2019届高三文科数学概率与统计解答题新题好题专题汇编
2019年全国高考文科数学试题分类汇编之统计与概率
一、选择题：1.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田，这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）A ．1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的平均数B ．1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的标准差C ．1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的最大值D ．1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的中位数2.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ） A ．3，5 B ．5，5 C ．3，7 D ．5，74.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．8π C ．12D ．4π 5.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ） A ．45 B ．35 C ．25 D ．156.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．110 B ．15 C ．310 D ．25二、解答题：7.（新课标1）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，1621(8.5)18.439i i =-≈∑，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（i ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ii ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，0.0080.09≈．8.（新课标2）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++9.（新课标3）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C ︒）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
2019年高考专题：概率与统计试题及答案
2019年高考专题：概率与统计1．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70， 则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，解得15n =，不合题意；若200610n =+，解得19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ） A ．23B ．35 C ．25D ．15【解析】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ， 则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B b c A ，{,,},{,,},{,,}b c B b A B c A B ，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,,},{,,}b c A b c B ，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，故选B ．4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 【解析】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 6．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为 A ．18B ．14 C ．38D ．12【解析】抛掷三枚古钱币出现的基本事件有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8种，其中出现两正一反的共有3种，故所求概率为38．故选C ． 7．【山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试】某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为（ ）A ．32 B ．33 C ．41 D ．42 【解析】因为相邻的两个组的编号分别为14，23，所以样本间隔为23149-=， 所以第一组的编号为1495-=，所以第四组的编号为53932+⨯=，故选A ． 8．【河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ） A ．100，10B ．100，20C ．200，10D ．200，20【解析】由题得样本容量为(350020004500)2%100002%200++⨯=⨯=，抽取的高中生人数为20002%40⨯=人，则近视人数为400.520⨯=人，故选D ．9．【西藏拉萨中学2019届高三第六次月考】某次知识竞赛中，四个参赛小队的初始积分都是10分，在答题过程中，各小队每答对1题加0.5分，若答题过程中四个小队答对的题数分别是3道，7道，7道，3道，则四个小队积分的方差为（ ） A ．0.5B ．0.75C ．1D ．1.25【解析】四个小队积分分别为11.5，13.5，13.5，11.5，平均数为11.513.513.511.512.54+++=，故四个小队积分的方差为221[(11.512.5)2(13.512.5)2]14⨯-⨯+-⨯=，故选C ． 10．【陕西省2019届高三第三次联考】口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，那么摸出黑球的概率是（ ） A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.7【解析】在口袋中摸球，摸到红球、摸到黑球、摸到白球这三个事件是互斥的，因为摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，且摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，所以摸出黑球的概率是10.380.320.3--=．故选C ．11．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则42x y +的值是（ ）A ．12 B ．14 C ．16 D ．18【解析】因为中位数为12，所以4x y +=，数据的平均数为1(223420191910x y ⨯+++++++++2021)11.4+=，要使该总体的标准差最小，即方差最小，所以22(1011.4)(1011.4)x y +-++-=2222.8( 1.4)( 1.4)2()0.722x y x y +--+-≥=，当且仅当 1.4 1.4x y -=-，即2x y ==时取等号，此时总体标准差最小，4212x y +=，故选A ． 12．【江西省新八校2019届高三第二次联考】某学校高一年级1802人，高二年级1600人，高三年级1499人，先采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为（ ） A ．35,33,30B ．36,32,30C ．36,33,29D ．35,32,31【解析】先将每个年级的人数凑整，得高一：1800人，高二：1600人，高三：1500人，则三个年级的总人数所占比例分别为1849，1649，1549， 因此，各年级抽取人数分别为18983649⨯=，16983249⨯=，15983049⨯=，故选B ． 13．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷)】在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（ ）A ．成绩在[70,80]分的考生人数最多B ．不及格的考生人数为1000人C ．考生竞赛成绩的平均分约70.5分D ．考生竞赛成绩的中位数为75分【解析】由频率分布直方图可得，成绩在[70,80]的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为40000.251000⨯=，故B 正确；由频率分布直方图可得：平均分等于450.1550.15650.2750.3850.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+950.170.5⨯=，故C 正确；因为成绩在[40,70)的频率为0.45，由[70,80]的频率为0.3，所以中位数为0.05701071.670.3+⨯≈，故D 错误．故选D ． 14．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检】已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s ><【解析】由题意，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则222221248175[(70)(70)(70)(6070)(9070)]50x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)500]50x x x =-+-++-+， 22222212481[(70)(70)(70)(8070)(7070)]50s x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)100]7550x x x =-+-++-+<，所以275s <．故选A ．15．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=， 因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=， 因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）由题可得22100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．16．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.018.602≈．【解析】（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100+=． 产值负增长的企业频率为20.02100=． 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%． （2）1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ()52211100i i i s n y y ==-∑222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100⎡⎤=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦ =0.0296，0.020.17s ==≈，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．17．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【解析】（1）由已知得0.700.200.15a =++，故0.35a =．10.050.150.700.10b =---=．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.1050.1560.3570.2080.15 6.00⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．18．【2019年高考天津卷文数】2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,A B C D E F．享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．【答案】（1）应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（2）（i）见解析，（ii）11 15．【分析】本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．【解析】（1）由已知，老、中、青员工人数之比为6 : 9 : 10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．（2）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{, },{, },{, },{, },{, },{, },A B A C A D A E A F B C{, },{, },{, },{, {,}},,B D B E B FCD C E{,},C F {,},{,},{,}D E D F E F，共15种．