江苏省2016届高三数学专题复习专题四立体几何文

专题四立体几何真题体验•引领卷一、填空题1. （2015 •江苏高考）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个•若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 __________ .2. （2014 •江苏高考）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S, S,体积分别为V, V2.若它们的侧面积相等，且头9，则律的值是___________ .S2 4 V23. （2015 •广东高考改编）若直线l i和丨2是异面直线，l i在平面a内，I2在平面3内，I 是平面a 与平面3的交线，给出下列结论：①I与丨1，I2都不相交；②I与丨1，丨2都相交；③I至多与丨1，丨2中的一条相交；④I至少与丨1，丨2中的一条相交.则上述结论正确的序号是 _________ .4. （2012 •江苏高考）如图，在长方体ABCD- ABGD中，AB= AD=3 cm，AA= 2 cm，则四棱锥A —BBDiD的体积为 ______ c m.5. （2015 •安徽咼考改编）已知m n是两条不同直线，a ，3是两个不同平面，给出以下命题：①若a ，3垂直于同一平面，则a与3平行；②若m n平行于同一平面，则m与n平行；③若a ，3不平行，则在a内不存在与3平行的直线；④若m n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面.则上述命题错误的是 ________________ （填序号）.6. （2013 •江苏高考）如图，在三棱柱ABC —ABC中，D, E, F分别是AB AC，AA上的中点，设三棱锥F—ADE的体积为V，三棱柱ABG—ABC勺体积为匕，贝U V : V2 = ___ .7. （2015 •福建咼考改编）若I , m是两条不同的直线，m垂直于平面a ,则“ I丄m”是“ I// a ”的________ 条件.8. （2015 •全国卷I改编）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有_____________________ 斛（取整数）.n9. （2015 •山东高考改编）在梯形ABCD中，/ ABC= y, AD// BC BC= 2AD= 2AB= 2•将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ____________ .10. ____________________________________________________________ （2015 •全国卷n 改编）已知A, B是球O的球面上两点，/ AO B= 90°, C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为_____________________________________ .二、解答题11. （2015 •江苏高考）如图，在直三棱柱ABC- ABC中，已知ACLBC BC= CC.设AB的中点为D, BC Q BC = E求证：(1) DE// 平面AACC;(2) BC丄AB.12. （2014 •江苏高考）如图，在三棱锥 P — ABC 中，D, E, F 分别为棱 PC , AC , AB 的中 点.已知 PA!AC PA= 6, BC= 8, DF = 5.求证：⑴直线PA//平面DEF⑵平面BDE_平面 ABCABC — ABC 中，AB = AC , D, E 分别是棱 BC CC 上的点（点D 不同于点C ）,且ADL DE 求证：（1）平面ADEL 平面BCCB 1；⑵直线AF//平面ADE专题四立体几何 经典模拟•演练卷、填空题13.（2012 •江苏高考）如图，在直三棱柱 F 为BC 的中点.a1. （2015 •苏、锡、常、镇调研）设a, 3 , 丫是三个不重合的平面，I是直线，给出下列四个命题：①若a丄3 , I丄3,贝U I 〃a；②若I丄a, I // 3,贝a丄3；③若I上有两点到a的距离相等，则I //a；④若a丄3, a/丫，则丫丄3 .