§1.1.1变化率问题(1)
关于《变化率问题》的说课稿 2
关于《变化率问题》的说课稿宁夏育才中学马晓英关于《变化率问题》的说课稿宁夏育才中学马晓英教材：普通高中数学课程标准实验教科书（人教A版）选修2-2 P2-P4课题：1.1.1变化率问题课时：1课时下面,我将分别从教材分析和教学过程设计两方面对本课进行说明。
一、教材分析1、教材及学情分析微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。
导数概念是微积分的核心概念之一，它有着极其丰富的实际背景和广泛的应用。
本节课的学习内容是“变化率问题”，是普通高中数学课程标准实验教科书（人教A版）选修2-2第一章《导数及其应用》第一课时，内容较平淡、单薄，教学中很难“出新、出奇、出彩”，但本节课的作用举足轻重，是学习导数，进入微积分的“敲门砖”。
如何在教学中构建生动的情境，让学生在探索中求知、在思考中求智、在品味中求美，使课堂充满灵动、精彩，是对教师的悟性和能力的考验。
高中二年级的学生正值身心快速发展的时期，他们思维活跃，乐于探索，敢于探究，但逻辑思维能力尚属经验型。
关于“变化率问题”，学生有着一定的感知基础，比如吹气球的生活经验，物理课本中学过的平均速度，作自由落体运动的物体下落速度的变化等。
在备课过程中我依据学生的年龄特征、心理特征和身心发展规律认真研读教材，依据课程标准来理解、思考和处理，在确定教学目标上，没有简单地把教学目标锁定在完成“教材”上。
依据教材和生活实例，设计一系列探究活动，将教材中单一的、静态的知识转化为多样的、动态的知识。
让学生亲身经历“平均变化率”概念的形成、发展和应用过程，使学生既加深对数学概念本质的理解，也使学生学习的愿望和能力得到提升。
基于上述分析，我确定了本节课的重点与难点：重点：通过对大量实例的分析，让学生亲身经历“平均变化率”概念的形成、发展和应用过程，使学生加深对数学概念本质的理解。
难点：从数值意义和几何意义两个方面理解平均变化率的内涵与思想2、教学目标设计知识与技能（1）理解平均变化率的概念；（2）认识平均变化率的几何意义；过程与方法经历由实例抽象出平均变化率概念的过程，体会由特殊到一般的思想方法，通过例题的学习，学会用定义求平均变化率的方法。
高中导数经典知识点及例题讲解(良心出品必属精品)
§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题自学引导1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身1.函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为ΔyΔx＝________.2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则ΔyΔx＝________，表示函数y ＝f(x)从x 0到x 的平均变化率.1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1答 案2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx名师讲解1.如何理解Δx ，Δy 的含义Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f(x 2)－f(x 1)．2．求平均变化率的步骤求函数y ＝f(x)在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f(x 2)－f(x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2f x 1x 2－x 1.对平均变化率的认识函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sinx 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在[0，π2]上的平均变化率为sin π2－sin0π2－0＝2π.在平均变化率的意义中，f(x 2)－f(x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0.典例剖析题型一 求函数的平均变化率例1 一物体做直线运动，其路程与时间t 的关系是S ＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求t ＝0到t ＝1的平均速度．分析 t ＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS ＝S(1)－S(0)，再求时间改变量Δt ＝1－0＝1.求商ΔSΔt就可以得到平均速度．解 (1)由于v ＝S t ＝3t －t 2t＝3－t.∴当t ＝0时，v 0＝3，即为初速度． (2)ΔS ＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt ＝1－0＝1∴v ＝ΔS Δt ＝21＝2.∴从t ＝0到t ＝1的平均速度为2. 误区警示1t ＝0时，S ＝0.所以初速度是零.变式训练1 已知函数f(x)＝－x 2＋x 的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy)，则ΔyΔx＝( )A ．3B ．3Δx －(Δx)2C ．3－(Δx)2D ．3－Δx解析 Δy ＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝－(Δx)2＋3Δx. ∴Δy Δx ＝x 2＋3Δx Δx ＝－Δx ＋3 答案 D题型二 平均变化率的快慢比较例2 求正弦函数y ＝sinx 在0到π6之间及π3到π2之间的平均变化率．并比较大小．分析 用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．解 设y ＝sinx 在0到π6之间的变化率为k 1，则k 1＝sin π6－sin0π6－0＝3π.y ＝sinx 在π3到π2之间的平均变化率为k 2，则k 2＝sin π2－sin π3π2－π3＝1－32π6＝32－3π.