2020年名校版九年级数学上册教案：24.4 解直角三角形 第二课时 解直角三角形(二)
华师大版-数学-九年级上册-24.4 解直角三角形2 教案
24.4解直角三角形2教学目标：1.知识目标：使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．2.能力目标：逐步培养分析问题、解决问题的能力．教学重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学过程：（一）回忆知识1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？（1）勾股定理：a2+b2=c2（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：tanA=（二）新授概念仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．例1.为了测量旗杆的高度BC ，在离旗杆底部10米A 处，用高1.50米的测角仪DA 测得旗杆顶端C 的仰角a ＝52°，求旗杆杆BC 的高．（精确到0.1米）的邻边的对边A A ∠∠斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin P【答案】在Rt △CDE 中，CE ＝DE ×tan a＝AB ×tana＝10×tan 52°≈12.8，所以BC ＝BE ＋CE ＝AD ＋CE ≈1.5＋12.8＝14.3（米）．答：电线杆的高度约为14.3米．例2.在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=.坡度通常写成1∶m 的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有i ＝=tana显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡.例3.如图6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）【答案】作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，垂足分别为E.F ．由题意可知DE ＝CF ＝4.2（米），CD ＝EF ＝12.51（米）．l hl h图6在Rt △ADE 中，因为所以在Rt △BCF 中，同理可得 因此AB ＝AE ＋EF ＋BF ≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）．答：路基下底的宽约为27.13米．（三）巩固练习设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．(四)总结与扩展请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．︒===32tan 2.4AE AE DE i )(72.632tan 2.4米≈︒=AE )(90.728tan 2.4米≈︒=BF。
【人教版】2020九年级数学上册 第24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 24.4.3 解直角三角形导学案
24.4.3 解直角三角形【学习目标】1．掌握坡角与坡度概念, 能利用解直角三角形解决有关实际问题。
2．由实际问题转化为几何问题时,学会自己画图,建立模型. 【学习重难点】掌握坡角与坡度概念, 能利用解直角三角形解决有关实际问题。
【学习过程】 一、课前准备1.计算: ︒︒+︒+︒60cot 60tan 30cos 30sin 22222．如图，两建筑物的水平距离BC 为24米，从点A 测得点D 的俯角α＝30°，测得点C 的俯角β＝60°，求AB 和CD 两座建筑物的高．（结果保留根号）二、学习新知 自主学习：1.坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即=i ．(坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6．)2.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有tan α＝ ．3.坡度越大，坡角α就越 ，坡面就越 ．图25.3.6图25.3.5实例分析：例1如图25．3．6，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0．1米）解：【随堂练习】1. 如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则tan α的值是 。
2.如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则两树间的坡面距离AB 为（ ）A ．4mB C mD ．3. 如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。
现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备的水管的长为（ ）A.17.5mB.35mC.335mD.70m4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为 米．5.在Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4BC AC =，则cos A = ．【中考连线】河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）A．12 B．4米C．5米D．6米【参考答案】随堂练习41、12、B3、D4、45、5中考连线A。
初中九年级上册数学教案：24.4解直角三角形(2)
≈1.50+12.80
=14.3（米）
答：旗杆BC的高度约为14.3米
小结：根据实际问题画出图形，利用解直角三角形的知识求解
四、联系实际、应用拓展
五、例：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120米，这栋楼有多高？ B
铅 视线
仰角
垂
俯角
线 水平线
视线
三、合作交流、尝试练习
