2019届高三文科数学概率与统计解答题新题好题专题汇编

高三文科数学概率与统计解答题新题好题专题汇编

【新题好题提升能力】

1.某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图.

(1)求直方图中x 的值；

(2)求月平均用电量的众数和中位数；

(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则从月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取多少户？

(2)月平均用电量的众数是220＋240

2＝230.

∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，

∴月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a ，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224.

(3)月平均用电量在[220，240)内的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300]的用户分别有15户、10户、5户，故抽样比为1125＋15＋10＋5＝1

5

.

∴从月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取25×1

5

＝5(户).

2. 在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球.

(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同为平局)，求甲获胜的概率；

(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？

3. 某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆.目前我国主流纯电动汽车按续航里程数R(单位：千米)分为3类，即A类：80≤R＜150，B 类：150≤R＜250，C类：R≥250.该公司对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：

(1)从这140辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过10万千米的概率；

(2)公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车.

①求n的值；

②如果从这n辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过10万千米的概率.

4. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：

用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.

（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据； （2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2

s ；

（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在(),x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比是多少？（精确到0.1%)

参考数据：

5.92≈≈≈.

【答案】（1）样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. （2）83x =,2

s =33（3）50.0%

（2）由（1）中的样本评分数据可得

()1

928486788974837877898310

x =

+++++++++=， 则有

()()()()()()()222222221[928384838683788389837483838310

s =

-+-+-+-+-+-+-+ ()()()2

2

2

788377838983]33-+-+-=

（3）由题意知评分在(83之间，即()77.26,88.74之间，

由（1）中容量为10的样本评分在()77.26,88.74之间有5人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为

5

100%50.0%10

?=.

另解：由题意知评分在(83，即()77.26,88.74之间，，从调查的40名用户评分数据中在()77.26,88.74共有21人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的

百分比约为

21

100%52.5%40

?=. 5. 为研究某种图书每册的成本费y （元）与印刷数x （千册）的关系，收集了一些数据并

作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．

表中1i i u x =， 8

1

18i i u u ==∑．

（1）根据散点图判断： y a bx =+与d

y c x

=+

哪一个更适宜作为每册成本费y （元）与印刷数x （千册）的回归方程类型？（只要求给出判断，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）； （3）若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78840元？（假设能够全部售出，结果精确到1） （附：对于一组数据()11,v ω，

()22,v ω，…， (),n n v ω，其回归直线???v

αβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()

1

2

1

?n

i

i

i n

i

i v v ωωβ

ωω==--=-∑∑， ??v αβω

=-） 【答案】（1）见解析；（2）8.96

1.22?y

x

=+．（3）10千册． 由于()()()

8

182

17.0498.9?578.960.787i i i i i u u y y d u u ==--==

≈≈-∑∑， ∴ 3.638.9570.269?? 1.22c

y d u =

-?=-?≈， ∴y 关于u 的线性回归方程为 1.228.?96y

u =+， 从而y 关于x 的回归方程为8.96

1.22?y

=+． （3）假设印刷x 千册，依题意， 1078.840x x ?≥，

即8.7887.8

x≥，

∴10

x≥，

∴至少印刷10千册．

6.教育学家分析发现加强语文乐队理解训练与提高数学应用题得分率有关，某校兴趣小组为了验证这个结论，从该校选择甲乙两个同轨班级进行试验，其中甲班加强阅读理解训练，乙班常规教学无额外训练，一段时间后进行数学应用题测试，统计数据情况如下面的22

?列联表（单位：人）

（1）能够据此判断有97.5%把握热内加强语文阅读训练与提高数学应用题得分率有关？（2）经过多次测试后，小明正确解答一道数学应用题所用的时间在5—7分钟，小刚正确解得一道数学应用题所用的时间在6—8分钟，现小明、小刚同时独立解答同一道数学应用题，求小刚比小明现正确解答完的概率；

【答案】（1）见解析；（2）1 8 .

7.某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过()*n n N ∈关者奖励1

2

n -件小奖品（奖品都一样）．下图是小明在10次过关

游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．

(Ⅰ)求小明在这十次游戏中所得奖品数的均值； (Ⅱ)规定过三关者才能玩另一个高级别的游戏，估计小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率； (Ⅲ)已知小明在某四次游戏中所过关数为{2,2,3,4}，小聪在某四次游戏中所过关数为{3,3,4,5}，现从中各选一次游戏，求小明和小聪所得奖品总数超过10的概率．

【答案】 (Ⅰ) 4 (Ⅱ) 0.4； (Ⅲ)

12

试题解析：

(Ⅰ)小明的过关数与奖品数如下表：

小明在这十次游戏中所得奖品数的均值为

()1

12234281161410

?+?+?+?+?=； (Ⅱ)小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率约为

211

0.410

++=； (Ⅲ)小明在四次游戏中所得奖品数为{2,2,4,8}， 小聪在四次游戏中所得奖品数为{4,4,8,16}， 现从中各选一次游戏，奖品总数如下表：

共16个基本事件，总数超过10的有8个基本事件，故所求的概率为

81162

=． 8. 某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，以此类推，统计结果如表：

（Ⅰ）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a 小时，求a 的值；

（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a 小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率． 【答案】（1）4；（2）

11

36

9. 在测试中，客观题难题的计算公式为i

i R P N

，其中i P 为第i 题的难度， i R 为答对该题的人数， N 为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：

测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：

（1）根据题中数据，将抽样

的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；

（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；

（3）定义统计量()()

()

22

2

'

'

'

11

2

2

1n

n S P P P P P P n ??=-+-+

+-?

???

，其中'i P 为第i 题的实测

难度， i P 为第i 题的预估难度（1,2,

,i n =）.规定：若0.05S =，则称该次测试的难度

预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理. 【答案】(1)见解析，24 (2) 3

5

P =

（3）该次测试的难度预估是合理的.

(2) 记编号为i 的学生为i A （1,2,3,4,5i =），从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法

有10种. 其中恰

好有1人答对第5题的抽取方法为

()()()()()()121324255545,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A ，共6种.

所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为63105

P =

=. （3）'

i P 为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用'

i P 作为这120名学生第i 题的实测难度.

()()()()()22222

10.80.90.80.80.70.70.70.60.20.40.0125S ??=-+-+-+-+-=?

?

因为0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的. 10. 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司咪推广线下分店，计划在S 市的A 区开设

分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店听其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x 表示在各区开设分店的个数， y 表示这个x 个分店的年收入之和．

（1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回

归方程?y bx

a =+； （2）假设该公司在A 区获得的总年利润z （单位：百万元）与,x y 之间的关系为

20.05 1.4z y x =--，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分

店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？

（参考公式： ?y bx a =+，其中()()()

11

2

22

11

?,?n

n

i i i

i

i i n

n

i i

i i x y nxy x x y y b

a y bx

x nx x x ====---===---∑∑∑∑） 【答案】(1) 0.850.6y x =+;(2) 该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大.

（2）由题意，可知总收入的预报值?z

与x 之间的关系为： 2

0.050.850.?8z x x =-+-， 设该区每个分店的平均利润为t ，则z

t x

=

， 故t 的预报值?t

与x 之间的关系为0.8800.050.850.?0150.85t x x x x ?

?=--+=-++ ??

?， 则当4x =时， ?t

取到最大值， 故该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大．