七年级数学绝对值的八种常见应用分类练习
七年级数学绝对值的十一种常见题型
绝对值的十一种常见题型一、绝对值的意义绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.题型一：已知一个数，求该数的绝对值例1、（1）－3.5的绝对值是__；75-的绝对值是_________. （2）=-3 －437-=（3）若4<a ，则=-4a（4）=-π14.3【解】（1）3.5，75；（2）3，437-；（3）a -4（4）14.3-π 例2、计算11111134451920-+-+⋅⋅⋅+-【解】原式6017201-31201-19151-4141-31==+⋯++=题型二：已知一个数的绝对值，求这个数例3、（1）在数轴上距原点4个单位长度的点表示的数是______.（2）若2=a ，则a = .（3）若b a =，且a =-0.5，则b= .（4）绝对值不大于5的的所有整数为 .（5）若)10(--=-m ，则m = .（6）若06=-x ，则x= .（7）若21=-y ，则y= .【解】（1）4±（2）2±（3）5.0±（4）0，5,4,3,2,1±±±±±（5）10±（6）6=x （7）3或-1题型三：已知绝对值的式子，求字母的取值范围例4、（1）若a ＝a ，则a 是 .（2）若a ＝－a ，则a 是 .（3）若0≥a ，则a 是 .（4）若0≤a ，则a 是 .（5）若x x -=-44，则x 的取值范围是 .（6）若44-=-y y ，则y 的取值范围是 .【解】（1）非负数（2）非正数（3）全体有理数（4）0 （5）4<x （6）4>y题型四：利用绝对值比较两个负数的大小两个负数比较大小，绝对值大的反而小.例5、比较下面各对数的大小（1）－15____－7；（2）－π____－3.14.【解】（1）< （2）<题型五：求字母的值例6、（1）已知2=a ，3=b ，且b a π，求a,b 的值（2）已知4=m ，9=n ，且0φn m +，求m-n 的值【解】（1）因为2=a ，3=b ，所以3,2±=±=b a又因为b a π，所以3,2=-=b a 或者3,2==b a（2）因为4=m ，9=n ，所以9,4±=±=n m又因为0φn m +，所以9,4==n m 或者9,4=-=n m那么13-5或者-=-n m题型六：求数轴上表示两个数的点之间的距离用两个数的差的绝对值表示数轴上表示两个数的点之间的距离 例7、（1）在数轴上表示-3.5和2的点之间的距离是 .（2）在数轴上到表示-1的点的距离是3的数是 .【解】（1）5.5 （2）-4或者2二、绝对值的非负性任何一个数的绝对值都是正数或0，绝对值最小的数是0. 题型七：求最值例8、（1）当a= 时，23+-a 的最小值是（2）当x= 时，x -5的最大值是（3）当m= 时，101-+m 有 （最小值或最大值），是【解】（1）3，2 （2）0，5 （3）-1，最小值，-10题型八：若几个非负数的和为0，则这几个数均为0.例9、（1）已知032=-++b a ，求a,b 的值.（2）若3-x 与2)1(+y 互为相反数，求x,y 的值【解】（1）因为03,02≥-≥+b a ，所以03,02=-=+b a那么3,2=-=b a（2）由题意得()0132=++-y x ，因为()01,032≥+≥-y x 所以1,3-==y x题型九：化简含绝对值符号的式子例10、若z y x <<<0，则化简=--+-z y x 0【解】z y x --例11、已知a 、b 、c 均不为零，求ab c abc a b c abc +++的值.【解】（1）当a 、b 、c 均为正数时，11114;a b c abc a b c abc +++=+++=（2）当a 、b 、c 中，有两个正数，一个负数时，不妨设a 、b 为正，c 为负.11(1)(1)0;a b c abc a b c abc +++=++-+-=（3）当a 、b 、c 中，有一个正数，两个负数时，不妨设a 为正， b 、c 为负.1(1)(1)10;a b c abc a b c abc +++=+-+-+=（4）当a 、b 、c 均为负数时，(1)(1)(1)(1) 4.a b c abc a b c abc +++=-+-+-+-=-因此，原式的值为-4，0，4 .题型十：绝对值的实际应用例12、中学生校园足球争霸赛中，裁判组随机抽取了5个比赛用球进行检验，将超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数，检验结果如下：-10，-7，+8，-2，+5（1）哪一个足球的质量最好？（2）请你用学过的知识进行解释.【解】（1）第四个足球质量最好；（2）绝对值分别是：10，7，8，2，5绝对值越小，误差越小，足球的质量越好.所以第四个足球质量最好，第一个足球质量最次.例13、某煤炭码头将运进煤炭记为正，运出煤炭记为负．某天的记录如下：(单位：t)＋100，－80，＋300，＋160，－200，－180，＋80，－160.(1)当天煤炭库存是增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？(2)码头用载重量为20 t 的大卡车运送煤炭，每次运费100元，问这一天共需运费多少元？【解】（1）100+（-80）+300+160+（-200）+（-180）+80+（-160）=20t 答：当天煤炭库存增加了20吨.（2）（|+100|+|-80|+|+300|+|+160|+|-200|+|-180|+|+80|+|-160|）÷20×100=6300元.题型十一：相反数、绝对值、数轴的综合应用例14、已知a＞0，b＜0，且b＞a，试比较a、a-、b、b-的大小.【解】根据题意画出数轴，如图在数轴上表示a-、b-的点.根据“数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大”，可得 b＜-a＜a＜-b。
七年级上册数学绝对值应用题
七年级上册数学绝对值应用题一、绝对值应用题。
1. 某工厂生产一批零件，根据零件的质量要求，其长度与标准长度的差值的绝对值不能超过0.05毫米。
已知某零件的实际长度是9.97毫米，标准长度为10毫米，该零件是否合格？- 解析：先求该零件长度与标准长度的差值，10 - 9.97=0.03毫米，然后求这个差值的绝对值|10 - 9.97|=|0.03| = 0.03毫米。
因为0.03<0.05，所以该零件合格。
2. 已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a = - 3，b = 5，求A、B两点间的距离。
- 解析：在数轴上两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值。
所以AB=| a - b|=| - 3-5|=| - 8| = 8。
3. 某股票第一天上涨了2元，第二天又下跌了3元，若将上涨记为正，下跌记为负，求这两天股价变化的绝对值之和。
- 解析：第一天上涨2元，记为+2，第二天下跌3元，记为-3。
第一天变化的绝对值为|+2| = 2，第二天变化的绝对值为| - 3|=3，它们的绝对值之和为2 + 3=5元。
4. 一个数的绝对值是4，求这个数。
- 解析：设这个数为x，根据绝对值的定义| x| = 4，则x=±4。