其中正确命题的序号是 _________ .2. （2015 •济宁模拟）已知a , 3表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线，则“ a丄3 ”是“ ml 3 ”的___________ 条件.3. _______________________________________________________ （2015 •苏、锡、常、镇模拟）在正方体ABCD— ABGD中，AB= 2,点E为AD的中点，点F在CD上，若EF//平面ABC,则线段EF的长度等于__________________________________________ .4. （2015 •泰州检测）设I 是直线，a , 3是两个不同的平面.①若I // a , I // 3 ,^U a //3 ；②若I // a , I丄3 ,贝U a丄3 ；③若a丄3, I丄a,贝U I丄3；④若a丄3 , I 〃a ,则I丄3 .则上述命题中正确的是 ____________ .5.（2015 •镇江调研）如图所示，ABCD是正方形，PA!平面ABCD E, F分别是AC PC的中点，PA= 2, AB= 1，求三棱锥C—PED勺体积为_______6. （2015 •吉林实验中学模拟）已知E, F分别是矩形ABC啲边BC与AD的中点，且BC= 2AB =2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABE H平面EFDC则三棱锥A—FEC外接球的体积为 ________ .7. （2015 •荷泽模拟）如图，正方体ABC—A1B1CD的棱长为1, E为棱DD上的点，F为AB的中点，则三棱锥B —BFE的体积为________ .& （2015 •南通模拟）已知m n表示两条不同直线，a表示平面.给出以下说法:①若m// a , n// a ,贝U m// n；②若m l a , n? a ,贝U ml n；③若m l a , ml n,贝U n // a ；④若m// a , ml n,贝y n丄 a ；则上述说法错误的是 ________ （填序号）.9. ________________________________________________ （2015 •南师附中模拟）在正三棱锥P—ABC中，M N分别是PB PC的中点，若截面AMN 丄平面PBC则此棱锥中侧面积与底面积的比为 ___________________________________________________ •10. （2015 •保定联考）如图，棱长为1的正方体ABC—ABCD中，P为线段AB上的动点, 给出下列结论：①DC丄DP;②平面DAP丄平面AAF；③/ APD的最大值为90°;④AP+ PD的最小值为•. 2+ 2.则上述结论正确的是 ________ （填序号）.二、解答题11. （2015 •苏州调研）如图，在三棱锥S— ABC中，平面SABL平面SBC ABL BC AS= AB 过点A作AF L SB,垂足为F,点E, G分别是棱SA SC的中点.求证：（1）平面EFG/平面ABC(2) BC L SA12. （2015 •苏北四市调研）如图，在四棱锥P—ABCD中, AB/ CD ABLAD CD= 2AB平面PADL底面ABCD PAL ADE和F分别是CD和PC的中点.求证：FC⑴PAL底面ABCD⑵BE//平面PAD⑶平面BEFL平面PCD13. （2015 •常州监测）如图，在直三棱柱A i BG —ABC中, AB L BC E, F分别是中占I 八、、•（1）求证：EF//平面ABC⑵求证：平面AEF L平面AABB;⑶若AA= 2AB= 2BC= 2a,求三棱锥F—ABC的体积.专题四立体几何专题过关•提升卷（时间：120分钟满分：160分）、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1 •底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为 ___________ .2. 设I , m表示直线，m是平面a内的任意一条直线，则“ I丄n”是“ I丄a”成立的________ 条件（在“充分不必要”“必要不充分” “充要”“既不充分又不必要”中选填一个）•3. 