最新坐标系与参数方程(1)汇总

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坐标系与参数方程总结

极坐标系1 极坐标系和点的极坐标极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。

规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。

2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。

3平面直角坐标与极坐标的区别在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(θρ不是一一对应的。

4极坐标系中P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．5如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

6极坐标与直角坐标的互化（1）互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。

（2）互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ。

Eg1：已知点M 的极坐标为)3,5(π-，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是（）)3,5.(π-A )34,5.(πB )32,5.(π-C )35,5.(π--D 2在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离 3．在极坐标系中与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为（）A 、2sin =θρB 、2cos =θρ图1C 、4cos =θρD 、4cos -=θρ4．曲线2sin =θρ和)20,0(sin 4πθρθρ<≤>=的交点坐标参数方程解题方法：去掉参数（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） 3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数）（或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．练习1、将下列参数方程化为普通方程（1） ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=ty t x 4321 （t 是参数）（2） θθ2c o s c o s 2==y x （θ是参数）（3）⎩⎨⎧=+=θθθ2sin cos sin y x2．若动点(x ,y )在曲线14222=+by x (b >0)上变化，则x 2+2y 的最大值为 A .⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b bb bB .⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b b b bC .442+bD .2b 。

高考数学-坐标系与参数方程(含22年真题讲解)