如图：为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角a=52°，求旗杆BC的高。 C
解：在RT△CDE中
∵CE=DE×tana
=AB×tana
=10×tan52°
≈12.80 D E
∴BC=BE+CE
1、锐角三角函数：sinA= cosA= tanA=
sinB= cosB= tanB= (边角关系)
2、解直角三角形的类型：1、已知两条边 2、已知一条边和一个角
二、提出问题、探索新知
1、让学生认真阅读“读一读”（书113）
2、 小结：在测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
经历数学知识的挖掘与欣赏过程，近一步感受数学知识在图案设计中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣
内容
分析
教学重点
理解仰角和俯角的概念，并运用解直角三角形
教学难点
把实际问题转化为直角三角三角形求解
教法
学法
启发诱导式
教具学具
PPT 三角板
教
学
过
程
集体备课（共案）
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》公开课教案_20
课题：直角三角形与勾股定理一、课标呈现:了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理;探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.二、题组练习：题组练习一（问题习题化）：1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于°40，则另一个锐角的度数是 （ ）A. °40 B ．°50 C ．°60 D ．°70２．如图，ABC Δ中，,12,30,90=°=∠°=∠AB A C 则=BC （ ）A. ６ B ． 26 C ．36 D ．１２３．如图，在ABC Rt Δ中，E 是斜边AB 的中点，若10=AB ，则=CE ___________.４．直角三角形的斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为____________. ５．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 ( )A. 4, 5, 6 B ． 1.5 , 2 , 2.5 C ．2, 3, 4 D ．1 ,2 , 3 题组练习二（知识网络化）：6.如图，,,90AB CD ACB ⊥°=∠垂足为D ，下列结论错误的是（ ） A. 图中有三个直角三角形B. 21∠=∠C. 1∠和B ∠都是A ∠的余角D. A ∠=∠27.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长cm BC cm AC 8,6==，将ABC Δ折叠，使，点B 与点A 重合，折痕为DE ，则=CD ___________.8.如图，ABC Δ中，°=∠90ABC 分别以BC ，AB ，AC 为边向外作正方形，面积分别记为，,,,321S S S 若,6,432==S S 则=1S ______________.9.如图，正方形网格中的ABC Δ，若小方格边长为1，则ABC Δ是什么三角形？并加以证明。
10.如图，°=∠90ABC 四边形ABCD 中，,13,12,3,4cm DA cm CD cm BC cm AB ====且，则四边形ABCD 的面积为________________.11.如图，已知圆柱的底面直径π6=BC ，高，3=AB ，小虫在圆柱表面爬行，从C 点爬到A 点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程为 （ ）A. 23 B ． 53 C ．56 D ．26三、课堂小结：。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》公开课教案_21
《解直角三角形》教案 教材和学情分析《解直角三角形》华东师大版义务教育新课标实验教材九年级上册第25章第3节的第一课时的内容，是初中阶段必须掌握的内容。
该班学生的基础一般，所以在教学时要以基础知识的教学为主，要让学生在理解概念的基础上加强练习。
本节课的教学内容是让学生学会利用所学的知识来解直角三角形，了解解直角三角形的基本类型和基本思维方法，能进行简单的计算。
教学目标1、 知识技能目标使学生掌握直角三角形的边角关系，会选用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数、特殊三角函数值等知识解直角三角形。
2、能力目标（1）经历探求直角三角形边角关系的过程，体会三角函数在解决问题过程中的作用，感受理论来源于实践又反作用于实践的唯物主义思想。
（2）通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力3、情感态度和价值观目标形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系。
从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难。
通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，养成良好的学习习惯。
教学重难点：重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形。
难点：从条件出发，正确选用适当的边角关系解题，如何求非直角三角形的边或角。
教学课时： 一课时教具选用：多媒体（幻灯片）电子白板播放教学过程：一、引入课题提出学习目标，今天的学习内容是解直角三角形，直接开门见山，直奔主题二、新课教学（一）概念教学解直角三角形的概念（二）复习有关知识1、勾股定理的复习及变形：a 2＋b 2＝c 22、直角三角形两锐角互余：∠ A ＋ ∠ B ＝ 90º3、边角关系：Sin a ＝ cos a ＝ tan a ＝ cota ＝（三）知识运用1、 一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树优质课教案 a c根24米处.大树在折断之前高多少？（学生先计算，再说出所用的定理和计算方法 让学生对解直角三角形有一个初步的认识，引入概念。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》公开课教案_15