∵k 1－k 2＝3π－32－3π＝33－1π>0，∴k 1>k 2.答：函数y ＝sinx 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为32－3π，且3π>32－3π.变式训练2 试比较余弦函数y ＝cosx 在0到π3之间和π3到π2之间的平均变化率的大小．解 设函数y ＝cosx 在0到π3之间的平均变化率是k 1，则k 1＝cos π3－cos0π3－0＝－32π.函数y ＝cosx 在π3到π2之间的平均变化率是k 2，则k 2＝cos π2－cosπ3π2－π3＝－3π.∵k 1－k 2＝－32π－(－3π)＝32π>0，∴k 1>k 2.∴函数y ＝cosx 在0到π3之间的平均变化率大于在π3到π2之间的平均变化率．题型三 平均变化率的应用例3 已知一物体的运动方程为s(t)＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．分析 由物体运动方程―→写出位移变化量Δs ―→ΔsΔt解 物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量 Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt)2＋4Δt.物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为 Δs Δt ＝2＋4ΔtΔt＝4＋Δt.变式训练3 一质点作匀速直线运动，其位移s 与时间t 的关系为s(t)＝t 2＋1，该质点在[2,2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt 的取值范围．解 质点在[2,2＋Δt]上的平均速度为v －＝s 2＋Δt s 2Δt＝[2＋Δt 2＋1]22＋1Δt＝4Δt t 2Δt＝4＋Δt.又v －≤5，∴4＋Δt ≤5. ∴Δt ≤1，又Δt>0，∴Δt 的取值范围为(0,1].§ 1.1 函数的单调性与极值1.1.2 导数的概念自学引导1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景．2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．3．掌握函数f(x)在某一点x 0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x 0处的导数.课前热身1.瞬时速度．设物体的运动方程为S ＝S(t)，如果一个物体在时刻t 0时位于S(t 0)，在时刻t 0＋Δt 这段时间内，物体的位置增量是ΔS ＝S(t 0＋Δt)－S(t 0)．那么位置增量ΔS 与时间增量Δt 的比，就是这段时间内物体的________，即v ＝S t 0＋Δt S t 0Δt .当这段时间很短，即Δt 很小时，这个平均速度就接近时刻t 0的速度．Δt 越小，v 就越接近于时刻t 0的速度，当Δt →0时，这个平均速度的极限v ＝lim Δt →0ΔS Δt ＝lim Δt →0S t 0＋Δt S t 0Δt就是物体在时刻t 0的速度即为________． 2．导数的概念．设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近0时，比值Δy Δx ＝f x 0＋Δx f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，这个常数A 就是函数f(x)在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x＝x0.用符号语言表达为f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝________1.平均速度瞬时速度答案 2.limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx名师讲解1.求瞬时速度的步骤(1)求位移增量ΔS＝S(t＋Δt)－S(t)；(2)求平均速度v＝ΔS Δt；(3)求极限limΔt→0ΔSΔt＝limΔt→0S t＋Δt S tΔt；(4)若极限存在，则瞬时速度v＝limΔt→0ΔS Δt.2．导数还可以如下定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x 0处的瞬时变化率是limΔx→0f x0＋Δx f x0Δx ＝limΔx→0ΔyΔx.我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x0＋Δx f x0Δx.3．对导数概念的理解(1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些量的具体意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念，所以我们应很自然的理解这个概念的提出与其实际意义．(2)某点导数即为函数在这点的变化率．某点导数概念包含着两层含义：①lim Δx →0ΔyΔx存在，则称f(x)在x ＝x 0处可导并且导数即为极限值；②lim Δx →0ΔyΔx不存在，则称f(x)在x ＝x 0处不可导．(3)Δx 称为自变量x 的增量，Δx 可取正值也可取负值，但不可以为0.(4)令x ＝x 0＋Δx ，得Δx ＝x －x 0，于是f ′(x 0)＝lim x →xf x f x 0x －x 0与定义中的f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx f x 0Δx意义相同．4．求函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的步骤 (1)求函数的增量：Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)；(2)求平均变化率：Δy Δx ＝f x 0＋Δx f x 0Δx；(3)取极限，得导数：f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx.