π6,∴C正确;∵cos (5π6-2x)=cos π-2x+π6=-cos 2x+π6,∴D 错误,故选BC .11.已知a>0,b>0,且a+b=1,则( )A.a 2+b 2≥12 B.2a-b >12C.log 2a+log 2b ≥-2D.√a +√b ≤√2a+b=1,∴(a+b )2=1=a 2+b 2+2ab ≤2(a 2+b 2),∴a 2+b 2≥12,故A 正确; ∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+1=2a+b>b ,∴a-b>-1,∴2a-b >2-1=12,故B 正确;∵a+b=1≥2√ab ,∴ab ≤14,log 2a+log 2b=log 2ab ≤log 214=-2,故C 错误;∵a+b=1≥2√ab ,∴2√ab ≤1,(√a +√b )2=a+b+2√ab ≤2,∴√a +√b ≤√2,故D 正确,故选ABD .12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,…,n ,且P (X=i )=p i >0(i=1,2,…,n ),∑i=1n p i =1,定义X 的信息熵H (X )=-∑i=1n p i log 2p i . ( )A.若n=1,则H (X )=0B.若n=2,则H (X )随着p 1的增大而增大C.若p i =1n (i=1,2,…,n ),则H (X )随着n 的增大而增大D.若n=2m ,随机变量Y 所有可能的取值为1,2,…,m ,且P (Y=j )=p j +p 2m+1-j (j=1,2,…,m ),则H (X )≤H (Y )n=1,则p 1=1,H (X )=-p 1log 2p 1=-log 21=0,∴A 正确; 若n=2,令p 1=13,p 2=23或p 1=23,p 2=13,均有H (X )=-13log 213+23log 223,∴B 错误;H (X )=-∑i=1n 1nlog 21n =-(1n log 21n +…+1n log 21n )⏟ n 个=-n×1n ·log 21n =-log 21n =log 2n ,∴H (X )随n 的增大而增大,∴C 正确;H (X )=-∑i=12m p i log 2p i =-∑i=1m (p i log 2p i +p 2m+1-i log 2p 2m+1-i ),H (Y )=-∑i=1m ((p i +p 2m+1-i )log 2(p i +p 2m+1-i )). 因为(p i +p 2m+1-i )log 2(p i +p 2m+1-i )=p i log 2(p i +p 2m+1-i )+p 2m+1-i log 2(p i +p 2m+1-i )>p i log 2p i +p 2m+1-i log 2p 2m+1-i ,所以H (X )>H (Y ),故D 错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.斜率为√3的直线过抛物线C :y 2=4x 的焦点,且与C 交于A ,B 两点,则|AB|= .,直线与抛物线交于A ,B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),F (1,0),准线方程为x=-1,作AA',BB'垂直于准线,交准线于点A',B',由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p.由{y =√3(x -1),y 2=4x ,得3x 2-10x+3=0, ∴x 1+x 2=103,∴|AB|=103+2=163.14.将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a n },则{a n }的前n 项和为 .n 2-2n{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列式的新数列{a n }为以1为首项,以6为公差的等差数列.所以{a n }的前n 项和为S n =n×1+n (n -1)2×6=3n 2-2n. 15.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心,A 是圆弧AB 与直线AG 的切点,B 是圆弧AB 与直线BC 的切点,四边形DEFG 为矩形,BC ⊥DG ,垂足为C ,tan ∠ODC=35,BH ∥DG ,EF=12 cm,DE=2 cm,A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 cm 2.+4OM ⊥CG 交CG 于点M ,AP ⊥OH 交OH 于点P ,AQ ⊥CG 交CG 于点Q ,图略.设OM=3x ,则DM=5x ,∴OP=MQ=7-5x ,∴AP=7-2-3x=5-3x ,∴tan ∠AOP=AP OP =5-3x7-5x .又∵∠AOP=∠HAP , ∴tan ∠HAP=QG AQ =12-77-2=1=tan ∠AOP , ∴5-3x 7-5x =1,解得x=1.∴∠AOP=π4,AP=2,∴OA=2√2,∴S 阴=S 扇AOB +S △AOH -12×π×12=12×(π-π4)×(2√2)2+12×2√2×2√2−12π=3π+4-π2=52π+4. 16.已知直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D 1为球心,√5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为 .,∵∠B 1C 1D 1=∠B 1A 1D 1=∠BAD=60°且B 1C 1=C 1D 1,∴△B 1C 1D 1为等边三角形.∴B 1D 1=2.设点O 1是B 1C 1的中点,则O 1D 1=√3,易证D 1O 1⊥平面BCC 1B 1,设P 是球面与侧面BCC 1B 1交线上任意一点,连接O 1P ,则O 1D 1⊥O 1P ,∴D 1P 2=D 1O 12+O 1P 2,即5=3+O 1P 2,∴O 1P=√2.即P 在以O 1为圆心,以√2为半径的圆上.取BB 1,CC 1的中点分别为E ,F ,则B 1E=C 1F=O 1B 1=O 1C 1=1,EF=2,∴O 1E=O 1F=√2,O 1E 2+O 1F 2=EF 2=4,∴∠EO 1F=90°,∴交线EPF ⏜=14×2√2×π=√22π. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在①ac=√3,②c sin A=3,③c=√3b 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC ,它的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且sin A=√3sin B ,C=π6, ? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.:选条件①.由C=π6和余弦定理,得a 2+b 2-c 22ab =√32.由sin A=√3sin B 及正弦定理,得a=√3b.于是3b 2+b 2-c 22√3b 2=√32,由此可得b=c. 由①ac=√3,解得a=√3,b=c=1.因此,选条件①时,问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件②.