2. 第二讲 线性子空间
V1 k1 x1 kn xn ki K , i 1, 2, (或张成)的子空间,记为
L x1 , x2 , , xn k1 x1 kn xn
是生成的子空间的基
如果 x1 , x2 , , xm 则 x1 , x2 , , xm
若为Rn的子空间，求出其维数与一组基. 解：V1 、V3是Rn的子空间， V2不是Rn的子空间. 事实上，V1 是n元齐次线性方程组 ① 的解空间. 所以，维V1 ＝n－1，①的一个基础解系
x1 x2 xn 0
1 (1, 1, 0, , 0), 2 (1, 0, 1, 0, , 0), , n1 (1, 0, , 0, 1) 就是V1 的一组基.
故 kx ly V1
（加法封闭）
＃
n元齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 a x a x a x 0 s2 2 sn n s1 1
矩阵的值域
设 A C
m n
R( A ) L a1 , a2 , , an y | y Ax , x C
的n个列向量为 a1 , a2 , , an 则
n
是 Cn 的子空间，称为矩阵A的值域，或列空间 矩阵的零空间（核空间） 设 A C
m n
是 Cn 的子空间，称为矩阵A的零空间，其维 数为A的零度，记为 n( A )
m n 是线性无关组，
零子空间就是零元素生成的子空间
例：设V为数域K上的线性空间， x1 , x2 , , xm V
V1 {k1 x1 k2 x2 km xm ki K , i 1,2, , m }
则V1关于V的运算作成V的一个子空间． 证： x V1 x k1 x1 k 2 x2 k m xm
包含在V1和V2中 的最大的子空间 子空间的交与和的有关性质
1、设 V1 ,V2 ,W 为线性空间V的子空间
1）若 W V1 ,W V2 , 则 W V1 V2 . 2）若 V1 W ,V2 W , 则 V1 V2 W .
2、设 V1 ,V2 为线性空间V的子空间，则以下三
同样可以得到
若 A R
mn
rankA 2,
T
nA
T
0
，有
T
rankA n A n n A n A
nm
定理： 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 { a | a V1 且a V2 }
也为V的子空间，称之为V1与V2的交空间.
而在 V2中任取两个向量 x , y ，设
x ( x1 , x 2 , , x n ), y ( y1 , y2 , , yn )
则 x y ( x1 y1 , x2 y2 , , xn yn )
但是 ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) ( xn yn ) ( x1 x2 xn ) ( y1 y2 yn ) 1 1 2
x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) V1 V2 kx k ( x1 x2 ) kx1 kx2 V1 V2 , k K
子空间的交满足交换率与结合率
V1 V2 V2 V1 , (V1 V2 ) V3 V1 (V2 V3 )
V1 V2 {( a, 0, 0), (0, b, 0) a, b R} {( a, b, 0) a, b R 且a, b中至少有一是0}
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 (1, 0, 0), (0,1, 0) V1 V2 但是 (1, 0, 0) (0,1, 0) (1,1, 0) V1 V2
kx ( kx1 , kx2 , , kxn1 , 0) V3
故，V3为Rn的一个子空间，且维V3 ＝n－1 ，
i (0, , 0,1, 0 , 0), i 1, 2, , n 1
i
就是V3的一组基.
设 x1 , x2 , , xn 是数域K上的线性空间V的 一组向量，所有可能的线性组合的集合
定理： 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 { x1 x2 | x1 V1 , x2 V2 }
也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间. 事实上， 0 V1 , 0 V2 , 0 0 0 V1 V2 任取 x , y V1 V2 , 设 x x1 x2 , y y1 y2 , 其中，x1 , y1 V1 , x2 , y2 V2 , 则有
条件等价: 1) V1 V2 包含V1和V2中的 最小的子空间
2) V1 V2 V1 3) V1 V2 V2
x y V2 ,
故V2不是Rn的子空间.
下证V3是Rn的子空间.