（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{, },{, },{, },{, },{, },{, },{, {,},{,},{,},{,},}A B A D A E A F B D B CE BF E C F D F E F，共11种．所以，事件M发生的概率11 ()15P M ．19．【北京市清华大学附属中学2019届高三第三次模拟考试】手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性、300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“是否是评分良好用户”与性别有关？参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．【解析】（1）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下图所示：女性用户男性用户由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（2）由题可得22⨯列联表如下：则22500(14012018060)1255.208 2.70620030032018024K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯=，所以有90%的把握认为“是否是评分良好用户”与性别有关．20．【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关？参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．【解析】（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，可得该市“热烈参与者”的人数约为40 200004000200⨯=．（2）由题可得22⨯列联表如下：则22200(35551055)1757.292 6.635401601406024K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关．21．【四川省成都七中2019届高三5月高考模拟测试】某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T（单位：分钟）的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．（1）求图中m的值；（2）估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；（3）在[450,500)，[500,550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．【解析】（1）依题意，根据频率分布直方图的性质，可得：50(0.00400.00500.00660.00160.0008)1m⨯+++++=，解得0.0020m=．（2）设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t．因为前2组的频率之和为(0.00200.0040)500.30.5+⨯=<，前3组的频率之和为(0.00200.00400.0050)500.550.5++⨯=>，所以350400t <<，由0.30.0050(350)0.5t +⨯-=，得390t =．所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟．（3）由题意，可得在[450,500)内抽取0.0016640.00160.0008⨯=+人，分别记为a b c d ,,,， 在[500,550]内抽取2人，记为,e f ，则6人中抽取2人的取法有：{,}a b ，{,}a c ，{,}a d ，{,}a e ，{,}a f ，{,}b c ，{,}b d ，{,}b e ，{,}b f ，{,}c d ，{,}c e ，{,}c f ，{,}d e ，{,}d f ，{,}e f ，共15种等可能的取法．其中抽取的2人恰在同一组的有{,}a b ，{,}a c ，{,}a d ，{,}b c ，{,}b d ，{,}c d ，{,}e f ，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率715P =． 22．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考（六）】某种产品的质量按照其质量指标值M 进行等级划分，具体如下表： 质量指标值M80M < 80110M ≤< 110M ≥ 等级 三等品 二等品 一等品现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M 进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．（1）记A 表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A 的概率；（2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润；（3）根据该产品质量指标值M 的频率分布直方图，求质量指标值M 的中位数的估计值（精确到0．01）．【解析】（1）记B 表示事件“一件这种产品为二等品”，C 表示事件“一件这种产品为一等品”， 则事件B ，C 互斥，且由频率分布直方图估计()0.20.30.150.65P B =++=，()0.10.090.19P C =+=，又()()()()0.84P A P B C P B P C =+=+=，所以事件A 的概率估计为0.84．（2）由（1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为0.19，0.65，故任取一件产品是三等品的概率估计值为0.16，从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900，6500，1600件，故利润估计为190010650061600261200⨯+⨯+⨯=元．（3）因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中，质量指标值90M<的频率为0.060.10.20.360.5++=<，质量指标值100M<的频率为0.060.1020.30.660.5+++=>，故质量指标值M的中位数估计值为0.50.369094.670.03-+≈．。
2019年高考数学(文) 统计与概率21 含答案
专题对点练216.1~6.2组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.某高校共有学生3 000人,新进大一学生有800人.现对大学生社团活动情况进行抽样调查,用分层抽样方法在全校抽取300人,则应在大一抽取的人数为()A.200B.100C.80D.752.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为()A.3,5B.5,5C.3,7D.5,73.已知在数轴上0和3之间任取一个实数x,则使“log2x<1”的概率为()A.B.C.D.4.为考察某种药物对预防禽流感的效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验,根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图,最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是()5.在区间[-3,3]内随机取出一个数a,使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}的概率为()A.B.C.D.6.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次至少击中3次的概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2表示没有击中目标,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数: 75270293714098570347437386366947141746980371623326168045 601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为()A.0.55B.0.6C.0.65D.0.77.设样本数据x1,x2,…,x10的平均值和方差分别为1和4,若y i=x i+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的平均值和方差分别为()A.1+a,4B.1+a,4+aC.1,4D.1,4+a8.(2018广东深圳调研)某食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系,在市场由最小二乘法得到回归方程=1.03x+1.13,但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液,污损了一个数据,请你推断该数据为()A.6.1B.6.28C.6.5D.6.89.已知半径为r的圆内切于某等边三角形,若在该三角形内任取一点,则该点到圆心的距离大于半径r 的概率为()A.B.1-C.D.1-二、填空题(共3小题,满分15分)10.(2018江苏,3)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为.11.(2018上海,9)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是.(结果用最简分数表示)12.关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:先请200名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y);再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m;最后再根据统计数m来估计π的值.假如统计结果是m=56,那么可以估计π≈.(用分数表示)三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组5名工人制造某种零件的个数.(1)求甲组工人制造零件的平均数和方差;(2)分别从甲、乙两组中随机选取一名工人,求这两名工人制造的零件总数不超过20的概率.14.全世界人们越来越关注环境保护问题,某监测站点于2018年8月某日起连续n天监测空气质量指(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n,m的值,并完成频率分布直方图;(2)由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数;(3)在空气质量指数分别属于[50,100)和[150,200)的监测数据中,用分层抽样的方法抽取5天,再从中任意选取2天,求事件A“两天空气都为良”发生的概率.15.某种新产品投放市场一段时间后,经过调研获得了时间x(单位:天)与销售单价y(单位:元)的一组数据,(x i-)2(w i-)2(x i-)(y i-) (w i-)·(y i-)表中w i=w i.(1)根据散点图判断x与哪一个更适宜作价格y关于时间x的回归方程类型?(不必说明理由)(2)根据判断结果和表中数据,建立y关于x的回归方程.(3)若该产品的日销售量g(x)(单位:件)与时间x的函数关系为g(x)=+120(x∈N*),求该产品投放市场第几天的销售额最高?最高为多少元?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(u3,v3),…,(u n,v n),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为.专题对点练21答案1.C解析设大一抽取的人数为x,则用分层抽样的方法可得,解得x=80.故选C.2.A解析甲组数据为56,62,65,70+x,74;乙组数据为59,61,67,60+y,78.若两组数据的中位数相等,则65=60+y,所以y=5.又两组数据的平均值相等,所以56+62+65+70+x+74=59+61+67+65+78,解得x=3.3.C解析由log2x<1,得0<x<2,区间长度为2,区间[0,3]长度为3,所以所求概率为.故选C.4.D解析根据四个列联表中的等高条形图知,图形D中不服药与服药时患禽流感的差异最大,它最能体现该药物对预防禽流感有效果.故选D.5.D解析由1∈{x|2x2+ax-a2>0},得2+a-a2>0,解得-1<a<2.由几何概型的知识知,总的测度区间[-3,3]的长度为6,随机地取出一个数a,使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}这个事件的测度为3,故区间[-3,3]内随机地取出一个数a,使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}的概率为,故选D.6.B解析由题意知模拟射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数,在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有:7527,9857,0347,4373,8636,6947,4698,6233,8045,3661,9597,7424,共12组随机数,故所求概率P≈=0.6.