高考数学-坐标系与参数方程（含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+t 6y =√t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =−2+s 6y =−√s（s 为参数）．(1)写出C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标．【答案】(1)y 2=6x −2(y ≥0)；(2)C 3,C 1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，C 3,C 2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．【解析】【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出． (1) 因为x =2+t 6，y =√t ，所以x =2+y 26，即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)．(2) 因为x =−2+s 6,y =−√s ，所以6x =−2−y 2，即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0)，由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 3的普通方程为2x −y =0．联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0 ，解得：{x =12y =1 或{x =1y =2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0 ，解得：{x =−12y =−1 或{x =−1y =−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)． 2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t y =2sint ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π3)+m =0． (1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】(1)√3x +y +2m =0 (2)−1912≤m ≤52 【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可. (1)因为l ：ρsin (θ+π3)+m =0，所以12ρ⋅sinθ+√32ρ⋅cosθ+m =0，又因为ρ⋅sinθ=y,ρ⋅cosθ=x ，所以化简为12y +√32x +m =0，整理得l 的直角坐标方程：√3x +y +2m =0 (2)联立l 与C 的方程，即将x =√3cos2t ，y =2sint 代入 √3x +y +2m =0中，可得3cos2t +2sint +2m =0，所以3(1−2sin 2t)+2sint +2m =0，化简为−6sin 2t +2sint +3+2m =0，要使l 与C 有公共点，则2m =6sin 2t −2sint −3有解，令sint =a ，则a ∈[−1,1]，令f(a)=6a 2−2a −3，(−1≤a ≤1)，对称轴为a =16，开口向上，所以f(a)max =f(−1)=6+2−3=5， f(a)min =f(16)=16−26−3=−196，所以−196≤2m ≤5m 的取值范围为−1912≤m ≤52.1．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 的极坐标方程为πR 02θαρα⎛⎫ ⎪=∈⎝<<⎭，，直线l 与曲线1C ，2C 分别交于M ，N （均异于点O ）两点，若4OMON=，求α．【答案】(1)曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)π4α=【解析】【分析】（1）1C 的参数方程消参可求出1C 的直角坐标方程；2C 的极坐标方程同乘ρ，把cos x ρθ=，222x y ρ=+代入2C 的极坐标方程可求出2C 的直角坐标方程.（2）设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，用极径的几何意义表示出4OMON=，即124ρρ=，解方程即可求出α. (1)解：1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），把2216y t =代入24x t =-中可得，24y x =-，所以曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，综上所述：曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)由（1）知，1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=-，设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，则21sin 4cos ραα=-，22cos ρα=，由题意知02πα<<可得sin 0α≠，因为4OMON=，所以124ρρ=，所以24cos 42cos sin ααα-=⨯，故21sin 2α=，所以sin 2α=或sin 2α=（舍）所以π4α=.2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）.已知曲线2C 与x ，y 正半轴分别相交于,A B 两点.(1)写出曲线1C 的极坐标方程，并求出,A B 两点的直角坐标；(2)若过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 与曲线1C 交于P 点，与直线AB 交于Q 点，求线段PQ 的长度.【答案】(1)2cos ρθ=，A 点为()3,0，B 点为()0,3(2)2【解析】【分析】（1）普通方程()2211x y -+=，即可得2cos ρθ=（2）求出直线AB 的方程为3y x =-+，然后求出直线l 的方程，然后可求出PQ 的长度 (1)曲线1C 的普通方程()2211x y -+=，极坐标方程()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，∴2cos ρθ=.在曲线2C 上，当0x =时，0=t 或2t =，此时3y =或1y =-（舍），所以B 点为()0,3. 当0y =时，1t =-或1t =，此时3x =或1x =-（舍），所以A 点为()3,0. (2)直线AB 的方程为3y x =-+，极坐标方程为sin cos 3ρθρθ=-+， ∴()sin cos 3ρθθ+=，过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 的极坐标方程为4πθ=.4πθ=与2cos ρθ=联立，得1ρ 4πθ=与()sin cos 3ρθθ+=联立，得2ρ=∴21PQ ρρ=-=. 3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)设点Q的直角坐标为(，P 为C 上的动点，求PQ 中点R 的轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)直线l 的普通方程为2x y +=，曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)21ρ= 【解析】【分析】（1）消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程，再由两角和的正弦公式及222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设(),R x y ，即可表示P 点坐标，再根据点P 在曲线C 上，代入C 的方程，即可得到点R 的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；(1)解：因为直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），所以直线l 的普通方程为2x y +=，因为曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即4sin cos cos sin 66ππρθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2cos ρθθ=--，所以2sin 2cos ρθρθ=--，又222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，所以222x y x +=--，即()(2214x y +++=，即曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)解：设(),R x y，则(21,2P x y -，因为点P 在曲线C 上，所以()(2221124x y -++=，即221x y +=，所以PQ 中点R 的轨迹方程为221x y +=，即21ρ=4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos θsin θρ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PBPB PA+的值. 【答案】(1)10x y --=，22220x y x y +--= (2)4 【解析】【分析】（1）直接消去参数，将直线l 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到210t -=，得到12121t t t t +==- ，化简()222121212122112122PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+==，代入韦达定理，即可得到答案 (1)直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 可得l 的普通方程为10x y --=.曲线C 的极坐标方程为2(cos θsin θ)ρ=+，即22(cos θsin θ)ρρ=+，根据222cos θsin θx y x y ρρρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，可得2222x y x y +=+.∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= (2)在直线l的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）中，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l的参数方程221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22220x y x y +--=，得210t +-=，∴12t t +=121t t =-.∴()2221212121221121224PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+=== 5．（2022·安徽淮南·二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈．(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值．【答案】(1)4sin ρθ=，y(2)【解析】【分析】（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决；（2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可. (1)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=，则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．直线1l的直角坐标方程为y (2)由（1）可知π||4sin3OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，根据条件知要使AOB 面积取最大值，则ππ3β<<，则||4sin OB β=，于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭，所以当π3π262β+=即2π3β=时，AOB的面积取最大值，最大值为6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为))cos sin cos sin 2x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 100ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值. 【答案】(1)2214x y +=，23100x y +-=；【解析】【分析】（1）消去曲线C 的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线l 的直角坐标方程作答.（2）设出曲线C 上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答. (1)由))cos sin cos sin x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），消去参数得2214x y +=，所以曲线C 的普通方程为2214x y +=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的极坐标方程2cos 3sin 100ρθρθ+-=得：23100x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为23100x y +-=. (2)由（1）知，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()2cos ,sin P αα为曲线C 上一点，P 到直线l 的距离为d ，则105sin d αϕ-+===ϕ由4tan 3ϕ=确定，因此，当()sin 1αϕ+=时，d所以曲线C 上的点到直线l 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐sin cos 0θρθ-．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,1)，求11||||PA PB +的值．【答案】(1)224x y -=，0x+= (2)5【解析】【分析】（1）消去参数t 可得曲线C 的方程，利用公式法转化得到直线l 的直角坐标方程；（2）利用直线l 的参数方程中t 的几何意义求解. (1)∴11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），∴22222222112112x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，所以224x y -=，所以曲线C 的方程为224x y -=又∴cos x ρθ=，sin y ρθ=，0x - 所以直线l的直角坐标方程为0x =； (2)∴()0,1P 在直线l 上，∴直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）设A ，B 对应的参数分别为1t 与2t将直线l 的参数方程代入到224x y -=得22100t t --=． ∴2Δ(2)41(10)440=--⨯⨯-=>， ∴122t t +=，12100t t ⋅=-<， ∴1||PA t =，2||PB t =∴1212121111||||-+=+====t tPA PB t t t t，所以11||||+=PA PB 8．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 满足参数方程2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（t 为参数且11t -≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 为曲线1C 上一动点，且极坐标为(),ρθ. (1)求曲线1C 的直角坐标方程； (2)求()cos 3sin ρθθ+的取值范围.【答案】(1)y =()2204y x y +=≥(2)⎡-⎣ 【解析】【分析】（1）消去参数t 可得普通方程，由11t -≤≤，得到0y ≥，即可求出曲线1C 的直角坐标方程；（2）先判断出2ρ=利用三角函数出()cos 3sin ρθθ+的范围. (1)由2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩消去t 可得：224x y +=. 由于11t -≤≤，则212t +≤，即0y ≥.因此曲线1C的直角坐标方程为y ()2204y x y +=≥(2)曲线1C 为上半圆，点P 在1C 上，因此2ρ=，0,θπ⎡⎤∈⎣⎦ 由三角函数的性质知，在[]0,π上，1cos 3sin θθ-≤+≤因此()cos 3sin 2,ρθθ⎡+∈-⎣9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为22x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ---=. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为()2,2，求1PA PB-.【答案】(1)()()22126x y -+-=；【解析】【分析】(1)将222x y ρ=+、cos x ρθ=、sin y ρθ=代入圆C 的极坐标方程即可求其直角坐标方程； (2)将直线l 的参数方程化为标准形式，代入圆C 的直角坐标方程得到关于参数t 的二次方程，根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可求出1PA PB-．(1)∴22cos 4sin 10ρρθρθ---=，∴222410x y x y +---=，即()()22126x y -+-=； (2)直线l参数方程的标准形式为2122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，代入圆C直角坐标方程整理得250t -=，设方程的两根为1t 、2t ，则A 、B 对应参数1t 、2t ，则121250t t t t ⋅=-<⎧⎪⎨+⎪⎩，∴1PA PB-121211t t t t ==+-10．（2022·河南·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与1C 交于点P ，Q ，与2C 交于点S ，T ，与x 轴交于点R .(1)写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若()4PR QR SR TR -=-，求直线l 的倾斜角. 【答案】(1)22y x =，()2211x y -+= (2)2π或4π或34π【解析】【分析】（1）消参求得曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=同乘ρ得到2C 的直角坐标方程. （2）l 过定点1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，利用参数的几何含义化简求解. (1)曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=得22cos ρρθ=.所以2C 的直角坐标方程为222x y x +=，即()2211x y -+=.(2)不妨设0απ<<，则sin 0α>.易知1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭是l 过的定点.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，设P ，Q 对应的参数分别为P t ，Q t ，则22cos sin P Q PR QR t t αα-=+=.将直线l 的参数方程代入()222:11C x y -+=，得23cos 04t t α--=，设S ，T 对应的参数分别为S t ，T t ，则cos S T SR TR t t α-=+=.由()4PR QR SR TR -=-得22cos 4cos sin ααα=，得cos 0α=或sin α=l 的倾斜角为2π或4π或34π. 11．（2022·河南洛阳·三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为12x ty kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，射线OM ：()04πθρ=≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】(1)22163x y +=，()0y ≠(2)2【解析】【分析】（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹；（2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04πθρ=≥代入两极坐标方程即可求出OA ，OB ，即可得解；(1)解：因为直线1l的参数方程为12x ty kt⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得直线1l的普通方程为(12y k x =①，直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），消去参数m 得直线2l的普通方程为(1y x k=-②，设(),P x y ，由①②联立得((121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去k 得()22162y x =--即曲线1C 的普通方程为22163x y +=，()0y ≠；(2)解：设1OA ρ=，2OB ρ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2261sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠），代入()04πθρ=≥得12OA ρ==，将()04πθρ=≥代入2cos ρθ=得2OB ρ==所以2AB OA OB =-= 即线段AB的长度为212．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 经过伸缩变换13x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)已知射线():0l θαρ=≥与曲线2C 交于A 、B 两点，若3OB OA =，求tan α的值. 【答案】(1)24cos 30ρρθ-+= (2)0 【解析】【分析】（1）求出曲线2C 的参数方程，化为普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线2C 的极坐标方程；（2）设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根，由已知可得213ρρ=，结合韦达定理可求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值. (1)解：由题可得2C 的参数方程为2cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），则2C 的直角方程为()2221x y -+=，即22430x y x +-+=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以24cos 30ρρθ-+=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (2)解：设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根， 2Δ16cos 120α=->，则124cos ρρα+=①，123ρρ=②，因为3OB OA =，所以213ρρ=③，由①②③解得cos 1α=，则sin 0α=，tan 0α∴=，此时16120∆=->，合乎题意. 故tan 0α=.13．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O 的极坐标系中，经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，且与极轴的交点为N ． (1)当π2α=时，求l 的极坐标方程； (2)当ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求MON △面积的取值范围．【答案】(1)cos ρθ=(2)⋃⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）先求得l 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.（2）对直线l 的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得MON △面积的取值范围. (1)点π2,6M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π2cos 6π2sin 16x y ⎧=⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，所以M点的直角坐标为)，当π2α=时，直线l的直角坐标方程为x =转化为极坐标方程为cos ρθ=.(2)在极坐标系下：经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，在直角坐标系下：经过点)M的直线l 的倾斜角为α或πα-.即直线l 的倾斜角是α或πα-. 当直线l 的倾斜角为α时，直线l 的方程为(1tan y x α-=，令0y =得1tan N x α-=ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan α⎡∈⎣，111,1,,tan tan tan N x ααα⎤⎡∈-∈-=-⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯ ⎝11tan 2α⎛=-⨯∈ ⎝⎣⎦.当直线l 的倾斜角为πα-时，直线l 的方程为()((1tan πtan y x x αα-=-=-，令0y =得1tan N x α=11,1tan tan N x αα⎤⎤∈=⎥⎥⎣⎦⎣⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎝11tan 2α⎛=⨯∈ ⎝⎣⎦.综上所述，MON △面积的取值范围是⋃⎣⎦⎣⎦. 14．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=，曲线2C 的参数方程是2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程； (2)设射线(0)3πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求PAB △的面积.【答案】(1)4cos ρθ=，22123sin ρθ=+(2)1 【解析】【分析】（1）由公式法求极坐标方程（2）联立方程后分别求出A ，B 坐标，及P 到直线AB 距离后求面积 (1)曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简，得曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 曲线2C 的普通方程是：22143x y +=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简，得曲线2C 的极坐标方程为：22123sin ρθ=+.(2)设12,,,33A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1||4cos23OA πρ===，22221216||53sin 3OB ρπ===+，所以||OB =，所以||||||2AB OA OB =-=-. 又(0,2)P到直线:AB y =的距离为：1d ==所以12112PABS⎛=⨯⨯= ⎝⎭ 15．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=. (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若点M ，N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.【答案】(1)22163x y +=，40x -=2- 【解析】【分析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ，可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l 的直角坐标方程，（2）设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，然后利用点到直线的距离公式表示出d ，再根据三角函数的性质可求出其最小值 (1)由曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）可知2222cos sin 1θθ+=+=，故曲线C 的直角坐标方程为22163x y +=.由直线l的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可知l的直角坐标方程为40x -=. (2)MN 的最小值即为曲线C 上任意一点到直线l 距离的最小值.设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，则2cos 24d πθ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，故MN 2..。

