高一数学距离的向量计算方法
1. 距离的定义
一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这 一点到这个平面的距离.
当直线与平面平行时，直线上任一点到与它平 行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离.
当两平面平行时，一 个平面上任一点到另一 个平面的距离，叫做两 平行平面的距离.
以上都可以转化为： 点到平面的距离的求解问题。
P
β
α
A
2. 点到平面距离的向量计算公式
D1
C1 公垂向量n (1, 1, 2)
A1 D
连接向量DC (0, a, 0)
H B1
y C
d | DC n | a 6 a.
|n|
66
O
xA
B
小结
异面直线距离的求解法：
①求出两条异面直线的公垂向量
AB n
②给出连接两条异面直线的一个向量
d |n|
点到面、线到面、面到面距离的求解法：
例3
已知正方体
AC1 的棱长为
a
，求
B1C
与
BD
间的距离 新疆 王新敞 奎屯
解：如图建立空间直角坐标系，则
z
B(a, a, 0),C(0, a, 0), B1(a, a, a), D(0, 0, 0) D1
所以 DB (a, a,0),CB1 (a,0, a) A1
C1 B1
n (x, y, z) 设公垂向量为 n
DB
ax ay
0
n
(1,1,1)
n CB1 ax az 0
D
即
A
x
d CB n | (a, 0, 0) (1,1,1) | 3 a.
|n|
3
3
Cy B
6.两异面直线距离的向量计算公式练习
棱长为a的正方体AC1，求异面直线A1C与DB的距离.
简解: A1C (a, a, a)
z
DB (a, a, 0)
①求出平面的一个法向量 ②给出连接点与面的一个向量
PQ n d
n
作业
C1
B1
A1
C
B
A
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
·2007·
新疆 王新敞
奎屯
M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
解：如图,以D为原点建立空间直角坐 标系D－xyz. 则D(0,0,0),A( 2a ,0,0),
B( 2a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )
∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( 2 a , 0, 0) N ( 2 a , 1 a, 1 a)
2
2 22
∴ MC ( 2 a, a, 0) , MN (0, 1 a, 1 a) ,
2
22
MA ( 2 a, 0, 0) 2
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC
练3习. 点(用到向平量法面求的距距离离): 的向量计算示例
例21.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a ,
n MN a y a z 0 22
解得 2 x y z , 2
∴可取 m ( 2,1, 1)
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a义及向量计算公式
和两条异面直线都垂直 相交的直线，我们称之为异
b D1
面直线的公垂线.
A1
C1 B1
两条异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段
n
D
C
叫做公垂线段.
A
a
B
公垂线段的长度，叫做两条异面直线间的距离.
异面直线 a, b 之间的距离：
d AA1
AC1 n |n|
(n a, n b, 为方便，称n为公垂向量)
5. 两异面直线距离的向量计算公式示例
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
A O
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA | | n | | cos PA, n | = | PA n | .
|n|
|n|
2. 点到平面距离的向量计算公式
点B到平面α的距离:
AB n d
|n|
n 是平面 的法向量
Bβ
n
αC A
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
设平面的法向量 n (x，y，z）z
G
则 GE n 0，GF n 0
∴
2x 4y 4x 2y
2z 2z
0 0
∴
n
(1，1，3）D
∵ FB (0，2，0）
E
Cy
∴ d FB n 2 11 A
n
11 x
F
B
练3习. 点(用到向平量法面求的距距离离): 的向量计算示例 例21.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a ,
M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
∴ MC ( 2 a, a, 0) , MN (0, 1 a, 1 a) ,
2
22
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量,
MA ( 2 a, 0, 0) 2
∴ n MN , n MC
∴ n MC 2 ax ay 0 且 2
3. 点到平面的距离的向量计算示例
例1. ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AD、AB的中点，
GC垂直平面ABCD，GC＝2，求点B到平面EFG的距离.