故选B.7.A解析由题意知y i=x i+a(i=1,2,…,10),则(x1+x2+…+x10+10a)=(x1+x2+…+x10)+a=+a=1+a,方差s2=[(x1+a--a)2+(x2+a--a)2+…+(x10+a--a)2]=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=s2=4.故选A.8.A解析=4,因为样本中心点在回归直线=1.03x+1.13上,所以将x=4代入回归方程=1.03x+1.13,可得=5.25.设该数据的值为m,由5.25=,解得m=6.1,即该数据为6.1.故选A.9.B解析已知半径为r的圆内切于某等边三角形,则等边三角形的边长为2r,故该点到圆心的距离大于半径r的概率为1-=1-.10.90解析由题中茎叶图可知,5位裁判打出的分数分别为89,89,90,91,91,故平均数为=90.11.解析从编号互不相同的五个砝码中随机选取三个,总的结果数为10,其中选取的三个砝码的总质量为9克的有两种,所以所求概率为.12.解析由题意,得200对都小于1的正实数对(x,y),对应区域的面积为1,两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y),满足x2+y2<1且x,y都小于1,x+y>1,面积为.因为统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m=56,所以,所以π≈.故答案为.13.解(1)甲组工人制造零件数为9,9,10,10,12,故甲组工人制造零件的平均数(9+9+10+10+12)=10,方差为s2= [(9-10)2+(9-10)2+(10-10)2+(10-10)2+(12-10)2]=.(2)由题意,得甲、乙两组工人制造零件的个数分别是:甲:9,9,10,10,12;乙:8,9,9,10,11,甲组中5名工人分别记为a,b,c,d,e,乙组中5名工人分别记为A,B,C,D,E,分别从甲、乙两组中随机选取1名工人,共有25种方法,制造零件总数超过20的有:eB,eC,eD,eE,dE,cE,共6种,故这两名工人制造的零件总数不超过20的概率P=1-.14.解(1)0.004×50=,解得n=100.20+40+m+10+5=100,解得m=25,=0.008,=0.005,=0.002,=0.001.完成频率分布直方图如下图:(2)由频率分布直方图知该组数据的平均数为=25×0.004×50+75×0.008×50+125×0.005×50+175×0.002×50+225×0.001×50=95.∵[0,50)的频率为0.004×50=0.2,[50,100)的频率为0.008×50=0.4,∴该组数据的中位数为50+×50=87.5.(3)在空气质量指数为[50,100)和[150,200)的监测天数中分布抽取4天和1天,在所抽取的5天中,将空气质量指数为[50,100)的4天分别记为a,b,c,d,将空气质量指数为[150,200)的1天记为e.从中任取2天的基本事件分别为:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b, c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个,其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6个,∴事件A“两天空气都为良”发生的概率P(A)=.15.解(1)由散点图可以判断适合作价格y关于时间x的回归方程类型.(2)令w=,先建立y关于w的线性回归方程.∵=20,∴=37.8-20×0.89=20,∴y关于w的线性方程为=20+20w,∴y关于x的线性方程为=20+.(3)日销售额h(x)=g(x)=-200=-2 000,故x=10时,h(x)有最大值2 420元,即该产品投放市场第10天的销售额最高,最高为2 420元.。
2019年高考数学真题专题15 概率与统计(解答题)
专题15 概率与统计（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【答案】（1）男、女顾客对该商场服务满意的概率的估计值分别为0.8，0.6；（2）有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.8 50=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.6 50=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）由题可得22100(40203010)4.76250507030K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01） 附：748.602≈．【答案】（1）产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%；（2）这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%． 【解析】（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100+=． 产值负增长的企业频率为20.02100=． 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%． （2）1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ()52211100i ii s n y y ==-∑ 222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100⎡⎤=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦ =0.0296，0.02960.02740.17s ==⨯≈，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【答案】（1）0.35a =，0.10b =；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00． 【解析】（1）由已知得0.700.200.15a =++，故0.35a =．10.050.150.700.10b =---=．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.1050.1560.3570.2080.15 6.00⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．4．【2019年高考天津卷文数】2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为, , , , , A B C D E F ．享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率． 【答案】（1）应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（2）（i ）见解析，（ii ）1115． 【分析】本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．【解析】（1）由已知，老、中、青员工人数之比为6 : 9 : 10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．（2）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{, },{, },{, },{, },{, },{, },A B A C A D A E A F B C{, },{, },{, },{, {,}},,B D B E B FCD C E{,},C F {,},{,},{,}D E D F E F，共15种．（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{, },{, },{, },{, },{, },{, },{, {,},{,},{,},{,},}A B A D A E A F B D B CE BF E C F D F E F，共11种．所以，事件M发生的概率11 ()15P M=．5．【2019年高考北京卷文数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数约为400；（2）0.04；（3）见解析．【解析】（1）由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30人，仅使用B的学生有24+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100–30–25–5=40人．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为401000400 100⨯=．（2）记事件C 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”， 则1()0.0425P C ==． （3）记事件E 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”． 假设样本仅使用B 的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化， 则由（2）知，4(0)0.P E =．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：()P E 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化， 所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，()P E 比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的， 所以无法确定有没有变化．6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5yt =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5yt =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案】（1）模型①：226.1亿元，模型②：256.5亿元；（2）模型②得到的预测值更可靠，理由见解析．【解析】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．7．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）47.45m．【答案】（1）见解析；（2）0.48；（3）3【解析】（1）频率分布直方图如下:（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=．8．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式 第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()0.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥．【答案】（1）第二种生产方式的效率更高，理由见解析；（2）列联表见解析；（3）有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．【解析】（1）第二种生产方式的效率更高． 理由如下：（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（2）由茎叶图知7981802m+==．列联表如下：（3）由于2240(151555)10 6.63520202020K⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．9．【2018年高考北京卷文数】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）【答案】（1）0.025；（2）0.814；（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000．第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，故所求概率为500.025 2000=．（2）方法1：由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 =56+10+45+50+160+51=372．故所求概率估计为37210.8142000-=．方法2：设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B．没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部．由古典概型概率公式得16280.8142)00(P B==．（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．10．【2018年高考天津卷文数】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】（1）分别抽取3人，2人，2人；（2）（i）见解析，（ii）521．