5. 若| x - 3|=5，求x的值。
- 解析：根据绝对值的定义，x - 3 = 5或者x - 3=-5。
当x - 3 = 5时，x = 5+3 = 8；当x - 3=-5时，x=-5 + 3=-2，所以x = 8或x=-2。
6. 已知| a| = 3，| b| = 5，且a< b，求a、b的值。
a = 3时，b = 5；当a=-3时，b = 5。
7. 某物体在数轴上的位置向左移动3个单位后对应的数是- 2，求该物体原来对应的数，并用绝对值表示这个移动过程中的距离。
- 解析：设该物体原来对应的数为x，则x-3=-2，解得x = - 2+3 = 1。
移动的距离为|1-(-2)|=|1 + 2|=|3| = 3。
初一数学上册绝对值(基础)知识讲解及练习
绝对值（基础）【学习目标】1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题. 【要点梳理】 要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点二、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2.法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a -b ＞0，则a ＞b ；若a -b ＝0，则a ＝b ；若a -b ＜0，a ＜b ；反之成立．4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1ab<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小. 【典型例题】类型一、绝对值的概念1．求下列各数的绝对值．112-，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭【思路点拨】112，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解． 【答案与解析】 解法一：因为112-到原点距离是112个单位长度，所以111122-=．因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0． 因为132⎛⎫-- ⎪⎝⎭到原点的距离是132个单位长度，所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭．解法二：因为1102-<，所以111111222⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭．因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0． 因为1302⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭． 【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．2．（ •毕节市）下列说法正确的是（ ） A. 一个数的绝对值一定比0大 B. 一个数的相反数一定比它本身小 C. 绝对值等于它本身的数一定是正数 D. 最小的正整数是1 【答案】D ．【解析】A 、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；B 、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；C 、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；D 、最小的正整数是1，正确． 【总结升华】此题主要考查了绝对值以及有理数和相反数的定义，正确掌握它们的区别是解题关键． 举一反三：【变式1】求绝对值不大于3的所有整数．【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3．【变式2】（ •镇江）已知一个数的绝对值是4，则这个数是 ． 【答案】±4.【变式3】数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为 ． 【答案】6或-6类型二、比较大小3．比较下列有理数大小：(1)-1和0； (2)-2和|-3| ；(3)13⎛⎫-- ⎪⎝⎭和12-；（4）1--______0.1--【答案】(1)0大于负数，即-1＜0；(2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|；(3)先化简1133⎛⎫--=⎪⎝⎭，1122-=，1123>，即1132⎛⎫--<- ⎪⎝⎭．(4)先化简11--=-，0.10.1--=-，这是两个负数比较大小：因为11-=，0.10.1-=，而10.1>，所以10.1-<-，即1--＜0.1--【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则．【点评】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断． 举一反三：【高清课堂：绝对值比大小 356845 典型例题2】 【变式1】比大小： 653-______763- ； -|-3.2|______-(+3.2)； 0.0001______－1000；1.38-______－1.384； －π______－3.14．【答案】＞；=；＞；＞；＜【变式2】下列各数中，比－1小的数是（ ）A ．0B ．1C ．－2D ．2【答案】C【变式3】数a 在数轴上对应点的位置如图所示，则a ，-a ，-1的大小关系是( )．A ．-a ＜a ＜-1B ．-1＜-a ＜aC．a＜-1＜-a D．a＜-a＜-1【答案】C类型三、绝对值非负性的应用4. 已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|＝0且|2-m|≥0，|n-3|≥0所以|2-m|＝0，|n-3|＝0即2-m＝0，n-3＝0所以m＝2，n＝3故m-2n＝2-2×3＝-4．【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．类型四、绝对值的实际应用5．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．【点评】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L 的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数+0.0018 -0.0023 +0.0025-0.0015 +0.0012 +0.0010(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶．(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)．小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) ．【巩固练习】一、选择题1．（ .