由C=π6和余弦定理,得a 2+b 2-c 22ab =√32.由sin A=√3sin B及正弦定理,得a=√3b.于是2222√3b2=√32,由此可得b=c.所以B=C=π6.由A+B+C=π,得A=π-π6−π6=2π3.由②c sin A=3,即c sin2π3=3,所以c=b=2√3,a=6.因此,选条件②时,问题中的三角形存在,此时c=2√3.方案三:选条件③.由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=√32.由sin A=√3sin B及正弦定理,得a=√3b.于是2222√3b2=√32,由此可得b=c.由③c=√3b,与b=c矛盾.因此,选条件③时,问题中的三角形不存在.18.(12分)已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3=8.(1)求{a n}的通项公式;(2)记b m为{a n}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{b m}的前100项和S100.设{a n}的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=12(舍去),q=2.因为a1q2=8,所以a1=2.所以{a n}的通项公式为a n=2n.(2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,b m=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24 +5×25+6×(100-63)=480.19.(12分)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表:(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),.根据抽查数据,该市100天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO 2浓度不超过150的天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO 2浓度不超过150的概率的估计值为64100=0.64. (2)根据抽查数据,可得2×2列联表:(3)根据(2)的列联表得K 2的观测值k=100×(64×10-16×10)280×20×74×26≈7.484. 由于7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关.20.(12分)如图,四棱锥P-ABCD 的底面为正方形,PD ⊥底面ABCD.设平面PAD 与平面PBC 的交线为l.(1)证明:l ⊥平面PDC ;(2)已知PD=AD=1,Q 为l 上的点,求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值.因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD ⊥AD.又底面ABCD 为正方形,所以AD ⊥DC.所以AD ⊥平面PDC.因为AD ∥BC ,AD 不在平面PBC 中,所以AD ∥平面PBC ,又因为AD ⊂平面PAD ,平面PAD ∩平面PBC=l ,所以l ∥AD.所以l ⊥平面PDC.(2)以D 为坐标原点,分别以DA⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.由PD=AD=1,得D (0,0,0),C (0,1,0),B (1,1,0),P (0,0,1),则DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-1). 由(1)可设Q (a ,0,1),则DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,0,1). 设n =(x ,y ,z )是平面QCD 的法向量,则{n ·DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{ax +z =0,y =0. 可取n =(-1,0,a ).所以cos <n ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ·PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =√3√1+a 2.设PB 与平面QCD 所成角为θ,则sin θ=√33|a+1|√1+a 2=√33√1+2a a 2+1. 因为√33√1+2a a 2+1≤√63,当且仅当a=1时,等号成立,所以PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为√63. 21.(12分)已知函数f (x )=a e x-1-ln x+ln a.(1)当a=e 时,求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f (x )≥1,求a 的取值范围.(x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=a e x-1-1x .(1)当a=e 时,f (x )=e x -ln x+1,f'(1)=e -1,曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-(e +1)=(e -1)(x-1),即y=(e -1)x+2.直线y=(e -1)x+2在x 轴,y 轴上的截距分别为-2e -1,2.因此所求三角形的面积为2e -1.(2)由题意a>0,当0<a<1时,f (1)=a+ln a<1.当a=1时,f (x )=e x-1-ln x ,f'(x )=e x-1-1x. 当x ∈(0,1)时,f'(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0.所以当x=1时,f (x )取得最小值,最小值为f (1)=1,从而f (x )≥1.当a>1时,f (x )=a e x-1-ln x+ln a ≥e x-1-ln x ≥1.综上,a 的取值范围是[1,+∞).22.(12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且过点A (2,1).(1)求C 的方程;(2)点M ,N 在C 上,且AM ⊥AN ,AD ⊥MN ,D 为垂足.证明:存在定点Q ,使得|DQ|为定值.由题设得4a 2+1b 2=1,a 2-b 2a 2=12,解得a 2=6,b 2=3,所以C 的方程为x 26+y 23=1. (2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 若直线MN 与x 轴不垂直,设直线MN 的方程为y=kx+m ,代入x 26+y 23=1得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m 2-6=0.