【分析】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（2）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii ）由（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为 {A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种． 所以，事件M 发生的概率为P （M ）=521． 11．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ），其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较． 附： P （） 0.050 0.010 0.001 k3.841 6.635 10.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）0.62；（2）列联表见解析，有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）新养殖法优于旧养殖法．【分析】（1）根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，计算A 的概率；（2）将数据填入对应表格，代入卡方公式，计算215.705K ≈，对照参考数据可作出判断；（3）先从均值（或中位数）比较大小，越大越好，再从数据分布情况看稳定性，越集中越好，综上可得新养殖法优于旧养殖法． 【解析】（1）旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62． 因此，事件A 的概率估计值为0.62． （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表K 2=22006266343815.70510010096104⨯⨯-⨯⨯⨯⨯（）≈．由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．（3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．【名师点睛】（1）频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，所有小长方形面积之和为1． （2）频率分布直方图中均值等于组中值与对应概率乘积的和． （3）均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性．12．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，18.439≈，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑0.09≈．【答案】（1）18.0-≈r ，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；（2）（ⅰ）需对当天的生产过程进行检查；（ⅱ）均值与标准差的估计值分别为10.02，0.09． 【分析】（1）依公式求r ；（2）（i ）由9.97,0.212x s =≈，得抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)x s x s -+以外，因此需对当天的生产过程进行检查；（ii ）剔除第13个数据，则均值的估计值为10.02，方差为0.09．【解析】（1）由样本数据得(,)(1,2,,16)i x i i =的相关系数为16()(8.5)0.18ix x i r --==≈-∑．由于||0.25r <，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小． （2）（i ）由于9.97,0.212x s =≈，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)x s x s -+以外，因此需对当天的生产过程进行检查．（ii ）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=， 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02．162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，0.09≈．【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点．13．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．【答案】（1）0.6；（2）Y 的所有可能值为900，300，-100，Y 大于零的概率为0.8．【分析】（1）先确定需求量不超过300瓶的天数为2163654++=，再根据古典概型的概率计算公式求概率；（2）先分别求出最高气温不低于25（36天），最高气温位于区间[20，25）（36天），以及最高气温低于20（18天）对应的利润分别为900,300,100-，所以Y 大于零的概率估计为3625740.890+++=．【解析】（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6．（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y=6450-4450=900；若最高气温位于区间[20，25），则Y=6300+2（450-300）-4450=300；若最高气温低于20，则Y=6200+2（450-200）-4450=-100．所以，Y的所有可能值为900，300，-100．Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为，因此Y大于零的概率的估计值为0.8．【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．14．【2017年高考北京卷文数】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30]，[30，40]，，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】（1）0.4；（2）20；（3）:32．【分析】（1）根据频率分布直方图，表示分数大于等于70的概率，就求最后两个矩形的面积；（2）根据公式：频数=总数⨯频率进行求解；（3）首先计算分数大于等于70的总人数，根据样本中分数不小于70的男女生人数相等再计算所有的男生人数，100−男生人数就是女生人数．【解析】（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.020.04)100.6+⨯=， 所以样本中分数小于70的频率为10.60.4-=．所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4．（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=， 分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=． 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为540020100⨯=． （3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060+⨯⨯=， 所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=． 所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=， 男生和女生人数的比例为::604032=．所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为:32．【名师点睛】（1）用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法．分布表在数量表示上比较准确，而直方图比较直观．（2）频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1．。
2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-概率与统计
2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-概率与统计1、〔天津文〕15、〔本小题总分值13分〕编号为1216,,,A A A ⋅⋅⋅的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：〔Ⅰ〕将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；〔Ⅱ〕从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人，〔i 〕用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；〔ii 〕求这2人得分之和大于50的概率、【解析】〔15〕本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式的等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力，总分值13分。
〔Ⅰ〕解：4，6，6〔Ⅱ〕〔i 〕解：得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.A A A A A A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共15种。
〔ii 〕解：“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”〔记为事件B 〕的所有可能结果有：454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，共5种。
所以51().153P B ==2.〔北京文〕16、〔本小题共13分〕以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.〔1〕如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；〔2〕如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率. 〔注：方差],)()()[(1222212x x x ns n -+-+-= 其中为nx x x ,,,21 的平均数〕 【解析】〔16〕〔共13分〕解〔1〕当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为;435410988=+++=方差为.1611])43510()4359()4358[(412222=-+-+-=s 〔Ⅱ〕记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：〔A 1，B 1〕，〔A 1，B 2〕，〔A 1，B 3〕，〔A 1，B 4〕， 〔A 2，B 1〕，〔A 2，B 2〕，〔A 2，B 3〕，〔A 2，B 4〕， 〔A 3，B 1〕，〔A 2，B 2〕，〔A 3，B 3〕，〔A 1，B 4〕， 〔A 4，B 1〕，〔A 4，B 2〕，〔A 4，B 3〕，〔A 4，B 4〕，用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，那么C 中的结果有4个，它们是：〔A 1，B 4〕，〔A 2，B 4〕，〔A 3，B 2〕，〔A 4，B 2〕，故所求概率为.41164)(==C P3.〔全国新文〕19、〔本小题总分值12分〕 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大说明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品、现用两种新配方〔分别称为A 配方和B 配方〕做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表〔I 〕分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；〔II 〕用B 配方生产的一种产品利润y 〔单位：元〕与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润、 【解析】〔19〕解〔Ⅰ〕由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的频率为228=0.3100+，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
2019年高考概率统计试题汇编及分析 Word版含解析
2019高考全国一卷为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．解析：（1）首先根据题意，随机试验一轮试验共4个结果，我们用符号+-分别表示治愈和未治愈。
则甲+乙+，甲+乙-，甲-乙+，甲-乙-。
p甲乙=(1-)p(X=0)= 甲乙+甲乙=p甲乙=(1-)所以的分布列为：（2）当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。