解：如图建立空间坐标系，
则 E(2,0,0), F(4,2,0), G(0,4,2) FB (0，2，0）
GF (4， 2， 2）,GE (2， 4， 2）
一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这 一点到这个平面的距离.
当直线与平面平行时，直线上任一点到与它平 行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离.
当两平面平行时，一 个平面上任一点到另一 个平面的距离，叫做两 平行平面的距离.
以上都可以转化为： 点到平面的距离的求解问题。
P
β
α
A
2. 点到平面距离的向量计算公式
D1
C1 公垂向量n (1, 1, 2)
A1 D
连接向量DC (0, a, 0)
H B1
y C
d | DC n | a 6 a.
|n|
66
O
xA
B
小结
异面直线距离的求解法：
①求出两条异面直线的公垂向量
AB n
②给出连接两条异面直线的一个向量
d |n|
点到面、线到面、面到面距离的求解法：
例3
已知正方体
AC1 的棱长为
a
，求
B1C
与
BD
间的距离 新疆 王新敞 奎屯
解：如图建立空间直角坐标系，则
z
B(a, a, 0),C(0, a, 0), B1(a, a, a), D(0, 0, 0) D1
所以 DB (a, a,0),CB1 (a,0, a) A1
C1 B1
n (x, y, z) 设公垂向量为 n
DB
ax ay
0
n
(1,1,1)
n CB1 ax az 0
D
即
A
x
d CB n | (a, 0, 0) (1,1,1) | 3 a.
|n|
3
3
Cy B
6.两异面直线距离的向量计算公式练习
棱长为a的正方体AC1，求异面直线A1C与DB的距离.
简解: A1C (a, a, a)
z
DB (a, a, 0)
①求出平面的一个法向量 ②给出连接点与面的一个向量
PQ n d
n
作业
C1
B1
A1
C
B
A
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
·2007·
新疆 王新敞
奎屯
M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
解：如图,以D为原点建立空间直角坐 标系D－xyz. 则D(0,0,0),A( 2a ,0,0),
B( 2a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )
∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( 2 a , 0, 0) N ( 2 a , 1 a, 1 a)
2
2 22
∴ MC ( 2 a, a, 0) , MN (0, 1 a, 1 a) ,
2
22
MA ( 2 a, 0, 0) 2
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC
练3习. 点(用到向平量法面求的距距离离): 的向量计算示例
例21.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a ,
n MN a y a z 0 22
解得 2 x y z , 2
∴可取 m ( 2,1, 1)
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a义及向量计算公式
和两条异面直线都垂直 相交的直线，我们称之为异
b D1
面直线的公垂线.
A1
C1 B1
两条异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段
n
D
C
叫做公垂线段.
A
a
B
公垂线段的长度，叫做两条异面直线间的距离.
异面直线 a, b 之间的距离：
d AA1
AC1 n |n|
(n a, n b, 为方便，称n为公垂向量)
5. 两异面直线距离的向量计算公式示例
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
A O
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA | | n | | cos PA, n | = | PA n | .
|n|
|n|
2. 点到平面距离的向量计算公式
点B到平面α的距离:
AB n d
|n|
n 是平面 的法向量
Bβ
n
αC A
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
设平面的法向量 n (x，y，z）z
G
则 GE n 0，GF n 0
∴
2x 4y 4x 2y
2z 2z
0 0
∴
n
(1，1，3）D
∵ FB (0，2，0）
E
Cy
∴ d FB n 2 11 A
n
11 x
F
B
练3习. 点(用到向平量法面求的距距离离): 的向量计算示例 例21.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a ,
M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
∴ MC ( 2 a, a, 0) , MN (0, 1 a, 1 a) ,
2
22
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量,
MA ( 2 a, 0, 0) 2
∴ n MN , n MC
∴ n MC 2 ax ay 0 且 2
3. 点到平面的距离的向量计算示例
例1. ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AD、AB的中点，
GC垂直平面ABCD，GC＝2，求点B到平面EFG的距离.