于是x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2. ① 由AM ⊥AN 知AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 故(x 1-2)(x 2-2)+(y 1-1)(y 2-1)=0,可得(k 2+1)x 1x 2+(km-k-2)(x 1+x 2)+(m-1)2+4=0.整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.因为A (2,1)不在直线MN 上,所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k ≠1.于是MN 的方程为y=k (x -23)−13(k ≠1).所以直线MN 过点P (23,-13).若直线MN 与x 轴垂直,可得N (x 1,-y 1).由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得(x 1-2)(x 1-2)+(y 1-1)(-y 1-1)=0. 又x 126+y 123=1,可得3x 12-8x 1+4=0. 解得x 1=2(舍去),x 1=23.此时直线MN 过点P (23,-13). 令Q 为AP 的中点,即Q (43,13).若D 与P 不重合,则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边,故|DQ|=12|AP|=2√23.若D 与P 重合,则|DQ|=12|AP|.综上,存在点Q (43,13),使得|DQ|为定值.。
2020年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题一含答案
2020年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题（一）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}20M x x x =-≥，{}2N x x =<，则MN =（ ）A ．{}0x x ≤B ．{}12x x ≤<C ．{}012x x x ≤≤<或D ．{}01x x ≤≤ 2．已知i 为虚数单位，则复数131ii-+的虚部为（ ） A ．2- B ．2i - C ．2 D ．2i3．设a R ∈，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设向量a ，b 满足()3,1a b +=，1a b ⋅=，则a b -=（ ）A ．2BC ． D5．在6⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154 B ．154- C ．38 D ．38-6．已知函数()()1f x x x =+，则不等式()()220f x f x +->的解集为（ ） A ．()2,1- B ．()1,2- C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),21,-∞-+∞7．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作直线与C 及其渐近线分别交于Q ，P 两点，且Q 为2PF 的中点．若等腰三角形12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距．则C 的离心率为（ ）A ．27-+ B ．43 C ．27+ D ．328．将函数sin 2y x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,124ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是（ ）注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980-1989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人．A ．互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数“90后”比“80后”多 10．对于实数a ，b ，m ，下列说法正确的是（ ） A ．若22am bm >，则a b >B ．若a b >，则a a b b >C ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+ D ．若0a b >>且ln ln a b =，则()23,a b +∈+∞11．已知函数()122log x f x x =-，且实数a ，b ，()0c a b c >>>满足()()()0f a f b f c <．若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x a > C ．0x b < D ．0x c < 12．已知函数()ln f x x =，若()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，则（ ）A12= B ．12128x x < C ．1232x x +< D ．2212512x x +> 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知cos 5θ=-，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2θ=________． 14．一组数据的平均数是8，方差是16，若将这组数据中的每一个数据都减去4，得到一组新数据，则所得新数据的平均数与方差的和是________．15．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点．60ABC ∠=︒，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥РABC -的体积为1V ，三棱锥O ABC -的体积为2V ．若12V V 的最大值为3．则球O 的表面积为________．16．已知直线:2l y x b =+与抛物线()2:20C y px p =>相交于A ，B 两点，且5AB =，直线l 经过C的焦点．则p =________，若M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()3,0，则MN 的最小值为________．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，试从下列①②条件中任选一个作为已 知条件并完成下列（1）（2）两问的解答． ①sin sin in sin s C A A b a cB--=+； ②2cos cos cos c C a B b A =+．（1）求角C ；（2）若c =，a b +=ABC 的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列．满足15a =．且2a ，9a ，30a 成等比数列． （1）求{}30a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1n n n b b a n N +-=∈，且13b =，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，2AB =，1AA =D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A ．