江苏省2016届高三数学专题复习专题四立体几何文
专题四立体几何
真题体验?引领卷
一、填空题
1. （2015 ?江苏高考）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个?若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆
锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 __________ .
2. （2014 ?江苏高考）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S, S,体积分别为V, V2.若它们
的侧面积相等，且头9，则律的值是___________ .
S2 4 V2
3. （2015 ?广东高考改编）若直线l i和丨2是异面直线，l i在平面a内，I2在平面3内，I 是平面a 与平面3的交线，给出下列结论：
①I与丨1，I2都不相交；
②I与丨1，丨2都相交；
③I至多与丨1，丨2中的一条相交；
④I至少与丨1，丨2中的一条相交.
则上述结论正确的序号是 _________ .
4. （2012 ?江苏高考）如图，在长方体ABCD- ABGD中，AB= AD=
3 cm，AA= 2 cm，则四棱锥A —BBDiD的体积为 ______ c m.
5. （2015 ?安徽咼考改编）已知m n是两条不同直线，a ，3是两个不同平面，给出以下命题：
①若a ，3垂直于同一平面，则a与3平行；
②若m n平行于同一平面，则m与n平行；
③若a ，3不平行，则在a内不存在与3平行的直线；
④若m n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面.则上述命题错误的是 ________________ （填序
号）.
6. （2013 ?江苏高考）如图，在三棱柱ABC —ABC中，D, E, F分别是AB AC，AA上的中点，设三棱锥F—ADE的体积为V，三棱柱ABG—ABC勺体积为匕，贝U V : V2 = ___ .
7. （2015 ?福建咼考改编）若I , m是两条不同的直线，m垂直于平面a ,则“ I丄m”是“ I
// a ”的________ 条件.
8. （2015 ?全国卷I改编）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问
题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋
内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有_____________________ 斛（取整数）.
n
9. （2015 ?山东高考改编）在梯形ABCD中，/ ABC= y, AD// BC BC= 2AD= 2AB= 2?将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ____________ .
10. ____________________________________________________________ （2015 ?全国卷n 改编）已知A, B是球O的球面上两点，/ AO B= 90°, C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为_____________________________________ .
二、解答题
11. （2015 ?江苏高考）如图，在直三棱柱ABC- ABC中，已知ACLBC BC= CC.设AB的中点为D, BC Q BC = E
求证：(1) DE// 平面AACC;
(2) BC丄AB.
12. （2014 ?江苏高考）
如图，在三棱锥 P — ABC 中，D, E, F 分别为棱 PC , AC , AB 的中 点.已知 PA!AC PA= 6, BC= 8, DF = 5.
求证：⑴直线PA//平面DEF
⑵平面BDE_平面 ABC
ABC — ABC 中，AB = AC , D, E 分别是棱 BC CC 上的点（点D 不同于点C ）,且ADL DE 求证：（1）平面ADEL 平面BCCB 1；
⑵直线AF//平面ADE
专题四立体几何 经典模拟?演练卷
、填空题
13.（2012 ?江苏高考）如图，在直三棱柱 F 为BC 的中点.
a
1. （2015 ?苏、锡、常、镇调研）设a, 3 , 丫是三个不重合的平面，I是直线，给出下列四个命题：
①若a丄3 , I丄3,贝U I 〃a；②若I丄a, I // 3,贝a丄3；
③若I上有两点到a的距离相等，则I //a；
④若a丄3, a/丫，则丫丄3 .
其中正确命题的序号是 _________ .
2. （2015 ?济宁模拟）已知a , 3表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线，则“ a
丄3 ”是“ ml 3 ”的___________ 条件.
3. _______________________________________________________ （2015 ?苏、锡、常、镇模拟）在正方体ABCD— ABGD中，AB= 2,点E为AD的中点，点F在CD上，若EF//平面ABC,则线段EF的长度等于__________________________________________ .