典例剖析题型一 物体运动的瞬时速度例1 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t 秒时高度为s(t)＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．分析 先求出Δs ，再用定义求ΔsΔt ，当Δt →0时的极限值．解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt)－12g(t 0＋Δt)2－(v 0t 0－12gt 20)＝(v 0－gt 0)Δt －12g(Δt)2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g ·Δt.∴当Δt →0时，ΔsΔt→v 0－gt 0.故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.规律技巧 瞬时速度v 是平均速度v 在Δt →0时的极限.因此，v ＝lim Δt →0v ＝lim Δt →0ΔsΔt.变式训练1 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝5t －t 2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度。
高中数学导数之变化率问题
课题：§1.1.1变化率及导数的概念三维目标： 1、 知识与技能⑴理解平均变化率的概念；⑵了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；⑶理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ⑷会求函数在某点的导数或瞬时变化率； ⑸理解导数的几何意义。
2、过程与方法⑴通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；⑵通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；⑶通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情态与价值观⑴通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想；⑵通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念，从而激发学生学习数学的兴趣； ⑶通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成，导数及几何意义的理解。
教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数及几何意义的理解。
教学过程：一、引入课题：为了描述现实世界中运动、过程等变化的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度。
二、讲解新课：【探究1】气球膨胀率同学们，相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢, 从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是34()3V r r π=，如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么()r V 。
用一元二次方程解决增长率问题含答案
用一元二次方程解决增长率问题含答案1.解决增长率问题的一元二次方程1.1 平均变化率问题安徽中考题目：一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元。
设两次降价的百分率都为x，则x满足(D)16(1+2x)=25.阳泉市平定县月考题目：共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆。
设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为(A)1000(1+x)2=1000+440.巴中中考题目：巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售。
若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率。
解：设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得5000(1-x)2=4050.解得x=10%。
广东中考题目：某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元。
求3月份到5月份营业额的月平均增长率。
解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得400×(1+10%)(1+x)2=633.6.解得x=20%。
1.2 市场经济问题泰安中考题目：某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系。
每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元。
要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是(A)(3+x)(4-0.5x)=15.达州中考题目：新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每售出1件，价格就下降0.5元。
若该童装原价为10元/件，则在售完全部存货后，该童装的平均售价为(A) 9.5元/件。
为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，每件童装盈利40元。
变化率问题举例