（1）求证：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求二面角D BC A --的余弦值．20．（12分）设点()A ，)B ，直线AP 和BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ，点M 和N 是轨迹C 上不同的两点，且满足//AP OM ，//BP ON ，求证：MON 的面积为定值．21．（12分）为了应对新型冠状病毒肺炎带来的强传染性，外出佩戴口罩成为必要．某工厂生产N 95型口罩并成箱包装，每箱200件，每一箱口罩出厂前要对产品进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率为()01p p <<，且每件产品是否为不合格品相互独立． （1）记20件产品中恰有两件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现对一箱口罩检验了20件，结果恰有2件不合格．以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（ⅰ）若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱口罩的检验费用和赔偿费用的和记为X ，求()E X ． （ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为依据，是否应该对该箱余下的所有口罩做检验？ 22．（12分）已知定义在区间()0,2上的函数()ln mf x xx =+，m R ∈． （1）证明：当1m =时，()1f x ≥；（2）若曲线()y f x =过点()1,0A 的切线有两条，求实数m 的取值范围．参考答案1．C 由20x x -≥，解得1x ≥或0x ≤，所以集合{}10M x x x =≥≤或．因为{}2N x x =<，所以{}012MN x x x =≤≤<或．故选C ．2．A()()()()1311324121112i i i i i i i i -----===--++-，∴复数131ii -+的虚部为2-．故选A ． 3．A 直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，则21a =且51a≠-，解得1a =±，所以当1a =±时，满足两直线平行，则“1a =-”是“两条直线平行”的充分不必要条件．故选A ．4．B 因为()3,1a b +=，所以231a b +=+=22410416a b a b a b -=+-⋅=-⨯=，所以6a b -=．故选B ．5． D 由二项式定理可得62⎛⎫- ⎝的通项为()()663166120,1,2,3,62r r rrr r rrT C C x r---+⎛⎛⎫==-=⎪⎝⎭⎝⎝⎭，令32r-=，则1r=，所以2x的系数为()6111613228C-⎛⎫⨯-=-⎪⎝⎭．故选D．6．D ()()1f x x x=+，()()()1f x x x f x∴-=-+=-，()f x∴为定义域R上的奇函数．又当0x>时，()()21f X x x x x=+=+为增函数，()f x∴在R上单调递增．由()()220f x f x+->知，()()()222f x f x f x>--=-，22x x∴>-，即220x x+->，解得2x<-或1x>．故选D．7．C 连接1QF，由12PF F为等腰三角形且Q为2PF的中点，由2PF c=知12QF PF⊥，且22cQF=．由双曲线的定义知122cQF a=+，在12Rt FQF中，()2222222c ca c⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得双曲线C的离心率e=．故选C．8．C 函数sin2y x=的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度得到函数()()sin22f x xϕ=-的图象，则当0,4xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，222,22xπϕϕϕ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦．由函数()f x在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，可知，()2222222kk Zkππϕππϕπ⎧-+≤-⎪⎪∈⎨⎪-≤+⎪⎩，解得()4k k Zkππϕπ-≤-∈≤．又由02πϕ<<，可知04ππ<≤①．函数()f x的所有零点满足()22x k k Zϕπ-=∈，即()12k Zx kπϕ=+∈，由最大负零点在5,126ππ⎛⎫--⎪⎝⎭内，得()511226Zk kπππϕ-+<-∈<，即()51112262Zk k kπππϕπ--<<-∈-，由02πϕ<<可知，当1k=-时，123ππϕ<<②．由①②可得，ϕ的取值范围为,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦．故选C．9．ABC 由题图可知，互联网行业从业人员中“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，超过20%，所以互联网行业从业人员（包括“90后”“80后”“80前”）从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B正确；互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的56%17%9.52%⨯=，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C 正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，小于“80后”的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D 不一定正确．故选ABC ．10．ABCD 对实数a ，b ，m ．22am bm >，a b ∴>，A 正确；a b >，分三种情况，当0a b >>时，a ab b >成立；当0a b >>时，a a b b >成立；当0a b >>时，a a b b >成立，a a b b ∴>成立，B 正确；0b a >>，0m >，()()()()()0()a m b a b m b a ma m a ab bm ab am b m b b b m b b m b b m +-+-++---===+++∴>+，C 正确；若0a b >>，且ln ln a b =，1a b ∴=，且1a >．122a b a a ∴+=+，设()()121f a a a a=+>，()2120a f a =-'>，()f a ∴在区间()1,+∞上单调递增，当1a →时，()3f a →，()3f a ∴>，即()23,a b +∈+∞，D 正确．11．ABC 由()122log x f x x =-，可知函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增．