在下面四个正方体图形中，A, B为正方体的两个顶点，M N, P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP勺图形序号是_________ .4 .设m, n是两条不同的直线， a , 3是两个不同的平面，下列命题中正确的是_______ （填序号）.①若 a 丄3, n? a , n? 3,贝U ml n；②若 a / 3 , n? a , n? 3 ,贝U n/ n；③若ml n, m? a , n? 3,贝U a 丄3 ;④若mL a , m// n, n // 3 ,贝U a 丄 3 .5 .若一个圆锥的底面半径为1,侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为____________ .6.如图，正方体ABC P ABGD的棱长为1, E, F分别为线段AA, BC上的点，则三棱锥D—EDF的体积为________ .7.棱长为a的正四面体的外接球半径为 ___________ .&点A、B C D在同一个球的球面上，AB= BC= 2, AC= 2 , 2,若四面体ABCD体积的最大4 值为3，则该球的表面积为 __ .3 9 .将长、宽分别为4和3的长方形ABCD&对角线AC折起，得到四面体A- BCD则四面体A—BCD的外接球的体积为________ .10. 到正方体ABC—ABCD的三条棱AB CC、AD所在直线的距离相等的点：①有且只有1个；②有且只有2个；③有且只有3个；④有无数个.其中正确答案的序号是________________ .11. 已知正四棱锥O- ABCD勺体积为牛2,底面边长为，3,则以O为球心，OA为半径的球的表面积为 _________ .12.三棱锥P—ABC中, D, E分别为PB PC的中点，记三棱锥D—ABE的体积为V, P—ABC 的体积为Va,则-= ___________ .13 .若a , B是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为_________________ （写出所有真命题的序号）.3内，不一定存在与直线m垂直的直线;3内，一定存在与直线m垂直的直线.14.如图，正方体ABC D ABCD的棱长为2,动点E F在棱A i B i上，动点P, Q分别在棱AD CD上.若EF= 1, A i E= x, DQ= y, DP= z（x, y, z大于零），则关于四面体PEFQ勺体积，下列说法正确的是_______ （填序号）.与x , y无关.二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEFF，四边形ABCD1菱形，AC, BD相交于点EF// AB AB= 2EF,平面BCFL平面ABCD BF= CF,点G为BC的中点.求证：直线ACL平面ODE16.（本小题满分14分）（2015 •苏北四市模拟）如图，在四棱锥O —ABCD中,底面ABCD^ 菱形，OAL平面ABCD E为OA的中点，F为BC的中点，求证：①若直线a，则在平面3内, 定不存在与直线m平行的直线;②若直线a，则在平面3内, 定存在无数条直线与直线m垂直;③若直线m? a，则在平面④若直线m? a，则在平面①与x, y, z都有关；②与(1)x有关,求证：直线o⑴平面BDQ平面ACQ⑵EF//平面OCD17.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC- A i BC中，ACL BC CC= 4, M是棱CC上的-一占八、、♦(1)求证：BC L AM⑵若N是AB的中点，且CIN/平面ABM,求CM的长度.18. （本小题满分16分）在三棱锥P—ABC中，D为AB的中点.⑴与BC平行的平面PDE交AC于点E,判断点E在AC上的位置并说明理由;⑵若P2PB且厶PCD为锐角三角形，又平面PCDL平面ABC求证：ABLPC19. （本小题满分16分）（2015 •青岛模拟）如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中, AB// EF, AB= 2, AD= AF= 1，/ BAF= 60°, Q P分别为AB CB的中点，M为底面△ QBF的重心.