解直角三角形(第二课时)
2解直角三角形第二课时
图1图19.4.3，为了测量电线杆的高度用高1.20图2＝22.7×tan 22° ≈9.17，所以 AB ＝BE ＋AE ＝BE ＋CD＝9.17＋1.20≈10.4（米）． 答： 电线杆的高度约为10.4米．例 2．如图，A 、B 是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，B 楼不能到达，由于建筑物密集，在A 楼的周围没有开阔地带，为测量B 楼的高度，只能充分利用A 楼的空间，A 楼的各层都可到达且能看见B 楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器（皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角）。
1．你设计一个测量B 楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的 测量数据（用字母表示），并画出测量图形。
2．用你测量的数据（用字母表示）写出计算B 楼高度的表达式。
分析：如下图，由于楼的各层都能到达，所以A 楼的高度可以测 量，我们不妨站在 A 楼的顶层测B 楼的顶端的仰角，再测 B 楼的底端的俯角，这样在Rt △ABD 中就可以求出BD 的长度，因为AE ＝BD ，而后Rt △ACE 中求得CE 的长度，这样CD 的长度就可以求出。
解：1．如右图第一步：在A 楼的顶端测得B 楼的顶端的仰角∠CAE ＝α，测得楼的底端的俯角∠EAD ＝β。
第二步：量得 A 楼的高度为AB ＝a 米。
2．过程作 AE ∥BD 交CD 于E 点 因为AE ∥BD ，所以∠BDA ＝∠EAD ＝β在 Rt △ABD 中，AB BD = cot β，所以 BD ＝ AB X cot β．在 Rt △ACE 中，AECE= tan α，所以 CE=AE X tan α。
因为AE ＝BD ＝AB Xcot β，所以 CE ＝AB X cot β tan α＝a ·cot β·tan α。
（米）所以 B 楼的高度为（1十cot β·tan α）a 米。
请同学们想一想，是否还能用其他的方法测量出 B 楼的高度。
28.2 解直角三角形 课件第二课时
B
D
α A β
C
练一练
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处 观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰 角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
人教版初中数学九年级上册 第二十八章《锐角三角函数》
28.2 解直角三角形
第2课时
回顾
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件 解直角三角形； （1）a = 15 , b = 8 ; （2）∠B＝56°，c = 14.
c
B
a=15
A
b=8
C
元素关系
（1）三边之间的关系
a b c （勾股定理）
2 2 2
A c
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系
A的对边 a sin A 斜边 c
cos A A的邻边 b 斜边 c
b
C
a
B
A的对边 a tan A A的邻边 b
应用
例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船 发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表 面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行 到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能 直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远 点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km， 结果精确到0.1km）
分析：我们知道，在视线与水平线 所成的角中视线在水平线上方的是 仰角，视线在水平线下方的是俯角 ，因此，在图中，a=30°,β=60° 所以利用解直角三角形的知识求出
解直角三角形(第2课时)
25.3解直角三角形（第2课时）学情分析：一、自学提纲（一）知识点仰角：俯角：（二）预习自测1.如图，在离铁塔140m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，•已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=_________（根号保留）．2.如图，从树顶A望地面上的C，D两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，•已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于 m.3.如图，某飞机于空中A处探测到地平面上的目标B，•此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200m，则飞机到目标B的距离AB为（）．A．1200m B．2400m C．4003m D．12003m4.两建筑物AB和CD的水平距离为45m，从A点测得C点的俯角为30°，测得D•点的俯角为60°，求建筑物CD的高度．二、典型导例例1、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高?例2、某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲、乙两人分别在相距8米的A 、B 两处测得D 点和C 点的仰角分别为︒45和︒60，且A 、B 、E 三点在一条直线上.若BE=15米，求这块广告牌的高度.三、练习反馈1．如图所示，河对岸有一座铁塔AB ，若在河这边C 、D 处分别用测角仪器测得塔顶B 的仰角为30°，60°。
已知测角仪器高为1.5米，CD ＝20米，求铁塔的高。
2．如图，某校九年级3•班的一个学习小组实行测量小山高度的实践活动．部分同学在山脚点A 测得山腰上一点D 的仰角为30°，并测得AD 的长度为180米；另一部分同学在山顶点B 测得山脚点A 的俯角为45°，山腰点D 的俯角为60°，请你协助他们计算出小山的高度BC （计算过程和结果都不取近似值）．3.如图，在一次军事演习中，小李从营地点A 出发，沿北偏东︒60方向走了m 3500到达目标点B ，然后再沿北偏西︒30方向走500m 到达目的地点C.（1）求A 、C 两地之间的距离；（2）目的地C 在营地A 的什么方向？四、归纳小结仰角、俯角是解直角三角形中的常见题型，关键是作辅助线构造直角三角形并利用勾股定理或三角函数构造方程（组），利用方程的思想求出未知边.教后反思：。
人教版数学九下课件解直角三角形(第2课时)
A
处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的
仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
B
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m
在Rt△ACD中
∵ tan ADC AC DC
∴AC=DC×tan∠ADC
54°45°
D 40m
C
tan 54 40 1.38 40 55.2
120 3 40 3 3
CD AD tan 120 tan 60
B
αD Aβ
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
C
160 3 277.1
答：这栋楼高约为277.1m
练习
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D
5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指 坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据 求：坡角a和β .
