模糊数学4(模糊性随机性隶属函数)

随机试验： 每一次试验下，试验结束时，事件A 发生与否必须确定
A发生的次数 A发生的频率＝ 总试验次数
服从频率稳定性，频率稳定所在的数值称为事件A 发生的概率。
特点：事件A 是确定的，但事件A 是否发生不定。
§1.4.2 隶属函数的统计方法
模糊统计试验：目的是 用确定性手段研究不确定性 每一次试验下，模糊概念明确化。每次试验都确定一 个普通集合 A ， A 表示模糊概念的一个近似的外延。 对元素 u 0 是否属于 A 作出明确判断。
§1.4.1 随机性与模糊性
随机性：事件有明确含义（即概念上有明确的界线）， 但试验之前不知道试验结束时该事件是否发生，在该事件 发生与否上表现出不确定的性质，具有时间性。 模糊性：概念本身没有明确的外延，一个对象是否属 于这个概念难以确定，由于概念外延的模糊而造成的不 确定性，具有客观性。 模糊集合论及其应用. 汪培庄 概率论和模糊数学都是研究和处理不确定的现象，都 不满足二值逻辑，都是映射在[0，1]闭区间上。
《模糊集合论及其应用》，汪培庄，1983
相对比较法
给定论域U={x，y，z，…}，如何建立模 糊子集的隶属函数？ 设有x，y，…等元素需要按某种特性排序，先在 二元对比之中建立比较级，然后再用比较级设法 建立某一规则，最后按这个规则进行总体排序。
相对比较法： （1）求出二元相对比较级； （2）建立相及矩阵，确定总体排序； （3）确定隶属函数。
4. 在某些场合，隶属函数可以作为一种推理的产物出 现，如各种特殊三角函数的隶属函数是推理产生的； 5. 可以通过专家评分的方法确定； 6. 利用神经网络、遗传算法确定隶属函数； 7. 待定系数法。
几种常见的模糊分布
卡夫曼收集了常用的隶属函数28个。 这里归为三大类：
1. S 函数（偏大型）
2. Z 函数（偏小型） 3.
确定总体排序：对相及矩阵的每一行取其最小值（横向）， min 再按所得数从大到小排出优劣次序（纵向）。
x
y
z
y f ( 5/8 y / x ) z / x) z f ( 3/5
x f ( x1/ x)
f ( x1/ y ) f ( y1/ y ) f ( z1/ y )
f (x 1/ z ) f ( 4/7 y / z) f ( z1/ z )
概率论：广义的因果律－概率规律， 承认偶然性，必然现象扩大到偶然现象。 模糊数学：广义的排中律－隶属规律。 承认亦此亦彼性，清晰现象扩大到模糊现象。
模糊逻辑及其工程应用. 美国 Timothy J. Ross著 钱同惠等译.电子工业出版社，2001

§1.4.2 隶属函数的统计方法
隶属函数的确定方法包括主观断定（直觉）、归纳推 理、模糊统计试验、对比排序、神经网络、遗传算法等。
随机试验与模糊统计试验对比：

随机试验： 每一次试验下，试验结束时，事件A 发生与否必须确定
特点：事件A 是确定的，但事件A 是否发生不定。
模糊统计试验：用确定性手段研究不确定性 每一次试验下，模糊概念明确化。每次试验都确定一 个普通集合 A ， A 表示模糊概念的一个近似的外延。 对元素 u 0 是否属于 A 作出明确判断。
相对比较法：（1）求出二元相对比较级； （2）建立相及矩阵，确定总体排序； 用二元比较级建立所谓相及矩阵，以便进行总 体排序，令
f(x ) y max f ( y ), f ( x) y x
则显然有
f y ( x)
f y ( x) f x ( y ), f y ( x) f x ( y ) f(x ) y 1 , f y ( x) f x ( y )

如：掷硬币时，“国徽向上”这一事件有明确的定义。
在[0，1]闭区间上取值的概率分布函数描述随机性 模糊性：概念本身没有明确的外延，一个对象是否属 于这个概念难以确定，因而造成划分的不确定性。 客观的、本源性存在！

如： “病得不轻” ？ “张三病得不轻”。 在[0，1]闭区间上取值的隶属函数描述模糊性
(1) 给定论域U；
(2) A F (U ), A(u) ? (3) 固定元素 u 0 U , A(u 0 ) ? (4) 一个运动着的普通集合 A ，每做一次试验都确定模 糊概念的一个近似外延，对应着一个普通集合 A 。