4. （2015 ?泰州检测）设I 是直线，a , 3是两个不同的平面.①若I // a , I // 3 ,^U a //
3 ；②若I // a , I丄3 ,贝U a丄3 ；③若a丄3, I丄a,贝U I丄3；④若a丄3 , I 〃
a ,则I丄3 .则上述命题中正确的是 ____________ .
5.（2015 ?镇江调研）如图所示，ABCD是正方形，PA!平面ABCD E, F分别是AC PC的中
点，PA= 2, AB= 1，求三棱锥C—PED勺体积为_______
6. （2015 ?吉林实验中学模拟）已知E, F分别是矩形ABC啲边BC与AD的中点，且BC= 2AB =2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABE H平面EFDC则三棱锥A—FEC外接球的体积
为 ________ .
7. （2015 ?荷泽模拟）如图，正方体ABC—A1B1CD的棱长为1, E为棱DD上的点，F为AB的中点，则三棱锥B —BFE的体积为________ .
& （2015 ?南通模拟）已知m n表示两条不同直线，a表示平面.给出以下说法:
①若m// a , n// a ,贝U m// n；
②若m l a , n? a ,贝U ml n；
③若m l a , ml n,贝U n // a ；
④若m// a , ml n,贝y n丄 a ；
则上述说法错误的是 ________ （填序号）.
9. ________________________________________________ （2015 ?南师附中模拟）在正三棱锥P—ABC中，M N分别是PB PC的中点，若截面AMN 丄平面PBC则此棱锥中侧面积与底面积的比为 ___________________________________________________ ?
10. （2015 ?保定联考）如图，棱长为1的正方体ABC—ABCD中，P为线段AB上的动点, 给出下列结论：
①DC丄DP;
②平面DAP丄平面AAF；
③/ APD的最大值为90°;
④AP+ PD的最小值为?. 2+ 2.
则上述结论正确的是 ________ （填序号）.
二、解答题
11. （2015 ?苏州调研）如图，在三棱锥S— ABC中，平面SABL平面SBC ABL BC AS= AB 过点A作AF L SB,垂足为F,点E, G分别是棱SA SC的中点.
求证：（1）平面EFG/平面ABC
(2) BC L SA
12. （2015 ?苏北四市调研）如图，在四棱锥P—ABCD中, AB/ CD ABLAD CD= 2AB平面
PADL底面ABCD PAL ADE和F分别是CD和PC的中点.求证：
F
C
⑴PAL底面ABCD
⑵BE//平面PAD
⑶平面BEFL平面PCD
13. （2015 ?常州监测）如图，在直三棱柱A i BG —ABC中, AB L BC E, F分别是
中占
I 八、、?
（1）求证：EF//平面ABC
⑵求证：平面AEF L平面AABB;
⑶若AA= 2AB= 2BC= 2a,求三棱锥F—ABC的体积.
专题四立体几何
专题过关?提升卷
（时间：120分钟满分：160分）
、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1 ?底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为 ___________ .
2. 设I , m表示直线，m是平面a内的任意一条直线，则“ I丄n”是“ I丄a”成立的
________ 条件（在“充分不必要”“必要不充分” “充要”“既不充分又不必要”中选填一
个）?
3. 在下面四个正方体图形中，A, B为正方体的两个顶点，M N, P分别为其所在棱的中
点，能得出AB//平面MNP勺图形序号是_________ .
4 .设m, n是两条不同的直线， a , 3是两个不同的平面，下列命题中正确的是
_______ （填序号）.
①若 a 丄3, n? a , n? 3,贝U ml n；②若 a / 3 , n? a , n? 3 ,贝U n/ n；③若ml n, m? a , n? 3,贝U a 丄3 ;④若mL a , m// n, n // 3 ,贝U a 丄 3 .
5 .若一个圆锥的底面半径为1,侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为____________ .
6.如图，正方体ABC P ABGD的棱长为1, E, F分别为线段AA, BC上的点，则三棱锥D
—EDF的体积为________ .
7.棱长为a的正四面体的外接球半径为 ___________ .