坐标系与参数方程

φ， φ
(φ 为参数)．
1．参数方程化为普通方程
基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三
角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用
解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式 sin2θ＋cos2θ＝1 等． 2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则：曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；
离．
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3．在极坐标系中，求直线 ρ( 3cos θ－sin θ)＝2 与圆 ρ＝4sin θ 的交点的极坐标．
4．(2017·山西质检)在极坐标系中，曲线 C 的方程为 ρ2＝1＋23sin2θ，点 R2 2，π4.
(1)以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；
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6．已知圆 C：x2＋y2＝4，直线 l：x＋y＝2.以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同
的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆 C 和直线 l 方程化为极坐标方程；
(2)P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上，且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，
在 C3 上，求 a.
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2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－ 2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求 C1，C2 的极坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝π4(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面积．

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——坐标系与参数方程第一课时坐标系

第1节坐标系与参数方程第一课时坐标系考试要求 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x （λ＞0），y ′＝μ·y （μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角∠xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ).3.极坐标与直角坐标的互化4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ＜2π) 圆心为(r ，0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos__θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ＜π2圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线①θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R ) ②θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a ，0)，与极轴垂直的直线ρcos__θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin__θ＝a (0＜θ＜π)1.极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×解析 (1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线.2.(易错题)在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝ 3 C.ρcos θ＝1D.ρcos θ＝ 3答案 A解析先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.3.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 答案 A解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.4.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C.(1，0)D.(1，π)答案 B解析由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.5.(易错题)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1.6.(2018·北京卷)在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________. 答案 1＋ 2解析直线的方程为x ＋y －a ＝0，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心(1，0)，半径r ＝1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1－a |2＝1，又a >0，所以a ＝1＋ 2.考点一平面直角坐标系中的伸缩变换1.曲线C ：x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C ′，则曲线C ′的方程为________. 答案 x ′24＋y ′2＝1解析因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入曲线C 的方程得C ′：x ′24＋y ′2＝1.2.曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为________. 答案 4x 2＋9y 2＝1解析根据题意，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则(2x )2＋(3y )2＝1，即4x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为4x 2＋9y 2＝1.3.在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过变换后所得的点A ′的坐标为________. 答案 (1，－1)解析设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，所以点A ′的坐标为(1，－1).4.双曲线C ：x 2－y 264＝1经过伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y后所得曲线C ′的焦点坐标为________.答案 (－5，0)，(5，0)解析设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎨⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即为曲线C ′的方程，知C ′仍是双曲线，其焦点坐标分别为(－5，0)，(5，0).感悟提升 1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程.2.解答该类问题应明确两点：一是明确平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解.考点二极坐标与直角坐标的互化例1 (1)极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0转化成直角坐标方程为( ) A.x 2＋y 2＝0或y ＝1 B.x ＝1C.x 2＋y 2＝0或x ＝1D.y ＝1(2)点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z ) 答案 (1)C (2)C解析 (1)ρ2cos θ－ρ＝0⇒ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝1，即x ＝1.(2)∵ρ＝（－1）2＋（3）2＝2，tan θ＝3－1＝－ 3.又点M 在第二象限，∴θ＝2π3， ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.感悟提升 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.训练1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.(1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程. 解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得，ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0).当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233. 所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R ). 考点三求曲线的极坐标方程例2 (2022·西安五校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，如图，将C 1分别绕原点O 逆时针旋转π2，π，3π2得到曲线C 2，C 3，C 4，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)分别写出曲线C 1，C 2，C 3，C 4的极坐标方程；(2)直线l ：θ＝π3(ρ∈R )交曲线C 1，C 3分别于A ，C 两点，直线l ′：θ＝2π3(ρ∈R )交曲线C 2，C 4分别于B ，D 两点，求四边形ABCD 的面积.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1，得C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，设C 1上的点(ρ0，θ0)旋转π2得到曲线C 2上的点(ρ，θ)，则ρ0＝ρ，θ0＝θ－π2，代入C 1的方程得ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ－π2≤π2，所以C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤θ≤π，同理，C 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π≤θ≤3π2，C 4的极坐标方程为ρ＝－2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2≤θ≤2π.(2)结合图形的对称性可知S 四边形ABCD ＝4S △AOB ，将θ＝π3代入C 1得|OA |＝ρA ＝1，将θ＝2π3代入C 2得|OB |＝ρB ＝3，所以S 四边形ABCD ＝4S △AOB ＝4×12·|OA |·|OB |·sin π3＝3. 感悟提升求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.训练2 在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P . (1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 解 (1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2. 设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点.在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.考点四极坐标方程的应用例3 已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 得到曲线C ′，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C ′的极坐标方程；(2)若A ，B 是曲线C ′上的两个动点，且OA ⊥OB ，求|OA |2＋|OB |2的最小值. 解 (1)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，转换为普通方程为x 2＋y 2＝4，曲线C经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝12y得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，极坐标方程为ρ＝21＋3sin 2θ.(2)设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，所以|OA |2＋|OB |2＝ρ21＋ρ22＝41＋3sin 2θ＋41＋3cos 2θ ＝8＋12（sin 2θ＋cos 2θ）（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ）＝20（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ）＝201＋3（sin 2θ＋cos 2θ）＋94sin 22θ ＝204＋94sin 22θ≥165. 当sin 2θ＝±1时，|OA |2＋|OB |2取得最小值165.感悟提升 1.若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.2.在极坐标系中，如果P 1(ρ1，θ1)，P 2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式 |P 1P 2|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.两种特殊情况：(1)当θ1＝θ2＋2k π，k ∈Z 时，|P 1P 2|＝|ρ1－ρ2|； (2)当θ1＝θ2＋π＋2k π，k ∈Z ，|P 1P 2|＝|ρ1＋ρ2|.3.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.训练3 (2021·昆明诊断)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝9＋3t ，y ＝t (t为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝161＋3sin 2θ.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离. 解 (1)由ρ2＝161＋3sin 2θ，得ρ2＋3ρ2sin 2θ＝16，则曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4y 2＝16，即x 216＋y 24＝1.直线l 的直角坐标方程为x －3y －9＝0.(2)可知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设P (4cos α，2sin α)，α∈[0，2π)，则M (2cos α，sin α)到直线l ：x －3y －9＝0的距离为d ＝|2cos α－3sin α－9|2＝|7sin （θ－α）－9|2≤9＋72，所以线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离为9＋72.1.将直角坐标方程与极坐标方程互化： (1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0； (3)θ＝π3(ρ∈R )；(4)ρcos 2 θ2＝1； (5)ρ2cos 2θ＝4； (6)ρ＝12－cos θ.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)当x ≠0时，由于tan θ＝y x ，故tan π3＝yx ＝3，化简得y ＝3x (x ≠0)；当x ＝0时，y ＝0.显然(0，0)在y ＝3x 上，故θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为 y ＝3x .(4)因为ρcos 2θ2＝1，所以ρ·1＋cos θ2＝1，而ρ＋ρcos θ＝2，所以x 2＋y 2＋x ＝2.化简得y 2＝－4(x －1).(5)因为ρ2cos 2θ＝4，所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4. (6)因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1，因此2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.2.在极坐标系中，已知两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3.(1)求A ，B 两点间的距离； (2)求点B 到直线l 的距离.解 (1)设极点为O .在△OAB 中，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，由余弦定理，得 |AB |＝32＋（2）2－2×3×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝ 5.(2)因为直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3，所以直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π2，倾斜角为3π4.又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，所以点B 到直线l 的距离为(32－2)×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π2＝2.3.以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)因为ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，所以曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )，根据题意21－sin θ0＝3·21－sin （θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6，所以直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).4.(2022·南宁调研)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 1，C 2的极坐标方程；(2)设A ，B 分别为C 1，C 2上的点，若△OAB 为等边三角形，求|AB |. 解 (1)因为圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4，所以C 1：x 2＋y 2＝2x ，C 2：x 2＋y 2＝－4x ，因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以C 1：ρ＝2cos θ，C 2：ρ＝－4cos θ.(2)因为C 1，C 2都关于x 轴对称，△OAB 为等边三角形，所以不妨设A (ρA ，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρB ，θ＋π3，0＜θ＜π2.依题意可得，ρA ＝2cos θ，ρB ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.从而2cos θ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，整理得，2cos θ＝3sin θ，所以tan θ＝233，又因为0＜θ＜π2，所以cos θ＝217，|AB |＝|OA |＝ρA ＝2217.5.(2021·成都诊断)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋3y －6＝0.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；(2)若点P (x ，y )在直线l 上且y >0，射线OP 与曲线C 相交于异于点O 的点Q ，求|OP ||OQ |的最小值.解 (1)由极坐标与直角坐标的互化公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 由题意得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－6＝0，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝3.(2)设点P 的极坐标为(ρ1，θ)，点Q 的极坐标为(ρ2，θ)，其中0<θ<π2. 由(1)知|OP |＝ρ1＝6cos θ＋3sin θ，|OQ |＝ρ2＝2cos θ. ∴|OP ||OQ |＝ρ1ρ2＝62cos 2θ＋23sin θcos θ＝61＋cos 2θ＋3sin 2θ＝61＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6.∵0<θ<π2，∴π6<2θ＋π6<7π6，∴－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6≤1. ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝1，即θ＝π6时，|OP ||OQ |取得最小值2.6.已知曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9，A 是曲线C 1上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90°得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点，定点M (－4，0)，求△MPQ的面积.解 (1)曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9，即x 2＋y 2－6y ＝0. 从而ρ2＝6ρsin θ.所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6sin θ. 设B (ρ，θ)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2，则有ρ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－6cos θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝－6cos θ. (2)M 到射线θ＝5π6(ρ＞0)的距离为d ＝4sin 5π6＝2，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρP ，5π6，其中，ρP ＝6sin 5π6＝3，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 2的交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρQ ，5π6，其中，ρQ ＝－6cos 5π6＝33，则|PQ |＝|ρP －ρQ |＝33－3，则S △MPQ ＝12|PQ |d ＝33－3.。