常州）-3的绝对值是（ ）． A ． 3 B ．-3 C ．13 D ．13- 2．下列判断中，正确的是( )．A. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；B. 如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；C.任何数的绝对值都是正数；D.如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数. 3．下列各式错误的是( )． A ．115533+= B ．|8.1|8.1-= C ．2233-=- D ．1122--=- 4．2010年12月某日我国部分城市的平均气温情况如下表(记温度零上为正，单位℃)城市 温州 上海 北京 哈尔滨 广州 平均气温6-9-1515则其中当天平均气温最低的城市是( )．A ．广州B ．哈尔滨C ．北京D ．上海 5．下列各式中正确的是( )． A ．103<-B ．1134->- C ．-3.7＜-5.2 D ．0＞-2 6．若两个有理数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是( )．A ．a ＞bB ．|a |＞|b |C ．-a ＜-bD ．-a ＜|b | 7．若|a | + a ＝0，则a 是( )．A . 正数B . 负数C .正数或0D .负数或0 二、填空题8．（ •铜仁市）|﹣6.18|= ．9. 若m ，n 互为相反数，则| m |________| n |；| m |=| n |，则m ，n 的关系是________． 10．已知| x |＝2，| y |＝5，且x ＞y ，则x ＝________，y ＝________． 11．满足3.5≤| x | ＜6的x 的整数值是___________． 12. 式子|2x -1|+2取最小值时，x 等于 . 13．数a 在数轴上的位置如图所示． 则|a -2|＝__________．14. 若a a =，则a 0；若a a =-，则a 0；若1aa=-，则a 0；若a a ≥，则a ；若11a a -=-，则a 的取值范围是 ．15.在数轴上，与-1表示的点距离为2的点对应的数是 ． 三、解答题16．比较3a-2与2a+1的大小． 17．（ 秋•天水期末）如图，数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、b 、c ．则：a ﹣b 0，a+c 0，b ﹣c 0．（用＜或＞或=号填空） 你能把|a ﹣b|﹣|a+c|+|b ﹣c|化简吗？能的话，求出最后结果． 17.【解析】 解：由数轴得，a ﹣b ＜0，a+c ＜0，b ﹣c ＜0，∴|a ﹣b|﹣|a+c|+|b ﹣c|=﹣（a ﹣b ）﹣[﹣（a+c ）]+[﹣（b ﹣c ）] =﹣a+b+a+c ﹣b+c =2c ．18．某工厂生产某种圆形零件，从中抽出5件进行检验，比规定直径长的毫米数记作正数，零件 1 2 3 4 5 误差-0.2-0.3+0.2-0.1+0.3根据你所学的知识说明什么样的零件的质量好，什么样的零件的质量差，这5件中质量最好的是哪一件?【答案与解析】一、选择题 1.【答案】A2.【答案】B【解析】A 错误，因为两个数的绝对值相等，这两个数可能互为相反数；B 正确；C 错误，因为0的绝对值是0，而0不是正数；D 错误，因为一个数的绝对值是它本身的数除了正数还有0.3．【答案】C【解析】因为一个数的绝对值是非负数，不可能是负数.所以C 是错误的． 4. 【答案】B【解析】因为-15＜-9＜0＜6＜15，所以当天平均气温最低的城市是哈尔滨． 5. 【答案】D【解析】0大于负数． 6．【答案】B【解析】离原点越远的数的绝对值越大． 7. 【答案】D【解析】若a 为正数，则不满足|a | + a ＝0；若a 为负数，则满足|a | + a ＝0；若a 为0，也满足|a | + a ＝0. 所以a ≤0，即a 为负数或0.二、填空题 8. 【答案】6.18 9. 【答案】=;m=±n【解析】若m，n互为相反数，则它们到原点的距离相等，即绝对值相等；但反过来， m，n绝对值相等，则它们相等或互为相反数.10. 【答案】±2，-5【解析】| x |＝2，则x=±2； | y |＝5， y=±5.但由于x＞y，所以x=±2，y=-511. 【答案】±4, ±5【解析】画出数轴，从数轴上可以看出：在原点右侧，有4,5满足到原点的距离大于等于3.5，且小于6；在原点左侧有-4，-5满足到原点的距离大于等于3.5，且小于6.12. 【答案】1 2【解析】绝对值最小的数是0，所以当2x-1=0，即x=12时，|2x-1|取到最小值0，同时|2x-1|+2也取到最小值.13. 【答案】a-2【解析】由图可知：a≥2，所以|a-2|=a-2.14. 【答案】≥；≤；＜；任意有理数；a≤115. 【答案】-3,1三、解答题16. 【解析】解：(3a-2)-(2a+1)=3a-2-2a-1=a-3当a>3时，3a-2>2a+1；当a=3时，3a-2=2a+1；当a<3时，3a-2<2a+1.17．【解析】解：根据：负数小于正数，两个负数相比较，绝对值大的反而小．所以从小到大的顺序为：-7.3%，-5.3%，-3.4%，-0.9%，2.8%，7.0%．18．【解析】解：零件的直径与规定直径的偏差可以用绝对值表示，绝对值小表示偏差小，绝对值大表示偏差大．哪个零件的直径偏差越小，哪个零件的质量越好，哪个零件的直径偏差越大，哪个零件的质量越差，所以这5件中质量最好的是第4件．。
人教版七年级上册专训1绝对值的七种常见的应用题型
专训1 绝对值的七种常见的应用题型名师点金：绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须明确绝对值的意义和性质．对于数x 而言，它的绝对值表示为|x|.已知一个数求这个数的绝对值1．化简：(1)|－(＋7)|； (2)－|－8|；(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎪⎪⎪⎪⎪⎪＋47； (4)－|－a|(a ＜0)．已知一个数的绝对值求这个数2．若|a|＝2，则a＝________.3．若|x|＝|y|，且x＝－3，则y＝________.4．绝对值不大于3的所有整数为________________________________________________________________________．5．若|－x|＝－(－8)，则x＝______，若|－x|＝|－2|，则x＝________.绝对值在求字母的取值范围中的应用6．如果|－2a|＝－2a，则a的取值范围是( )A．a>0 B．a≥0 C．a≤0 D．a<07．若|x|＝－x，则x的取值范围是________．8．若|x－2|＝2－x，则x的取值范围是________________________________________________________________________．绝对值在比较大小中的应用9．把－(－1)，－23，－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－45，0用“>”连接正确的是( ) A ．