&点A、B C D在同一个球的球面上，AB= BC= 2, AC= 2 , 2,若四面体ABCD体积的最大
4 值为3，则该球的表面积为 __ .
3 9 .将长、宽分别为4和3的长方形ABCD&对角线AC折起，得到四面体A- BCD则四面体A—BCD的外接球的体积为________ .
10. 到正方体ABC—ABCD的三条棱AB CC、AD所在直线的距离相等的点：①有且只有
1个；②有且只有2个；③有且只有3个；④有无数个.其中正确答案的序号是________________ .
11. 已知正四棱锥O- ABCD勺体积为牛2,底面边长为，3,则以O为球心，OA为半径的球
的表面积为 _________ .
12.三棱锥P—ABC中, D, E分别为PB PC的中点，记三棱锥D—ABE的体积为V, P—ABC 的体积为Va,则-= ___________ .
高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题四 立体几何 第一讲 空间几何体课时作业 文
2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题四立体几何第 一讲空间几何体课时作业文 1.如图为一个几何体的侧视图和俯视图，则它的正视图为( ) 解析：根据题中侧视图和俯视图的形状，判断出该几何体是在一个正方体的上表面上放置一个四棱锥(其中四棱锥的底面是边长与正方体棱长相等的正方形、顶点在底面上的射影是底面一边的中点)，因此结合选项知，它的正视图为B. 答案：B 2．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( ) A．2πB．π C．2 D．1 解析：所得圆柱体的底面半径为1，母线长为1，所以其侧面积S＝2π×1×1＝2π，故选A. 答案：A 3．一个侧面积为4π的圆柱，其正视图、俯视图是如图所示的两个边长相等的正方形，则与这个圆柱具有相同的正视图、俯视图的三棱柱的相应的侧视图可以为( )
解析：三棱柱一定有两个侧面垂直，故只能是选项C中的图形． 答案：C 4．(2016·郑州质量预测)已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于( ) A．1 B.2 C．2 D．22 解析：由题意知，所求正视图是底边长为2，腰长为2的正方形，其面积与侧视图面积相等为2. 答案：C 5．(2016·河北五校联考)某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是( ) A．2 B．22 C. 3 D．23 解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1-BCB1，如图所示，其四个面的面积分别为2,22，22，23，故选D. 答案：D 6.(2016·郑州模拟)如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为( )
高三数学知识点总结：立体几何
2019年高三数学知识点总结：立体几何 由查字典数学网高中频道提供，2019年高三数学知识点总结：立体几何，因此老师及家长请认真阅读，关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱： 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台：
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱： 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥： 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台： 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
届高三文科数学立体几何专题训练
2015届高三数学（文）立体几何训练题 1、如图3，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的一点． ⑴求证：平面PAC ⊥平面PBC ； ⑵若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱锥P -ABC 的体积． 2、如图，已知P A ?⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 是⊙O 上一点，且AC =BC =P A ，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点. （1）求证：EF 3、如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1?底面ABCD ，且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6，且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . （1）证明：EC D A 111A ABB 4、如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AA 1＝AB ＝2a ，D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点． （1）求证：DE ∥平面ABC ； （2）求证：AE ⊥BD ； （3）求三棱锥D —A 1BA 的体积 ． 5.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ， 将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ． （Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F
F E A （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体CDFN 体积的最大值． 6、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ，AP=AC, 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且BC （Ⅰ）求证：D E ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若PC ⊥AD ，且三棱锥P ABC -的体积为8，求多面体ABCED 的体积。 7、如图：C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点， 且AB AF 3 1 =，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2=CE . （1）求证：⊥AD 平面BCE ； （2）求证：//AD 平面CEF ； （3）求三棱锥CFD A -的体积． 8、如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =，现将四边 形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；
2015届高三数学立体几何专题训练及详细答案