因为实数a ，b ，()0c a b c >>>满足()()()0f a f b f c <，则()f a ，()f b ，()f c 可能都小于0或有1个小于0，2个大于0，如图．则A ，B ，C 可能成立，0x c >，D 不可能成立．12．AD 由题意知()()10f x x x'=->，因为()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，所以()()12f x f x ''=，1211x x =，12+=，A 正确；由基本不等式及12x x ≠，可得12=>，即12256x x >，B 错误；1232x x +>>，C 错误；2212122512x x x x +>>，D 正确．故选AD ．13．解析：（方法一）因为cos 5θ=-，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 5θ=，所以22222sin 22sin cos 4an 2cos 2cos t sin 3θθθθθθθ⎛ ⎝⎭====-⎛- ⎝⎭⎝⎭．（方法二）因为cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin θ=，所以tan 2θ=-，所以()()22222tan 4tan 21tan 312θθθ⨯-===---． 答案：4314．解析：因为原数据平均数是8，方差为16，将这组数据中的每一个数据都减去4，所以新数据的平均数为4，方差不变仍为16，所以新数据的方差与平均数的和为20． 答案：2015．解析：如图所示，设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则1OO ⊥平面ABC ．设球O 的半径为R ，1OO d =，则22sin sin 60ABC AC r ===︒∠，即r =．当P ，O ，1O 三点共线时，12max3V R d V d ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，即2R d =．由222R d r =+，得2169R =，所以球O 的表面积26449S R ππ==． 答案：649π16．解析：由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，22b p∴-=，即b p =-．∴直线l 的方程为2y x p =-．设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222y x p y px=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由一元二次方程根与系数的关系得1232px x +=，又5AB =，12552x p p x ∴++==，则2p =，∴抛物线2:4C y x =．设()00,M x y ，由题意知204y x =，则()()()2222200000334188x y x x MN x =-+=-+=-+≥，当01x =时，2MN 取得最小值8，MN ∴的最小值为答案：2 17．解：（1）选择①， 根据正弦定理得a c a bb a c--=+， 从而可得222a c ab b -=-，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 解得1cos 2C =， 因为()0,C π∈， 故3C π=（5分）选择②， 根据正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=．即()sin 2sin cos A B C C +=， 即sin 2sin cos C C C =， 因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，从而有1cos 2C =， 故3C π=． （5分）（2）根据余弦定理得2222cos c a b ab C =+-．得225a b ab =+-， 即()253a b ab =+-， 解得2ab =， 又因为ABC 的面积为12sin ab C ， 所以ABC． （10分） 18．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠． 因为2a ，9a ，30a 成等比数列， 所以()()()2111298a d a d a d ++=+．又15a =，解得2d =或0d =（舍），所以23n a n =+． （4分） （2）依题意得123n n b b n +-=+，即121n n b b n --=+（2n ≥且*n N ∈）， 所以()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+()()()221321215322n n n n n n ++=++-+++==+． （7分）13b =对上式也成立，所以()2n b n n =+，即()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． （9分） 所以11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()1113232124211122n nn n n ⎛⎫=+ +--=-+++⎝⎭+⎪． （12分） 19．（1）证明：因为侧面11ABBA 是矩形，2AB =，1AA =D 是1AA 的中点，所以AD =．在1Rt ABB 中，11tan 2AB AB B BB ∠==，在Rt ABD 中，tan ABD AD AB ==∠，所以1AB B ABD ∠=∠．又1190BAB AB B ∠+∠=︒，所以190BAB ABD ∠+∠=︒，所以在AOB 中，90BOA ∠=︒，即1BD AB ⊥，又CO ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，所以1CO AB ⊥，又BD CO O =，所以1AB ⊥平面BCD ．又BC ⊂平面BCD ，所以1BC AB ⊥． （6分）（2）解：由（1）可知OD ，1OB ，OC 两两垂直．如图，以O 为坐标原点，分别以OD ，1OB ，OC 所在直线为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，则0,,03A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,3C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以33AB ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝=⎭，0,33AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()DB =-，BC ⎛= ⎝⎭．设平面ABC 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0033x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令1x =，得y =，z =，则(11,2,n =．又平面BCD 的一个法向量为()20,1,0n =，设二面角D BC A --的大小为θ，由题图可知θ为锐角，则12122cos 55n n n n θ⋅===⋅，所以二面角D BC A --的余弦值是5． （12分） 20．