0>－(－1)>－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－45>－23B ．0>－(－1)>－23>－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－45C ．－(－1)>0>－23>－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－45D ．－(－1)>0>－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－45>－23绝对值非负性在求字母值中的应用10．(1)已知|a|＝5，|b|＝8，且a<b ，则a ＝________，b ＝________；(2)有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，若|a|＝4，|b|＝2，求a ，b 的值．(第10题)11．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －13＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －14＝0，求a ＋b －c 的值．绝对值非负性在求最值中的应用12．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题：(1)当a＝________时，|a－4|有最小值，此时最小值为________；(2)当a取何值时，|a－1|＋3有最小值？这个最小值是多少？(3)当a取何值时，4－|a|有最大值？这个最大值是多少？【导学号：11972006】绝对值在实际中的应用13．某工厂生产一批零件，零件质量要求为“零件的长度可以有0.2 cm的误差”．现抽查5个零件，超过规定长度的厘米数记为正，不足规定长度的厘米数记为负，检查结果如下表：(1)指出哪些零件是合格产品(即在规定误差范围内)；(2)在合格产品中，几号产品的质量最好？为什么？试用绝对值的知识说明．答案1．解：(1)原式＝7. (2)原式＝－8. (3)原式＝47. (4)原式＝a.2．±2 3.±3 4.0，±1，±2，±3 5．±8；±2 6.C 7．x ≤0 8.x ≤2 9.C10．解：(1)±5；8 (2)a ＝4，b ＝±2.11．解：由题意得a ＝12，b ＝13，c ＝14.所以a ＋b －c ＝12＋13－14＝712.12．解：(1)4；0(2)因为|a －1|≥0，所以当a ＝1时，|a －1|＋3有最小值．这个最小值是3. (3)因为|a|≥0，所以－|a|≤0，所以当a ＝0时，4－|a|有最大值，这个最大值是4. 13．解：(1)因为|＋0.13|＝0.13＜0.2，|－0.25|＝0.25＞0.2，|＋0.09|＝0.09＜0.2，|－0.11|＝0.11＜0.2，|＋0.23|＝0.23＞0.2，所以①③④号零件是合格产品．(2)在合格产品中，③号产品的质量最好．因为|＋0.09|＜|－0.11|＜|＋0.13|.所以质量最好的产品是③号零件．初中数学试卷。
七年级上册数学关于《绝对值》例题与练习
绝对值专题绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：l ．去绝对值的符号法则：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值基本性质 ①非负性：0≥a ；②ba ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a； ④222a a a ==；⑤ba b a +≤+；⑥b a b a b a +≤-≤-．3．绝对值的几何意义从数轴上看，a 表示数a 的点到原点的距离(长度，非负)；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离．例题讲解【例1】(1)已知1=a ，2=b ，3=c ，且c b a >>，那么c b a -+＝ ． (2)已知d c b a 、、、是有理数，9≤-b a ，16≤-d c ，且25=+--d c b a ，那么=---c d a b ．（3）已知5=x ，1=y ，那么=+--y x y x _________．（4）非零整数m 、n 满足05=-+n m ，所有这样的整数组),(n m 共有______组．思路点拨 (1)由已知条件求出c b a 、、的值，注意条件c b a >>的约束；(2)若注意到9+16＝25这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解；（3）既可以对x ，y 的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；（4）从把5拆分成两个正整数的和入手． 【例2】 如果c b a 、、是非零有理数，且0=++c b a ，那么abcabcc c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ． 1或1-C ．2或2-D ．0或2-思路点拨 根据b a 、的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键． 【例3】已知12--b •ab 与互为相反数，试求代数式：1111(1)(1)(2)(2)(2015)(2015)ab a b a b a b ++++++++++的值．思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出b a 、的值．【例4】化简(1)12-x ； (2)31-+-x x ； (3)121++--x x ．思路点拨 (1)就012012<-≥-x x ，两种情形去掉绝对值符号；(2)将零点1，3在同一数轴上表示出来，就1<x ，1≤x<3，x ≥3三种情况进行讨论；(3)由02101=--=+x x ，，得3,11==-=x x x ，．【例5】已知a 为有理数，那么代数式4321-+-+-+-a a a a 的取值有没有最小值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由．思路点拨 a 在有理数范围变化，4321----a a a a 、、、的值的符号也在变化，解本例的关键是把各式的绝对值符号去掉，为此要对a 的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值．链接：①我们把大于或等于零的数称为非负数，现阶段a 、n a 2是非负数的两种重要形式，非负数有如下常用性质： (1)a ≥0，即非负数有最小值为0；(2)若0=+++h b a ，则0====h b a②形如(2)的问题称为多个绝对值问题，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．请读者通过本例的解决，仔细体会上述解题步骤．【例6】已知36)13)(12)(21(=++-++--++z z y y x x ，求z y x 32++的最大值和最小值．思路点拨 解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的取值范围．