解：如图建立空间坐标系，
则 E(2,0,0), F(4,2,0), G(0,4,2) FB (0，2，0）
GF (4， 2， 2）,GE (2， 4， 2）
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第六节_距离的计算
A．aB．a C．D．a
5.已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（）
A． B． C． D．
6.已知线段AB、BC都在平面α内，BC⊥AB,线段DA⊥α,若AB=1,BC=2,CD=3,则DA=（）
A.1B.2C.3D.4
7.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，那么异面直线BC与AA1的距离为。
第二章空间向量与立体几何
第12课时第六节距离的计算【 Nhomakorabea堂互动】
新知1点到直线的距离
例1.如图3，在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1和B1C1的中点。求点D到BE的距离；
笔记：
新知2点到平面的距离
例2.如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4．求点P到平面QAD的距离
笔记：
【堂中精炼】
3.设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若 =
x +y +z ，则（x，y，z）为( )
A.（ ， ， ）B.（ ， ， ）C.（ ， ， ）D.（ ， ， ）
4.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是（）
8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，那么异面直线BA1与CC1的距离为
5.已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（）
A． B． C． D．
6.已知线段AB、BC都在平面α内，BC⊥AB,线段DA⊥α,若AB=1,BC=2,CD=3,则DA=（）
A.1B.2C.3D.4
7.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，那么异面直线BC与AA1的距离为。
第二章空间向量与立体几何
第12课时第六节距离的计算【 Nhomakorabea堂互动】
新知1点到直线的距离
例1.如图3，在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1和B1C1的中点。求点D到BE的距离；
笔记：
新知2点到平面的距离
例2.如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4．求点P到平面QAD的距离
笔记：
【堂中精炼】
3.设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若 =
x +y +z ，则（x，y，z）为( )
A.（ ， ， ）B.（ ， ， ）C.（ ， ， ）D.（ ， ， ）
4.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是（）
8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，那么异面直线BA1与CC1的距离为
高一数学向量的加减法
B
A
. O
. N
2, 填空
AB - AD = DB BA - BC = CA
BC - BA =
OD - OA =
AC
AD
BA
OA - OB =
(3)填空
(1) (2) (3) AB - AC - CB = 0
AB + BC - AD
AB + BC - DC AB - AC + BC
=
= =
DC
AD
先复习向量的加法
b
a
a 三角形法则
-----首尾相接首到尾
平行四边形法则