（1）求证：平面ADFL平面CBF⑵求证：PM/平面AFC⑶求多面体CD- AFEB勺体积V.20.（本小题满分16分）（2015 •衡水调研考试）如图，正△ ABC的边长为4, CD是AB边上的高，E, F分别是边AC和BC的中点，现将△ ABC沿CD翻折成直二面角A- DC- B试判断直线AB与平面DEF勺位置关系，并说明理由;求棱锥E- DFC的体积;理由.专题四立体几何真题体验•引领卷1. 7 ［设新的底面半径为r ,由题意得3 n r2• 4+ n r2• 8 = 3 n x 5 + 8 n X 2，解之得r3 3=7.］23 、. S 9 n r 1 9 r 1 3 2. ［设两个圆柱的底面半径和高分别为n,「2和h1, h2，由 =，得--------- 2 =，则一=；•2 S 4 n r2 4 r2 23 .④［若I与|1, |2都不相交，则I //I1, I //|2,・・・|1//|2,这与11和12异面矛盾，••• I至少与丨1,丨2中的一条相交.］4. 6 ［关键是求出四棱锥A - BBDD的高,连接AC交BD于Q在长方体中,•/ AB= AD= 3,••• BD= 3 2且ACL BD(1)在线段BC h是否存在一点P,使API DE?如果存在, 求出BP勺值；如果不存在，请说明由圆柱的侧面积相等，得 2 n r1h1 = 2 n「2h2, 即nh1 = r2h2，则h1=2h2 3n r 1h1 3n r2h2 2.]又••• BB丄底面ABCp「. BB丄AC又DBH BB= B,「. ACL平面BBDD••• AO为四棱锥A —BBDD的高且AO= ?BD= 字S矩形BBDD= BD^ BB= x 2 = 6^2,• VA —BBDD= 3S矩形BBDD・ AO= 3x 6羽x 3^ = 6(cm3).]3 3 ' 2平行于同一平面，m n关系不确定，可平行、相交、异面，故②错；对于③， a , 3不平行，但a内能找出平行于3的直线，如a中平行于a , 3交线的直线平行于3，故③ 错；对于④，若假设m n垂直于同一平面，则m// n,其逆否命题即为④选项，故④正确.］6. 1 : 24 ［设三棱锥F—ADE勺高为h,则鈴=7 •必要而不充分［当I // a时，由于ml平面a . • m丄l .则必要性成立•但I丄m时，由于mla,则l? a或l //a,故充分性不成立.故“ l丄R”是“ l // a ”的必要不充分条件.］、 16 、 11, 11& 22 ［由题意知，米堆的底面半径R="3（尺），则米堆体积V= 3X 4 n h= -x 4X 3X16 2320 、320 ,■3 X 5立方尺）.所以堆放的米大约为9X162 ~ 22（斛）.］5 n9. 亍[如图，由题意，得BC= 2, AD= AB= 1.绕AD所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖2 1 25去一个圆锥的组合体.所求体积V= n X 1 X 2—-n X 1 X 1 = - n .］3 310. 144 n ［设点C到平面OAB勺距离为h,球O的半径为R（如图所示）.5.①②③［对于①，a，3垂直于同一平面, a , 3关系不确定，①错；对于②,124-]又因为DE ＞平面AACC,AC ?平面 AACC, 所以DE//平面AACC⑵ 因为棱柱 ABC — ABC 是直三棱柱，所以CC 丄平面ABC因为AQ 平面ABC 所以ACL CC . 又因为 AC L BC CC ?平面BCGB , BC ?平面 BCGB , B8 CC = C, 所以AC 丄平面BCCB 1. 又因为BC ?平面BCCB , 所以BC 丄AC因为BC = CC ，所以矩形BCCB1是正方形， 因此匕BC 丄BC因为 AC BC ?平面 BAC ACH BC = C,,所以BC 丄平面BAC 又因为AB ?平面BAC 所以BG 丄AB . 12. 证明 ⑴ 因为D, E 分别为棱PC , AC 的中点，所以 DEI PA 又因为PA ?平面DEF DR 平面DEF 所以直线PA//平面DEF由/ AOB= 90 °，得 S A AOB = 2氏,1要使V O-ABC = 3 • S ^AOB - h 最大，当且仅当点3 C 到平面OAB 的距离，即三棱锥 C- OAB 底面OAB上的高最大，其最大值为球 O 的半径R故 V -ABC == 36,贝V R= 6.