【精品】最新高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》专题复习(16页)

【精品】最新高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》专题复习一、基础知识梳理1.伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x λy ′＝μ·yμ的作用下，点P(x,y)对应到点(,)P x y '''，即点(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ｏx 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.3.点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点.极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点.如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的.5.极坐标与直角坐标的互化：⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yxx .6.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是r ρ=；在极坐标系中，以(,0)C a (a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是2cos a ρθ=；在极坐标系中，以(,)2C a π(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是2sin a ρθ=.7.直线的极坐标方程：在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点(,0)(0)A a a >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是cos a ρθ=. 8.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标中x,y 都是某个变数t 的函数(),(),x f t y g t =⎧⎨=⎩ 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系x ,y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.9.常见曲线的参数方程（1）圆222()()x a y b r -+-=的参数方程可表示为)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .（2）椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的参数方程可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)．（3）抛物线22y px =的参数方程可表示为)(222为参数t pty pt x ⎩⎨⎧==.（4）过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(i)直线的参数方程的一般形式：)1,)((2200≠+∈⎩⎨⎧+=+=b a R b a t bty y atx x 且为参数，转化为标准形式：),)((220R b a t t b a a x x ∈⎪⎪⎨⎧++=为参数.(ii)参数t 的几何意义是：直线上定点),(000y x M 到直线上动点),(y x M 的有向线段M M 0的数量.即tM M =0(iii)直线与圆锥曲线相交于两点A,B ，交点对应的参数分别为21,t t ，则弦长21t t AB -=. (iv)定点0M 是相交弦AB 的中点⇔021=+t t . (v)设弦AB 中点为点M ，则点M 相对应的参数221t t t M +=，则2210tt t M M M +==. 10.在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y 的取值范围保持一致.二、相关公式(1)直线的斜率：(i)定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率； (ii)斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；21P P 中点坐标公式)2,2(21210y y x x P++.(2)点到直线的距离及两平行直线间的距离： (i)点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离0022Ax By C d A B++=+；(3)辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕααα±+=±b a b a ，)cos(sin cos 22ϕααα b a b a +=±.其中：a bb a b b a a =+=+=ϕϕϕtan ,sin ,cos 2222.(4)直线截圆所得弦长222d r AB -=(其中d 为圆心到直线的距离) (5)(i)正余弦展开公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+；βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-；βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+；βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-；(ii)二倍角公式：αααcos sin 22sin =；ααα22sin cos 2cos -=αα22sin 211cos 2-=-= 对应变形公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα【典例分析】题型一、极坐标、参数方程、直角坐标方程之间的互化1.在极坐标系中，求圆2ρ=与直线(cos 3sin )6ρθθ+=的位置关系.2.求直线415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(为参数t )截曲线2cos()4πρθ=+的弦长.3.已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．题型二、距离、面积问题4.在曲线1C ：⎩⎨⎧=+=)(sin cos 1为参数θθθy x 上求一点，使它到直线2C ：1222()112x t t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数的距离最小，并求出该点坐标和最小距离.5.在椭圆2211612x y +=上找一点，写出椭圆的参数方程并在椭圆上找这一点到直线2120x y --=的距离的最小值和最大值，并求出相应点的坐标.6.平面直角坐标系中，已知曲线221:1C x y +=，将曲线1C 上所有点横坐标，纵坐标分别伸长为原来的2倍和3倍后，得到曲线2C . (1)试写出曲线2C 的参数方程;(2)在曲线2C 上求点P ，使得点P 到直线:450l x y +-=的距离最大，并求距离最大值.7.(2009•海南宁夏理)已知曲线1C ：4cos 3sin x ty t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，2C ：8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩. (1)化12,C C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线3C ：322x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值。

