算术平均值与几何平均值
算术平均数与几何平均数
6.2.3 算术平均数与几何平均数●教学目标(一)教学知识点1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤42M ，等号当且仅当a ＝b 时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立.(二)能力训练要求通过两个例题的研究，进一步掌握均值不等式定理，并会用此定理求某些函数的最大、最小值.(三)德育渗透目标掌握两个正数的算术平均数和几何平均数顺序定理及相应的一组不等式，使学生认清定理的结构特点和取“＝”条件.要在分析具体问题的特点的过程中寻求运用公式的适当形式和具体方式，自觉提高学生分析问题和解决问题的能力.●教学重点基本不等式a 2＋b 2≥2ab 和2b a +≥ab （a ＞0，b ＞0）的应用，应注意： (1)这两个数(或三个数)都必须是正数，例如：当xy ＝4时，如果没有x 、y 都为正数的条件，就不能说x ＋y 有最小值4，因为若都是负数且满足xy ＝4，x ＋y 也是负数，此时x ＋y 可以取比4小的值.(2)这两个(或三个)数必须满足“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”的条件，就不能用这个定理.例如，求当x ＞0时，y ＝x 2＋x 1的最小值，若写成y ＝x 2＋x 1≥2x xx 212=⋅，就说“最小值为2x ”是错误的，因为x 2·x 1不是定值，而2x 仍为随x 变化而变化的值.正确的解法是：由于x 2·x 21·x 21＝41为定值，故x 2＋x 1＝x 2＋x21＋x 21≥3·3322232121=⋅⋅x x x ，即y 的最小值为2233. (3)要保证等号确定能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值. ●教学难点如何凑成两个(或三个)数的和或积是定值.例如“教学重点”(2)中y ＝x 2＋x 1凑成y ＝x 2＋x 21＋x21. ●教学方法启发式教学法●教具准备投影片一张●教学过程Ⅰ.课题导入上一节课，我们学习了一个重要定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(以下简称均值不等式).这个定理有时可以直接运用，有时用它的变形或推广形式，(打出投影片§6.2.2 A ，教师引导学生略作分析)，使同学们掌握下面几个重要的不等式：(1)a 2＋b 2≥2ab （a ，b ∈R ），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； (2)ab b a ≥+2（a ＞0，b ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； (3) ba ab +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； (4) 33abc c b a ≥++（a ＞0，b ＞0，c ＞0），当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号； (5)a 3＋b 3＋c 3≥3abc （a ＞0，b ＞0，c ＞0），当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号.在此基础上，上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧.今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.Ⅱ.讲授新课［例1］已知x 、y 都是正数，求证：(1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ；(2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值41S 2. ［师］本题显然是均值不等式的应用，在运用均值不等式时应注意：“算术平均数”是以“和”为其本质特征，而“几何平均数”是以“积”为其本质特征.［生］∵x ，y 都是正数∴xy y x ≥+2(1)当积xy ＝P 为定值时，有P y x ≥+2， 即x ＋y ≥2P .上式中，当x ＝y 时取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(3)当和x ＋y ＝S 为定值时，有2S xy ≤， 即xy ≤41S 2. 上式中，当x =y 时取“=”号，因此，当x =y 时积x y 有最大值41 S 2. ［师生共析］通过对本题的证明，运用均值不等式解决函数的最值问题时，有下面的方法：若两个正数之和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的积有最大值；若两个正数之积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值.在利用均值不等式求函数的最值问题时，我们应把握好以下两点：(1)函数式中，各项(必要时，还要考虑常数项)必须都是正数.例如，对于函数式x ＋x1，当x ＜0时，绝不能错误地认为关系式x ＋x 1≥2成立，并由此得出x ＋x 1的最小值是2.