i=1:1.5 Bα
AD 6m FE
i=1:3
β
C
i=1:1. B5α
AD
6m
FE
i=1:3
β
C
【解析】在Rt△AFB中，∠AFB=90°
tan AF i 1：1.5
a c
cosA＝
b c
tanA＝
a b
Ａ
bＣ
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）
分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角 ，视线在水平线下方的是俯角，因此 ，在图中，a=30°,β=60°
初中数学教学课件：28.2解直角三角形第2课时(人教版九年级下)
b c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
【例1】2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成 功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道 上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时， 从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的 最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结 果精确到0.1km） 【分析】从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是 视线与地球相切时的切点．
5.（鄂州中考）如图，一艘舰艇在海面下500米A点处测得 俯角为30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，继续在 同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60° 前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距
离海面的深度（结果保留根号）．
你要是疏忽大意，动物们就来抢着吃，使产量减少。 他们又一起坐在大树底下，抱怨这天气太冷，空气太潮湿。于是，小马决定也要过过那种逍遥自在的生活。
∴海底黑匣子C点距离海面的深度为(500 2000 3)m
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: 1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角 三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
【解析】要使A、C、E在同一直线上，则 ∠ABD是
△BDE 的一个外角，
AB
C
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
cos BDE DE
24·4·解直角三角形 第2课时_
11
解有关方向角的问题，通常转化为解 直角三角形的问题，同时注意方程思想的 运用.
12
知识要点： ⑴有关仰角和俯角的问题，常常需要通过观察点作一条 水平线，水平线与铅垂线可以构造直角三角形. ⑵有关方向角问题，需要理解清楚一些特殊的方位，如 正东方、东南方向等，合理利用这些角度和直角三角 形解决问题.
数学·九年级上册·HS 第24章 解直角三角形
24.4 解直角三角形
24.4 解直角三角形 第2课时 解直角三角形的应用——仰角、
俯角、方向角问题
学习目标
1. 知道仰角、俯角的概念，正确分辨实际问题中 的仰角和俯角.
2. 会利用锐角三角函数测量和计算物体的高度.
2
自主学习
自学教材P113-114,回答问题： 1.当我们进行测量时，从 下 .
思想方法：数形结合以及方程思想.
13
一、教材PX:X题,X题,X题.
14
本课时讲解结束，同学们如果还有 疑问，请与老师或其他同学一起合作探 究吧！
15
CE=AE· tanα
=
8 3 3 8 （m）， 3
∴CD=DE+CE=24+8=32（m）．
∴乙楼的高为32m．
5
2.观察上面的解答，你能得出结论： ⑴我们在测量角α时，将所作的垂线AE看成视线的水 平线，角α是从 下 向 上 看时，视线与 水平线的夹角.这样的角叫做仰角. ⑵我们在测量角β时，将所作的垂线AE看成视线的水 平线，角β是从 上 向 下 看时，视线与 水平线的夹角.这样的角叫做俯角. ⑶解有关仰角、俯角的问题时，常通过观察点作一条 水平线 ，该线与铅垂线构成 直角 三角形， 再用 解直角三角形 的方法求得相关问题的解.
《解直角三角形的应用》PPT教学课件(第2课时)
2、视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边，
利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．
3、弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量
关系归结到直角三角形中来求解．
课堂小结
解答含有方位角问题的方法
解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位置中心建立方向
解直角三角形的
26.4
应用
第2课时
知识回顾
直角三角形中诸元素之间的关系：
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理)；
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系：sin A
a
b
a
, cos A , tan A .
c
c
b
c
A
a
b
C
情景导入
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
方案Ⅱ：从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C。
已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍。
（1）求牧民区到公路的最短距离？
解析：设CD=x千米，由题意，得∠CBD=300， ∠CAD=450，
∴AD=CD=x千米
3
在Rt△BCD中，tan300= 3 =，∴BD= 3x千米.
∵AB=40千米，AD+BD=AB，
1
tan
，因此 α≈26.57°.
2
C
在Rt△ABC中，
∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，
因此 sin
BC BC
.