基础训练 1．若有理数x 、y 满足22015(1)x -+0112=+-y x ，则=+22y x ． 2．已知5=a ，3=b ，且a b b a -=-，那么b a += ．3．已知有理数c b a 、、在数轴上的对应位置如图所示：则b a c a c -+-+-1化简后的结果是 ．4．若b a 、为有理数，那么，下列判断中：(1)若b a =，则一定有b a =； (2)若b a >，则一定有b a >； (3)若b a >，则一定有b a >；(4)若b a =，则一定有22)(b a -=．正确的是 (填序号) ．5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a ，1，1-，那么1+a 表示( )． A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和 (江苏省竞赛题) 6．已知a 是任意有理数，则a a --的值是( )．A ．必大于零B ．必小于零C 必不大于零D ．必不小于零7．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数，则a 与b 的大小关系是( )． A ．b a > B ．b a = C ．b a < D ．b a ≥8．如图，有理数b a 、在数轴上的位置如图所示，则在b a +，a b 2-，a b -，b a -，2+a ，4--b 中，负数共有（ ） A ． 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．化简：(1)3223++-x x ； (2)1331++--x x ． 10．求满足1=+-ab b a 的非负整数对),(b a 的值．11．若2-<x ，则=+-x 11 ；若a a -=，则=---21a a ． 12．能够使不等式0)1)((<+-x x x 成立的x 的取值范围是 ． l3．a 与b 互为相反数，且54=-b a ，那么12+++-ab a b ab a ＝ ． 14．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且c b a ≤≤，则a c cb b a -+-+-可能取得的最大值是 ．15．使代数式xx x 43-的值为正整数的x 值是( )．A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．不存在的ba16．如果02=+b a ，则21-+-bab a 等于（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 17．如果150<<p ，那么代数式1515--+-+-p x x p x 在15≤≤x p 的最小值是（ ）．A ．30 B ．0 C ．15 D ．一个与p 有关的代数式 18．设0=++c b a ，0>abc ，则cba b a c a c b +++++的值是（ ）． A ．3- B ．1 C ．3或1- D ．3-或1 19．有理数c b a 、、均不为零，且0=++c b a ，设ba c ac b cb a x +++++=，试求代数式20029919+-x x 的值．20．若c b a 、、为整数，且19919=-+-ac b a ，求c b b a a c -+-+-的值．21．已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的最大值与最小值．22．已知02003200232120032002321=-+-++-+-+-x x x x x ， 求代数式20032002212222x x x x+--- 的值．答案：1. 37362.-2或-83.1-2c+b4.(4)5.D6.D7.C8.A9.(1)原式=351()2325()23251()3x xx xx x⎧--<-⎪⎪⎪-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩(2)原式=43(2)121(2)3143(1)325(14)43(4)x xx xx xx xx x--<-⎧⎪⎪-+-≤<-⎪⎪⎪+-≤<⎨⎪+≤<⎪⎪-≥⎪⎪⎩10.(a,b)=(1,0),(0,1),(1,1) 提示:由条件得||1a bab-=⎧⎨=⎩或||01a bab-=⎧⎨=⎩11.-2-x、-1 12.x<-1 提示:因│x│≥x,│x│-x≥0,故1+x<0.13. 425提示:ab=-b2=-│b│2=-42514.16 15.D16.B 提示:原式= |2||||||4|2||a a a aa-++17.C 18.B19.提示:a、b、c中不能全同号,必一正二负或二正一负,得a=-(b+c),b=-(c+a),c=-(a+b),即ab c+=-1,bc a+=-1,ca b+=-1,所以||ab c+,||bc a+,||ca b+中必有两个同号,另一个符号与其相反,•即其值为两个+1,一个-1或两个-1,一个+1,x=1,原式=1904. 20.提示:a、b、c都为整数,则a-b、c-a均为整数,则│a-b│、│c-a•│为两个非负整数,│a-b│19+│c-a│99=1, 只能│a-b│19=0且│c-a│99=1…………①或│a-b│19=1且│c-•a│99=0……………②,由①得a=b,且│c-a│=1,│b-c│=│c-a│=1;由②得c=a,且│a-b│=1,•│b-c│=│a-b│=1,无论①或②,都有│a-b│+│c-a│=1,且│b-c│=1,故│c-a│+•│a-b│+│b-c│=2.21.提示:-1≤x≤1,-1≤y≤1,│y+1│=y+1,│2y-x-4│=4+x-2y,当x+y≤0时,•M=5-2y,得3≤M≤7;当x+y≥0时,M=2x+5,得3≤M≤7;又当x=-1,y=1时,M=3;当x=-1,•y=-1时,M=7,故M的最大值为7,最小值为3.22.由题意得:x1=1,x2=2,… ,x2003=2003,原式=2-22-23-…22002+22003=22003-22002-…23-22+2提高训练1．计算：214131412131---+-=______． 2．代数式131211++-++x x x 的最小值为______．3．已知c b a <<<0，化简式子：c b a c b a b a -+--++-2得______．4．若a 、b 、c 、d 为互不相等的有理数，且1=-=-=-b d c b c a 那么=-d a ___． 5．设a 是有理数，则a a -的值（ ）．A ．可以是负数B ．不可能是负数C ．必是正数D ．可以是正数，也可以是负数 6．已知m m -=，化简21---m m 所得的结果是________． 7．若3=a ，5=b ，那么b a b a --+的绝对值等于________． 8．有理数a 、b 、c 的大小关系如图，则下列式子中一定成立的是（ ）． A ．0>++c b a B ．c b a <+ C ．c a c a +=- D ．a c c b ->-9．已知abcabc cc bb aa x +++=，且a 、b 、c 都不等于0，求x 的所有可能值．10．已知a 、b 、c 满足0))()((=+++a c c b b a ，且0<abc ，则代数式cc b b a a ++的值为______．