首先 0 (0, 0, , 0) V3 , V3
其次， x , y V 3 , k K , 设 x ( x1 , x 2 , , x n 1 , 0), y ( y1 , y2 , , yn 1 , 0) 则有 x y ( x1 y1 , x2 y2 , , xn1 yn1 , 0) V3
N ( A ) x | Ax 0, x C
的n个列向量为 a1 , a2 , , an 则
n
1 0 1 已知 A 求A的秩和零度 0 1 1 显然A的秩为2，即 rankA 2 又由 Ax 0 ，可以解得 T 可以得到 x 1 1 1 t n A 1
矩阵分析与应用
第二讲 线性子空间
2011-9-28
本讲主要内容
线性子空间的定义 线性子空间的性质 线性子空间的交 线性子空间的和 子空间交与和的有关性质
线性子空间
设V1是数域K上的线性空间V上一个非空子 集合，且对已有的线性运算满足以下条件： 1. 如果 x , y V1 ，则 x y V1 ； 2. 如果 x V1 , k K ， kx V1 则称V1是V的线性子空间或子空间 线性子空间也是线性空间 非零线性空间的平凡子空间：线性空间自身 以及零空间 线性子空间的维数小于等于线性空间的维数
的全部解向量所成集合V对于通常的向量加法 和数量乘法构成的线性空间是n维向量空间 Rn 的一个子空间，称V为方程组的解空间
方程组的解空间W的维数＝n－秩(A)， 方程组的一个基础解系就是解空间V的一组基
c11 x1 c x2 a a12 c a11snx x c0 sn 1, s 1 x s 1 c1 n xn 11 1 12 x2 a21 x1 c xx c c0 a22 x22 a sn s n 22 2, s 1 x s 1 c2 n xn 22x a x a x ca xx 0 s2 2 s1 1 sssn s n c s , s 1 x s 1 c sn xn 变形后， 用n-s组数表示自由未知量 x s 1 , , xn
子空间的和满足交换率与结合率
V1 V2 V2 V1 ,
(V1 V2 ) V3 V1 (V2 V3 )
注意：
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如
V1 {( a, 0, 0) a R}, V2 {(0, b, 0) b R}
皆为R3的子空间，但是它们的并集
事实上， 0 V1 , 0 V2 , 0 V1 V2 任取 x , y V1 V2 , 即 x , y V1 , 且x , y V2 , 则有 x y V1 , x y V2 , x y V1 V2 同时有 kx V1 , kx V2 , kx V1 V2 , k K 故 V1 V2 为V的子空间.
V1 {( x1 , x2 , , xn ) x1 x2 xn 0, xi R} V2 {( x1 , x2 , , xn ) x1 x2 xn 1, xi R} V3 {( x1 , x2 , , xn1 , 0) xi R, i 1, 2, , n 1}
线性子空间V1也是线性空间 证明：必要性由定义直接得出
充分性：各运算律已在V中定义，我们只需证明
0 V1 x V1 , x V1 实际上， 0 0 x V1
x V1 , 1 K
x 1 x V1
所以线性子空间V1也是线性空间
V1是数域K上的线性空间V上一个非空子空间
x, y V1 , k , l K 有 kx ly V1
充分性:设
k=l=1，x , y V1 x y V1
取l=0， x V1 , k K kx V1
必要性:
（数乘封闭） x V1 , k K kx V1 y V1 , l K ly V1 （数乘封闭）
x1 , x2 , , xm 线性表出，把它添加进去，则 x1 , x2 , , xm , xm 1 必定是线性无关的．
由定理， 子空间 L( x1 , x2 , , xm 1 ) 是m＋1维的． 因 n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k， 由归纳假设，L( x1 , x2 , , xm 1 ) 的基 x1 , x2 , , xm , xm 1 可以扩充为整个空间Vn 的一组基．由归纳原理得证.
n元齐次线性方程组
1,0, ,0
0,1, ,0
得到n-s个解向量 11 , 12 , , 1s 1,0, ,0
线性子空间
证 证 明与 命题5类 似,略 .
例3 令 A ∈ F n×n , A2 = A. 求证 F n = R( A) ⊕ N ( A).
证 (1) F n = R( A) + N ( A) :
α ∈ F ⇒ α = Aα + (α − Aα );
(证 明 略)
例1 令V1 = span[e1 , e 2 ], V2 = span[e 2 , e 3 ] ≤ R 3 , 则 V1 ∩ V2 = {ke 2 | k ∈ R}, V1 + V2 = R 3 .