（1）解：设点P 的坐标为(),x y ，由题意知23AP BP k k ==-⋅， 化简得点P的轨迹方程为(22132x y x +=≠． （4分） （2）证明：由题意知，直线AP ，BP 斜率存在且不为0， 又由已知得23AP BP k k =-⋅， 因为//AP OM ，//BP ON ，所以23OM ON k k =-⋅． 设直线MN 的方程为x my t =+，代入C 的方程得()222234260m y mty t +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ， 则122423mt y y m +=-+，21222623t y y m -=+， （6分） 又()212122222121212262363OM ON y y y y t k x x m y y y t k mt y t m -⋅====-+++-，得22223t m =+． 所以12111222MONS t y y t t =-===，即MON 的面积为定值2（12分） 21．解：（1）从这箱产品中任取20件检验，每件产品为不合格品的概率为()01p p <<，且每件产品是否为不合格品相互独立．因此设X 为不合格口罩数，X 符合二项分布．所以()()1822201f p C p p =-，所以()()()1722021110f p C p p p '=--，故当00.1p =时，()f p 取最大值． （5分）（2）（ⅰ）设剩余180件口罩中不合格品为Y ，则()~180,0.1Y B ，()18E Y =，则检验费用和赔偿费用之和为20225X Y =⨯+，()()4025E X E Y =+，所以()490E X =． （9分）（ⅱ）整箱检验费用为2200400⨯=元，因为()490400E X =>，所以需要对余下的所有口罩做检验． （12分）22．（1）证明：当1m =时，()1ln f x x x=+ ． ()22111x f x x x x-'=-+=， ()f x ∴在(]0,1上单调递减，在[)1,2上单调递增，()()min 11f x f ∴==，()1f x ∴≥． （3分）（2）解：当0m =时，()ln f x x =，()0,2x ∈，可知不符合题意．当0m ≠时，设切点为()()00,x f x （显然01x ≠），又切线过点()1,0A ，()()()00001f x f x x '∴-=-，即()()0001f x f x x '=-， 000200ln 1mx m x x x x +=∴--， 整理得0200l 10n 21x m m x x ++--=． （*） 由题意，得方程（*）在区间()0,2上有两个不同的实数解． （5分）（方法一）令()221ln 1m m g x x x x+=+--， ()()()321x m x g x x --'=．①当21m =，即12m =时，()g x 在()0,2上单调递增，∴此时不满足要求． （6分） ②当21m >，即12m >时，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减或在()0,1，()2,2m 上单调递增，在()1,2m 上单调递减，而()()1120g me e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()10g m =>，()3212ln 21ln 2048m g +=+->->，()12ln 204g m m m=+>， ()g x ∴在区间()0,1上有唯一的零点，在区间()1,2上无零点．∴此时不满足要求． （8分）③当021m <<，即102m <<，()g x 在()0,2m 上单调递增，在()2,1m 上单调递减，在()1,2上单调递增． ()21ln 10m e e m m g e e m +-⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，()10g m =>，()20g m >，()20g >， ()g x ∴在区间()0,2上有唯一的零点，∴此时不满足要求． （10分）④当0m <时，()g x 在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增．()()1120g me e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，()10g m =<，()322ln 24m g -=+． 当()20g ≤，即24ln 23m -≤时，()g x 在区间()0,2上有唯一的零点，此时不满足要求． 当()20g >，即24ln 203m -<<时，()g x 在区间()0,1和()1,2上各有一个零点，设为1x ，2x ． 此时，()21m f x x x '=-，显然()f x '在区间()0,2上单调递减． ()()12f x f x ''∴≠，∴此时满足要求．综上所述，实数m 的取值范围是24ln 2,03-⎛⎫ ⎪⎝⎭． （12分） （方法二）关于0x 的方程()0020021110ln x x x m x -+-+=在区间()0,2内有两个不同的实数解，显然12不是方程的解，故原问题等价于22l 12n x x x x m x+-=-在区间()0,2内有两个不同的实数解． 设()()22112l 2ln 1n x x x x x x x s x x x x +-+-==--，02x <<，12x ≠， 则()()()2ln 11212x x x x s x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=-，02x <<，12x ≠． 令()2ln 1h x x x =+，02x <<，12x ≠， 则()221221x h x x x x -'=-+=， 故当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()12ln 402h x h ⎛⎫∴>=-> ⎪⎝⎭． ∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0s x '>．当()1,2x ∈时，()0s x '<， 从而当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()s x 单调递增， 当()1,2x ∈时，()s x 单调递减． （9分）令()1ln t x x x x =+-，02x <<，12x ≠，()ln t x x '∴=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0t x '<，当()1,2x ∈时，()0t x '>， ()()10t x t ∴≥=．∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0s x >， 当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0s x ≤． 而当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()10s x s ≤=，当x 从12右侧趋近12时，()s x →-∞，作出()s x 的大致图象如图所示， 故22l 12n x x x x m x +-=-在区间()0,2内有两解()20s m ⇔<<，解得24ln 203m -<<，即实数m 的取值范围是24ln 2,03-⎛⎫ ⎪⎝⎭． （12分）。