11．若有理数m 、n 、p 满足1=++pp nn mm ，则mnpmnp32=______．12．设a 、b 、c 是不为零的有理数，那么ccb b a a x -+=的值有（ ）． A ．3种 B ．4种 C ．5种 D ．6种13．如图，已知数轴上的点A 、B 、C 所对应的数a 、b 、c 都不为零，且C 是AB 的中点．如果0222=-+--+--+c b a c b c a b a ，那么原点O 的位置在（ ）． A ．线段AC 上 B ．线段CA 的延长线上 C ．线段BC 上 D ．线段CB 的延长线上B C A14．若2-<x ，则x y +-=11等于（ ）． A ．x +2 B ．x --2 C ．x D ．x -15．已知a 、b 、c 、d 是有理数，9≤-b a ，16≤-d c ，且25=+--d c b a ，求c d a b ---的值．16．在数轴上把坐标为1,2,3，…，2006的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？说明理由．。
有理数及其运算_专训2 绝对值的八种常见应用
专训2 绝对值的八种常见应用已知一个数求这个数的绝对值1．化简：(1)|－(＋7)|； (2)－|－8|；(3)⎪⎪⎪⎪－⎪⎪⎪⎪＋47； (4)－|－a|(a<0)．已知一个数的绝对值求这个数2.若|a|＝2，则a ＝________.3．若|x|＝|y|，且x ＝－3，则y ＝________. 4．绝对值不大于3的所有整数为________． 5．若|－x|＝－(－8)，则x ＝________， 若|－x|＝|－2|，则x ＝________.绝对值在求字母的取值范围中的应用6．若|x|＝－x ，则x 的取值范围是________． 7．若|x －2|＝2－x ，则x 的取值范围是________． 8．如果|－2a|＝－2a ，则a 的取值范围是( ) A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a ≤0 D ．a<0绝对值在比较大小中的应用9．把－(－1)，－23，－⎪⎪⎪⎪－45，0，用“>”连接正确的是( )A ．0>－(－1)>－⎪⎪⎪⎪－45>－23B ．0>－(－1)>－23>－⎪⎪⎪⎪－45 C ．－(－1)>0>－23>－⎪⎪⎪⎪－45 D ．－(－1)>0>－⎪⎪⎪⎪－45>－23绝对值的非负性在求字母值中的运用10．若⎪⎪⎪⎪a －12＋⎪⎪⎪⎪b －13＋⎪⎪⎪⎪c －14＝0，求a ＋b －c 的值．绝对值的非负性在求最值中的应用11．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题：(1)当a ＝________时，|a －4|有最小值，此时最小值为________； (2)当a 取何值时，|a －1|＋3有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a 取何值时，4－|a|有最大值？这个最大值是多少？绝对值的非负性在化简中的应用12．三个有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，其中数a ，b 互为相反数．试求解以下问题：(第12题)(1)判断a，b，c的正负性；(2)化简|a－b|＋2a＋|b|.绝对值在实际中的应用13．某工厂生产一批零件，零件质量要求为“零件的长度可以有0.2 cm的误差”．现抽查5个零件，超过规定长度的厘米数记为正，不足规定长度的厘米数记为负，检查结果如下表：(1)指出哪些零件是合格产品(即在规定误差范围内)．(2)在合格产品中，几号零件的质量最好？为什么？试用绝对值的知识说明．。
新人教版七年级数学上册专题训练：一绝对值的应用
专题训练(一) 绝对值的应用类型1利用绝对值比较大小1．比较下面各对数的大小：(1)－0.1与－0.2；解：因为|－0.1|＝0.1，|－0.2|＝0.2，且0.1＜0.2，所以－0.1＞－0.2.(2)－45与－56.解：因为|－45|＝45＝2430，|－56|＝56＝2530，且2430<2530，所以－45>－56.2．比较下面各对数的大小：(1)－821与－|－17|；解：－|－17|＝－17.因为|－821|＝821，|－17|＝17＝321，且821＞17，所以－821＜－|－17|.(2)－2 0152 016与－2 0162 017. 解：因为|－2 0152 016|＝2 0152 016，|－2 0162 017|＝2 0162 017， 且2 0152 016＜2 0162 017， 所以－2 0152 016＞－2 0162 017.类型2 巧用绝对值的性质求字母的值3．已知|a|＝3，|b|＝13，且a ＜0＜b ，则a ，b 的值分别为(B ) A ．3，13B ．－3，13C ．－3，－13D ．3，－134．已知|a|＝2，|b|＝3，且b<a ，试求a 、b 的值．解：因为|a|＝2，所以a ＝±2.因为|b|＝3，所以b ＝±3.因为b<a ，所以a ＝2，b ＝－3或a ＝－2，b ＝－3.5．已知|x －3|＋|y －5|＝0，求x ＋y 的值．解：由|x －3|＋|y －5|＝0，得x －3＝0，y －5＝0，即x＝3，y＝5.所以x＋y＝3＋5＝8.6．已知|2－m|＋|n－3|＝0，试求m＋2n的值．解：因为|2－m|＋|n－3|＝0，且|2－m|≥0，|n－3|≥0，所以|2－m|＝0，|n－3|＝0.所以2－m＝0，n－3＝0.所以m＝2，n＝3.所以m＋2n＝2＋2×3＝8.7．已知|a－4|＋|b－8|＝0，求a＋bab的值．解：因为|a－4|＋|b－8|＝0，所以|a－4|＝0，|b－8|＝0. 所以a＝4，b＝8.所以a＋bab＝1232＝38.类型3绝对值在生活中的应用8．某汽车配件厂生产一批零件，从中随机抽取6件进行检验，比标准直径长的毫米数记为正数，比标准直径短的毫米数记为负数，检查记录如下表(单位：毫米)：5(1)哪3件零件的质量相对来讲好一些？怎样用学过的绝对值知识来说明这些零件的质量好？(2)若规定与标准直径误差不超过0.1毫米的为优等品，在0.1毫米～0.3毫米(不含0.1毫米和0.3毫米)范围内的为合格品，不小于0.3毫米的为次品，则这6件产品中分别有几件优等品、合格品和次品？解：(1)因为|＋0.5|＝0.5，|－0.15|＝0.15，|0.1|＝0.1，|0|＝0，|－0.1|＝0.1，|0.2|＝0.2，又因为0＜0.1＜0.15＜0.2＜0.5，所以第3件、第4件、第5件零件的质量相对来讲好一些．(2)由绝对值可得出：有3件优等品，2件合格品和1件次品．9．已知蜗牛从A点出发，在一条数轴上来回爬行，规定：向正半轴运动记作“＋”，向负半轴运动记作“－”，从开始到结束爬行的各段路程(单位：cm)依次为：＋7，－5，－10，－8，＋9，＋12，＋4，－6.若蜗牛的爬行速度为每秒12cm，请问蜗牛一共爬行了多少秒？解：(|＋7|＋|－5|＋|－10|＋|－8|＋|＋9|＋|＋12|＋|＋4|＋|－6|)÷1 2＝122(秒)．答：蜗牛一共爬行了122秒．10．司机小李某天下午的营运全是在南北走向的鼓楼大街进行的．