《解直角三角形的应用》复习教学目标：1、进一步理解有关解直角三角形的概念。
2、能运用解直角三角形的相关知识解决生活中的实际问题。
3、学会利用解直角三角形的知识来解决实际应用问题的方法，提高学生分析解决实际问题的能力。
教学重点：进一步理解有关解直角三角形的概念，并能运用解直角三角形的相关知识解决生活中的实际问题。
教学难点：掌握利用解直角三角形的知识来解决实际应用问题的方法。
教学过程：一、复习提示：（一）利用解直角三角形的知识来解决实际应用问题，是中考的一大类型题，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，解答好此类问题要先理解以下几个概念：1 仰角、俯角；2 方向角；3 坡角、坡度；4 水平距离、垂直距离等。
再依据题意画出示意图，根据条件求解。
（二）解实际问题常用的两种思维方法：（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与其他特殊图形的组合；（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现。
（三）考点一 解直角三角形的相关概念1．仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角．2．坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度h 和水平距离l 的比叫坡度(或坡比)，即i ＝tan α＝h l，坡面与水平面的夹角α叫坡角．3．方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，表示北偏东60°方向的一个角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．（四）考点二 解直角三角形的相关概念日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，直角三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节：(1)审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的已知条件，画出它的平面图或截面示意图．(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度、方位角等．(3)是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决．(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．(5)在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况．二、针对训练（一）中考典例分析1、(2013山西中考第10题）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上），为了测量B、C两地之间的距离，某工程队乘坐热气球从C地出发垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的仰角为30º，则BC两地间的距离为（）m。
2020九年级数学上册 第24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 24.4.2 解直角三角形导学案
24.4.2 解直角三角形【学习目标】1、了解仰角、俯角、方位角的概念，能根据直角三角形的知识解决仰角、俯角、方位角有关的实际问题。
2、通过借助辅助线解决实际问题过些，使掌握数形结合、抽象归纳的思想方法。
3、感知本节与实际生活的密切联系，认识知识应用于实践的意义。
【学习重难点】了解仰角、俯角、方位角的概念，能根据直角三角形的知识解决仰角、俯角、方位角有关的实际问题。
【学习过程】一、课前准备1、解直角三角形的几种情况：2、求下列直角三角形未知元素的值二、学习新知自主学习：读一读如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.图实例分析：例１、如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆10A米的C处，用高1.20米的测角仪DA测得旗杆顶端C 的仰角α＝52°，求旗杆BC的高.（精确到0.1米）解：【随堂练习】1.如图：一棵大树的一段BC被风吹断，顶端着地与地面成300角，顶端着地处C与大树底端相距4米，则原来大树高为_________米.2.甲、乙两楼相距50米，从乙楼底望甲楼顶仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30°，求两楼的高度，要求画出正确图形。
【中考连线】某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30o,又航行了半小时到D 处，望灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离。
（结果不取近似值）【参考答案】 随堂练习1、342、33100 中考连线A 、D 两点间的距离为（30＋10 3 ）海里。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》公开课教案_4
24.4解直角三角形(2)教学目标:1、使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题。
2、逐步培养分析问题、解决问题的能力。
教学重点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。
教学难点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。