假设四轮试验都是甲+乙—，则甲药比乙药多四只，认为甲药更有效。
此时甲药得分为4分，乙药得分为-4分，所以甲药、乙药在试验开始时都赋予4分。
(0,1,,8)ip i=表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p=表示四轮试验都是甲-乙+，乙药有效，81p=表示四轮试验都是甲+乙-，甲药有效。
2019高考试题汇编文科数学---概率统计.doc
（ 2019全国 1 文） 6. 某学校为认识1000名重生的身体素质，将这些学生编号为1,2,3,L,1000 ，从这些重生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测试，若 46号学生被抽到，则下边 4 名学生中被抽到的是（）.A. 8号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生答案：C解答：从 1000名学生中抽取 100名，每10人抽一个， 46 号学生被抽到，则抽取的号数就为 10n6(0 n 99,n N ) ，可得出616 号学生被抽到.（ 2019全国 1 文） 17. 某商场为提升服务质量，随机检查了50 名男顾客和 50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评论，获得下边列联表：满意不满意男顾客女顾客4010 3020（1）分别预计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）可否有95%的掌握以为男、女顾客对该商场服务的评论有差别？附：2n(ad bc) 2 ( a b)(c d )(a c)(b d )P( 2k )0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828答案：(1) 男顾客的的满意概率为P 404 505女顾客的的满意概率为P 303 505(2)有 95%的掌握以为男、女顾客对该商场服务的评论有差别.解答：（ 1）男顾客的的满意概率为P 404 505女顾客的的满意概率为P 303. 505(2)2100(40201030)2 4.762(4010)(3020)(4030)(1020)4.762 3.84195%有的掌握以为男、女顾客对该商场服务的评论有差别.(2019 全国 2 文 ) 4.生物实验室有5只兔子，此中只有3只丈量过某项指标.若从这5只兔子中随机拿出3只，则恰有 2 只丈量过该指标的概率为（）2321A. B. C. D.3555答案： B解答：计丈量过的 3 只兔子为1、、，设丈量过的2只兔子为、则 3 只兔子的种类有(1,2,3) (1,2, A) (1,2, B) 23 A B(1,3, A) (1,3, B) (1,A, B) 2,3, A2,3, B2, A,B3,A,B,则恰巧有两只丈量过的有 6 种，所以其概率为3.5 (2019 全国 2 文) 5. 在“一带一路”知识测试后，甲、乙、丙三人对成绩进行展望.甲：我的成绩比乙高 .乙：丙的成绩比我和甲的都高 .丙：我的成绩比乙高 .成绩宣布后，三人成绩互不同样且只有一个人展望正确，那么三人按成绩由高到低的序次为（）A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙答案：A解答：依据已知逻辑关系可知，甲的展望正确，乙丙的展望错误，从而可得结果.(2019 全国 2 文) 14.我国高铁发展快速，技术先进. 经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为 0.97 ，有 20 个车次的正点率为0.98 ，有 10 个车次的正点率为0.99 ，则经停该站的高铁列车全部车次的均匀正点率的预计值为.答案：0.98解答：均匀正点率的预计值0.97100.98200.9910400.98 .(2019 全国 2 文 ) 19. 某行业主管部门为认识本行业中小公司的生产状况，随机检查了100 个公司，获得这些企业第一季度有关于前一年第一季度产值增加率y 的频数散布表.y 的分组0.20,00,0.200.20,0.400.40,0.600.60,0.80公司数22453147（ 1）分别预计这种公司中产值增加率不低于40%的公司比率、产值负增加的公司比率；（ 2）求这种公司产值增加率的均匀数与标准差的预计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （精准到 0.01 ）附：74 8.602.答案：详看法析解答 :（ 1）这种公司中产值增加率不低于40%的公司比率是14 721 ，2100100这种公司中产值负增加的公司比率是.100（ 2）这种公司产值增加率的均匀数是0.10 2 0.10 240.30530.50140.70 7 100 0.30这种公司产值增加率的方差是0.100.3020.100.30240.300.30530.500.30140.700.3071000.0296 所以这种公司产值22222增加率的标准差是0.029627428.6020.172040.17 .100100（ 20193.）全国 3 文）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（A.1B.111 64C. D.32【答案】 D【分析】男女生人数同样可利用整体发剖析出两位女生相邻的概率，从而得解.【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数同样，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是1．应选 D．2【点睛】此题考察常有背景中的古典概型，浸透了数学建模和数学运算修养．采纳等同法，利用等价转变的思想解题．（ 2019 全国 3 文） 4.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学珍宝，并称为中国古典小说四大名著. 某中学为认识本校学生阅读四大名著的状况，随机检查了100 学生，此中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60 位，则该检阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的预计值为（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8【答案】C【分析】【剖析】依据题先求出阅读过西游记的人数，从而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70 ，则其与该校学生人数之比为70÷100=0．7．故选 C．【点睛】此题考察抽样数据的统计，浸透了数据办理和数学运算修养．采纳去重法，利用转变与化归思想解题．（ 2019全国3 文）17.为认识甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行以下试验：将200 只小鼠随机分红A, B 两组，每组100 只，此中 A 组小鼠给服甲离子溶液， B 组小鼠给服乙离子溶液. 每只小鼠给服的溶液体积同样、摩尔浓度同样. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比. 依据试验数据分别获得如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5 ”，依据直方图获得P C的预计值为0.70 .（ 1）求乙离子残留百分比直方图中a, b的值；（ 2）分别预计甲、乙离子残留百分比的均匀值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【答案】(1)a 0.35 ， b 0.10 ；(2) 4.05， 6 .【分析】【剖析】(1)由P(C)0.70可解得a和 b 的值；(2) 依据公式求均匀数 .【详解】(1)由题得 a 0.20 0.150.70 ，解得 a0.35 ，由 0.05 b 0.15 1 P(C) 1 0.70 ，解得b 0.10 .(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的均匀值为0.1520.2030.3040.2050.1060.057 4.05，乙离子残留百分比的均匀值为0.0530.1040.1550.3560.2070.1586【点睛】此题考察频次散布直方图和均匀数，属于基础题.（ 2019 北京文） 17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．最近几年来，挪动支付已成为主要支付方式之一．为认识某校学生上个月 A ， B 两种挪动支付方式的使用状况，从全校全部的1000 名学生中随机抽取了 100人，发现样本中 A ，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额散布状况以下：2000 元大于 2000 元支付不大于2019高考试题汇编文科数学---概率统计.doc金额支付方式仅使用 A27 人 3 人仅使用 B24 人 1 人（Ⅰ）预计该校学生中上个月 A ，B 两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于2000 元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 B 的学生中随机抽查的支付金额大于2000 元．联合（Ⅱ）的结果，可否定为样本仅使用 B 的学生中本月支付金额大于有变化？说明原因．1 人，发现他本月2000 元的人数【答案】（Ⅰ） 400 人；（Ⅱ）1；25（Ⅲ）看法析.【分析】剖析】( Ⅰ)由题意利用频次近似概率可得知足题意的人数；( Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000 元的概率；( Ⅲ)联合概率统计有关定义给出结论即可.【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用 A 的人数有 30 人，仅使用 B 的人数有25 人，由题意知 A,B 两种支付方式都不使用的有 5 人，【40 ，所以样本中两种支付方式都使用的有10030255所以全校学生中两种支付方式都使用的有401000400 （人）. 100（Ⅱ）因为样本中仅使用 B 的学生共有 25 人，只有1 人支付金额大于2000 元，所以该学生上个月支付金额大于2000 元的概率为1.25（Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000 元的概率为1，25因为从仅使用 B 的学生中随机检查 1 人，发现他本月的支付金额大于2000 元，依照小概率事件它在一次试验中是几乎不行能发生的，所以能够以为仅使用 B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多.【点睛】此题主要考察古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力 .（ 2019 天津文）15.2019 年，我国实行个人所得税专项附带扣除方法，波及儿女教育、持续教育、重病医疗、住房贷款利息或许住宅租金、奉养老人等六项专项附带扣除. 某单位老、中、青职工分别有72,108,120人，现采纳分层抽样的方法，从该单位上述职工中抽取25 人检查专项附带扣除的享受状况.（Ⅰ）应从老、中、青职工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的 25人中，享受起码两项专项附带扣除的职工有 6 人，分别记为A, B, C, D, E, F . 享受状况如右表，此中“ d ”表示享受，“×”表示不享受. 现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访 .职工A B C D E F项目儿女教育○○×○×○持续教育××○×○○重病医疗×××○××住宅贷款利息○○××○○住宅租金××○×××奉养老人○○×××○（ i （ ii ）试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；）设 M 为事件“抽取的 2 人享受的专项附带扣除起码有一项同样”，求事件M发生的概率.【答案】（ I） 6 人， 9 人， 10人；（ II）（ i）看法析；（ ii）11.15【分析】【剖析】（I）依据题中所给的老、中、青职工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，联合样本容量求得结果；（II）（ I）依据 6 人中随机抽取 2 人，将全部的结果一一列出；（ ii）依据题意，找出知足条件的基本领件，利用公式求得概率.【详解】（ I）由已知，老、中、青职工人数之比为6:9:10，因为采纳分层抽样的方法从中抽取25 位职工，所以应从老、中、青职工中分别抽取 6 人，9 人，10 人.（ II）（ i）从已知的 6 人中随机抽取2人的全部可能结果为A,B , A,C ,A, D,A,E , A,F,B,C,B,D ,B, E, B,F,C, D,C,E,C, F, D,E , D,F ,E, F,共 15 种；（ ii）由表格知，切合题意的全部可能结果为A,B ,A,D ,A,E ,A,F , B,D,B,E ,B,F , C,E , C,F ,D, F, E,F ,共11种，所以，时间 M 发生的概率P( M )11. 