假定向南为正，向北为负，他这天下午行车里程如下(单位：km)：＋15，－3，＋14，－11，＋10，＋4，－26.(1)小李在送第几位乘客时行车里程最远？(2)若汽车耗油量为0.1 L/km，这天下午汽车共耗油多少L?解：(1)小李在送最后一位乘客时行车里程最远，是26 km.(2)总耗油量为0.1×(|＋15|＋|－3|＋|＋14|＋|－11|＋|＋10|＋|＋4|＋|－26|)＝8.3(L)．11．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表：(1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？(2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？(3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；(4)用学过的绝对值知识来说明以上问题．解：(1)张兵、蔡伟．(2)蔡伟做的质量最好，李明做的质量较差．(3)蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明．(4)这是绝对值在实际生活中的应用，对误差来说绝对值越小越好．。
绝对值贯穿有理数经典题型(八大题型)(原卷版)
专题1.1 绝对值贯穿有理数经典题型（八大题型）【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】 【题型2 根据绝对值的非负性求值】 【题型3 根据参数的取值范围化简绝对值】 【题型4 根据绝对值的定义判断正误】 【题型5 根据绝对值的意义求取值范围】 【题型6 绝对值中分类讨论aa问题】 【题型7 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】 【题型8 绝对值中最值问题】【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】【典例1】有理数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示．（1）在数轴上表示﹣c ，|b |．（2）试把﹣c ，b ，0，a ，|b |这五个数从小到大用“＜”连接起来； （3）化简|a +b |﹣|a ﹣c |﹣2|b +c |．【变式1-1】有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，化简|b +a |+|a +c |+|c ﹣b |的结果是（ ）A ．2b ﹣2cB ．2c ﹣2bC ．2bD ．﹣2c【变式1-2】a 、b 、c 三个数在数轴上位置如图所示，且|a |＝|b |（1）求出a、b、c各数的绝对值；（2）比较a，﹣a、﹣c的大小；（3）化简|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．【题型2 根据绝对值的非负性求值】【典例2】已知|a−|+|b+|+|c+|＝0，求a﹣|b|+（﹣c）的值．【变式2-1】已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化简|a|+|﹣2b|+3a．【变式2-3】若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．计算：（1）x，y，z的值．（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．【变式2-4】已知m，n满足|m﹣2|+|n﹣3|＝0，求2m+n的值．【变式2-5】已知|a﹣3|与|2b﹣4|互为相反数．（1）求a与b的值；（2）若|x|＝2a+4b，求x的相反数．【变式2-6】若|a+2|+|b﹣5|＝0，求的值．【变式2-7】若a、b都是有理数，且|ab﹣2|+|a﹣1|＝0，求++ +……+的值．【题型3 根据参数的取值范围化简绝对值】【典例3】已知1＜a＜4，则|4﹣a|+|1﹣a|的化简结果为（）A．5﹣2a B．﹣3C．2a﹣5D．3【变式3-1】已知1＜x＜2，则|x﹣3|+|1﹣x|等于（）A．﹣2x B．2C．2x D．﹣2【变式3-2】若1＜x＜2，则化简|x+1|﹣|x﹣2|的结果为（）A．3B．﹣3C．2x﹣1D．1﹣2x【变式3-3】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|b+1|﹣|b﹣a|的结果为（）A．a﹣2b﹣1B．a+1C．﹣a﹣1D．﹣a+2b+1【变式3-4】若a＜0，则化简|3﹣a|+|2a﹣1|的结果为．【题型4 根据绝对值的定义判断正误】、【典例4】在实数a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，则下列结论：①|a|＞|b |，②a ＞0，③b ＜0，④c ＜0，正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式4-1】将符号语言“|a |＝a （a ≥0）”转化为文字表达，正确的是（ ） A ．一个数的绝对值等于它本身 B ．负数的绝对值等于它的相反数C ．非负数的绝对值等于它本身D ．0的绝对值等于0【变式4-2】已知a 、b 、c 的大致位置如图所示：化简|a +c |﹣|a +b |的结果是（ ）A ．2a +b +cB ．b ﹣cC ．c ﹣bD ．2a ﹣b ﹣c【变式4-3】下列说法中正确的是（ ） A ．两个负数中，绝对值大的数就大 B ．两个数中，绝对值较小的数就小 C ．0没有绝对值D ．绝对值相等的两个数不一定相等【题型5 根据绝对值的意义求取值范围】【典例5】若|5﹣x |＝x ﹣5，则x 的取值范围为（ ） A ．x ＞5B ．x ≥5C ．x ＜5D ．x ≤5【变式5-1】已知|a |＝﹣a ，则化简|a ﹣1|﹣|a ﹣2|所得的结果是（ ） A ．﹣1B ．1C ．2a ﹣3D ．3﹣2a【变式5-2】若|1﹣a |＝a ﹣1，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤1【变式5-3】若不等式|x ﹣2|+|x +3|+|x ﹣1|+|x +1|≥a 对一切数x 都成立，则a 的取值范围是 ．【题型6 绝对值中分类讨论aa问题】 【典例6】计算：（abc ≠0）＝ ．【变式6-1】若n＝，abc＞0，则n的值为．【变式6-2】已知abc＞0，则式子：＝（）A．3B．﹣3或1C．﹣1或3D．1【变式6-3】已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（）A．±5B．0或±1C．0或±5D．±1或±5【变式6-4】已知：，且abc＞0，a+b+c＝0．则m 共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（）A．4B．3C．2D．1【变式6-5】已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为．【变式6-7】已知a，b，c都不等于零，且++﹣的最大值是m，最小值为n，求的值．