AC 240
解直角三角形及其应用(第2课时)教学PPT
需要进一步理解的问题
如何运用三角函数解决更复杂的实际 问题。
如何运用其他数学知识与三角函数结 合，解决综合性问题。
如何理解并运用三角函数的性质和定 理。
下节课的预习内容
了解三角函数的基本概念和性质。 学习如何运用三角函数解决实际问题。
预习解斜三角形的方法和步骤。
THANK YOU
感谢聆听
解直角三角形及其应用(第2课 时)教学
目
CONTENCT
录
• 引言 • 基础知识回顾 • 应用实例解析 • 练习与巩固 • 总结与反思
01
引言
教学目标
02
01
03
理解解直角三角形的基本概念和原理。 掌握解直角三角形的方法和技巧。 能够运用解直角三角形的知识解决实际问题。
教学内容概述
01
解直角三角形的常用方法：正弦 、余弦、正切等。
综合练习题
1、在$bigtriangleup ABC$中， $angle C = 90^{circ}$，若 $sin A = frac{3}{5}$，则$cos A =$____．
2、在$bigtriangleup ABC$中， $angle C = 90^{circ}$，若
$tan A = frac{3}{4}$，则$cos A =$____．
航空问题
在航空领域，飞机飞行轨迹和高度计算都需要利用 直角三角形。
地理测量
在地理测量中，利用直角三角形可以计算山峰、河 流等地理特征的相对位置和距离。
测量问题中的直角三角形
80%
建筑测量
在建筑领域，利用直角三角形可 以测量建筑物的角度、高度、长 度等参数。
100%
土地测量
在土地测量中，利用直角三角形 可以计算土地的面积、长度、宽 度等。
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解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
Ｂ
； (2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º c
(3)边角之间的关系: a sinA＝ c tanA＝ b cosA＝ c
Ａ
a
a b
b
Ｃ
例1：我市某住宅小区高层建筑均为正南正北方向，楼 高都是16米，某时太阳光线与水平线的夹角为30 °，如 果南北两楼间隔仅有20米，试求：（1）此时南楼的影 子落在北楼上有多高？
16
30°
20
例：我市某住宅小区高层建筑均为正南正北向，楼高都 是16米，某时太阳光线与水平线的夹角为30 °，如果南 北两楼间隔仅有20米，试求：（1）此时南楼的影子落 在北楼上有多高？（2）要使南楼的影子刚好落在北楼 的墙脚，两楼间的距离应当是多少米？
例：我市某住宅小区高层建筑均为正南正北向，楼高都 是16米，某时太阳光线与水平线的夹角为30 °，如果南 北两楼间隔仅有20米，试求：（1）此时南楼的影子落 在北楼上有多高？（2）要使南楼的影子刚好落在北楼 的墙脚，两楼间的距离应当是多少米？
tan a
BD CD , tan AD AD
B α A β D
BD AD tan a 120 tan 30
3 120 40 3 3
CD AD tan 120 tan 60
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
结束寄语
下课了!
• 屡战屡败,似乎会挫伤人的信心, 但屡败屡战则是英雄本色!
A E A
45°
60°
C C B D D
变式：如图楼AB和楼CD的水平距离为80
米，从楼顶A处测得楼顶C处的俯角为 45°，测得楼底D处的俯角为60°，试求 两楼高各为多少？
A E
A
45°
C D B D C
60° 80米 E
一艘渔船正以30海里/小时的速度由西向东追赶鱼 群，在A处看见小岛C在船北偏东60°的方向上； 40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东 30°的方向上。已知以小岛C为中心，10海里为半径 的范围内是多暗礁的危险区。这渔船如果继续向东追 赶鱼群，有没有进入危险区的可能？ C 北 600 A 北 300 B D
视线 铅 直 线 仰角 俯角 视线 水平线
例2: 热气球的探测器 显示，从热气球看一 栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底 部的俯 角为60°， 热气球与高楼的水平 距离为120m，这栋 高楼有多高（结果精 确到0.1m）
仰角水平线Bຫໍສະໝຸດ α A β D俯角 C
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
160 3 277 .1
答：这栋楼高约为277.1m
C
变式：如图楼AB和楼CD的水平距离为80
米，从楼顶A处测得楼顶C处的俯角为 45°，测得楼底D处的俯角为60°，试求 两楼高各为多少？
A 突破措施：建立基本模型 C
B
D
变式：如图楼AB和楼CD的水平距离为80
米，从楼顶A处测得楼顶C处的俯角为 45°，测得楼底D处的俯角为60°，试求 两楼高各为多少？ 80米
例：我市某住宅小区高层建筑均为正南正北向，楼高都 是16米，某时太阳光线与水平线的夹角为30 °，如果南 北两楼间隔仅有20米，试求：（1）此时南楼的影子落 在北楼上有多高？（2）要使南楼的影子刚好落在北楼 的墙脚，两楼间的距离应当是多少米？
16
？
30°
仰角和俯角
在视线与水平线所成的角中, 视线 在水平线上方的叫做仰角,在水平 线下方的叫做俯角.