(完整版)极坐标与参数方程知识点总结大全

极坐标与参数方程一、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.练习1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数A ．B ．C ．D ．2323-3232-2．下列在曲线上的点是（）sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数A ．B ．C ．D ．1(,231(,)42-3．将参数方程化为普通方程为（）222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数A ．B ．C ．D ．2y x =-2y x =+2(23)y x x =-≤≤2(01)y x y =+≤≤注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。

应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。

这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。

圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。

4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。

坐标系与参数方程_知识点总结

坐标系与参数方程_知识点总结一、坐标系1.直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，在平面上由两个垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。

一个点在直角坐标系中的位置可以用坐标(x,y)来表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。

2.极坐标系3.球坐标系球坐标系是一种用于描述空间点位置的坐标系统，它由径向距离、极角和方位角组成。

一个点的位置可以用有序数组(r,θ,φ)来表示，其中r为点到原点的距离，θ为点与一些固定轴的夹角，φ为点的方位角。

二、参数方程1.一维参数方程一维参数方程是指由一个参数确定的直线或曲线的方程。

例如，一个点在直线上的一维参数方程可以表示为x=f(t)，其中x为点在直线上的位置，t为参数，f(t)为关于参数t的函数。

2.二维参数方程二维参数方程是指由两个参数确定的平面曲线的方程。

一个点在平面上的位置可以表示为(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)分别为关于参数t的函数。