【变式6-8】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”【提出问题】三个有理数a、b、c满足abc＞0，求++的值．【解决问题】解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则：++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，则：++＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1所以：++的值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求++的值；（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．【变式6-9】阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；（2）当abc≠0时，求的值；（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．【题型7 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】【典例7】（2022•河北模拟）（1）数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离；（2）是否存在有理数x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？（3）是否存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由．【变式7-1】（2022春•宝山区校级月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，则a的取值范围为．【变式7-2】（2022秋•玉门市期末）在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，设d在a、c之间，则|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（）A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a【题型8绝对值中最值问题】【典例8】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是；表示﹣2和1两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝2，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝．（5）当a＝1时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝．（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是．（4）当a＝时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝．【变式8-3】阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x ＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．。
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七年级数学绝对值的八种常见应用分类练习
已知一个数求这个数的绝对值
1．化简：
(1)|－(＋7)|； (2)－|－8|；
|－|＋47|
(3)；(4)－|－a|(a<0)．
已知一个数的绝对值求这个数
2.若|a|＝2，则a＝________.
3．若|x|＝|y|，且x＝－3，则y＝________.
4．绝对值不大于3的所有整数为________．
5．若|－x|＝－(－8)，则x＝________，
若|－x|＝|－2|，则x＝________.
绝对值在求字母的取值范围中的应用
6．若|x|＝－x，则x的取值范围是________．
7．若|x－2|＝2－x，则x的取值范围是________．
8．如果|－2a|＝－2a，则a的取值范围是( )
A．a>0 B．a≥0C．a≤0D．a<0
绝对值在比较大小中的应用
9．把－(－1)，－，－，0，用“>”连接正确的是( )23|－45
|A ．0>－(－1)>－>－|－45|23
B ．0>－(－1)>－>－23|－45
|C ．－(－1)>0>－>－23|－45
|D ．－(－1)>0>－>－|－45|
23
绝对值的非负性在求字母值中的运用
10．若＋＋＝0，求a ＋b －c 的值．|a －12||b －13||c －14|
绝对值的非负性在求最值中的应用
11．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题：
(1)当a ＝________时，|a －4|有最小值，此时最小值为________；
(2)当a 取何值时，|a －1|＋3有最小值？这个最小值是多少？
(3)当a 取何值时，4－|a|有最大值？这个最大值是多少？
绝对值的非负性在化简中的应用
12．三个有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，其中数a，b互为相反数．试求解以下问题：
(第12题)
(1)判断a，b，c的正负性；
(2)化简|a－b|＋2a＋|b|.
绝对值在实际中的应用
13．某工厂生产一批零件，零件质量要求为“零件的长度可以有0.2 cm的误差”．现抽查5个零件，超过规定长度的厘米数记为正，不足规定长度的厘米数记为负，检查结果如下表：
零件号数①②③④⑤
数据＋0.13－0.25＋0.09－0.11＋0.23
(1)指出哪些零件是合格产品(即在规定误差范围内)．
(2)在合格产品中，几号零件的质量最好？为什么？试用绝对值的知识说明．
答案
1．解：(1)原式＝7. (2)原式＝－8.
(3)原式＝. (4)原式＝a.47
2．±2 3.±3
4．0，±1，±2，±3
5．±8；±2 6.x≤0 7.x≤2
8．C 9.C
10．解：由题意知a ＝，b ＝，c ＝，所以a ＋b －c ＝＋－＝.121314121314712
11．解：(1)4；0 (2)当a ＝1时，|a －1|＋3有最小值．这个最小值是3.(3)当a ＝0时，4－|a|有最大值．这个最大值为4.
12．解：(1)a ＜0，b ＞0，c ＜0.
(2)因为a ，b 互为相反数，所以b ＝－a.又因为a ＜0，b ＞0.
所以|a －b|＋2a ＋|b|＝|2a|＋2a ＋|b|＝－2a ＋2a ＋b ＝b.
13．解：(1)因为|＋0.13|＝0.13<0.2，|－0.25|＝0.25>0.2，
|＋0.09|＝0.09<0.2，
|－0.11|＝0.11<0.2，
|＋0.23|＝0.23>0.2，
所以①③④号零件是合格产品．
(2)在合格产品中，③号零件的质量最好．因为|＋0.09|<|－0.11|<|＋0.13|.
所以质量最好的产品是③号零件．。