----相同起点对角线
同学们学习了向量的加法，接 下来我们要学习
向量的减法
c
b
如图:
a+b= c
c-a = b
移项得:
a
c a b
这么说来，向量c与向量a进 行了减法运算，得到向量b。 像这样求两个向量的差的运 算叫做向量的减法。 那么向量的减法有什么 规律呢？
(4)
0
课堂小结:
(1)向量减法的概念.
(2)向量减法可以看作一个向量 加上另一个向量的相反向量. (3)a-b 几何作法:平移同起点,方向指向 被减数a 。 a a-b
o
b
作业: (1)课本105页第6 题
(2)同步做练习册
; / 腾讯云代理 腾讯云代理商 腾讯云服务器代理
svc81svt
一串地响了起来在这些不协调的声音中，其狐朋狗友们起身准备离开了。围堵在酒店门口的人们看到他们要走了，只给他们让开了一 条不够一人通过的小缝隙，他们只好一个接一个地侧着身子灰溜溜地挤出去走掉了。随后，那两桌衣着阔绰的外地大商人也站起来准 备走了。临走时，他们还都没有忘了对站在前台的耿正兄妹三人或拱拱手，或点点头。那些围堵在酒店门口的人看到他们出来，就让 开了更大一些的缝隙。他们也走了。90第五十二回 献艺期将满遇难坎儿|（酒店老板虽仁义，卑劣小人现丑行；兄妹献艺期将满，到 底还是遇难坎儿。）耿家兄妹仨与“盛元酒店”老板签署的三月期献艺契约眼见着就要到期了。老板提出来增加薪金续签，但耿正婉 言谢绝了。他真诚地对老板说：“非常感谢您的知遇之恩！不过，我们做完上次签的契约，就已经攒够做小生意的本钱了。在贵酒店 献艺固然不错，但我们更愿意改做生意！”这位老板人本不错，见耿正如此说，只能深表惋惜，别的也就不再说什么了。但实践已经 证明，这种拉奏演艺说唱班形式的艺人组合是非常有特色，也很吸引人的。为了确保酒店能够继续沿用这种组合形式的艺人班子，老 板就在酒店门口张贴出一张另招募一组这种艺人组合的启示。不成想，就是这个再平常不过的小小启示，却引来了一场天大的麻烦！ 说起来，出麻烦的那天距离契约期满只差一天了。那天的晚饭当口，耿正兄妹三人像往常一样有条不紊地在演唱台上拉奏演唱着。但 很快，情况就有些不对劲了：坐在台前主桌上的一个阔佬明显有意刁难，一个接一个地点一些先前不曾演唱过的怪异节目，和他同桌 吃饭的几个食客也帮着起哄，搞得整个大厅内的气氛骤然紧张起来。献艺三个月来，耿家兄妹仨第一次遭遇到了如此难以应付的尴尬 场面。酒店的伙计们原本知道这个姓吴的阔佬仗着自己很有钱，经常做一些为富不仁蛮不讲理的事情。和他同桌吃饭的几个食客都是 他的狐朋狗友，全都不是地道人儿。此时，看到形势不对劲儿了，领班的伙计头儿赶快吩咐一个机灵的小伙计去后面告知老板。听了 小伙计的述说，老板一点儿不敢怠慢，赶快整整衣冠来到前台，举止谦恭地去见那姓吴的阔佬。只见他人还没有走到那张饭桌前，就 已经开始拱手施礼了，并且以热情的笑脸连声说：“在下不知吴大员外光临，有失远迎啊，恕罪，恕罪！您也看到了，这三兄妹还年 幼呢，他们技艺不精，会演唱的曲目有限，还请大员外多多光照啊，不要难为他们！”但这蛮横的阔佬根本就不买这个账，反而傲慢 地斜眼儿瞧着谦恭的酒店老板，皮笑肉不笑地嘿嘿两声以后，这才阴阳怪气地说：“老板啊，你这个演唱班不错嘛，在咱们这个小小 的景德镇上还算有些名气呢！我嘛，实不相瞒，最近已经慕名来过你
A
. O
. N
2, 填空
AB - AD = DB BA - BC = CA
BC - BA =
OD - OA =
AC
AD
BA
OA - OB =
(3)填空
(1) (2) (3) AB - AC - CB = 0
AB + BC - AD
AB + BC - DC AB - AC + BC
=
= =
DC
AD
先复习向量的加法
b
a
a 三角形法则
-----首尾相接首到尾
平行四边形法则
----相同起点对角线
同学们学习了向量的加法，接 下来我们要学习
向量的减法
c
b
如图:
a+b= c
c-a = b
移项得:
a
c a b
这么说来，向量c与向量a进 行了减法运算，得到向量b。 像这样求两个向量的差的运 算叫做向量的减法。 那么向量的减法有什么 规律呢？
(4)
0
课堂小结:
(1)向量减法的概念.