事实上，当x ＜0时，x ＋x1的最大值是－2，这是因为x ＜0⇒－x ＞0，－x 1＞0⇒－（x ＋x 1）＝（－x ）＋（－x 1）≥2)1()(x x -⋅-＝2⇒x ＋x1≤－2.可以看出，最大值是－2，它在x ＝－1时取得.(2)函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用均值不等式求函数的最值.［例2］已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd .［师］运用均值不等式，结合不等式的基本性质，是证明本题的关键.［生］∵a ，b ，c ，d 都是正数，∴ab ＞0，cd ＞0，ac ＞0，bd ＞0. ∴cd ab cd ab ⋅≥+2＞0， bd ac bd ac ⋅≥+2＞0. 由不等式的性质定理4的推论1，得4))((bd ac cd ab ++≥abcd 即（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd .［师生共析］用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法.利用算术平均数与几何平均数的关系定理(均值不等式)，可以很容易地解决本章开始的引言中提出的问题：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?［师］应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值.(在教师的引导分析下，师生共同完成解答过程).［生］设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为x34800m ，又设水池总造价为ｌ元.根据题意，得ｌ＝1５0×34800＋120（2×3x ＋2×3×x34800） ＝240000＋７20（x ＋x 1600）. ≥240000＋７20×2xx 1600⋅ ＝240000＋７20×2×40＝2９７６00.当x ＝x1600，即x ＝40时，ｌ有最小值297600. 因此，当水池的底面是边长为40 m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.［师生共析］我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.Ⅲ.课堂练习1.已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x的值最小?最小值是多少? 分析：注意到x 2＋281x 是和的形式，再看x 2·281x＝８1为定值，从而可求和的最小值. 解：x ≠0⇒x 2＞0，281x ＞0. ∴x 2＋281x ≥22281xx ⋅＝1８， 当且仅当x 2＝281x ，即x ＝±3时取“＝”号. 故x =±3时，x 2+281x 的值最小，其最小值是18. 2.一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“＝”号成立，(4)确定正确答案.解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积 S ＝x （Ｌ－2x ） ＝21·2x （Ｌ－2x ）≤218)222(22L x L x =-+当且仅当2x ＝Ｌ－2x ，即x ＝4L 时菜园面积最大，即菜园长2L m ，宽为4L m 时菜园面积最大为82L m 2. 解法二：设矩形的长为x m ，则宽为2x L -m ，面积 S ＝2)(2)(2x L x x L x -⋅=- ≤82)2(22L x L x =-+（m 2）. 当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L （m ）时，矩形的面积最大.也就是菜园的长为2L m ，宽为4L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 2. 3.设0＜x ＜2，求函数f （x ）＝)38(3x x -的最大值，并求出相应的x 值. 分析：根据均值不等式：2b a ab +≤，研究)38(3x x -的最值时，一要考虑3x 与８－3x 是否为正数；二要考查式子21［3x ＋（８－3x ）］是否为定值. 解：∵0＜x ＜2∴3x ＞0，８－3x ＞0 ∴f （x ）＝)38(3x x -≤2)38(3x x -+＝4 当且仅当3x ＝８－3x 时，即x ＝34时取“＝”号. 故函数f （x ）的最大值为4，此时x ＝34. Ⅳ.课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题.在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立.只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题.Ⅴ.课后作业(一)课本P 11习题6.2 4、５、７.(二)1.预习内容：课本P 12 §６.3.1 不等式的证明.2.预习提纲：(1)用比较法证明不等式.(2)用比较法证明不等式的一般步骤：作差(或商)→变形→判断差的符号(或商与1的大小)→得证.●板书设计。
算术平均数与几何平均数
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