变化率问题举例前面我们从实际问题中抽象出了导数的概念，并利用导数的定义求一些函数的导数，这当然是很重要的一方面, 但另一方面，我们还应使抽象的概念回到具体的问题中去,在科学技术中常把导数称为变化率. 因为, 对于一个未赋予具体含义的一般函数)(x f y =来说x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00是表示自变量x 在以0x 与x x ∆+0为端点的区间中每改变一个单位时，函数y 的平均变化量. 所以把x y∆∆称为函数)(x f y =在该区间中的平均变化率；把平均变化率当0→∆x 时的极限)('0x f 或0x x dx dy=称为函数0x 处的变化率. 变化率反映了函数y 随着自变量x 在0x 处的变化而变化的快慢程度. 显然，当函数有不同实际含义时，变化率的含义也不同. 如曲线上某一点处切线的斜率是曲线的纵坐标y 对横坐标x 的变化率；瞬时速度是物体位移s 对时间t 的变化率.下面我们通过实例来说明变化率在实际问题中的应用.一、变化率在工程技术上的几种常见类型例1 （电流模型）设在[0，t]这段时间内通过导线横截面的电荷为)(t Q Q =，求0t 时刻的电流.解 如果是恒定电流, 在t ∆时间段内通过导线横截面的电荷为Q ∆，那么它的电流为 t Q i ∆∆==时间电荷电流如果电流是非恒定电流，就不能直接用上面的公式求0t 时刻的电流，此时 t t Q t t Q t Q i ∆-∆+=∆∆=)()(00称为在t ∆这段时间内的平均电流.当t ∆很小时,平均电流i 的极限(如果极限存在),就称为时刻0t 的电流)(0t i ，即 )(')()(lim lim )(0000000t Q dt dQ t t Q t t Q t Q t i t t t t ==∆-∆+=∆∆==→∆→∆例2 （细杆的线密度模型）设一根质量非均匀分布的细杆放在x 轴上，在[0，x]上的质量m 是x 的函数m=m(x)，求杆上0x 处的线密度.解 如果细杆质量分布是均匀的, 长度为x ∆的一段的质量为m ∆，那么它的线密度为x m ∆∆==长度质量ρ O如果细杆是非均匀的，就不能直接用上 面的公式求0x 处的线密度（如图2—3）. 图2—3 设细杆[0，0x ]的质量m=m(x 0),在[0，x x ∆+0]的质量)(0x x m m ∆+=，于是在x ∆这段长度内，细杆的质量为)()(00x m x x m m -∆+=∆平均线密度为x x m x x m x m ∆-∆+=∆∆=)()(00ρ 当x ∆很小时，平均线密度ρ可作为细杆在0x 处的线密度的近似值，x ∆越小近似的程度越好.我们令0→∆x ，细杆的平均线ρ线的极限（如果极限存在），就称为细杆在0x 处的线密度，即)(')()(lim)(000000x m dx dm x x m x x m x x x x ==∆-∆+==→∆ρ例3 例3 （化学反应速度模型）在化学反应中某种物质的浓度N 和时间t 的关系为N=N(t)求在t 时刻该物质的瞬时反应速度.解 当时间从t 变到t t ∆+时，浓度的改变量为)()(t N t t N N -∆+=∆此时，浓度函数的平均变化率为t t N t t N t N ∆-∆+=∆∆)()(令0→∆t ，则该物质在t 时刻时瞬时反应速度为t t N t t N t N t N t t ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )('00二、变化率在经济分析中的应用（一）边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，一般指经济函数的变化率. 利用导数研究经济变量的边际变化的方法，称为边际分析法.边际分析法是经济理论中的一个重要方法.1．1．边际成本 在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的成本. 设某产品产量为x 单位时所需的总成本为C=C(x)，称C(x)为总成本函数，简称成本函数. 当产量由x 变为x x ∆+时，总成本函数的改变量为)()(x C x x C C -∆+=∆这时，总成本函数的平均变化率为x x C x x C x C ∆-∆+=∆∆)()(它表示产量由x 变到x x ∆+时，在平均意义下的边际成本.当总成本函数C （x ）可导时，其变化率x x C x x C x C x C x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(l i m l i m )('00表示该产品量为x 时的边际成本，即边际成本，即边际成本为成本函数关于产量的导数.2．2．边际收入 在经济学中，边际收入定义为多销售一个单位产品所增加的销售收入.设某产品的销售量为q 时的收入函数为)(q R R =.则收入函数关于销售量q 的导数就是该产品的边际收入)('q R .3．边际利润 设某产品的销售量为q 时的利润函数为)(q L L =，当)(q L 可导时，称)('q L 为销售量为q 时边际利润，它近似等于销售量为q 时再多销售一个单位产品所增加（或减小）的利润.由于利润函数为收入函数与总成本函数之差，即),()()(q C q R q L -=由导数运算法则可知).(')(')('q C q R q L -=即边际利润为边际收入与边际成本之差.例4 设某产品产量为q （单位：吨）时的总成本函数（单位：元）为.5071000)(q q q C ++=求：(1) 产量为100吨时的总成本；(2) 产量为100吨时的平均成本；(3) 产量从100吨增加到225吨时，总成本的平均变化率；(4) 产量为100吨时，总成本的变化率（边际成本）.解（1）产量为100吨时的总成本为22001005010071000)100(=+⨯+=C （元）.（2）产量为100吨时的平均成本为22100)100()100(==C C （元/吨）.（3）产量从100吨增加到225吨时，总成本的平均变化率为912522003325100225)100()225(=-=--=∆∆C C q C （元/吨）.（4）产量为100吨时，总成本的变化率即边际成本为|100)'5071000()100('=++=q q q C= 5.9257|100=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=q q （元）.