15【点睛】本小题主要考察随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本领件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考察运用概率知识解决简单实质问题的能力.(2019 江苏 )5.已知一组数据6， 7， 8， 8， 9，10，则该组数据的方差是____.【答案】53【分析】【剖析】由题意第一求得均匀数，而后求解方差即可.【详解】由题意，该组数据的均匀数为67889108 ，615所以该组数据的方差是[(68)2(7 8)2(88)2(8 8)2(98)2(108)2 ].63【点睛】此题主要考察方差的计算公式，属于基础题.(2019 江苏 )6.从 3名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中起码有 1 名女同学的概率是 _____.【答案】710【分析】【剖析】先求事件的总数，再求选出的 2 名同学中起码有 1 名女同学的事件数，最后依据古典概型的概率计算公式得出答案 .【详解】从 3 名男同学和2 名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有C5210 种状况.若选出的2名学生恰有1名女生，有 C31C21 6 种状况，若选出的 2 名学生都是女生，有C22 1 种状况，所以所求的概率为61710.10【点睛】计数原理是高考考察的要点内容，考察的形式有两种，一是独立考察，二是与古典概型联合考察，因为古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本领件总数是解题的重要一环.在办理问题的过程中，应注意“”“ ”“”“ ”.审清题意，明确分类分步，依据次序有无，明确摆列组合(2019 江苏 )25.在平面直角坐标系 xOy 中，设点集A n{(0,0),(1,0),(2,0),,( n,0)} ，B n (0,1),( n,1)},C n{(0,2),(1 ,2),(2,2), L ,( n,2)}, n N . 令 M n A n U B n U C n.从会合M n中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当 n=1 时，求 X 的概率散布；（2）对给定的正整数 n（ n≥3），求概率 P（ X≤n）（用 n 表示） .【答案】（ 1）看法析；（ 2）看法析 .【分析】【剖析】(1)由题意第一确立 X 可能的取值，而后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确立散布列；(2) 将原问题转变为对峙事件的问题求解P X n的值，据此分类议论① . b d ，②.b0,d 1 ，③. b 0,d 2 ，④ . b1,d 2 四种状况确立X知足X n 的全部可能的取值，而后求解相应的概率值即可确立P X ≤ n 的值 .【详解】（ 1）当n 1 时，X的全部可能取值是1， 2，2， 5．X 的概率散布为P( X 1)772)442,P(X215，C615C6P(X 2)22,P(X5)2 2 ．C 6215C6215（ 2）设A( a，b)和B(c，d )是从M n中拿出的两个点．因为 P(X n)1P( X n) ，所以仅需考虑X n 的状况．①若 b d ，则AB n ，不存在 X n 的取法；②若 b0，d1，则AB( a c)21n21，所以 X n 当且仅当AB n21，此时 a0 ，c n 或a n ，c0 ，有 2 种取法；③若 b0，d2，则AB(a c) 24n2 4 ，因为当 n 3 时，(n1)24n ，所以X n 当且仅当AB n24，此时 a0 ，c n 或 a n ，c0 ，有2种取法；④若 b1，d2，则AB( a c)21n21，所以X n 当且仅当 AB n21，此时 a0 ，c n 或a n ，c0 ，有 2 种取法．综上，当X n 时，X的全部可能取值是n2+1和n2 4 ，且P( X n2 1)4,P( X n24)2．C2n24C2n24所以， P(X n)1P( X n2 1)P( X n24)16．C 2n24【点睛】此题主要考察计数原理、古典概型、随机变量及其概率散布等基础知识，考察逻辑思想能力和推理论证能力．（ 2019 浙江） 7.设0 a 1，则随机变量X 的散布列是：则当 a 在0,1 内增大时（）A. D X增大B. D X减小C. D X 先增大后减小D. D X先减小后增大【答案】 D【分析】【剖析】研究方差随 a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数 a 表示，应用函数知识求解.此题依据方差与希望的关系，将方差表示为 a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有必定综合性，着重重要知识、基础知识、运算求解能力的考察 .【详解】方法1：由散布列得E(X )1a，则32222 D(X)1a01 1 a a1 1 a112a11，则当 a 在(0,1)内增大时，333333926 D( X ) 先减小后增大.a2 1 (a 1)22a22方法 2：则D(X) E X2E(X) 02a 2 2a133399924应选 D.【点睛】易出现的错误有，一是数学希望、方差以及两者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确获得二次函数表达式.。
历年(2019-2023)高考数学真题专项(概率与统计解答题)汇编(附答案)
历年（2019-2023）高考数学真题专项（概率与统计解答题）汇编考点01：统计案例及应用1 (2021年全国高考乙卷文科)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：122S ．(1)求x ，y ，21S ，22S ；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y x -≥则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．2 (2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级．加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表等级 ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级 ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?3 (2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据实验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70． (1)求乙离子残留百分比直方图中的a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用改组区间的中点值为代表)．4 (2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数 2 24 53 147 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)8.602≈.5．(2022新高考全国II 卷·)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0．0001)．考点02相关关系与回归分析1．(2022年高考全国乙卷(文)·)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：2m )和材积量(单位：3m )，得到如下数据：样本号ｉ 12345678910总和根部横截面积i x0．04 0．06 0．04 0．08 0．08 0050050．07 0．07 0．06 0．6材积0．25 0．40 0．22 0．54 0．51 0．34 0．36 0．46 0．42 0．40 3．9..量i y并计算得10101022i i i ii=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474x y x y===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0．01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数i i(1.377)()nx x y yr--=≈∑．2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科·)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i，y i)(i=1，2，…，20)，其中x i和y i分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160iix==∑，2011200iiy==∑，202180iixx=-=∑（，2021)9000iiy y=-=∑（，201)800iiix yx y=--=∑（（．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i，y i)(i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r)ni ix yx y--∑（（≈1．414．考点03 独立性检验1．(2022年全国高考甲卷(文)·)甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有0090的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k …0．100 0．050 0．010 k2．7063．8416．6352．(2020年新高考I 卷(山东卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表： 2SOPM2.5[0,50](50,150] (150,475][0,35]32 18 4 (35,75]6 8 12 (75,115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表： 2SOPM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k3．841 6．63510．8283 ．(2020新高考II 卷(海南卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？的附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，4．(2021年高考全国甲卷文科·)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥ 0．050 0．0100．001k 3．841 6．635 10．8285．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科·)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)： 锻炼人次 空气质量等级 [0，200](200，400](400，600]1(优) 2 16 25 2(良)51012的3(轻度污染) 67 84(中度污染) 72 0(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，P(K2≥k)0．050 0．010 0．001k 3．841 6．635 10．8286．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科·)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客40 10女顾客30 20(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．2()P K k…0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828参考答案考点01：统计案例及应用1 (2021年全国高考乙卷文科)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：122S ．(1)求x ，y ，21S ，22S ；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y x -≥则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．【答案】(1)221210,10.3,0.036,0.04x yS S ====；(2)新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高． 【答案解析】：(1)9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==，10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==，22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610S +++++++++==，222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410S +++++++++==(2)依题意，0.320.15y x -==⨯==，=y x -≥，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．