注意2：等号取到的条件。
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舍也，王者於大败，诛首恶，赦其众，不则皆函阴气，厥水流入国邑，陨霜杀叔草”桓公元年“秋炁大水”。董仲舒、刘向以为桓弑兄隐公，民臣痛隐而贱桓。后宋督弑其君，诸侯会，将讨之，桓受宋赂而归，又背宋。诸侯由是伐鲁，仍交兵结仇，伏尸流血，百姓愈怨，故十三年夏复大水。 一曰，夫人骄淫，将弑君，阴气盛，桓不寤，卒弑死。刘歆以为桓易许田，不祀周公，废祭祀之罚也。严公七年“秋，大水，亡麦苗”。董仲舒、刘向以为，严母文姜与兄齐襄公淫，共杀桓公，严释父仇，复取齐女，未入，先与之淫，一年再出，会於道逆乱，臣下贱之之应也。十一年“秋， 宋大水”。董仲舒以为时鲁、宋比年为乘丘、鄑之战，百姓愁怨，阴气盛，故二国俱水。刘向以为时宋愍公骄慢，睹灾不改，明年与其臣宋万博戏，妇人在侧，矜而骂万，万杀公之应。二十四年，“大水”。董仲舒以为夫人哀姜淫乱不妇，阴气盛也。刘向以为哀姜初入，公使大夫宗妇见，用 币，又淫於二叔，公弗能禁。臣下贱之，故是岁、明年仍大水。刘歆以为先是严饰宗庙，刻桷丹楹，以夸夫人，简宗庙之罚也。宣公十年“秋，大水，饑”。董仲舒以为，时比伐邾取邑，亦见报复，兵仇连结，百姓愁怨。刘向以为，宣公杀子赤而立，子赤，刘出也，故惧，以济西田赂齐。邾 子玃且亦齐出也，而宣比与邾交兵。臣下惧
专题十七 算术平均数与几何平均数
高中数学高考综合复习专题十七 算术平均数与几何平均数 一、知识网络 二、高考考点 1、运用重要不等式a2+b2≥2ab（a、b∈R）或（a、b∈R+）判断或证明所给不等式的命题是否成立； 2、在给定条件下求有关式的取值范围； 3、在给定条件下求有关函数的最大值或最小值； 4、解决实际应用问题，以最优化问题为主要题型。
三、知识要点 （一）不等式的性质 不等式的性质是证明与求解不等式的基本依据，为了便于记忆和运用，我们将不等式的性质划分为“基本性质”和“运算性质”两个类别。
1、关于不等式的“基本性质” （1）对称性：a>b b<a （2）传递性：a>b,b>c a>c （3）“数加“法则：a>b a+c>b+c 推论：a+b>c a>c-b（移项法则） （4）“数乘”法则：a>b,c>0ac>bc; a>b,c<0ac<bc 2、关于不等式“两边运算”的性质 （1）同向不等式两边“相加”：a>b,c>d a+c>b+d; （2）同向的正数不等式两边“相乘”：a>b>0，c>d>0ac>bd； （3）正数不等式两边“乘方”：a>b>0a n>b n>0(n N*); （4）正数不等式两边“开方” 认知：上述所有不等式的性质均可应用于证明不等式，但只有部分不等式的性质，可应用于解不等式，可应用于求解不等式（保证等价变形）的性质为1（1）；1（3）；1（4）及其2（3）；2（4） （二）基本定理及其推论 定理1：如果a,b R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号成立） 推论（平方和不等式）：（当且仅当a=b时等号成立） 定理2：如果a,b R+，那么（当且仅当a=b时等号成立） 推论1（和的平方不等式）：若a,b R+,则（a+b）2≥4ab（当且仅当a=b时等号成立） 推论2（最值定理）：设x,y均为正数，则 （1）当积xy为定值P时，和x+y有最小值（当且仅当x=y时取得）； （2）当和x+y为定值S时，积有最大值（当且仅当x=y时取得）； 四、经典例题 例1 （1）若x,y R+且的最大值. （2）若x,y∈R且xy>0，x2y＝2，求u＝xy＋x2的最小值. 分析：注意运用最值定理解题的要领：一正二定三相等 （1）欲求积的最大值，首先致力于“凑因子”，为凑出已知条件下“和为定值”的正数之积而变形u，若u 的表达式的部分因子在根号外，则可考虑使这一部分进入根号或考察u2： （2）欲求和xy+x2的最小值，首先致力于“凑项”，为凑出已知条件下“积为定值”的正数之和而变形u，若有可能，将u化为一元函数，问题分析会更明朗一些。
高二数学算术平均数与几何平均数
要点·疑点·考点
课
前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展
误
解 分 析
要点·疑点·考点
1. 复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数”的定理.了解它的变式： (1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)；
ab (2) (a，b∈R+)； ab 2
4.如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造一底宽为2米 的无盖长方形沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流 出，设箱体的长度为 a 米，高度为 b 米，已知流出的水中该 杂质的质量分数与 a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平 方米，问当 a ， b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂 质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计).