这个结论的经济含义是：当产量为100吨时，再多生产一吨所增加的成本为9.5元. 例5 设某产品的需求函数为p q 5100-=，求边际收入函数以及20=q 、50和70时的边际收入.解 收入函数为pq q R =)(，式中的销售价格p 需要从需求函数中反解出来，即)100(51q p -=，于是收入函数为,)100(51)(q q q R -=边际收入函数为 ),2100(51)('q q R -=.8)70(',0)50(',12)20('-===R R R由所得结果可知，当销售量即需求量为20个单位时，再增加销售可使总收入增加，再多销售一个单位产品，总收入约增加12个单位；当销售量为50个单位时，在增加销售总收入不会再增加；当销售量为70个单位时，再多销售一个单位产品，反而使总收入大约减少8个单位.（二）弹性分析弹性概念是经济学中的另一个重要概念, 用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度, 或者说一个经济变量变动百分之一时会使另一个经济变量变动百分之几.弹性分析也是经济分析中常用的一种方法,主要用于对生产、供给、需求等问题的研究.给定变量，它在某处的改变量称作绝对改变量.给定改变量与变量在该处的值之比称作相对改变量.定义 对于函数)(x f y =，如果极限x x y y x //l i m 0∆∆→∆存在，则)('lim //lim00x f y x dx dy y x y x x y x x y y x x =⋅=⋅∆∆=∆∆→∆→∆ 称作函数)(x f 在点x 处的弹性，记作E ，即.dx dy y x E =从定义可以看出, 函数)(x f 的弹性是函数相对改变量与自变量相对改变量比值的极限，它是函数的相对变化率，或解释成当自变量变化百分之一时函数变化的百分数.由需求函数)(p Q Q =可得需求弹性为.dp dQ Q p E Q =需求弹性Q E 表示某商品需求量Q 对价格p 的变动的反应程度. 根据经济理论，需求函数是单调减少函数，所以需求弹性一般为负值.利用供给函数)(p S S =，同样定义供给弹性.dp dS S p E S =例6 例6 设某商品的需求函数为,300002.0p e Q -= 求价格为100时的需求弹性, 并解释其经济含义.解 )'3000(300002.002.0p p Q e e p dp dQ Q p E --⋅==)02.0()3000(300002.002.0-⋅⋅=--p p e e p p 02.0-= 所以 .2)100(-=Q E它的经济意义是：当价格为100时，若价格增加1%，则需求减少2%.。
高中数学变化率问题导数的概念(老师版)
变化率的“视觉化”， %越大，曲线y = f(x)在区间［X 1, X 2］上越“陡峭”，反之亦然 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数 则fx2― fx1X 2 — X 1知识点二瞬时速度与瞬时变化率 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s = s(t)描述，设 A 为时间改变量，在t o + A t 这段时间内，物体的位移 (即位置)改变量是A s = s(t o ^ At) — s(t 0)，那么位移改变量 A s 与时间改变量A t 的比就是这段时间内物体的平均速度s s t o + A t — s t oV ，即 V = A t = A t1.1.1 变化率问题1.1.2导数的概念［学习目标］1•理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念 .2.掌握函数平均变化率的求法 3掌握导数的概念，会用导 数的定义求简单函数在某点处的导数 . 知识梳理自主学习知识点一函数的平均变化率 1•平均变化率的概念 设函数y = f(x), X 1, X 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f X2 — f X1我们把这个式子称 X 2 — X 1 为函数y = f(x)从X 1到X 2的平均变化率，习惯上用 A x 表示X 2 — X 1，即A x = X 2— X 1，可把A x 看作是相对于X 1的一个 “增量”，可用 X 1+ A x 代替X 2；类似地，A y = f(X 2)— f(X 1).于是，平均变化率可以表示为A y A2•求平均变化率 求函数y = f(x)在［*, x 2］上平均变化率的步骤如下: (1)求自变量的增量 A x = X 2— X 1 ； ⑵求函数值的增量 A y = f(x 2)- f(x 1); ⑶求平均变化率A x X 2 — X 1 A y f X 2 — f X 1 f X 1 + A x — f X 1 A x 思考 (1)如何正确理解 A x , A y? (2)平均变化率的几何意义是什么？ 答案(1) A 是一个整体符号，而不是 △与X 相乘，其值可取正值、负值，但 时0 ；A y 也是一个整体符号，若 A x=X 1 — x 2，贝U A y = f(X 1)— f(X 2)，而不是 A y = f(X 2)— f(X 1), A y 可为正数、负数，亦可取零(2)如图所示: y = f(x)在区间［X 1, X 2］上的平均变化率 “数量化”，曲线陡峭程度是平均 y = f(x)图象上有两点 A(X 1, f(X 1)) , B(X 2, f(X 2)),物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻 t o 的速度，即t o 时刻的瞬时速度，用 v 表示，物体在t o 时刻的瞬时速度 v 就是运动物体在t o 到t o +A t 这段时间内的平均变化率 s+弓+_在A t T 0时的极限，即v = limA ss t o + A t — s t o 一 一△t = ym o 石 •瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率 .思考(1)瞬时变化率的实质是什么？(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？ 答案⑴其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于 o 时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢 •⑵①区别：平均变化率刻画函数值在区间［X 1, X 2］上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在 x o 点处变化的快慢；②联系：当A X 趋于o 时，平均变化率A y 趋于一个常数，这个常数即为函数在 x o 处的瞬时变化率，它是一个固定值 • 知识点三导数的概念函数y = f(x)在x = x o 处的导数一般地，函数y = f(x)在x = xo 处的瞬时变化率是 |im o 多=妁。