所以 S 球=4 n R = 4 n X 6 = 144 n .]11 •证明 （1）由题意知，E 为BC 的中点，又D 为AB 的中点, 因此DE// AC⑵因为D E, F分别为棱PC AC AB的中点，PA= 6 , BC= 8 ,所以DE// PA1 1DE= 2PA= 3 , EF=尹0= 4.又因为DF= 5,故DF= DE + EF，,所以/ DEF= 90°,即DEI EF又PAL AC DE// PA 所以DEI AC因为A8 EF= E , AC?平面ABC EF?平面ABC所以DEL平面ABC又DR平面BDE所以平面BDEL平面ABC13. 证明(1)因为ABC- ABC是直三棱柱，所以CC丄平面ABC又AD?平面ABC所以CC 丄AD又因为ADL DE CC, DR 平面BCGBi , CC Q DE= E,所以AD丄平面BCCB ,又AD?平面ADE所以平面ADEL平面BCCB.(2)因为AB= AC , F为BC的中点，所以AF丄BC.因为CC丄平面ABC,且AF?平面ABC,所以CC丄AF.又因为CC, BC?平面BCCi , CC n BC= C,所以AF丄平面BCCB.由(1)知ADL平面BC® ,所以AF// AD又AD?平面ADE AF?平面ADE所以AF//平面ADE经典模拟•演练卷1.②④[由线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理逐个判断，真命题为②④.]2. 必要不充分[当m L 3 , m? a时，a丄B,必要性成立.但a丄B, m? a,则n? 3或m//3或m与3相交•因此“ a丄3 ”是“ n L 3”的必要不充分条件.]3. 羽[T EF// 平面ABC, EF?平面ABCD平面ABC D平面ABC= AC 二EFII AC又••• E是AD的中点，••• F是CD的中点，即EF是厶ACD的中位线,•-EF= 2A C= 2 2= 2.] 4.②[利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法.设a D 3 =a,若直线I I a,且l ? a , l ? B ,则I // a , l // B ,因此a不一定平行于 3 , 故①错误；由于l // a ,故在a内存在直线I '// l，又因为l丄3 ,所以l '丄3，故a 丄3，所以②正确；若a丄3，在3内作交线的垂线l，贝U l丄a ,此时l在平面3内，因此③错误；已知a丄3，若a D 3 = a, l // a,且I 不在平面a , 3内，贝卩l // a且I // 3，因此④错误.]1 十工5. 6 [ ••• PA丄平面ABCD•PA是三棱锥P- CED勺高，PA= 2.••• ABCD是正方形，E是AC的中点，•△ CED是等腰直角三角形.AB= 1,故CE= ED=¥，1CED=,, 1 1故V C -PED= V1—CED= ~ • S CED •PA= ~ •3 36.如图，平面ABEFL平面EFDC AF丄EF,• AF丄平面ECDF将三棱锥A—FEC补成正方体ABC D —FECDHC41依题意，其棱长为1,外接球的半径 宀右3 ,17. 12 [ ••• V 三棱锥 B — BFE= V 三棱锥 E — BBF ,i 1 1又 S A BBF = 2, BB • BF= 4,且点 E 到底面 BBF 的距离 h = 1. /. V 三棱锥 B — BFE= 丁 h • S1△ BBF = &①③④［若m//a , n //a ,则m n 可能平行、相交或异面，①错;若ml a , n ? a ,则mL n ,因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线,②正确； 若 ml a , mL n ,贝 U n //a 或 n ? a,③错；若m//a , n L n ,则n 与a 可能相交，可能平行，也可能 n ? a ,④错.］9. 6 ［取BC 的中点D,连接AD PD 且PD 与 MN 勺交点为E.因为AM= AN E 为MN 勺中点, 所以AEL MN 又截面AMNL 平面PBC 所以AE!