二维参数方程常用于描述曲线、圆、椭圆等几何图形。

3.三维参数方程三维参数方程是指由三个参数确定的空间曲线的方程。

一个点在空间中的位置可以表示为(x(t),y(t),z(t))，其中x(t)、y(t)和z(t)分别为关于参数t的函数。

三维参数方程常用于描述空间曲线、曲面等几何图形。

三、坐标系与参数方程的关系坐标系和参数方程之间存在着密切的关系。

在直角坐标系中，一个函数的参数方程可以通过将x和y用参数表示来得到，即将x=f(t)和y=g(t)的参数方程转化为直角坐标系中的函数y=f(x)的形式。

反之，一个函数的直角坐标系方程也可以通过将x和y用参数表示来得到参数方程。

参数方程在极坐标系和球坐标系中也可以通过类似的方式转化。

总结：坐标系是描述点的位置的系统，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系。

参数方程是用参数表示的函数方程，常用于描述直线、曲线、曲面等几何图形。

坐标系和参数方程之间存在密切的关系，可以通过转化将一个方程从坐标系表示转化为参数方程，反之亦然。

2022-2022《三维设计》高三数学湘教版(文)一轮复习[精品讲义]选修4-4坐标系与参数方程

2022-2022《三维设计》高三数学湘教版（文）一轮复习[精品讲义]选修4-4坐标系与参数方程第一节坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(某，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换某，λ＞0，某′＝λ·φ：的作用下，点P(某，y)对应到点P′(某′，y′)，称φ为平面直y′＝μ·y，μ＞0角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线O某，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴O某为始边，射线OM为终边的角某OM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．极坐标与直角坐标的互化设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(某，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M互化公式直角坐标(某，y)某＝ρcoθρinθy＝极坐标(ρ，θ)ρ＝某＋yytanθ＝某某≠02224.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)ρ＝2rco_θ圆心为(r,0)，半径为r的圆－π≤θ≤π22ρ＝2rin_θ(0≤θ＜π)πr，，半径为r的圆圆心为2(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过极点，倾斜角为α的直线过点(a,0)，与极轴垂直的直线πa，，与极轴平行的直线过点2ππ－＜θ＜ρco_θ＝a22ρin_θ＝a(0＜θ＜π)1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．[试一试]1．点P的直角坐标为(1，－3)，求点P的极坐标．π解：因为点P(1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与某轴所成的角为－，3π2，－.所以点P的极坐标为32．求极坐标方程ρ＝inθ＋2coθ能表示的曲线的直角坐标方程．解：由ρ＝inθ＋2coθ，得ρ2＝ρinθ＋2ρcoθ，∴某2＋y2－2某－y＝0.故故极坐标方程ρ＝inθ＋2coθ表示的曲线直角坐标方程为某2＋y2－2某－y＝0.1．确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．2．直角坐标(某，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤y(1)运用ρ＝某2＋y2，tanθ＝(某≠0)某y(2)在[0,2π)内由tanθ＝(某≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．某[练一练]1．在极坐标系中，求圆心在(2，π)且过极点的圆的方程．解：如图，O为极点，OB为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO＝θ－90°，OBρ＝22＝，化简得ρ＝－22coθ.inθ－90°π22．已知直线的极坐标方程为ρin(θ＋)＝，求极点到该直线的距离．4222π2in＋co解：极点的直角坐标为O(0,0)，ρin(θ＋)＝ρ＝，∴ρinθ＋4222ρcoθ＝1，化为直角坐标方程为某＋y－1＝0.∴点O(0,0)到直线某＋y－1＝0的距离为d＝＝π222θ＋＝的距离为.，即极点到直线ρin42222考点一平面直角坐标系中的伸缩变换1某′＝2某，1.(2022·佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为求在这一坐标变y′＝3y，换下正弦曲线y＝in某的方程．1某＝2某′，某′＝2某，解：∵∴1y＝y′.y′＝3y，3代入y＝in某得y′＝3in2某′.某′＝2某，π2．求函数y＝in(2某＋)经伸缩变换14y′＝y21某′＝2某，某＝2某′，解：由得①1y′＝y，2y＝2y′.π1π将①代入y＝in(2某＋)，得2y′＝in(2·某′＋)，4241π即y′＝in(某′＋)．24后的解析式．某′＝3某，y23．求双曲线C：某－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．642y′＝y21某＝3某′，y22解：设曲线C′上任意一点P′(某′，y′)，由上述可知，将代入某－＝64y＝2y′，某′24y′2某′2y′21得－＝1，化简得－＝1，964916某2y2即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．916[类题通法]某，λ>0某′＝λ·平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直y′＝μ·y，μ>0线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．考点二极坐标与直角坐标的互化[典例](2022·石家庄模拟)在平面直角坐标系某Oy中，以坐标原点O为极点，某轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcoθ－10(ρ>0)．(1)求曲线C1的直角坐标方程；某2y2(2)曲线C2的方程为＋＝1，设P，Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|164的最小值．[解](1)曲线C1的方程可化为3(某2＋y2)＝12某－10，2即(某－2)2＋y2＝.3(2)依题意可设Q(4coθ，2inθ)，由(1)知圆C1的圆心坐标为C1(2,0)．故|QC1|＝4coθ－22＋4in2θ＝12co2θ－16coθ＋8＝222coθ－2＋，33326，36.3|QC1|min＝所以|PQ|min＝[类题通法]直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．[针对训练](2022·安徽模拟)在极坐标系中，判断直线ρcoθ－ρinθ＋1＝0与圆ρ＝2inθ的位置关系．解：直线ρcoθ－ρinθ＋1＝0可化成某－y＋1＝0，圆ρ＝2inθ可化为某2＋y2＝2y，即某2＋(y－1)2＝1.圆心(0,1)到直线某－y＋1＝0的距离d＝考点三|0－1＋1|＝0<1.故直线与圆相交．2极坐标方程及应用[典例](2022·郑州模拟)已知在直角坐标系某Oy中，曲线C的参数方程为某＝2＋2coθ，(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系某Oy取相同的长度单位，且以y＝2inθπ原点O为极点，以某轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρin(θ＋)＝22.4(1)求曲线C在极坐标系中的方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长．[解](1)由已知得，曲线C的普通方程为(某－2)2＋y2＝4，即某2＋y2－4某＝0，化为极坐标方程是ρ＝4coθ.(2)由题意知，直线l的直角坐标方程为某＋y－4＝0，22某＋y－4某＝0，由得直线l与曲线C的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为22.某＋y＝4，π在本例(1)的条件下，求曲线C与曲线C1：ρcoθ＝3(ρ≥0,0≤θ解：由曲线C，C1极坐标方程联立ρ＝4coθ，33π∴co2θ＝，coθ＝±，又ρ≥0，θ∈[0，)．422∴coθ＝π3π23，.，θ＝，ρ＝23，故交点极坐标为626[类题通法]求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．[针对训练](2022·荆州模拟)在极坐标系中，求过圆ρ＝6coθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程．解：ρ＝6coθ在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为3的圆．过圆心且垂直于某轴的直线方程为某＝3，其在极坐标系下的方程为ρcoθ＝3.[课堂练通考点]π1．(2022·南昌调研)在极坐标系中，求圆ρ＝2coθ与直线θ＝(ρ>0)所表示的图形的交4点的极坐标．π解：圆ρ＝2coθ可转化为某2－2某＋y2＝0，直线θ＝可转化为y ＝某(某>0)，两个方程联4π立得交点坐标是(1,1)，可得其极坐标是(2，)．4ππ2．(2022·惠州模拟)在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为(3，)、(4，)，求36△AOB(其中O为极点)的面积．ππ1解：由题意知A，B的极坐标分别为(3，)、(4，)，则△AOB的面积S△AOB＝OA·OB·in3621π∠AOB＝某3某4某in＝3.263．(2022·天津高考改编)已知圆的极坐标方程为ρ＝4c oθ，圆心为C,点P的极坐标为4，π，求|CP|的值．3解：由ρ＝4coθ可得圆的直角坐标方程为某2＋y2＝4某，圆心C(2,0)．点P的直角坐标为(2,23)，所以|CP|＝23.4．在极坐标系中，求圆：ρ＝2上的点到直线：ρ(coθ＋3inθ)＝6的距离的最小值．解：由题意可得，圆的直角坐标方程为某2＋y2＝4，圆的半径为r＝2，直线的直角坐标|0＋3某0－6|方程为某＋3y－6＝0，圆心到直线的距离d＝＝3，所以圆上的点到直线的距2离的最小值为d－r＝3－2＝1.某＝－t，π5．(2022·银川调研)已知直线l：(t为参数)与圆C：ρ＝42co(θ－)．4y＝1＋t(1)试判断直线l和圆C的位置关系；(2)求圆上的点到直线l的距离的最大值．解：(1)直线l的参数方程消去参数t，得某＋y－1＝0.π由圆C的极坐标方程，得ρ2＝42ρco(θ－)，化简得ρ2＝4ρcoθ＋4ρinθ，所以圆C4的直角坐标方程为某2＋y2＝4某＋4y，即(某－2)2＋(y－2)2＝8，故该圆的圆心为C(2,2)，半径r＝22.|2＋2－1|32从而圆心C到直线l的距离为d＝22＝2，1＋132显然<22，所以直线l和圆C相交．232(2)由(1)知圆心C到直线l的距离为d＝，所以圆上的点到直线l的距离的最大值为23272＋22＝.22[课下提升考能]1．在直角坐标系某Oy中，以O为极点，某轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的πθ－＝1，M，N分别为曲线C与某轴，y轴的交点．极坐标方程为ρco3(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．π13θ－＝1得ρcoθ＋inθ＝1，解：(1)由ρco32213从而曲线C的直角坐标方程为某＋y＝1，即某＋3y＝2.22θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．π2323πθ＝时，ρ＝，所以N.233，223(2)由(1)得点M的直角坐标为(2,0)，点N的直角坐标为0，.3所以点P的直角坐标为1，323π，则点P的极坐标为，33，6π所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)．6π1，，点B在直线l：ρcoθ＋ρinθ＝0(0≤θ<2π)上运动，当2．在极坐标系中定点A2线段AB最短时，求点B的极坐标．