变化率 问题
(x1, f(x1)) A
x O x1 x2
问题2
这是某市2007年3月18日至4月20日每天最高气温 的变化图，
T (℃ )
C (34, 33.4) 30
20
10
B (32, 18.6)
A (1, 3.5) 10 20 30 34 t(d)
2 0 2
t=1到t=32与t=32到t=34这两段时间,哪段气温变化大?
例题讲解
小远从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试分别计算小远从出生到第3个月与第6个月到 第12个月体重的平均变化率。 比较这两个时间段小远体重变化的快慢情况。
W(kg)
11 8(月)
例2 在高台跳水运动中,运动
员相对于水面的高度h(单位：
m)与起跳后的时间t（单位：s）
“形” 曲线“陡峭”程度
2.平均变化率的几何意义. 曲线上A、B两点连线的斜率。
“数” 平均变化率
已知函数 f ( x) x 2 ，分别计算 f ( x) 在下列区 间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。
4
3 2.1
2.001
34 t(天)
（1）t=32到t=34这两天的温差达到了多少？
(2)t=1到t=32与t=32到t=34这两段时间,哪段气温变化大?
定义:
f ( x2 ) - f ( x1 ) 平均变化率: 式子 x2 - x1
称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 分别计算运动员在0到0.5秒时 间段,1秒到2秒时间段,以及 65 时间段内的平均 0到 秒 49 速度. (1)运动员在这段时间里是静止的吗?
变化率问题
第三章 导数及其应用§3.1.1变化率问题教学目标：（一）知识与技能目标（1）理解掌握平均变化率的的概念，会用平均变化率解决一些实际问题；（2）平均变化率的几何意义.（二）过程与方法目标通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻 画变量变化快慢程度的一种数学模型；体会发现问题，分析问题，解决问题的过程；（三）情感态度与价值观感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问 题、解决问题的能力．教学重点：平均变化率的概念教学难点：平均变化率概念的形成过程 教学过程：（一）问题情境，引入课题（以姚明的身高为背景引入）问题1 篮球巨星姚明身高2.26，在他身高发展过程中有这样一段曲线：观察并思考： （1）图形有什么变化趋势？ （2）他在哪一个年龄段内身高变化最快？（3）从图上我们只能观察身高变化的一个大致趋势，华罗庚先生曾说过：形缺数时难入微，那么如果从数的角度，该如何刻画他的身高变化快慢呢？过渡： 其实前人早就做了这方面的研究，而且早在17世纪就已形成了系统的理论，这就是“微积分”理论．微积分是数学发展史上的继欧式几何后的又一划时代的伟大创造，恩格斯是这样评价微积分的：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程、运动”，称微积分是“人类精神的最高胜利”．对于微积分的创立，有两位2.26 2.12 ● ● ● ● ● ● 年龄身高 4 710 13 16 ● 19 22 0.8 1.61 ● ● ●● ● ● ●科学家做出了重大的贡献：牛顿和莱布尼兹。
今天我们一起来学习微积分的基础：导数的概念第一课——变化率问题．（板书课题） 变化率问题主要是研究变量变化快慢程度（二）实例分析，探究概念 1、身高变化率我们先来看看有没有什么办法解决问题1中的最后一个问题：如何从数的角度刻画他身高 变化快慢，也就是身高的变化率？刚才通过我们对图形的观察发现，在[13，16]里曲线最陡，其他两段比较平缓如果我们将这段曲线近似的看成直线段，我们是如何刻画直线的倾斜程度的？——直线的斜率，那么我们是否可以用同样的方法来刻画一下身高的变化率呢？计算：在[13，16]这个年龄段里，身高的变化率：17.0131661.112.2=--=年龄的差值身高的差值（米/年） 那么这个年龄段的最陡，比值算出来是0.17（米/年），其他两端稍微平缓一些，也请同学们计算一下[4,13]这个年龄段里，比值是09.04-138.0-61.1=（米/年） [16,22]这个年龄段里，比值是023.061-22.122-.262≈（米/年） 从三个比值可以看出，13—16岁这个年龄段比值最大，从图形上看这个是最陡的，所以我们从形和数两个方面都予以了刻画，形上，这个年龄段最陡；数上，这个年龄段比值最大。
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前提测试：
变化量这个概念你是如何理解的？教学内容：
(一)导入新课
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，
随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加
速度等；
二、求曲线的切线；
三、求已知函数的最大值与最小值；
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小) 值等冋题最般、最有效的工具。
导数研究的冋题即变化率冋题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.