平面PBC 则AE! PD ,又E 点是PD 的中点,所以P” AD 设正三棱锥P — ABC 勺底面边长为a ,则侧棱长为13 x ^a x 中侧面积与底面积的比为IO .①②④［由DC 丄平面 ABCD 知DC 丄DP ，•①正确.•/ D A i L 平面 ABBA i ,且 A i D ?平面 DAP, •平面 DA P L 平面 AAR 因此②正确.11•证明 （1）因为AS= AB AF X S B 垂足为F ,所以F 是SB 的中点•又因为 E 是SA 的中fa ,斜高为#a ，则此棱锥.6.]将面AAB 与面ABCD 沿面对角线 AB 展开成平面图形时，线段 AD 为AP+ PD 的最小值.在厶 AAD 中，A i Di = A i A = 1，/ AAD = 135° .由余弦定理， AD = 12 + 12— 2X i x icos 135 ° = 2 +〔 2.••• AP + PD 的最小值AD = 2,因此④正确.］n .]4 34.•外接球的体积 V = 3 n R = 3当0<A，/ APD 为钝角，.••③错.点，所以EF// AB因为EF?平面ABCAE?平面ABC所以EF//平面ABC同理EG/平面ABC又EF A EG= E,所以平面EFG/平面ABC⑵因为平面SABL平面SBC且交线为SB又AF?平面SAB AF丄SB所以AF丄平面SBC因为BQ 平面SBC所以AF丄BC又因为ABL BC AF P AB= A, AF?平面SAB AB?平面SAB所以BC!平面SAB因为SA?平面SAB所以BC! SA12 .证明(1)因为平面PAD T平面ABC B AD 又平面PADL平面ABCD且PAL AD PA?平面PAD 所以PAL底面ABCD⑵因为AB// CD CD= 2AB E为CD的中点，所以AB// DE 且AB= DE所以ABED^平行四边形.所以BE// AD又因为B曰平面PAD AD?平面PAD所以BE//平面PAD(3)因为ABL AD且四边形ABED为平行四边形.所以BE! CD AD L CD由(1)知PAL底面ABCD所以PAL CD又因为PAH AD= A,所以CD L平面PAD从而CD L PD 且CD?平面PCD又E, F分别是CD和CP的中点，所以EF// PD,故CD L EF由EF, BE在平面BEF内 ,且EF H BE= E,所以CDL平面BEF所以平面BEF L平面PCD13. (1)证明连接A i C.•••直三棱柱ABC —ABC中 , AACC是矩形.•••点F在AQ上,且为AC的中点.在厶ABC中，•/ E, F分别是AB, AC的中点，• EF// BC又••• BC?平面ABC EF?平面ABC所以EF/平面ABC(2)证明•••直三棱柱ABC —ABC中 , BB丄平面ABC••• BB L BC 又T EF// BC AB L BC • ABL EF, BB丄EF•/ BB H AB= B, • EFL平面ABBA1.•/ EF?平面AEF,二平面AEF L平面ABBA1.1 1 1⑶解V ABC= 2VA1 —ABC= 2 X 3 x S A AB； AA2 2 3=-X -x -a2x 2a= a.2 3 2 6专题过关•提升卷__ 1 _ _ 1. 4 2 ［求出斜高•由题意可得斜高为 ，2则侧面积为4 X 2 x 2 2= 4,2］2 •充要［因为m 是平面a 内的任意一条直线，若I 丄m 则I 丄a,所以充分性成立；反 过来，若I 丄a ,则I 丄m ,所以必要性成立，故“ I 丄m ”是“ I 丄a ”成立的充要条件.］3 •①② ［由线面平行的判定定理知图①②可得出 AB//平面MNP4 •④［①中，m 与n 可相交、可异面、可平行，故①错误；②中 m 与n 可平行、可异面， 故②错误；③中，若 a / 3，仍然满足 mL n , n ? a , n ? B ,故③错误；故④正确.］ 5•二p ［利用面积、体积公式求解•设圆锥的母线长为I ，又底面半径为1,侧面积是底面积的2倍即为n I = 2 n , I = 2，所以该圆锥的高 h =疝1 ?一 r 2 = , 3,体积为3 n 『h =n .］1 一6. 6 ［利用三棱锥的体积公式直接求解.111 1VD — EDF = VF - DDE =E S A DDE- AB^-x-x 1 x 1 x 1 =；.