教学过程:（复习提问）1、解直角三角形指什么？2、解直角三角形主要依据什么？（1）勾股定理（2）锐角之间的关系（3）边角之间的关系导课：问题：小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲心想：“站在地面上可以利用解直角三角形测得图书大厦的高，站在自家窗口能利用解直角三角形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线与水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢？（如图所示）∠BAC与∠DAC在测量中叫什么角？（学生回答后引入新课课题---解直角三角形2：仰角、俯角）设疑自探看到本节课题，你想知道什么问题？（学生提出问题，教师归纳、板书，形成自探提纲）自探提示（一）：请同学们自学教材p113页内容，独立解决以下问题，时间4分钟。
1、什么叫仰角？2、什么叫俯角？3、本课导语的图中，有仰角和俯角吗？若有，请指出其中的仰角和俯角。
解疑合探（一）（学生自学结束后，小组内交流讨论自探过程中遇到的疑难问题，达成共识）1、在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；2、从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
自探提示（二）如图，为了测量旗杆的高度AB，在离旗杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角为22°，求旗杆AB的高.（精确到0.1米）(tan22°≈0.404)解疑合探（二）解：在Rt△ADE中，AE＝DE×tan a＝BC×tan a＝22.7×tan 22°≈9.17AB＝BE＋AE＝AE＋CD＝9.17＋1.20≈10.4（米）答:旗杆的高度约为10.4米．质疑再探在本节课的探究和学习过程中你还有那些疑惑或问题？请大胆提出来，大家共同解决。
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铅垂线
仰角
俯角
视线
水平线 视线
图 1
第二课时
＆.教学目标：
1、掌握直角三角形的边角关系，并能综合运用解决实际问题。
2、掌握铅垂线、水平线、仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等相关术语。
3、能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合、抽象归纳的思想方法。
4、感知本节知识与现实生活的密切联系，体会数学来源于实际生活，又广泛应用于实际生活。
＆.教学重点、难点：
重点：解直角三角形及解直角三角形在实际中的应用。
难点：解直角三角形在实际中的应用及辅助线的添加方法。
＆.教学过程： 一、情景导入
1、解直角三角形的理论依据是什么？
2、在测量旗杆的高度时，小明采用了如下方法：先在地面上选定一个点A .他观察旗杆的顶部视线与水平线所成的角为︒30，然后他向旗杆的方向前进了12米，在地面上选定一个点B ，他观察旗杆的顶部视线与水平线所成的角为︒60，你能帮小明估算旗杆的高度吗？
二、探究新知
＆.仰角、俯角的概念
如图1，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、如图2，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆7.22米的D 处，用高20
.1米的测角仪CD 测得电线杆顶端A 的仰角︒=22α，求电线杆AB 的高。
（精确到1.0米）
解：在ACE Rt ∆中 ∵αtan ⋅=CE AE
αtan ⋅=DB ︒⨯=22tan 7.22 17.9≈
∴4.10≈+=AE BE AB （米）．
E
C α
A
图 2
H F E
D
C α
A
图 3（1）
H
F E D
C α
A 图 3（2）
答：电线杆的高度约为4.10米．
思考：若将上题中的“︒=22α”改为“︒=30α”，电线杆AB 的高又是多少？ 变式1：如图3（1），为了测量电线杆的高度AB ，某人在D 点处用高20.1米的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角︒=30α，然后他前进10米到达H 点处，用同样的测角仪测得电线杆顶端B 的仰角︒=45β，求电线杆AB 的高。
变式2：如图3（2），为了测量电线杆的高度AB ，某人在D 点处用高20.1米的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角︒=30α，然后他电线杆的另一端的H 点处，用同样的测角仪测得电线杆顶端B 的仰角︒=45β，且50=DH 米，求电线杆AB 的高。
§.例2、如图4，在某建筑物AC 上，挂着“多彩云南”的宣传条幅BC ，小明站在点
F 处，看条幅顶端B ，测得仰角为︒30，再往条幅方向前进20米到达点E 处，看到条幅顶
端B ，测得仰角为︒60，求宣传条幅BC 的长。
解：∵︒=∠30BFC ，︒=∠60BEC ，︒=∠90BCF
∴︒=∠=∠30EBC EBF ∴20==EF BE
在BCE Rt ∆中，3.172
3
2060sin ≈⨯=︒⋅=BE BC （米） 答：宣传条幅BC 的长约是3.17米.
§.例3、如图5，一枚运载火箭从地面O 处发射，当火箭到达A 点时，从地面C 处的
雷达站测得AC 的距离是km 6，仰角是︒43.s 1后，火箭到达B 点，此时测得BC 的距离是
km 13.6，仰角是︒54.45。
解答下列问题：
（1）火箭到达B 点时距离发射点有多远？（精确到km 01.0） （2）火箭从A 点到B 点的平均速度是多少？（精确到s km /1.0） 解：（1）在OCB Rt ∆中，CB
OB
=︒54.45sin ，()km OB 375.454.45sin 13.6≈︒⨯= （2）在OCA Rt ∆中，CA
OA
=
︒43sin ，()km OA 09.443sin 6≈︒⨯= ∴()()()s km t OA OB v /3.0109.438.4≈÷-=÷-=
答：火箭到达B 点时距离发射点约km 38.4；火箭从A 点到B 点的平均速度约是
s km /3.0.
归纳小结：仰角、俯角问题是解直角三角形中的常见题型，关键是作辅助线构造直角三角形并利用勾股定理或三角函数构造方程（组），利用方程的思想求出未知边。
四、课堂巩固
教材96P 练习 2~1
E C B
图 4
A A
C
B
图 5
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、明确仰角、俯角的概念。
2、根据具体问题作辅助线构造直角三角形，利用方程的思想求出边和角，在选择三角函数时，要认真思考，简化运算，提高运算能力。