2024年山东成人高考专升本高等数学(一)真题及答案
2024年山东成人高考专升本高等数学(一)真题及答案1. 【选择题】当x→0时，ln(1+x2)为x的( )A. 高阶无穷小量B. 等价无穷小量C. 同阶但不等价无穷小量D. 低阶无穷小量正确答案：A参考解析：2. 【选择题】A.B.C.D.正确答案：C参考解析：3. 【选择题】设y(n-2)=sinx，则y(n)=A. cosxB. -cosxC. sinxD. -sinx正确答案：D参考解析：4. 【选择题】设函数f(x)=3x3+ax+7在x=1处取得极值，则a=A. 9B. 3C. -3D. -9正确答案：D参考解析：函数f(x)在x=1处取得极值，而f'(x)=9x2+a，故f'(1)=9+a=0，解得a=-9．5. 【选择题】A.B.C.D.正确答案：B参考解析：6. 【选择题】A. sin2xB. sin2xC. cos2xD. -sin2x正确答案：B参考解析：7. 【选择题】A.B.C.D.正确答案：D参考解析：8. 【选择题】函数f(x，y)=x2+y2-2x+2y+1的驻点是A. (0，0)B. (-1，1)C. (1，-1)D. (1，1)正确答案：C参考解析：由题干可求得f x(x，y)=2x-2，f y(x，y)=2y+2，令f x(x，y)=0，f y(z，y)=0，解得x=1，y=-1，即函数的驻点为(1，-1)．9. 【选择题】下列四个点中，在平面x+y-z+2=0上的是A. (-2，1，1)B. (0，1，1)C. (1，0，1)D. (1，1，0)正确答案：A参考解析：把选项中的几个点带入平面方程，只有选项A满足方程，故选项A是平面上的点．10. 【选择题】A.B.C.D.正确答案：B 参考解析：11. 【填空题】参考解析：12. 【填空题】参考解析：13. 【填空题】参考解析：14. 【填空题】参考解析：15. 【填空题】参考解析：16. 【填空题】参考解析：17. 【填空题】参考解析：18. 【填空题】参考解析：19. 【填空题】参考解析：20. 【填空题】过点(1，0，-1)与平面3x-y-z-2=0平行的平面的方程为____.参考解析：平面3x-y-z-2=0的法向量为(3，-1，-1)，所求平面与其平行，故所求平面的法向量为(3，-1，-1)，由平面的点法式方程得所求平面方程为3(x-1)-(y-0)-(z+1)=0，即3x-y-z-4=0．21. 【解答题】参考解析：22. 【解答题】参考解析：23. 【解答题】求函数f(x)=x3-x2-x+2的单调区间．参考解析：24. 【解答题】求曲线y=x2在点(1，1)处的切线方程．参考解析：25. 【解答题】参考解析：26. 【解答题】参考解析：27. 【解答题】参考解析：28. 【解答题】证明：当x>0时，e x>1+x．参考解析：设f(x)=e x-1-x，则f'(x)=e x-1．当x>0时，f'(x)>0，故f(x)在(0，+∞)单调递增．又因为f(x)在x=0处连续，且f(0)=0，所以当x>0时，f(x)>0．因此当x>0时，e x-1-x>0，即e x>1+x．。
2020年山东省专升本高数一真题及答案
2020年山东省专升本高数一真题及答案1、“租赁”的读音是“zūlìng”。
[判断题] *对错(正确答案)2、1《清塘荷韵》中，作者季羡林想说明的人生哲理是：天地萌生万物，对包括人在内的动、植物等有生命的东西，总是赋予一种极其惊人的求生存的力量和极其惊人的扩展蔓延的力量，这种力量大到无法抵御。
[判断题] *对错(正确答案)3、下列词语中，加着重号字的注音不正确的一项是（）[单选题] *A、赘语(zhuì)熨帖(yù)淬火(cuì)B、浩瀚(hàn) 克隆(lóng)感慨(kǎi)C、玄虚(xuán)国粹(cuì) 鱼翅(chì)D、摩登(mó)神祗(qí)裨益(pì)(正确答案)4、“醴酪”的读音是“lǐluó”。
[判断题] *对错(正确答案)5、43. 下列句子没有语病的一项是（）[单选题] *A．一家研究机构的调查结果显示，大约50%左右的人患有“手机依赖症”。
B．能否帮助孩子们树立正确的价值观，是他们形成良好人生观的关键。
C．近日，神舟十三号宇航员在中国空间站为广大青少年带来了一堂精彩的太空科普课。
(正确答案)D．通过“文明学校”创建活动，使每个同学的文明意识显著增强。
6、“微风过处，送来缕缕清香，仿佛远处高楼上渺茫的歌声的似的”这句的修辞格是（）[单选题] *比喻比拟通感(正确答案)错觉7、“无故寻愁觅恨，有时似傻如狂，纵然生得好皮囊，腹内原来草莽，潦倒不通世务，愚顽怕读文章，行为偏僻性乖张，哪管世人诽谤”描写的是( ) [单选题] *A.贾宝玉(正确答案)B.贾琏C.贾蓉D.贾环8、1介绍工艺流程一般按照工序的先后顺序逐一介绍，突出每个步骤的操作要领。
[判断题] *对错(正确答案)9、“梧桐一叶而天下知秋”的出处是（）。
[单选题] *荀子淮南子(正确答案)晏子春秋史记10、《雨中登泰山》作者写到天街上的“小店”典型特点是（）[单选题] *新颖别致险峻狭窄(正确答案)古朴别致贫穷简陋11、下列选项中加着重号字读音相同的一项是（）[单选题] *A、遗憾浓酣B、色调协调C、娇柔骄傲(正确答案)D、意境景色12、下列词语中，加着重号字的注音不正确的一项是（）[单选题] *A、崎岖（qí）隐瞒（mán）恬淡(tián)B、糜烂（mí）莅临（lì）粘贴（zhān）C、筵席（yán）潜伏（qiǎn）惶惑（huáng）(正确答案)D、矗立（chù）矜持（jīn）赎罪（shú）13、下列词语中，加着重号字的注音正确的一项是（）[单选题] *A、将进酒（qiāng）岑夫子(chén)欢谑（xuè）馔玉（zhuàn）B、虾蟆陵（há）贾人（jiǎ）钿头（diàn）荻花（dí）C、樯橹(qiáng)酹(lèi) 凝噎（yè）兰舟催发(fà)D、郯子（tán）六艺经传（zhuàn）或不焉（fǒu）句读（dòu）(正确答案)14、下列对《红楼梦》中人物形象的解说，不正确的一项是( ) [单选题] *A.贾宝玉：性格叛逆，鄙视功名利禄，大胆质疑程朱理学。
2020成人高考专升本数学复习(高数一)复习题及答案
2020年成人高考专升本高等数学一复习试卷构成分析一、题型分布：试卷分选择、填空、解答三部分，分别占40分、40分、70分二、内容分布难点：隐函数求导、全微分、多元函数极值、常微分方程复习方法：1、结合自身情况定目标2、分章节重点突破，多做题，做真题第一部分 极限与连续题型一：求极限方法一：直接代入法（代入后分母不为0都可以用） 练习：1. 2limπ→x xx sin 12-＝_______ 2. x x x sin lim 1→＝______方法二：约去为零公因子法练习1. 12lim 221--+→x x x x ＝______ 练习2、lim x→1x 4−1x 3−1=练习3. lim x→1√5x−4−√xx−1 =方法三：分子分母同时除以最高次项（∞∞） 练习1. ∞→x lim1132-+x x ＝_______ 2. 112lim 55-+-∞→x x x x ＝______ 练习3.lim x→+∞(√x 2+2x −√x 2−1)方法四：等价代换法（x →0时，sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x ln(1+x)~x 1−cos x~12x 2）（等价代换只能用于乘除，不能用于加减）练习1. 