2015届高三数学立体几何专题训练 1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π 解析：选A. 原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V ＝4×2×2＋1 2 π×22×4＝16＋8π. 2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析：选A. 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)， BM ＝12AB ＝1 2 ×8＝4(cm)． 设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5， ∴V 球＝43π×53＝500π 3 (cm 3)． 3．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ?α，l ?β，则( ) A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 解析：选D. 根据所给的已知条件作图，如图所示． 由图可知α与β相交，且交线平行于l ，故选D. 4．(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析：选A.法一： 如图，连接AC ，交B D 于点O ，由正四棱柱的性质，有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ，所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC ＝C ，所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ，垂足为H ，则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O ＝O ，所以CH ⊥平面B D C 1，连接D H ，则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影，所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2.在Rt △COC 1中，由 等面积变换易求得CH ＝23.在Rt △C D H 中，s in ∠C D H ＝CH CD ＝2 3 . 法二： 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D(0，0,0)，C (0,1,0)， B (1,1,0)， C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→ ＝(0,1,2)． 设平面B D C 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 n ⊥DB →，n ⊥DC 1→ ，所以有????? x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0， 令y ＝－2，得平面B D C 1的一个法向量为n ＝(2， －2,1)． 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ，则s in θ＝|co s n ，DC → ＝???? ??n ·DC →|n ||DC →|＝23. 5．(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33
高中数学立体几何专题
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线 为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥：有一个面是多边形，其余各面是 有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)
高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系： 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面
文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个平 面垂直 2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ； （Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C
2020高考数学专题复习----立体几何专题
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何 1、（2010一试7）正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】4 【解析】 O E P 1B 1 A 1 C B A 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ???? ?=++-=?=+-=?,03, 022111111z y x z x BA ???? ?=-+-=?=-=?, 03, 022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α?=? ，即 2cos cos αα=?= .所以4 10sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 . 过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得 3,2,5111== ===PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1?中，OE P A PO O A ?=?11,即5 6,532= ∴?= ?OE OE . 11B O B E =∴===又.4 10 5 542sin sin 111= ==∠=E B O B EO B α. 2、（2011一试6）在四面体ABCD 中，已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 【解析】 因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得3 2sin ,3 1cos = = θθ． 在△DMN 中，332 33232,121=??=?=== DP DN CD DM ．学科*网 由余弦定理得231312)3(1222=? ??-+=MN ， 故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径 33 22sin === θ MN OD ．故球O 的半径3=R ． 3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的 （2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距 P 到平面ABC 的距离为 . 答案： 解答： 如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的 垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,PC PF == ，可得出1CF =，同 理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，OC = ， PO == （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案： 见解析 解答： （1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . ,,E M N 分别是 11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ， 于是得到平面//NGHM 平面1C DE ， 由 MN ?