注意 : dimV1 + dimV2 = 2 + 2 = 4 ≠ dim(V1 + V2 ) = 3.
(2) 同样可以定义V1 ⊕ L ⊕ Vm .
命题4
令V1 , V2 ≤ V , 则下列各项等价 :
(1) V1 ∩ V2 = {0}. (2) V1 ⊕ V2 . (3) 若 α 1 , ⋅ ⋅⋅, α m 和 β 1 , ⋅ ⋅⋅, β n 分别为V1和 V2的基, 则 α 1 , ⋅ ⋅⋅, α m , β 1 L , β n 为 V1 + V2 的基 ⋅ (4) dim(V1 + V2 ) = dimV1 + dimV2 . 通过(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1)完成证明.
span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ] ≡ {k1 x1 + ⋅ ⋅ ⋅ + km xm | k1 , ⋅ ⋅⋅, kn∈ F } 为子空间, 称 x1 , ⋅ ⋅⋅, xm 的生成子空间.
span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ]也用 L[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ] 表示.
2线性子空间与子空间的分解
设欧氏空间 R n 中的基为 1 , 2 , n ，欧氏空间中 有两个向量
xii , y j j
i 1 i 1
n
n
计算 , 的内积
( , ) ( xi i , y j j ) xi ( i , j ) y j
i 1 j 1 i 1 j 1
, V ，都有一个实数 ( , ) 与之对应，且满足
(1) ( , ) ( , ) ; (2) ( , ) ( , ) ( , ) ; (3) (k , ) k ( , ) ; (4) ( , ) 0, 当且仅当 0 时 ( , ) 0 . 则称 ( , ) 为 与 的内积。定义了内积的实线性空间 V 称为 内积空间， 又称欧几里得空间或 Euclid 空间 （简称欧氏空间）
矩阵AT的零空间
N ( A ) { y | A y 0, y R }
T T m
矩阵A的左零空间
例3 矩阵A的四个子空间（续）
n 矩阵A的值域（列空间） R( A) { y | y Ax, x R }
矩阵A的零空间
N ( A) {x | Amn x 0, x Rn }
N(A) ⊥ R(AT)
N(AT) ⊥ R(A)
1 , 2 ,..., m 定理 设W是Vn的一个m维子空间， 是W的一个基，则这m个向量必定可扩充为 Vn的基.
二、子空间的分解 定理 如果V1,V2是数域K上线性空间V的两 个子空间，那么它们的交V1 ∩V2也是V的子 空间；它们的和V1 +V2也是V的子空间。
T T m
矩阵A的行空间 R( AT ) {z | z AT y, y Rm} 矩阵A的左零空间 N ( A ) { y | A y 0, y R } 设矩阵A的秩为r, 即rank(A)=r,则 dim(R(A))=r, dim(N(A))=n-r; dim(R(AT))=r, dim(N(AT))=m-r; dim(N(A)) - dim(N(AT))= n - m.
2. 第二讲 线性子空间
由定理, 子空间 L( x1 , x2 , 由归纳假设,L( x1 , x2 ,
因 n-(m+1)=(n-m)-1=(k+1)-1=k,
, xm +1 )的基 x1 , x2 , , x m , x m +1
可以扩充为整个空间Vn 的一组基.由归纳原理得证.