(2)向量减法可以看作一个向量 加上另一个向量的相反向量. (3)a-b 几何作法:平移同起点,方向指向 被减数a 。 a a-b
o
b
作业: (1)课本105页第6 题
(2)同步做练习册
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svc81svt
一串地响了起来在这些不协调的声音中，其狐朋狗友们起身准备离开了。围堵在酒店门口的人们看到他们要走了，只给他们让开了一 条不够一人通过的小缝隙，他们只好一个接一个地侧着身子灰溜溜地挤出去走掉了。随后，那两桌衣着阔绰的外地大商人也站起来准 备走了。临走时，他们还都没有忘了对站在前台的耿正兄妹三人或拱拱手，或点点头。那些围堵在酒店门口的人看到他们出来，就让 开了更大一些的缝隙。他们也走了。90第五十二回 献艺期将满遇难坎儿|（酒店老板虽仁义，卑劣小人现丑行；兄妹献艺期将满，到 底还是遇难坎儿。）耿家兄妹仨与“盛元酒店”老板签署的三月期献艺契约眼见着就要到期了。老板提出来增加薪金续签，但耿正婉 言谢绝了。他真诚地对老板说：“非常感谢您的知遇之恩！不过，我们做完上次签的契约，就已经攒够做小生意的本钱了。在贵酒店 献艺固然不错，但我们更愿意改做生意！”这位老板人本不错，见耿正如此说，只能深表惋惜，别的也就不再说什么了。但实践已经 证明，这种拉奏演艺说唱班形式的艺人组合是非常有特色，也很吸引人的。为了确保酒店能够继续沿用这种组合形式的艺人班子，老 板就在酒店门口张贴出一张另招募一组这种艺人组合的启示。不成想，就是这个再平常不过的小小启示，却引来了一场天大的麻烦！ 说起来，出麻烦的那天距离契约期满只差一天了。那天的晚饭当口，耿正兄妹三人像往常一样有条不紊地在演唱台上拉奏演唱着。但 很快，情况就有些不对劲了：坐在台前主桌上的一个阔佬明显有意刁难，一个接一个地点一些先前不曾演唱过的怪异节目，和他同桌 吃饭的几个食客也帮着起哄，搞得整个大厅内的气氛骤然紧张起来。献艺三个月来，耿家兄妹仨第一次遭遇到了如此难以应付的尴尬 场面。酒店的伙计们原本知道这个姓吴的阔佬仗着自己很有钱，经常做一些为富不仁蛮不讲理的事情。和他同桌吃饭的几个食客都是 他的狐朋狗友，全都不是地道人儿。此时，看到形势不对劲儿了，领班的伙计头儿赶快吩咐一个机灵的小伙计去后面告知老板。听了 小伙计的述说，老板一点儿不敢怠慢，赶快整整衣冠来到前台，举止谦恭地去见那姓吴的阔佬。只见他人还没有走到那张饭桌前，就 已经开始拱手施礼了，并且以热情的笑脸连声说：“在下不知吴大员外光临，有失远迎啊，恕罪，恕罪！您也看到了，这三兄妹还年 幼呢，他们技艺不精，会演唱的曲目有限，还请大员外多多光照啊，不要难为他们！”但这蛮横的阔佬根本就不买这个账，反而傲慢 地斜眼儿瞧着谦恭的酒店老板，皮笑肉不笑地嘿嘿两声以后，这才阴阳怪气地说：“老板啊，你这个演唱班不错嘛，在咱们这个小小 的景德镇上还算有些名气呢！我嘛，实不相瞒，最近已经慕名来过你
6.2.3 向量的数乘运算-高一数学新教材配套课件(人教A版2019必修第二册)
课堂小结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如 λ＋a，λ－a 是没
有意义的．
2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，
→ → →→
→→
若AB＝λAC，则AB与AC共线，又AB与AC有公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，
这是证明三点共线的重要方法．
D．2a－3b
解析: A→C＝A→B＋A→D＝2a＋3b.
3.在△ABC 中，若A→B＋A→C＝2A→P，则P→B等于( )
A．－12A→B＋32A→C
B. 12A→B－32A→C
√C. 12A→B－12A→C
D．－12A→B＋12A→C
解析：由A→B＋A→C＝2A→P得A→P＝12(A→B＋A→C)，所以P→B＝P→A＋A→B＝－12(A→B＋A→C) ＋A→B＝12A→B－12A→C.