平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE （2） E 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠= DE BC ∴⊥，又 1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又 12,4AB AA ==， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.) 专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表 题型年份考点试题位置 单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06 单选题2016 空间向量在立体几何中的应 用2016年新课标1理科11 单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06 单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11 单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12 单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06 单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08 单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07 单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11 单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06 单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10 填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16 填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15 填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14 历年高考真题汇编 1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．2πD．π 2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） 高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定 高三文科数学专题立体几何 1. （2013汕头二模）设I、m是不同的两条直线, 题中为真命题的是（） A ?若I ,，则I// C .若I m, // ,m ，则1 【答案】D 【解析】T I ,// ,?- I ,- .■ m D .若I , // ,m ，则I m 2. （2013东城二模）给出下列命题： ①如果不同直线m、n都平行于平面，则m、n—定不相交； ②如果不同直线m、n都垂直于平面，则m、n—定平行； ③如果平面、互相平行，若直线m ，直线n ，则m//n ； ④如果平面、互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m 则n 则真命题的个数是（） A . 3 B . 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】只有②为真命题. 3. 设I为直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A .若I // ,I// ，贝U // B.若1 ,I ，则// C .若1 ,I// ，贝U // D .若,I// ，则I 【解析】B 4. (2013 东莞 -模）如图，平行四边形ABCD 中，CD 1, BCD 60，且BD CD ,正方形ADEF和平面ABCD垂直，G, H是DF ,BE的中点. （1）求证：BD 平面CDE ; （2）求证：GH //平面CDE ; （3）求三棱锥D CEF的体积. C 是不重合的两个平面，则下列命 B.若I// , ，则I// 【解析】（1）证明：平面 ADEF 平面ABCD ，交线为AD , ?/ ED AD , ? ED 平面 ABCD , ?- ED BD ? 又 BD CD , ?- BD 平面 CDE . (2) 证明：连接 EA ，则G 是AE 的中点, ??? EAB 中，GH//AB , 又 AB//CD , ? GH // CD , ? GH // 平面 CDE ? (3) 设Rt BCD 中BC 边上的高为h ， 是棱PA 上的动点. (1) 若Q 是PA 的中点，求证: PC // 平面BDQ CQ ； (2) PC , PB PD ，求证：BD 解析：证明：（1）连结AC ，交BD 于O ,如图: 若 PB 3, ABC 60°，求四棱锥P ABCD 即：点C 到平面 DEF 的距离为 … V D CEF V C DEF _3 2 _3 3 5.（2013丰台二模）如图所示，四棱锥P ABCD 中, 底面ABCD 是边长为2的菱形，Q 专题四：高考立体几何专题复习 主要是掌握建立空间直角坐标系的时候，要选择适当的坐标系，我们建系的原则是：尽量使更多的点落在坐标轴上。同时要注意：紧紧抓住题目条件中的垂直字眼，然后再考虑如何建系。点的坐标不好写出来时，记住：：一定要把涉及到该点的图形拿出来，使之平面化，再去写点的坐标！ 例1、如图2，在四棱锥-P ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE EC ⊥ ．已知 1 22PD CD AE == ，．求： 1.异面直线PD 与EC 的距离； 2.二面角E PC D --的大小． 例2、（安徽）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形， 4ABC π ∠= , OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点 （Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖； （Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。 N B 答案 例一：解：以D 为坐标原点，DA DC DP ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系， 并设DA a = ，则 1(00)(20)(020)(000)(0002A a B a C D P E a ?? ? ??，，，，，，，，，，，，，，． （1）PE CE ⊥∵，0PE CE =∴· ，解得a = ．0DE CE =∴·，即DE CE ⊥， 又DE PD ⊥，故DE 是异面直线PD 与EC 的公垂线． 