“u 0 A ”的次数 A(u 0) u 0对A的隶属频率＝ 总试验次数
第一章 模糊集合的一般概念
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 模糊子集的定义及运算 水平截集、分解定理、扩张原则 最大隶属原则及其应用 隶属函数的确定
§1.4.1 随机性与模糊性
高隆昌：《数学及其认识》、《数学纵横》
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确定数学：经典数学
数学
1. 随机数学：
且
f (x ) 1 x
相对比较法：（1）求出二元相对比较级； （2）建立 相及矩阵，确定总体排序；
x
y f ( y / x) z f ( z / x)
y
f ( x / y) f ( y / y) f ( z / y)
z
f (x / z) f ( y / z) f (z / z)
( f y ( x), f x ( y )) (0.8, 0.5) ( f z ( y ), f y ( z )) (0.4, 0.7) ( f x ( z ), f z ( x)) (0.3, 0.5)
长子与次子的二元比较级是：(0.8, 0.5)
它的意思是，长子与次子相对照，如果把长子像父亲的 程度定为0.8的话，那么次子像父亲的程度应该定为0.5。 0.8与0.5。不是他们像父亲程度的绝对度量，而是具 有相对性。
使得在x 和 y 的对比中，如果 x 具有某种特性的程度定 为 f y ( x) 的话，那 y 具有该特性的程度便是 f x ( y) ， 即 ( f y ( x), f x ( y)) 是 x 和 y 对该特性的二元相对比较 级，简称二元相对比较级。
例如： 设论域U = {长子（x），次子（y），幼子（z）}， 按谁最像爸爸进行排序。首先建立二元相对比较级，
函数（中间型）
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《应用模糊数学方法》杨印生，2001
《经济管理中的模糊数学方法》
1. S函数（偏大型） ab 1 S 函数是 x 的连续不减函数，且 S ( ; a, b)
2
2
1
“年老”可定义为： O( x) S ( x;50,70)

0
a
0, ab 2 x b 2 x a , 2 b a S ( x; a, b) 2 xa , 1 2 ba 1,
f y ( x)
f (x ) 1 x
( f z ( y), f y ( z)) (0.4,0.7)
x x f ( x1/ x)
y
z
min
f (x 1/ z ) 1 4/7 y f ( 5/8 y / x ) f ( y / y ) f ( y / z ) 1 4/7 f ( x ) 3/5 f ( x ) 0.5 0.8 f ( z / x ) f ( z / y ) f ( z / z ) y f ( y ) 0.5 z 1 z 3/5 1 y x x 5 f ( ) ) 1 1 f( z ) x y max 8 max f ( z ), f ( x ) max 0.3,0.5 max 0.5, 0.8 y ), f ( x ) max 0.8,0.5 f ( x ), f ( y ) x z yx x y f ( x1/ y )
“u 0 A ”的次数 A(u 0) u 0对A的隶属频率＝ 总试验次数
例1：年龄论域U=[0,100]，A，“青年人”， A(u) ? ຫໍສະໝຸດ u0＝27， A(27) ?

129次试验，武汉建筑材料学院 ，张南伦先生
《经济管理中的模糊数学方法》
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超星图书馆
0
3. 函数（中间型） 函数是 x 的连续函数，且 (b; a, b) 1
1 0
“中年”可定义为：
M ( x) ( x;10, 40)
ba
b
ba
x
S ( x; b a, b) ( x; a, b) Z ( x; b, b a)
xa ab ax 2 ab xb 2 xb
2. Z 函数（偏小型） ab 1 Z 函数是 x 的连续不增函数，且 Z ( ; a, b)
2
2
1
Z ( x; a, b) 1 S ( x; a, b) 1, 2 a b a b x 1 2 x a , 2 ba 2 xa “年轻”可定义为： 2 , ba Y ( x) Z ( x; 25,50) 0, xa ab ax 2 ab xb 2 xb

特点：元素 u 0是确定的，但是否属于 A 不定。
每次试验确定一个普通集合
A 。
模糊统计试验的四个要素：
(1) 给定论域U；
(2) A F (U ), A(u) ?
(3) 固定元素 u 0 U , A(u 0 ) ?



(4) 一个运动着的普通集合 A （每做一次试验有一个 A ）
概率统计学、博弈论、排队论、 随机微分方程、时序分析等
不确定数学
2. 模糊数学： 3. 复杂性数学： 混沌系统中的混沌；热力学 系统中的熵；经济管理系统中 不可逆；自然科学中的非线性
§1.4.1 随机性与模糊性