总结
1.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行． 2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合． 例如，若A→B＝λA→C，则A→B与A→C共线，又A→B与A→C有公共点 A，从而 A， B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
二．向量共线定理 1.向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa ．
注意： (1)定理中，向量 a 为非零向量 (2)要证明向量 a，b 共线，只需证明存在实数 λ，使得 b＝λa 即可． (3)由定理知，若向量A→B＝λA→C，则A→B，A→C共线．又A→B，A→C有公共点 A，从而 A，B， C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
由O→D＝O→A＋O→B＝a＋b，得O→N＝12O→D＋16O→D＝23O→D＝23a＋23b.
高一数学《夹角和距离公式》
做一做： 教师备用：已知 a＝(0，－1,1)，b＝(1,2，－1)，则 a 与 b 的夹角等于( D ) (A)30° (B)60° (C)90° (D)150°
解析：a·b＝0－2－1＝－3，
|a|＝ 2，|b|＝ 1＋22＋1＝ 6，
∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
－3 ＝－ 2· 6
nn··ab＝ ＝00 .
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． (3)方法二必须建立空间直角坐标系，方法一不一定要建立空间直角坐标系． (4)在求平面的法向量时，要先找有没有和平面垂直的直线，若没有则用待定系数法．
(5)在利用方法二求解平面的法向量时，方程组nn··ab＝ ＝00 有无数多个解，只需给 x，y，z
角时可以在两条异面直线上分别取出两个向量，通过求这两个向量所成的角来求异面直线所
成的角，但需注意异面直线所成角范围(0°，90°]，注意这两个角相互转化时范围的不同．
知识要点二：线段的长度的求法
1．利用 a·a离公式来求．
知识要点三：对平面法向量的理解 1．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然，一个平面的法向 量有无数多个，它们是共线向量．由于过直线外一点作与已知直线垂直的平面有且只有一个， 因此，在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过 A 的平面是唯 一确定的． 2．求平面法向量的方法 (1)方法一：找到一条与已知平面垂直的直线，则该直线的任意方向向量都是该平面的法 向量． (2)方法二：待定系数法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求 解，一般步骤如下： ①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． ③根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组
高一数学空间直角坐标系知识点
高一数学空间直角坐标系知识点空间直角坐标系是由三个坐标轴构成的，分别为x轴，y轴和z轴。
通过将这三个轴相交于一点，我们就可以在三维空间中描述任意一个点的位置。
在空间直角坐标系中，每个点都可以表示成一个由三个有序实数（x，y，z）构成的三元组。
其中，x表示点在x轴上的距离，y表示点在y轴上的距离，z表示点在z轴上的距离。
除此之外，空间直角坐标系还有一些重要的知识点，以下列举三个例子：1. 距离公式在空间直角坐标系中，我们可以通过勾股定理计算两个点之间的距离。
假设点A的坐标为(x1，y1，z1)，点B的坐标为(x2，y2，z2)，则它们之间的距离d可以表示为：d=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]其中sqrt表示开方运算。
这个距离公式在计算空间中两个点之间的距离时非常有用。
2. 长度、面积和体积的计算在空间直角坐标系中，我们可以通过计算线段长度、平面面积和立体体积来解决很多实际问题。
例如，我们可以使用勾股定理来计算线段的长度，使用向量积（叉积）来计算平面的面积，使用三元组的符号体积来计算立体体积。
3. 点、直线、平面的方程在空间直角坐标系中，点、直线、平面可以用方程来表示。
例如，点P的坐标为(x0，y0，z0)，则可以表示为P(x0，y0，z0)。
而直线和平面的方程则需要根据其特点来确定。
例如，一条直线可以表示为L：(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a,b,c)，其中(x1,y1,z1)表示直线上一点的坐标，(a,b,c)表示直线的方向向量，t为参数。
而一个平面可以表示为Ax+By+Cz=D的形式，其中A、B、C为平面的法向量，D为平面的截距。
通过这些方程，我们可以方便地求解点、直线、平面的位置关系和交点等问题。
总之，空间直角坐标系是数学中非常重要的概念，对于工程学科、自然科学等领域的问题都有广泛的应用。
通过学习空间直角坐标系的知识点，我们可以更好地理解和解决很多实际问题。
平面几何中的向量方法课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
3
+
2
4
2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则
此四边形为( A )
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
由题意得 ＝(3,3)， ＝(2,2)，
∴ ∥，||≠||.