解：∵ρcoθ＋ρinθ＝0，∴coθ＝－inθ，tanθ＝－1.3π∴直线的极坐标方程化为θ＝(直线如图)．4过A作直线垂直于l，垂足为B，此时AB最短．易得|OB|＝22 .∴B点的极坐标为23π2，4.3．(2022·扬州模拟)已知圆的极坐标方程为：ρ2－42ρcoθ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P(某，y)在该圆上，求某＋y的最大值和最小值．解：(1)原方程变形为：ρ2－4ρcoθ－4ρinθ＋6＝0.某2＋y2－4某－4y＋6＝0.(2)圆的参数方程为某＝2＋2coα，y＝2＋2inα(α为参数)，所以某＋y＝4＋2inα＋π4.那么某＋y的最大值为6，最小值为2.4．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：某′＝3某，2y′＝y.(1)求点A13，－2经过φ变换所得的点A′的坐标；(2)点B经过φ变换得到点B′－3，12，求点B的坐标；(3)求直线l：y＝6某经过φ变换后所得到的直线l′的方程．某′＝3某，解：(1)设A′(某′，y′)，由伸缩变换φ：某′＝3某，y′＝y得到y′＝12y，坐标为13，－2，于是某′＝3某13＝1，y′＝12某(－2)＝－1，∴A′(1，－1)为所求．(2)设B(某，y)，由伸缩变换φ：某′＝3某，某＝3某′，y′＝y得到y＝2y′.由于点B′的坐标为－3，12，于是某＝13某(－3)＝－1，y＝2某12＝1，A的由于点∴B(－1,1)为所求．某＝，某′＝3某，3(3)由伸缩变换φ：得2y′＝y，某′y＝2y′.代入直线l：y＝6某，得到经过伸缩变换后的方程y′＝某′，因此直线l的方程为y＝某.5．(2022·南京模拟)在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2coθ，ρcoθ＋π＝1.3(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C1的直角坐标方程为(某＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C23的直角坐标方程为某－3y－2＝0，所以曲线C2为直线，由于圆心到直线的距离为d＝>1，2所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点．ρρ0＝2，(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则θ＝θ0，2ρ0＝ρ，即①θ0＝θ.因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，πθ0＋＝1，②所以ρ0co3π2θ＋＝1，将①代入②，得coρ3π13θ＋为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为某－2＋y＋2＝1，因即ρ＝2co32213此点P的轨迹是以，－为圆心，1为半径的圆．22π2θ－＝.6．(2022·苏州模拟)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝coθ＋inθ和直线l：ρin42(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．解：(1)圆O：ρ＝coθ＋inθ，即ρ2＝ρcoθ＋ρinθ，圆O的直角坐标方程为：某2＋y2＝某＋y，即某2＋y2－某－y＝0，π2θ－＝，即ρinθ－ρcoθ＝1，直线l：ρin42则直线l的直角坐标方程为：y－某＝1，即某－y＋1＝0.22某＋y－某－y＝0，某＝0，π1，.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为2某－y＋1＝0y ＝1，第二节参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数某，y中的一个与参数t的关系，例如某＝f(t)，把它代入普通方程，求某＝ft，出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么，就是曲线的参数方程．y＝gt2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹直线普通方程y－y0＝tanα(某－某0)参数方程某＝某0＋tcoαy＝y0＋tinα(t为参数)圆某＋y＝r某2y2＋＝1(a>b>0)a2b2222某＝rcoθ(θ为参数)y＝rinθ某＝acoφ(φ为参数)y＝binφ椭圆某＝某0＋tcoα，1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程y＝y0＋tinα.(t为参数)注意：t是参数，α则是直线的倾斜角．2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性．[试一试]3．(2022·合肥模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为23y＝＋22t1某＝t，2(t为参数)，若以直角坐标系的原点O为极点，某轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐πθ－.若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2co4值．解：首先消去参数t，可得直线方程为3某－y＋为某－2＝0，极坐标方程化为直角坐标方程21－1062＝.24222＋y－2＝1，根据直线与圆的相交弦长公式可得|AB|＝2224．(2022·石家庄模拟)在平面直角坐标系某Oy中，以原点O为极点，某轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρin2θ＝coθ.(1)求曲线C的直角坐标方程；某＝2－22t，(2)若直线l的参数方程为2y＝2t点，求|AB|的值．(t为参数)，直线l与曲线C相交于A，B两解：(1)将y＝ρinθ，某＝ρcoθ代入ρ2in2θ＝ρcoθ中，得y2＝某，∴曲线C的直角坐标方程为：y2＝某.某＝2－22t，(2)把2y＝2t，代入y2＝某整理得，t2＋2t－4＝0，Δ>0总成立．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∵t1＋t2＝－2，t1t2＝－4，∴|AB|＝|t1－t2|＝－22－4某－4＝32.[课下提升考能]某＝t＋1，1．在平面直角坐标系某Oy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的y＝2t2某＝2tanθ，参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共y＝2tanθ点的坐标．某＝t＋1，解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由某＝t＋1得t＝某－1，代入y＝y＝2t2t，得到直线l的普通方程为2某－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2某.y＝2某－1，1解方程组2得公共点的坐标为(2,2)，(，－1)．2y＝2某，2．(2022·长春模拟)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4coθ，以极点为原点，极轴为某轴某＝5＋23t，正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为1y＝2t(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；(t为参数)．(2)设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．解：(1)由ρ＝4coθ，得ρ2＝4ρcoθ，即曲线C的直角坐标方程为某2＋y2＝4某；某＝5＋23t，由1y＝2t(t为参数)，得y＝(某－5)，即直线l的普通方程为某－3y－5＝0.3|2－3某0－5|3(2)由(1)可知C为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d＝＝，21＋3弦长|PQ|＝2某＝2＋2coφ，3．在直角坐标系某Oy中，圆C1和C2的参数方程分别是(φ为参数)和y＝2inφ某＝coφ，(φ为参数)．以O为极点，某轴的正半轴为极轴建立极坐标系．y＝1＋inφ322－2＝7，因此以PQ为一条边的圆C的内接矩形面积S＝2d·|PQ|＝37.2(1)求圆C1和C2的极坐标方程；(2)射线OM：θ＝α与圆C1的交点为O，P，与圆C2的交点为O，Q，求|OP|·|OQ|的最大值．解：(1)圆C1和圆C2的普通方程分别是(某－2)2＋y2＝4和某2＋(y－1)2＝1，所以圆C1和C2的极坐标方程分别是ρ＝4coθ和ρ＝2inθ.(2)依题意得，点P，Q的极坐标分别为P(4coα，α)，Q(2inα，α)，所以|OP|＝|4coα|，|OQ|＝|2inα|.从而|OP|·|OQ|＝|4in2α|≤4，当且仅当in2α＝±1时，上式取“＝”，即|OP|·|OQ|的最大值是4.4．(2022·福建模拟)如图，在极坐标系中，圆C的圆心坐标为(1,0)，半径为1.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若以极点O为原点，极轴所在直线为某轴建立平面直角坐标系．已知直线l某＝－1＋tco6，的参数方程为πy＝tin6OM，BM，在Rt△OBM中，|OM|＝|OB|co∠BOM，所以ρ＝2coθ.π(t为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．解：(1)如图，设M(ρ，θ)为圆C上除点O，B外的任意一点，连接π可以验证点O(0，)，B(2,0)也满足ρ＝2coθ，2故ρ＝2coθ为所求圆的极坐标方程．(2)由πy＝tin6π某＝－1＋tco，6(t为参数)，得直线l的普通方程为y＝3(某＋1)，3即直线l的普通方程为某－3y＋1＝0.由ρ＝2coθ，得圆C的直角坐标方程为(某－1)2＋y2＝1.|1某1－3某0＋1|因为圆心C到直线l的距离d＝＝1，2所以直线l与圆C相切．5．(2022·郑州模拟)在直角坐标系某Oy中，直线l经过点P(－1,0)，其倾斜角为α.以原点O为极点，以某轴非负半轴为极轴，与直角坐标系某Oy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2－6ρcoθ＋5＝0.(1)若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；(2)设M(某，y)为曲线C上任意一点，求某＋y的取值范围．解：(1)将曲线C的极坐标方程ρ2－6ρcoθ＋5＝0化为直角坐标方程为某2＋y2－6某＋5＝0.某＝－1＋tcoα，直线l的参数方程为(t为参数)．y＝tinα某＝－1＋tcoα，将(t为参数)代入某2＋y2－6某＋5＝0整理得，t2－8tcoα＋12＝0.y＝tinα∵直线l与曲线C有公共点，∴Δ＝64co2α－48≥0，∴coα≥33或coα≤－.22π50，∪∵α∈[0，π)，∴α的取值范围是，.66(2)曲线C的方程某2＋y2－6某＋5＝0可化为(某－3)2＋y2＝4，某＝3＋2coθ，其参数方程为(θ为参数)．y＝2inθ∵M(某，y)为曲线C上任意一点，π∴某＋y＝3＋2coθ＋2inθ＝3＋22in(θ＋)，4∴某＋y的取值范围是[3－22，3＋22]．某＝acoφ，6．(2022·昆明模拟)已知曲线C的参数方程是(φ为参数，a>0)，直线l的y＝3inφ某＝3＋t，参数方程是(t为参数)，曲线C与直线l有一个公共点在某轴上，以坐标原点为y＝－1－t极点，某轴的正半轴为极轴建立坐标系．(1)求曲线C的普通方程；(2)若点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋2π4π111)，C(ρ3，θ＋)在曲线C上，求的值．2＋2＋33|OA||OB||OC|2某2解：(1)直线l的普通方程为某＋y＝2，与某轴的交点为(2,0)．又曲线C 的普通方程为2＋ay2某2y2＝1，所以a＝2，故所求曲线C的普通方程是＋＝1.3432π4πρ2，θ＋，Cρ3，θ＋在曲线C上，即点A(ρ1coθ，ρ1inθ)，(2)因为点A(ρ1，θ)，B332π4π4π2πθ＋，ρ2in(θ＋，Cρ3coθ＋，ρ3inθ＋在曲线C上．Bρ2co3333故1111112＋2＋2＝2＋2＋2|OA||OB||OC|ρ1ρ2ρ324112＝co2＋co2＋＋co＋＋343322422in＋in＋＋in＋33481＋co2＋1＋co2＋＋co21133＋＋＋＝4222481－co2＋1－co2＋－co2113313137＝4某2＋3某2＝8.＋＋3222。