而 1 DE =，即异面直线PD 与EC 的距离为1． （2）作 DG PC ⊥，并设(0)G y z ，，， (0)(2)D G y z P C ==， ，，，，∵，且0DG PC =· ， 则z =，∴ 可取DG =． 再作EF PC ⊥于F ，并设(0)F m n ，，， 12EF m n ??=-- ? ???，∵， 且0EF PC =·，则n =-，∴又取 12EF ?=- ??，，． 由DG PC ⊥，EF PC ⊥，可知DG 与EF 的夹角就是所求二面角θ的大小， 2 cos DG EF DG EF θ= =·∴，即所求二面角为π 4． 例二： 方法一：（1）证明：取OB 中点E ，连接ME ，NE ME CD ME CD ∴，‖AB, AB ‖‖ ,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖MN OCD ∴ 平面‖ （2）CD ‖AB, MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角） 作,AP CD P ⊥于连接MP ⊥⊥平面A BC D ， ∵OA ∴CD MP ,4 2 ADP π ∠= ∵∴DP = MD =， 1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π ∠==∠=∠= ∴ 所以 AB 与MD 所成角的大小为3π （3）AB 平面∵∴‖OCD, 点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP,过点A 作 AQ OP ⊥ 于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥⊥⊥平面∵∴∴ 又 ,AQ OP AQ OCD ⊥⊥平面∵∴,线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离 高三数学立体几何专 题 专题三 立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空 间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究． 【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三 视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等． 【例题解析】 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 A ． 22 B ． 32 C ． 4 D ． 52 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的 高宽高分别为,,m n k = =1n ?=， a = b =，所以22(1)(1)6a b -+-= 228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4 a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号． 专题五 立体几何 第一讲 空间几何体 1．棱柱、棱锥 (1)棱柱的性质 侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形． (2)正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形． 2．三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高； (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样． 3．几何体的切接问题 (1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长． (2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何 问题． 4．柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆) (1)表面积公式 ①圆柱的表面积 S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )； ③圆台的表面积S ＝π(r ′2 ＋r 2 ＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2 . (2)体积公式 ①柱体的体积V ＝Sh ； ②锥体的体积V ＝1 3 Sh ； ③台体的体积V ＝1 3(S ′＋SS ′＋S )h ； ④球的体积V ＝43 πR 3 . 1． (2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( ) A ．4 B.143 C.16 3 D ．6 答案 B 解析 由三视图知四棱台的直观图为 由棱台的体积公式得：V ＝13(2×2＋1×1＋2×2×1×1)×2＝14 3. 2． (2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ( ) 规范答题4立体几何 [命题分析] 立体几何解答题是高考解答题的中等难度题目，一般考查线面关系平行、垂直的证明以及空间角的计算、最值等.典例(12分)(2020·全国Ⅲ)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1. (1)证明：点C1在平面AEF内； (2)若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A－EF－A1的正弦值. 步骤要点规范解答阅卷细则 (1)写坐标：建立空间直角坐标系，写(或设)点的坐标，求直线的方向向量以及平面的法向量． (2)求平行：根据数量关系证明平行，再通过平行说明点在平面内．(3)得结论：根据计算结果得到题目结论. (1)证明设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，如图， 以C1为坐标原点，C1D1 ——→，C 1 B1 ——→，C 1 C →的 方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空 间直角坐标系．(1分) 连接C1F，则C1(0,0,0)，A(a，b，c)， E???? a，0， 2 3c，F? ? ? ? 0，b， 1 3c， EA →＝ ? ? ? ? 0，b， 1 3c，C1F →＝ ? ? ? ? 0，b， 1 3c，(3分) 所以EA→＝C1F →，所以EA∥C 1 F， 即A，E，F，C1四点共面， 所以点C1在平面AEF内．(5分) (2)解由已知得A(2,1,3)，E(2,0,2)，F(0,1,1)， (1)正确建立坐标 系得1分； (2)正确写出向量 EA → ，C1F → 的坐标， 得2分； (3)证明EA∥C1F 并正确写出结论 得2分； (4)求出向量夹角 余弦值，没有下结 论扣1分； (5)其他方法建立 坐标系计算正确 同样给分. 高三文科数学第二轮复习资料 ——《立体几何》专题 一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图： 二、练习题： 1． 1∥ 2，a ，b 与 1， 2都垂直，则a ，b 的关系是 A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交、异面都有可能 2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，且满足AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是 A ． V 21 B ．