C )
5 2 4.已知lgx+lgy＝1， 的最小值是______. 2 x y
5. 某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车站的 距离成反比，而每月库存货物的运费 y2与到车站的距离成 正比，如果在距离车站 10公里处建仓库，这两项费用 y1和 y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小， 仓库应建在离车站( ) C
2
2
3. 在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有 最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三 相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.
4.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值. (1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值 2 p； 1 2 (2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值 s. 4 返回
求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一 元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字 母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法.
高二数学-62算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数之间的不等关系式（简称为均值不等式），是中学数学中最基本、最重要的几种不等式之一．它在证明不等式和求最值问题时，起基础性、工具性的作用．学习时要正确理解定理中的条件和结论以及定理变形后的基本结构特征．由它求最值时，特别要验证其中“＝”号成立的条件是否具备．当不具备直接运用均值不等式的条件时，可以对目标式进行拼凑、分拆等变形，再判断能否运用．若仍然不具备条件，则应该寻求其他途径来解决．
点拨 含有参数的不等式的恒成立问题，如果能成功实现参数分离，则可利用求最值的方法确定参数的取值范围．
例13 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销．在一年内，
已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．
解题时，应注意对式子进行变形，凑配出定理或推论应满足的条件，这是常用的方法与技巧，在连续多次使用定理或推论时，“＝”号成立的条件是每次使用时“＝”号都能取得到，即各次取“＝”号的条件应是能相容的．
【难点】本节的难点是均值不等式的常见的变形后的形式以及它们的应用．如：
【易错点】利用均值不等式求最值时容易忽视其前提条件：一正（目标式中各项必须都是正数）；二定（求和的最小值，要求积必须为定值，而求积的最大值，要求和必须为定值）；三相等（目标式中各项能够相等）．上述三个条件全都满足时，才能直接运用均值不等式求最值，所求的结果才是目标函数的最值．
如果在它的定义域内不具备运用均值不等式的条件，则可讨论其单调性，从而求其最值．事实上，f（x）在（0，a）上是减函数，在［a，＋∞］上是增函数，这一结论对求与本例类似的问题大有帮助。
［解析］通过对已知函数解析式的观察、分析，
算术平均值与几何平均值
(D)
b a b a ( A)若a, b R, 则 2 2. a b a b
(B)若x, y是正实数 , 则 lg x lg y 2 lg x lg y .
4 4 (C)若x是负实数, 则x 2 x 4. x x
b a b a ( D)若a, b R , 且ab 0, 则 [( ) ( )] a b a b b a 2 ( ) ( ) 2 a b
2 2
例3：已知a>0,b>0，且a+b=1,求证:
1 1 a b 2 2 2
算术平均值与几何平均值
演 稿
示 1
文
2 3 后 等
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高级中学课本《代数》第二册(上)
人民教育出版社
知识小结：
(1)若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
例1：已知a>b>1，试比较
lg a lg b ab P lg a lg b , Q , R lg 2 2
的大小.
P<Q<R
结论1:
若 a、 b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若 a、 b∈R+,则
ab ab(当且仅当 a=b时取“=”). 2
(2)若a、b∈R+,则 “ =”).