(二)教授新课
(一)问题提出
问题1气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢•从数学角度，如何描述这种现象呢？
气球的体积V单位：L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
4 3
V (r)=—叮
3
如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V) =3——
\ 4兀
I3V
分析：r(V)=3厂，
\ 4江
⑴ 当V从0增加到1时，气球半径增加了r(1) - r(0pt 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为r(1) - "叽0.62(dm/ L)
1-0
⑵ 当V从1增加到2时，气球半径增加了r(2) —r(1)賂0.16(dm)
气球的平均膨胀率为r(2)一r(1)吒0.16(dm/L)
2-1
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考：当空气容量从V增加到\h时，气球的平均膨胀率是多少?
rM) -W)
V2 - y
问题2高台跳水
在高台跳水运动中
，运动员相对于水面的高度h(单位：n)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h(t )= -4.9 t2+6.5 t+10.如何用运动
员在某些时间段内的平均速V 度粗略地描述其运动状态？
思考计算：0 Et兰0.5和1兰t兰2的平均速度V
在0 兰t 兰0.5这段时间里，V = h(0.5)—h(0) =4.05(m/s)；
0.5-0
在1 <t <2这段时间里，v = h(2)_h(1)=_8.2(m/s)
2-1
65
探究：计算运动员在0兰t兰——这段时间里的平均速度，并思考以下问
49
题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9 t2+6.5t+10的图像，结合图形可知,
65
h(77)=h(0),
49
65
_ h(扃)-h(0)
所以v = --------
65-0
49
65
一这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情
49
并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运
f (x)从X1到X2的平均变化率2 •若设Ax =X2 - X[,也f = f (x2 ) 一
f(X[)(这里△x 看作是对于X1
的一个"增量”可用X计心X代替X2,同样也f = K y = f (x2) - f (x-1 ))
虽然运动员在0^t
况是运动员仍然运动，动
员的运动状态.
(二)平均变化率概念：
1.上述问题中的变化率可用式子
恨厂宓)表示，称为函数
X2
= 0(s/ m),
3
.则 平 均 变 化 率 为 ■y X ■:f
X
f (X 2) -f (X 1 ) f (x^ . X) - f (X i )
X 2 -X i L X
思考：观察函数f (x )的图象
三.典例分析
例1.已知函数f (x )= -x 2 x 的图象上的一点 A(-1,-2)及临近
点 B(-1 x -2 ：y),则勺二
L X
-2 :y = _(_1 \x)2 (_1 X )，
2
勺=-(-1 3) (-1 "2 =3_,x
=x ；_x
2 2 人“丄A \2 2才…也y (X o 中A x) -X g y = (x o x)「X 。
，所以 A x Z
2 2 2
-X 。
+2沧4 + 4 -勺=2X 0
2
所以y =x 在x=x 。
附近的平均变化率为 2x^ x
(三)巩固练习
1.质点运动规律为 s =t 2 3，则在时间(3,3 •氏)中相应的平均速度 例
2. 求y 二x 2在x = x 0附近的平均变化
率。
解: 解: 平均变化率J (X 2)- f (Xl)表示什么？
X x 2。