2 (2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级．加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲.分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数 4020 20 20乙分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数 2817 34 21(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?【答案】(1)甲分厂加工出来的A级品的概率为0.4，乙分厂加工出来的A级品的概率为0.28；(2)选甲分厂，理由见答案解析．【答案解析】(1)由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为400.4100=，乙厂加工出来的一件产品为A级品的概率为280.28 100=；(2)甲分厂加工100件产品总利润为()()()()4090252050252020252050251500⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加工100件产品的总利润为()()()()2890201750203420202150201000⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．3 (2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据实验数据分别得到如下直方图：的记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70． (1)求乙离子残留百分比直方图中的a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用改组区间的中点值为代表)． 【答案】【答案解析】：(1)C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”， 根据直方图得到P (C )的估计值为0.70． 则由频率分布直方图得： 0.200.150.70.050.1510.7a b ++=⎧⎨++=-⎩， 解得乙离子残留百分比直方图中0.35a =，0.10b =． (2)估计甲离子残留百分比的平均值为：20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲．乙离子残留百分比的平均值为：30.0540.150.1560.3570.280.156x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙．4 (2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数 2 24 53 147 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)8.602≈. 【答案】【答案解析】：(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100+=.产值负增长的企业频率为20.02100=. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()52211100i i i s n y y ==-∑222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100⎡⎤=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦ =0.0296，0.020.17s ==≈，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.5．(2022新高考全国II 卷·)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0．0001)． 【答案】(1)47.9岁； (2)0.89； (3)0.0014．【答案解析】：(1)平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 550.020650.017750.006850.002)1047.9+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(岁)． (2)设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=．(3)设{B =任选一人年龄位于区间}[40,50)，{C =任选一人患这种疾病}， 则由条件概率公式可得 ()0.1%0.023100.0010.23(|)0.00143750.0014()16%0.16P BC P C B P B ⨯⨯⨯====≈．考点02相关关系与回归分析1．(2022年高考全国乙卷(文)·)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：2m )和材积量(单位：3m )，得到如下数据： 样本号ｉ 12345678910总和根部横截面积i x0．04 0．06 0．04 0．08 0．08 0050050．07 0．07 0．06 0．6材积量i y0．25 0．40 0．22 0．54 0．51 0．34 0．36 0．46 0．42 0．40 3．9并计算得10101022ii i i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0．01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数ii( 1.377)()nx x y y r --=≈∑．【答案】(1)20.06m ；30.39m (2)0.97..(3)31209m【答案解析】：【小问1详解】样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x == 样本中10棵这种树木的材积量的平均值 3.90.3910y == 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m ， 平均一棵的材积量为30.39m 【小问2详解】()()1010iii i10x x y y x y xyr ---==∑∑0.01340.970.01377==≈≈则0.97r ≈ 【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为3m Y ， 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 可得0.06186=0.39Y，解之得3=1209m Y ． 则该林区这种树木总材积量估计为31209m2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科·)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，202180i ix x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201)800i i i x y x y =--=∑（（．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．的附：相关系数r)niix y x y --∑（（≈1．414．【答案】(1)12000；(2)0.94；(3)详见答案解析【答案解析】(1)样区野生动物平均数为201111200602020ii y ==⨯=∑， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯= (2)样本(,)i i x y (i =1，2，…，20)的相关系数为20()()0.943iix x y y r --===≈∑(3)由(2)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性， 从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题．考点03 独立性检验1．(2022年全国高考甲卷(文)·)甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有0090的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k …0．100 0．050 0．010 k2．7063．8416．635【答案】(1)A ，B 两家公司长途客车准点的概率分别为1213，78(2)有 【答案解析】根据表中数据，A 共有班次260次，准点班次有240次， 设A 家公司长途客车准点事件为M ，则24012()26013P M ==； B 共有班次240次，准点班次有210次， 设B 家公司长途客车准点事件为N ， 则210()28074P N ==． A 家公司长途客车准点的概率为1213； B 家公司长途客车准点的概率为78． (2)列联表准点班次数未准点班次数 合计A 240 20 260B 210 30 240 合计4505050022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关． 2．(2020年新高考I 卷(山东卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表： 2SOPM2.5[0,50](50,150] (150,475][0,35]32 18 4 (35,75]6812(75,115]3 7 10(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表： 2SOPM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k3．841 6．63510．828【答案】(1)0.64；(2)答案见答案解析；(3)有．【答案解析】：(1)由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； (2)由所给数据，可得22⨯列联表为：2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,7564 16 80 (]75,11510 10 20 合计 7426100(3)根据22⨯列联表中的数据可得的222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>， 因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关． 3 ．(2020新高考II 卷(海南卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】(1)0.64；(2)答案见答案解析；(3)有．【答案解析】：(1)由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； (2)由所给数据，可得22⨯列联表为：2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,7564 16 80 (]75,11510 10 20 合计 7426100(3)根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>， 因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关． 【题目栏目】统计\相关关系、回归分析与独立性检验\独立性检验4．(2021年高考全国甲卷文科·)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥ 0．050 0．0100．001k 3．841 6．635 10．828【答案】(1)75%；60%；的(2)能．答案解析：(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075% 200=,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060% 200=．(2)()22400150801205040010 6.63527013020020039K⨯-⨯==>>⨯⨯⨯,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科·)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400] (400，600]1(优) 216 252(良) 510 123(轻度污染) 67 84(中度污染) 72 0(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，P(K2≥k)0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828【答案】(1)该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；(2)350；(3)有，理由见答案解析．【答案解析】(1)由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；(2)由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=(3)22⨯列联表如下：人次400≤人次400>空气质量不好 3337 空气质量好 228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．6．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科·)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．2()P K k …0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【答案】【答案解析】(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．(2)22100(40203010)4.76250507030K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.。