ab ab (当且仅当a=b时取 2
a2 b2 ab 2 ( ) (当且仅当 a=b时取“ =”). (3)若a、b∈R,则 2 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
结论3:
a2 b2 ab 2 ( ) (当且仅当 a=b时取“ =”). 若a、 b∈R,则 2 2
一组数据的几何平均值公式
一组数据的几何平均值公式
算术平均数和几何平均数的关系是：几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。
几何平均数：gn=(a1a2...an)^(1/n)；算术平均数：an=(a1+a2+...+an)/n；平方平均数：
qn=√[(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
算术平均数和几何平均数的区别：算术平均数和调和平均数是平均指标的两种表现形式。
算术平均数和调和平均数并非两类独立的平均数;算术平均数和调和平均数的数值之间并无直接关系，也不存在谁大谁小的问题;不能根据同一资料既计算算术平均数，又计算调和平均数，否则就是纯数字游戏，而非统计研究。
几何平均值与算术平均值
几何平均值与算术平均值平均值是统计学中常用的概念，用于描述一组数据的集中趋势。
在实际应用中，常见的平均值有算术平均值和几何平均值。
本文将探讨几何平均值与算术平均值的定义、计算方法以及它们在不同场景下的应用。
一、几何平均值的定义与计算方法几何平均值是一组正数的平方根的乘积。
假设有n个正数x1, x2, ..., xn，它们的几何平均值为G。
根据定义，几何平均值G可以通过以下公式计算：G = (x1 * x2 * ... * xn)^(1/n)以一个简单的例子来说明几何平均值的计算方法。
假设有一组数据：2, 4, 8, 16。
我们可以通过计算它们的几何平均值来了解这组数据的集中趋势。
G = (2 * 4 * 8 * 16)^(1/4) = 4在这个例子中，这组数据的几何平均值为4。
这意味着这组数据的平均增长率为4倍，从一个数字到下一个数字的增长率都是相同的。
二、算术平均值的定义与计算方法算术平均值是一组数据的总和除以数据的个数。
假设有n个数据x1, x2, ..., xn，它们的算术平均值为A。
根据定义，算术平均值A可以通过以下公式计算：A = (x1 + x2 + ... + xn) / n继续以前面的例子来说明算术平均值的计算方法。
假设有一组数据：2, 4, 8, 16。
我们可以通过计算它们的算术平均值来了解这组数据的集中趋势。
A = (2 + 4 + 8 + 16) / 4 = 30 / 4 = 7.5在这个例子中，这组数据的算术平均值为7.5。
这意味着这组数据的平均值为7.5，每个数据与平均值的偏差大小不一。
三、几何平均值与算术平均值的比较几何平均值与算术平均值都是常用的平均值指标，它们各有特点和应用场景。
1. 数据特点：几何平均值适用于有相乘关系的数据，如增长率、比率等。
算术平均值适用于一般性的数据。
2. 数据偏差：几何平均值对数据的偏差比较敏感，偏离平均值较大的数据对几何平均值的影响较大。
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b
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则 a b ab(当且仅当a=b时取“=”). 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
1.已知x∈（0，+∞）求证 x 1 2 x
2.下列不等式的证明过程正确的是 (D)
a
b2Biblioteka 例3：已知a>0,b>0，且a+b=1,求证:
a 1 b 1 2
2
2
知识小结：
(1)若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
(2)若a、b∈R+,则 a b ab(当且仅当a=b时取
“=”).
2
(3)若a、b∈R,则 a2 b2 (a b )(2当且仅当a=b时取“=”).
6.2算术平均值与几何平均值
丽水学院附中高一数学组
问题:
已知a、b∈R，试比较a2+b2与2ab的大小. 结论： a2+b2≥2ab 思考： 在上式中，何时取“＝”号？ 结论： 当且仅当a=b时,取“＝”号.
〖当且仅当〗是〖充要条件〗的同义词
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
2
2
(A)若a,b R,则 b a 2 b a 2. a b ab
(B)若x, y是正实数,则lg x lg y 2 lg x lg y.
(C)若x是负实数,则x 4 2 x 4 4.
x
x
(D)若a,b R, 且ab
0,则 b
a
[(
b)
(
a )]
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
结论3:
若a、b∈R,则 a2 b2 (a b )(2当且仅当a=b时取“=”).
2
2
例2：已知a,b∈R+，且a+b=1,求证:
(1)ab 1 4
(2)a2 b2 1 2
1 (3) a2
1 b2
8
(4)(a 1 )2 (b 1 )2 25
ab
ab
2 ( b ) ( a ) 2 ab
例1：已知a>b>1，试比较
P lga lgb,Q lga lgb , R lg a b
2
2
的大小.
P<Q<R
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则 a b ab(当且仅当a=b时取“=”). 2