1lim →x 1)1sin(2--x x ＝练习2. 0lim →x x x x sin cos 1-＝___ ____ 3. 1)1arcsin(lim 31--→x x x ＝______方法五：洛必达法则（分子分母求导）（∞∞）型 或（00）型 或 其他变形形式练习1. ∞→x lim 353-+x x ＝_______ 2. 112lim 22-+-∞→n n n n ＝______练习：3. 1lim →x 1ln --+x e e x x ＝_______ 4. 12lim 221--+→x x x x ＝______两个重要极限（背2个重要极限）练习1.1lim→x 22)22sin(--x x ＝__ ____ 2. xxx 42sin lim 0→＝____ __练习3.0lim →x x x 4sin 2sin ＝__ _ 4. xxx 2tan lim 0→＝____ __(练习1-4也可以用等价无穷小法)练习5.∞→x lim x x 2)11(+＝__ ____ 6.∞→x lim x x )211(+＝__ ____练习7.∞→x lim x x )231(+＝__ ____ 8. ∞→x lim x x3)211(-＝__ ____练习9.0lim →x xx 1)21(+ ＝__ ____ 10. 0lim →x xx 21)1(-＝__ ____无穷小量乘以有界函数 ＝ 无穷小量 练习1. 0lim →x xsinx1=________ 2. ∞→x lim x 1sinx=________(什么是无穷小量？高阶无穷小，低阶无穷小，等阶无穷小，等价无穷小？)题型二：连续性问题（可导/练习1. 函数⎩⎨⎧<+≥+=1,1,1ln )(2x x ax x x x f 在x=1处连续，则a=______练习2. 函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0,0,)1()(1x x a x x x f x 在x=0处有极限，则a=______练习3. 函数⎩⎨⎧<+≥+=2,2,1)(2x x b x ax x f 在x=2处可导，则a=______， b=______第二部分 一元函数微分学题型一：求导（背导数公式、导数的四则运算，复合函数求导公式）(y’=f’(x)=dxdy这三种是一个意思, 如果求微分dy ，就是dy= y’dx) 练习1. f(x)=sinx+2cosx , 则f’(2π)=__ ____练习2. y=xlnx , 则dy=___ ___练习3. y=x x cos 12+ , 则dxdy=___ ___练习4. y=x 4cosx +x1+ e x, 则y’=__ ____ 练习5. y=cos 4x, 则y’=___ 6. y=sin （x 3+1）, 则dy=___ ___ 练习7. y=x x +2, 则y’=__ ____ 8. y=)ln(x x +, 则dy=___ ___题型三中，一定要注意运算率 (kv)’=______ (uv)’=______ )'(vu=_____ f(g)’=_____ 一定要背好导数公式，在考试中占40分左右题型二：高阶导数与隐函数的求导练习1. y=x 3+lnx, 则y”=______ 2. y=cos2x, 则y (4)=______ 练习3. y=ln （2x+1）, 则y”=______ 4. y=xe 2x , 则y”(1)=______ 练习5. 2x 3+xy++y+y 2=0, 则dx dy =______ 6. e x +y=sinxy, 则dxdy =______题型三. 在某点处的切线或法线（斜率或方程）练习1.曲线y=2x 3在点（1，2）处的切线的斜率为_______, 切线方程为___________ 练习2. 曲线y=sin(x+1)在x=-1处的切线方程为___________ 练习3. 若y=ax 2+2x 在x=1处的切线与y=4x+3平行，则a=________ 练习4.双曲线y =1x 在点（12,2）处的法线方程为题型四：求驻点、极值点（极值）、拐点、单调区间、凹凸区间1.求驻点、拐点、极值点练习1. 曲线 y=x 3－3x 的驻点为___________ 极值点为__________ 拐点为_______2.求单调区间与极值（大题） 练习2.求1431)(3+-=x x x f 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点（答案见11年高考）练习3. 若f(x)=ax 3+bx 2+x 在x=1处取得极大值5，求a,b第三部分 一元函数积分学题型一：求不定积分基础计算（背好公式：原函数、不定积分的性质、基本积分公式 ） 练习1：f(x)=3e 2x 则⎰dx x f)('＝___ ___练习2：f(x) 的一个原函数是x 3，则f’(x)=_ __ 练习3：x 2是f(x)的一个原函数，则f(x)=__ ___ 练习4：⎰+）21(dx d x dx=__ 练习5：⎰+dx x x )(＝______练习6：⎰dx x )1(2＝______练习7：⎰++++dx e xx x x )11cos 2(＝______题型二：凑微分法求积分 练习1：⎰2x xe dx=_ __ 练习2：⎰+12x e dx=_ __练习3：⎰+x 321dx=__ 练习4：⎰+22x xdx=__ 练习5：⎰+)2cos(2x x dx=___ 练习6：⎰xxln dx=___ 练习7：⎰xx )sin(ln dx=___ 练习8：⎰+12x x dx=__ _题型三：分部积分法求积分 公式：______________________ 练习1：⎰x ln dx=___ 练习2：⎰x x ln dx=___练习3：⎰x e x 2dx=___ 练习4：⎰x x sin dx=___练习5：⎰x x sin 2dx=___题型四： 求定积分基础计算练习1：⎰-22sin ππx dx=_ __ 练习2：⎰+121(）x dx=__ _练习3：⎰+1021(dxd ）x dx=__ _ 练习4：⎰e dx x11=_ __练习5：＝则⎰⎩⎨⎧≤<≤≤=202f(x)dy ,21,210,)(x x x x x f _________ 练习6：⎰ex x 1ln dx=___题型五：广义积分 练习1：⎰+∞12x e dx=___ 练习2：⎰∞-+0211x dx=___题型六：平面图形的面积与旋转体的体积（有可能大题）练习1. 设D 为曲线y=1-x 2， 直线y=x+1及x 轴所围成的平面区域，如图 （1）求平面图形的面积（2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V x还有一道2013年26题见课本第四部分 空间解析几何题型一： 求直线方程或法向量练习1、一平面过点（1,-1,0）且与向量{2,1,3}垂直，则该平面方程应为= 练习2、一平面过点（1,0,2）且与平面2x −y +4z −1=0平行，则该平面方程为 练习3、已知两平面π1:kx −2y +3z −2=0与平面：π2:3x −2y −z +5=0垂直；则k= 练习4、过两点A （1,2,1）,B （-1,3,0）的直线方程为 练习5、直线x−13=y+1−1=z−21与平面x+2y -z+3=0位置关系是（ ）A 、直线垂直于平面B 、直线平行于平面，但不在平面上C 、直线与平面斜交D 、直线在平面内题型二：二次曲面练习1、试确定球面x 2+y 2+z 2−2x +2y +4z +2=0的球心与半径。