3．平面上有三个点A(－2，y)，B
0,
2
，C(x，y)(x≠0)，若
____________________________________________________________．
(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或
线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：
a⊥b⇔a·
b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))
1
2
CD＝DA＝ AB，求证：AC⊥BC．
证法二
如图，建立直角坐标系，
设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴ ＝(－1,1)， ＝(1,1)．
∴ · ＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.
∴AC⊥BC．
方法总结
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
___________________________________________________．
(3)求角问题，利用公式：cos〈a，b〉＝
⋅
1 2 +1 2
＝
_____________________
12 +12 22 +22
(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
(1)向量的线性运算法的四个步骤
高一数学向量题50道
高一数学向量题50道每题2分，满分：100分，考试时间：60分钟1.计算a=(3,4)a=(3,4)和b=(1,2)b=(1,2)的和a+b a+b。
2.计算u=(−1,3)u=(−1,3)和v=(2,−5)v=(2,−5)的差u−v u−v。
3.计算向量a=(2,1)a=(2,1)的模∣a∣∣a∣。
4.计算向量b=(3,4)b=(3,4)的单位向量。
5.求u=(1,2)u=(1,2)和v=(3,4)v=(3,4)的点积u⋅v u⋅v。
6.求向量a=(4,0)a=(4,0)和b=(0,3)b=(0,3)的叉积a×b a×b。
7.判断向量m=(2,3)m=(2,3)和n=(4,6)n=(4,6)是否共线。
8.求向量a=(2,−1)a=(2,−1)和b=(3,4)b=(3,4)的夹角余弦。
9.求向量c=(−1,2)c=(−1,2)和d=(5,6)d=(5,6)的模。
10.计算向量a=(3,−1)a=(3,−1)乘以标量k=2k=2的结果。
11.计算向量b=(4,−3)b=(4,−3)乘以标量k=−1k=−1的结果。
12.判断向量p=(2,2)p=(2,2)和q=(−1,−1)q=(−1,−1)之间的夹角。
13.求在平面直角坐标系中，点A(2,3)A(2,3)和点B(5,7)B(5,7)的位置向量AB AB。
14.求向量u=(1,−4)u=(1,−4)和v=(4,3)v=(4,3)的和。
15.计算向量a=(2,3)a=(2,3)和b=(3,4)b=(3,4)的内积。
16.证明向量m∥n m∥n当且仅当存在非零数k k使得m=kn m=kn。
17.求向量a=(1,2,3)a=(1,2,3)和b=(4,5,6)b=(4,5,6)的叉积。
18.求通过两点A(1,2)A(1,2)和B(4,6)B(4,6)的直线方程。
19.确认向量c=(2,4)c=(2,4)，d=(3,6)d=(3,6)是否线性相关。
2-6距离的计算课件(北师大版选修2-1)(2)
设点 A1 到直线 BD 的距离为 d.