］33 26」7. £a ［棱长为a 的正四面体可以放入棱长为 #a 的正方体内，所以其外接球直径为 2R=fa ,则该外接球的半径为 8.9 n ［如图，0为球心，0ABC 外接圆圆心AB= BC = 2,AC = 2 2,••• ABLBC 且S MBC = 2，当点D 与点O, O 三点共线时，四面体 ABC 啲体积最大， 此时DO= 2,设球的半径为 R OB = .2，由球的截面性质得， R = 2 + （2 一 R ）2,解得R =3亍，.••球的表面积为 9 n .］125 n 9^［设AC 与BD 相交于 O 折起来后仍然有 OA= OB= OC= OD •外接球的半径 r =610.④ ［注意到正方体 ABC — ABCD 的对角线BD 上的每一点到直线 AB CG , AD 的距离 都相等，因此到 ABC — ABGD 的三条棱AB CG , AD 所在直线距离相等的点有无数个，其 中正确答案的序号是④.］，从而体积V =D2 —24 n 3X125n ~6-.]11. 24 n ［设正四棱锥的高为 h ,则f x (、.3)2h =学，解得高h =冷2.则底面正方形的对=24 n .][如图：T V 1 = V D -ABE = V E -ABD, V 2= V P -ABC = V C- ABP,,―h11TE 为AC 中点，•••肓2,1S ^ABD • h 1V 1 3 1 :V 2= 1 = 4.]^S ^APB • h 213 .②④ ［利用定理逐一判断.若 ml a , a 丄B ，则在平面3内存在与直线 m 平行的直 线，①是假命题；若 mL a ,则在平面3内存在无数条与 a , 3的交线平行的直线与直线m 垂直，②是真命题；在平面题.所以真命题的序号是②④3上一定存在与直线 m 垂直的直线，③是假命题，④是真命.］ 14 •④ ［因为四面体 PEFQ 的体积只与底面面积和高有关，若以△ PEF 为底面，则边长 EF 为定值，△ PEF 的高为AP =p4 +( 2-z ) 2，四面体的高为点 Q 到平面PEF 的距离.因为DC // EF ,所以点Q 到平面PEF 的距离为直线 CD 到平面PEF 的距离，与 Q 的位置无关•综上所 述，四面体的体积与 E, F 及Q 的位置无关，所以与 x , y 无关.］ 15 .证明 (1) T 四边形 ABC ［是菱形，A8 BD= 0,•••点O 是BD 的中点，T 点 G 为BC 的中点，••• OQ CD 又T OG 平面EFCD Ct ?平面EFCD •直线0Q 平面EFCD(2) T BF = CF,点 G 为 BC 的中点，• FGL BC=■ 6,所以球的表面积为4 n ( 6)2佗41--V = §S A ABD •1h 1,S\ APB -h 2.又T D 为PB 中点,S ABD 1 S ABP 2，角线长为 2 x 匚；3 = • 6，所以T平面BCFL平面ABCD平面BCFH平面ABC= BCFG?平面BCF FGL BQ••• FG L平面ABCD•/ AC?平面ABCD：FGL AC1 1•/ OG/ AB OG= 2AB EF// AB EF= 2AB•OG/ EF, OG= EF,•四边形EFGO^平行四边形，• FG// EO•/ FG丄AC FG// EQ • AC L EO•••四边形ABCD是菱形，• AC L DO•/ AC L EO AC L DO E6 DO= O, EQ DO在平面ODE^ ,•AC丄平面ODE16.证明(1) T OAL平面ABCD BD?平面ABCD 所以OA L BDoit••• ABCD!菱形，• AC L BD 又OA O AC= A, • BD L平面OAC又••• BD?平面OBD•平面BD Q平面ACO⑵取OD中点M连接EM CM1则ME/ AD ME= 2AD••• ABCD!菱形，• AD// BC AD= BC1T F 为BC的中点，• CF// AD CF= 2AD•ME/ CF, ME= CF •四边形EFCM1平行四边形，•EF// CM又••• EF?平面OCD CM 平面OCD•EF//平面OCD17. (1)证明因为ABC-ABC是直三棱柱,所以CC丄平面ABC因为BC?平面ABC所以CC丄BC又因为AC L BC CC Q AC= C, CC, AC?平面ACCA ,所以BC L平面ACCA.