V 31 C ．V 41 D ．V 3 2 3．设α、β、γ为平面， m 、n 、l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是 A ．,,l m l αβαβ⊥=⊥ B ．,,m αγαγβγ=⊥⊥ C ．,,m αγβγα⊥⊥⊥ D ．,,n n m αβα⊥⊥⊥ 4．如图1，在棱长为a 的正方体ABCD A B C D -1111中， P 、Q 是对角 D 1 B 1 线A C 1上的点，若 a PQ= 2 ，则三棱锥P BDQ -的体积为 A3 B3 C3 D．不确定 5．圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是 A 1 2Q B 2 3 Q C 2 π Q D 2 3π Q 6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证： （1）EG∥平面BB1D1D； （2）平面BDF∥平面B1D1H； （3）A1O⊥平面BDF； （4）平面BDF⊥平面AA1C． 7．如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形， 侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求 此三棱柱的侧面积和体积． 8．在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积V P-ABC． 专题三 立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上,着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算.既有以选择题、填空题形式出现的试题,也有以解答题形式出现的试题.选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解,考查画图、识图、用图的能力;解答题一般以简单几何体为载体,考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及空间几何量的求解问题,综合考查空间想象能力、推理论证能力与运算求解能力.试题在突出对空间想象能力考查的同时,关注对平行、垂直关系的探究,关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究. 【考点透析】立体几何主要考点就是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图,表面积体积的计算,空间点、直线、平面的位置关系判断与证明,空间向量在平行、垂直关系证明中的应用,空间向量在计算空间角中的应用等.【例题解析】 题型1 空间几何体的三视图以及面积与体积计算 例 1 某几何体的一条棱长为7,在该几何体的正视图中,这条棱的投影就是长为6的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别就是长为a 与b 的线段,则a b +的最大值为 A. 22 B. 32 C. 4 D. 5 2分析:想像投影方式,将问题归结到一个具体的空间几何体中解决. 解析:结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算,如图设长方体的高宽高分别为,,m n k ,由题意得2227m n k ++=,226m k +=1n ?=, 21k a +=,21m b +=,所以22(1)(1)6 a b -+-=228a b ?+=,22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号. 点评:本题就是高考中考查三视图的试题中难度最大的一个,我们通过移动三个试图把问题归结为长方体的一条体对角线在三个面上的射影,使问题获得了圆满的解决. 例2下图就是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积就是 A.9π B.10π C.11π D.12π 规范答题4立体几何 [命题分析]立体几何解答题是高考解答题的中等难度题目，一般考查线面平行、垂直的证明以及空间角的计算、最值等.典例(12分)(2020·新高考全国Ⅰ)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面P AD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC； (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 步骤要点规范解答阅卷细则 (1)找垂直：通过证明垂直关系寻找(或作出)具有公共交点的三条两两互相垂直的直线. (2)写坐标：建立空间直角坐标系，写(或设)点的坐标，求直线的方向向量以及平面的法向量. (3)求关系：根(1)证明在正方形ABCD中，AD∥BC， 因为AD?平面PBC，BC?平面PBC， 所以AD∥平面PBC， 又因为AD?平面P AD，平面P AD∩平面PBC＝l， 所以AD∥l，3分 因为在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形， 所以AD⊥DC，所以l⊥DC， 且PD⊥平面ABCD，所以AD⊥PD，所以l⊥PD， 因为CD∩PD＝D， 所以l⊥平面PDC.5分 (2)解如图建立空间直角坐标系D－xyz， (1)证明平行、垂直 关系条件不严谨扣1 分；(2)正确建立空 间直角坐标系得1 分； (3)指明直线与平面 所成角的正弦值等 于|cos〈n，PB → 〉|， 没有正确求得最值 得1分； (4)其他方法建立空 间直角坐标系计算 正确同样给分. 据已知条件计算夹角或寻找关系. (4)得结论：根据计算结果得到题目结论. 因为PD ＝AD ＝1，则有D (0,0,0)，C (0,1,0)， A (1,0,0)，P (0,0,1)， B (1，1,0)，7分 设Q (m,0,1)， 则有DC →＝(0,1,0)，DQ →＝(m,0,1)，PB → ＝(1,1，－1)， 设平面QCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则????? DC →·n ＝0，DQ →·n ＝0， 即????? y ＝0，mx ＋z ＝0， 令x ＝1，则z ＝－m ， 所以平面QCD 的一个法向量为n ＝(1,0，－m )，9分 则cos 〈n ，PB → 〉＝n ·PB → |n ||PB →|＝1＋0＋m 3×m 2＋1.10分 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值， 所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值等于 |cos 〈n ，PB → 〉|＝ |1＋m | 3×m 2＋1 ＝33×1＋2m ＋m 2m 2＋1 ＝3 3×1＋2m m 2＋1 ≤ 33 ×1＋2|m |m 2＋1≤33 ×1＋1＝6 3， 当且仅当m ＝1时取等号，立体几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编
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