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高三文科数学概率与统计解答题新题好题专题汇编【新题好题提升能力】1.某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则从月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取多少户？(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a ，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220，240)内的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300]的用户分别有15户、10户、5户，故抽样比为1125＋15＋10＋5＝15.∴从月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取25×15＝5(户).2. 在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球.(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同为平局)，求甲获胜的概率；(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？3. 某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆.目前我国主流纯电动汽车按续航里程数R(单位：千米)分为3类，即A类：80≤R＜150，B 类：150≤R＜250，C类：R≥250.该公司对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：(1)从这140辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过10万千米的概率；(2)公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车.①求n的值；②如果从这n辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过10万千米的概率.4. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据； （2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在(),x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比是多少？（精确到0.1%)参考数据：5.92≈≈≈.【答案】（1）样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. （2）83x =,2s =33（3）50.0%（2）由（1）中的样本评分数据可得()1928486788974837877898310x =+++++++++=， 则有()()()()()()()222222221[928384838683788389837483838310s =-+-+-+-+-+-+-+ ()()()222788377838983]33-+-+-=（3）由题意知评分在(83之间，即()77.26,88.74之间，由（1）中容量为10的样本评分在()77.26,88.74之间有5人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为5100%50.0%10⨯=.另解：由题意知评分在(83，即()77.26,88.74之间，，从调查的40名用户评分数据中在()77.26,88.74共有21人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为21100%52.5%40⨯=. 5. 为研究某种图书每册的成本费y （元）与印刷数x （千册）的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．表中1i i u x =， 8118i i u u ==∑．（1）根据散点图判断： y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为每册成本费y （元）与印刷数x （千册）的回归方程类型？（只要求给出判断，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）； （3）若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78840元？（假设能够全部售出，结果精确到1） （附：对于一组数据()11,v ω，()22,v ω，…， (),n n v ω，其回归直线ˆˆˆvαβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii nii v v ωωβωω==--=-∑∑， ˆˆv αβω=-） 【答案】（1）见解析；（2）8.961.22ˆyx=+．（3）10千册． 由于()()()818217.0498.9ˆ578.960.787i i i i i u u y y d u u ==--==≈≈-∑∑， ∴ 3.638.9570.269ˆˆ 1.22cy d u =-⋅=-⨯≈， ∴y 关于u 的线性回归方程为 1.228.ˆ96yu =+， 从而y 关于x 的回归方程为8.961.22ˆy=+． （3）假设印刷x 千册，依题意， 1078.840x x ⋅≥，即8.7887.8x≥，∴10x≥，∴至少印刷10千册．6.教育学家分析发现加强语文乐队理解训练与提高数学应用题得分率有关，某校兴趣小组为了验证这个结论，从该校选择甲乙两个同轨班级进行试验，其中甲班加强阅读理解训练，乙班常规教学无额外训练，一段时间后进行数学应用题测试，统计数据情况如下面的22⨯列联表（单位：人）（1）能够据此判断有97.5%把握热内加强语文阅读训练与提高数学应用题得分率有关？（2）经过多次测试后，小明正确解答一道数学应用题所用的时间在5—7分钟，小刚正确解得一道数学应用题所用的时间在6—8分钟，现小明、小刚同时独立解答同一道数学应用题，求小刚比小明现正确解答完的概率；【答案】（1）见解析；（2）1 8 .7.某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过()*n n N ∈关者奖励12n -件小奖品（奖品都一样）．下图是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．(Ⅰ)求小明在这十次游戏中所得奖品数的均值； (Ⅱ)规定过三关者才能玩另一个高级别的游戏，估计小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率； (Ⅲ)已知小明在某四次游戏中所过关数为{2,2,3,4}，小聪在某四次游戏中所过关数为{3,3,4,5}，现从中各选一次游戏，求小明和小聪所得奖品总数超过10的概率．【答案】 (Ⅰ) 4 (Ⅱ) 0.4； (Ⅲ)12试题解析：(Ⅰ)小明的过关数与奖品数如下表：小明在这十次游戏中所得奖品数的均值为()112234281161410⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； (Ⅱ)小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率约为2110.410++=； (Ⅲ)小明在四次游戏中所得奖品数为{2,2,4,8}， 小聪在四次游戏中所得奖品数为{4,4,8,16}， 现从中各选一次游戏，奖品总数如下表：共16个基本事件，总数超过10的有8个基本事件，故所求的概率为81162=． 8. 某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，以此类推，统计结果如表：（Ⅰ）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a 小时，求a 的值；（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a 小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率． 【答案】（1）4；（2）11369. 在测试中，客观题难题的计算公式为ii R P N，其中i P 为第i 题的难度， i R 为答对该题的人数， N 为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：（1）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（3）定义统计量()()()222'''11221nn S P P P P P P n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中'i P 为第i 题的实测难度， i P 为第i 题的预估难度（1,2,,i n =）.规定：若0.05S =，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理. 【答案】(1)见解析，24 (2) 35P =（3）该次测试的难度预估是合理的.(2) 记编号为i 的学生为i A （1,2,3,4,5i =），从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种. 其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为()()()()()()121324255545,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A ，共6种.所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为63105P ==. （3）'i P 为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用'i P 作为这120名学生第i 题的实测难度.()()()()()2222210.80.90.80.80.70.70.70.60.20.40.0125S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦因为0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的. 10. 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司咪推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店听其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x 表示在各区开设分店的个数， y 表示这个x 个分店的年收入之和．（1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程ˆy bxa =+； （2）假设该公司在A 区获得的总年利润z （单位：百万元）与,x y 之间的关系为20.05 1.4z y x =--，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？（参考公式： ˆy bx a =+，其中()()()1122211ˆ,ˆnni i iii i nni ii i x y nxy x x y y ba y bxx nx x x ====---===---∑∑∑∑） 【答案】(1) 0.850.6y x =+;(2) 该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大.（2）由题意，可知总收入的预报值ˆz与x 之间的关系为： 20.050.850.ˆ8z x x =-+-， 设该区每个分店的平均利润为t ，则zt x=， 故t 的预报值ˆt与x 之间的关系为0.8800.050.850.ˆ0150.85t x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭， 则当4x =时， ˆt取到最大值， 故该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大．。