又因为AM平面ACCA ,所以BC L AM⑵解法一如图，取AB 的中点P ,连接NP PM I平面PDE 交AC 于点E ,即平面 PDEH 平面ABC= DE因为N 是AB 的中点,所以 NP// BB .因为CM/ BB ，所以NP// CM 所以NP 与CM 共面.因为CN/平面ABM平面CNP M 平面ABM= MP所以CN/ MP所以四边形CNPM 为平行四边形，1所以CM= NP= q CC = 2.法二 如图，设NC 与CC 确定的平面交 AB 于点P ,连接NR PM因为CN/平面 ABM CN ?平面CNPM平面ABMA 平面CNPM PM 所以CN/ MP因为 BB // CM BB ?平面 CNPM CM 平面 CNPM所以BB //平面 CNPM又BB ?平面ABB ,平面 ABB Q 平面CNPM NR 所以BB // NR所以CM/ NP 所以四边形CNPM^平行四边形.因为N 是AB 的中点，所以 CM= NP= 2B B = 2CG = 2.18. (1)解 E 为AC 的中点.理由如下:而BC//平面PDE BC?平面ABC所以BC// DE在厶ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC中点.⑵证明因为PA= PB D为AB的中点，所以AB丄PD在锐角△ PCD所在平面内作POL CD于点0,则POL平面ABC因为AB?平面ABC所以POL AB,又POP PD- P, PO PD?平面PCD则AB丄平面PCD又PC?平面PCD所以AB丄PC19.⑴证明•••矩形ABCC所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CBL AB ••• CB丄平面ABEF,又AF?平面ABEF •- CBLAF,又AB= 2 , AF= 1, / BAF= 60°,由余弦定理知BF— 3 ,• AF2+ B^= AB ,得AF丄BF,又BF P CB= B,• AF丄平面CFB又••• AF?平面ADF•平面ADFL平面CBF⑵证明连接0M并延长交BF于H ,则H为BF的中点，又P为CB的中点，•PH// CF,又T CF?平面AFC PH P平面AFC•PH// 平面AFC连接P0则PO// AC又••• AC?平面AFC PO?平面AFC•PO// 平面AFC 又T P6 P* P,•平面PO/平面AFC又••• PM?平面POH•PM/ 平面AFC⑶解多面体CD- AFEB的体积可分成三棱锥C- BEF与四棱锥F- ABCD勺体积之和.过E 作E E LAB垂足为E i.20 .解 （1）AB//平面DEF 理由如下：在厶ABC 中，由E , F 分别是AC BC 的中点，得 EF / AB 又AB ?平面DEF EF ?平面DEF/• AB//平面DEF ⑵••• ADLCD BDL CD 将厶 ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A- DC — B,「. AD 丄 BD 二 ADL 平面 BCD取CD 的中点M 这时EM/ AD••• EM L 平面 BCD EM= 1.⑶在线段BC 上存在点P ,使API DEBC证明如下：在线段 BC 上取点P,使BP=§ , 过 P 作 PQ L CD 于 Q ••• AD 丄平面BCD PQ ?平面BCD• AD L PQ 又 T ADH CD= D, • PQ L 平面 ACD◎DQ 3••• tan Z DAQ = AD = T = T ，•••/ DAQ = 30 ° ,在等边△ ADE 中, Z DAQ = 30° , • AQ L DE••• PQ L 平面 ACD DR 平面 ACD• PQ L DE AQP PQ = Q• DEI 平面 APQ• AP L DE 此时 BF = BC • BC = 3.在等腰梯形ABEF 中，计算得EF = 1，两底间的距离 EE = 1 11 \13 所以 V C -BEF = 38BEF X CB= 3 X 2X 1 X _212，1 1 x/3V F - ABC = 3S 矩形 ABCD X EE = 3 X 2 X 1 X ~2-3 3 2 所以 V = V — BEF + V F —ABCD =1 1 1 -X X -X 32 22 X 2 3X2 -1V E - DFC = 3 X。