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2014年坐标系与参数方程(1)2014 年高考数学理科分类汇编——坐标系与参数方程一、选择题1、（2014 北京）曲线«Skip Record If...»(«Skip Record If...»为参数)的对称中心( )A、在直线«Skip Record If...»上 [B]、在直线«Skip Record If...»上 C、在直线«Skip Record If...»上 D、在直线«Skip Record If...»上【知识点】：参数方程转化为标准方程，圆的标准方程。

【考查能力】：本题主要考查了学生将参数方程转化为标准方程的能力，同时考察了圆的标准方程.【思路方法】：«Skip Record If...»,圆心是«Skip Record If...»所以曲线的对称中心是«Skip Record If...»，对照选项，可知此点位于«Skip Record If...»上2、（2014 安徽）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线«Skip Record If...»的参数方程是«Skip Record If...»（t为参数），圆C 的极坐标方程是«Skip Record If...»，则直线«Skip Record If...»被圆C 截得的弦长为（）A、«Skip Record If...»B、«Skip Record If...»C、«Skip Record If...»【D】、«Skip Record If...»解析：«Skip Record If...»可得«Skip Record If...»；«Skip Record If...»两边同乘以«Skip Record If...»得«Skip Record If...»圆心到直线的距离«Skip Record If...»，弦长为«Skip Record If...»3、（2014 江西理）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段«Skip Record If...»的极坐标方程为【A】、«Skip Record If...» B、«Skip Record If...»C、«Skip Record If...»D、«Skip Record If...»解析： «Skip Record If...»二、填空题1、（2014 广东）在极坐标系中，曲线«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的方程分别为«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为«Skip Record If...»轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线«Skip Record If...»和«Skip Record If...»交点的直角坐标为 _____ 答案：（1,1）解析：曲线«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的直角坐标方程分别为«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，故二者的交点为（1,1）.2、（2014 湖北）已知曲线«Skip Record If...»的参数方程是«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为参数），以坐标原点为极点，«Skip Record If...»轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线«Skip Record If...»的极坐标方程是«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»与«Skip Record If...»交点的直角坐标为______ 答案：«Skip Record If...»解析：由参数方程可知曲线«Skip Record If...»为«Skip Record If...»，由极坐标系可知曲线«Skip Record If...»为«Skip Record If...»，联立两方程即可求得交点坐标为«Skip Record If...»3、（2014 陕西理）在极坐标系中，点«Skip Record If...»到直线«Skip Record If...»的距离_______ 答案：1由将点«Skip Record If...»，直线«Skip Record If...»化成直角坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，由点到直线距离公式有«Skip Record If...»4、（2014 上海理）已知曲线«Skip Record If...»的极坐标方程为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»与极轴的交点到极点的距离是_____ 答案：«Skip Record If...»【知识点】：极坐标的概念【考查能力】：考查极坐标与直角坐标的转换【思路方法】：曲线C可转化为直角坐标方程为：«Skip Record If...»，曲线C与极轴交点到极点及距离，即为直线方程在直角坐标系中的横坐标的绝对值，即为«Skip Record If...»。

5、（2014 天津理）在以O为极点的极坐标系中，圆«Skip Record If...»和直线«Skip Record If...»相交于A ，B 两点.若△AOB是等边三角形，则«Skip Record If...»的值 _____ 答案：3【知识点】：本题目考查极坐标，直线和圆的基本知识。

【思路方法】：首先将极坐标转化为直坐标：«Skip Record If...»如图所示«Skip Record If...»为等边三角形，«Skip Record If...»«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...».所以«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»6、（2014 重庆理）已知直线«Skip Record If...»的参数方程为«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为参数），以坐标原点为极点，«Skip Record If...»轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：«Skip Record If...»则直线«Skip Record If...»与曲线C的公共点的极径«Skip Record If...»____ 答案：«Skip Record If...»解析：本题考查了参数方程，极坐标方程转化为普通方程，然后两个方程联立求解。

对直线«Skip Record If...»的参数方程为«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为参数）转化为普通方程得«Skip Record If...»，曲线C的极坐标方程为«Skip Record If...»转化为普通方程得«Skip Record If...»由«Skip Record If...»，所以直线«Skip Record If...»与曲线C的公共点的极径«Skip Record If...»7、（2014 湖南理）在平面直角坐标系中，倾斜角为«Skip Record If...»的直线«Skip RecordIf...»与曲线«Skip Record If...»（α为参数）交A，B两点，且| AB| = 2. 以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，则直线«Skip Record If...»的极坐标方程是 _____ 答案： «Skip Record If...»【知识点】坐标系参数方程【考查能力】本题考查直线的参数方程、圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线C参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出直线«Skip Record If...»过圆心，即可求得«Skip Record If...»算出直线«Skip Record If...»的极坐标方程【思路方法】曲线«Skip Record If...»的直角坐标方程：«Skip Record If...»，直线«Skip RecordIf...»方程：«Skip Record If...»因为弦长| AB| = 2，所以直线«Skip Record If...»通过曲线C的圆心，故«Skip Record If...»，直线线«Skip Record If...»方程：«Skip Record If...»，所以直线«Skip Record If...»的极坐标方程：«Skip Record If...»，可化为«Skip Record If...»三、解答题1、（2014 福建）：已知直线«Skip Record If...»的参数方程为«Skip Record If...»，（«SkipRecord If...»为参数），圆C的参数方程为«Skip Record If...»，（«Skip Record If...»为常数）.（I ）求直线«Skip Record If...»和圆C的普通方程；（II ）若直线«Skip Record If...»与圆C有公共点，求实数«Skip Record If...»的取值范围.答案： ( Ⅰ)直线«Skip Record If...»的普通方程为«Skip Record If...»圆C的普通方程为«Skip Record If...»(Ⅱ)因为直线«Skip Record If...»与圆C有公共点, 故圆C的圆心到直线«Skip Record If...»的距离«Skip Record If...»解得 «Skip Record If...»解析：本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.2、（2014 江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，已知直线«Skip Record If...»的参数方程«Skip Record If...»（t是参数），直线«Skip Record If...»与抛物线«Skip Record If...»相交于A，B两点，求线段AB的长。