所以 d＝
规律方法
本题(1)利用基本定义直接求解距离， (2)利用向量方
法求解，通过训练熟练掌握向量公式法求解．
【训练 1】 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，点 E 是 A1B1 的中点，则点 A 到直线 BE 的距离是( )．
6 5 4 5 2 5 5 A. B. C. D. 5 5 5 5
题型一 点到直线的距离 【例 1】 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB＝3， BC＝4，AA1＝5，求点 A1 到下列直线的距离． (1)直线 AC； (2)直线 BD. [思路探索] (1)AA1 即为所求；(2)建系，利用向量坐标计算，确 定直线 BD 的一个方向向量，代入公式求解．
解析
→ 如图所示，BA＝(2，0，0)．
→ BE＝(1，0，2)， → → |BA·BE| 2 ∴cos θ＝ ＝ ， → → 2 5 |BA||BE| → → BA·BE 2 5 ＝ 5 . → |BE| 4 ∴sin θ＝ 1－cos θ＝ ， 20
2
A 到直线 BE 的距离 d＝ ＝ 答案 4 4 5 4－ ＝ . 5 5 B
→ BC·n |－12| 12 61 为：d＝ |n| ＝ ＝ 61 .(12 分) 61
【题后反思】 七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化， 如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间 的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离．而且 我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法．
角度作出这个距离有很大的困难， 利用向量方法求解较为容易．
【训练 2】 四棱锥 PABCD 中， 四边形 ABCD 为正方形， PD⊥ 平面 ABCD，PD＝DA＝2，F、E 分别为 AD、PC 的中点． (1)证明：DE∥平面 PFB； (2)求点 E 到平面 PFB 的距离．
直线上向量的坐标及其运算
（1）a=3e，b=-6e；
解：
3，-6
(2)a=− ������e,b=2e;
������
− ������ ，2
��ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ���
2.设数轴上两点A,B的坐标分别为-1，3，求： （1）向量������������的坐标，以及A及B的距离； （2）线段AB中点的坐标。
解： （1）������������的坐标为4，AB之间距离为4.
������
������=− ������ ������，求 ������ ， ������ ， ������ + ������ ， ������������ − ������������ .
������
解：
������ =������， ������ =������，因为a+b=������ ������ + − ������ ������ = − ������ ������，所以 ������ + ������ = ������ ；
������
������
������
������
������
������
又因为2a-3b=2* ������ ������-3* − ������ ������ = ������������ ������，所以 ������������ − ������������ = ������������
新人教B版必修二
第六章 平面向量
主讲人：姜妍
复习提问
共线向量基本定理的内容：
如果������ ≠ 0且a∥b，则存在唯一的实数������，使得b=������a
新课讲解
1.直线上向量的坐标
直线上的向量特指始点和终点都在这条直线上的向量
向量的数乘运算课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
B
a
b
b
O
BA a b
a
A
新知探究
我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面
向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？
探究 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们
的长度和方向是怎样的？
a
O
a
A
a
a
B
C
OA AB AC
a a a 3a
注：①向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与λ以及 a有关；
+ − a，
a 无意义；
②实数和向量可以相乘，但不能相加减，
习题演练
5
2
AC 5
，则 AC _____
2. 点C在线段AB上，且
AB
,
BC
=
______
AB.
7
7
CB 2
A
C
B
新知探究
探究:实数与向量积的运算律
3(2a )
∴AC 2 AB .
2b
A
∴AC与 AB共线.
因此,A,B,C 三点共线.
推论 : A, B , C 三点共线 存在 R, 使 AB AC
b
a
O
归纳小结
证明或判断A、B、C三点共线的方法：
AC BC
有公共点B
C
A、B、C三点共线
B
A
新知探究
追问：已知不共线向量a，b，作向量a+λ2b，你能发现向量
a
2a
= 6a
3(2a )
a
b
b
O
BA a b
a
A
新知探究
我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面
向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？
探究 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们
的长度和方向是怎样的？
a
O
a
A
a
a
B
C
OA AB AC
a a a 3a
注：①向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与λ以及 a有关；
+ − a，
a 无意义；
②实数和向量可以相乘，但不能相加减，
习题演练
5
2
AC 5
，则 AC _____
2. 点C在线段AB上，且
AB
,
BC
=
______
AB.
7
7
CB 2
A
C
B
新知探究
探究:实数与向量积的运算律
3(2a )
∴AC 2 AB .
2b
A
∴AC与 AB共线.
因此,A,B,C 三点共线.
推论 : A, B , C 三点共线 存在 R, 使 AB AC
b
a
O
归纳小结
证明或判断A、B、C三点共线的方法：
AC BC
有公共点B
C
A、B、C三点共线
B
A
新知探究
追问：已知不共线向量a，b，作向量a+λ2b，你能发现向量
a
2a
= 6a
3(2a )