矩阵的值域 m×n 设 A ∈ C 的n个列向量为 a1 , a2 ,
+ kn xn } ki ∈ K , i = 1, 2, , xn ) = {k1 x1 + + kn xn }
,n
L ( x1 , x2 ,
, xn 生成(或张成)的子空间,记为
如果 x1 , x2 , 则 x1 , x2 ,
, xm
m < n 是线性无关组,
, xm
是生成的子空间的基
零子空间就是零元素生成的子空间
( γ s1 , γ s 2 ,
, γ ss ,0,0,
,1)
这个解向量组就是方程组的解空间的基
判断Rn的下列子集合哪些是子空间:
V1 = {( x1 , x2 , V2 = {( x1 , x2 , V3 = {( x1 , x2 , , xn ) x1 + x2 + , xn ) x1 + x2 + + xn = 0, xi ∈ R} + xn = 1, xi ∈ R} , n 1}
= L( x1 , x2 ,
4,维数公式 (定理1.6)
设 V1 ,V2为线性空间V的两个子空间,则
dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 ∩ V2 )
线性子空间
线性子空间一、线性子空间的概念Def1 数域P 上的线性空间V 的一个非空子集合W 称为V 的一个线性子空间（或简称子空间），如果W 对于V 的两种运算也构成数域P 上的线性空间.(1.是子集 2.是线性空间)注：1.线性子空间也是数域P 上的线性空间，也有基和维数的概念2.任一线性子空间的维数不能超过整个空间的维数定理1 如果线性空间V 的一个非空集合W 对于V 两种运算是封闭的，那么W 就是一个子空间.介绍几类简单的线性子空间：例 1 在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间.例2 线性空间V 本身也是V 的一个子空间.在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时叫做V 的平凡子空间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间.例3 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间. 例4 n x P ][是线性空间][x P 的子空间.例5 在线性空间n P 中，齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （*） 的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间.解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于r n -，其中r 为系数矩阵的秩.（对加法和数乘仍然封闭）注：1.（*）的解空间W 的维数=n-秩（A ），A 为对应的系数矩阵2．（*）的一个基础解系就是W 的一组基。
二、一类重要的子空间——生成子空间设r ααα,,,21 是线性空间V 中一组向量，这组向量所有可能的线性组合r r k k k ααα+++ 2211所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是V 的一个子空间，这个子空间叫做由r ααα,,,21 生成的子空间，记为),,,(21r L ααα .也记为span （…）由子空间的定义可知，如果V 的一个子空间包含向量r ααα,,,21 ，那么就一定包含它们所有的线性组合，也就是说，一定包含),,,(21r L ααα 作为子空间.在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到.事实上，设W 是V 的一个子空间，W 当然也是有限维的.设r ααα,,,21 是W 的一组基，就有),,,(21r L W ααα =.定理2 1)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2）),,,(21r L ααα 的维数等于向量组r ααα,,,21 的秩.定理3 （扩基定理）设W 是数域P 上n 维线性空间V 的一个m 维子空间，m ααα,,,21 是W 的一组基，那么这组向量必可扩充为整个空间的基.也就是说，在V 中必定可以找到m n -个向量n m m ααα,,,21 ++使得n ααα,,,21 是V 的一组基.结论 数域P 上线性空间V 的一个非空子集W 是V 的一个子空间W b a W F b a ∈+∈∈∀⇔βαβα都有,,,,.。
矩阵理论第二讲线性子空间
矩阵理论第⼆讲线性⼦空间第⼆讲线性⼦空间⼀、线性⼦空间的定义及其性质1. 定义：设V1是数域K上的线性空间V的⼀个⾮空⼦集合，且对V已有的线性运算满⾜以下条件1. 如果x、yV1，则x＋yV1；2. 如果xV1，kK，则kxV1，则称V1是V的⼀个线性⼦空间或⼦空间。
2. 性质：（1）线性⼦空间V1与线性空间V享有共同的零元素；（2）V1中元素的负元素仍在V1中。
[证明]（1）0V中的零元素也在V1中，V1与V享有共同的零元素。
（2）（－1）x=(－x) 封闭性V1中元素的负元素仍在V1中1. 分类：⼦空间可分为平凡⼦空间和⾮平凡⼦空间平凡⼦空间：{0}和V本⾝⾮平凡⼦空间：除以上两类⼦空间4. ⽣成⼦空间：设x1、x2、···、x m为V中的元素，它们的所有线性组合的集合也是V的线性⼦空间，称为由x1、x2、···、x m⽣（张）成的⼦空间，记为L(x1、x2、···、x m)或者Span(x1、x2、···、x m)。
若x1、x2、···、x m线性⽆关，则dim{L(x1、x2、···、x m)}=m5. 基扩定理：设V1是数域K上的线性空间V n的⼀个m维⼦空间，x1、x2、···、x m是V1的⼀个基，则这m个基向量必可扩充为V n的⼀个基；换⾔之，在V n中必可找到n-m个元素x m+1、x m+2、···、x n，使得x1、x2、···、x n成为V n的⼀个基。
这n-m个元素必不在V1中。
⼆、⼦空间的交与和1.定义：设V1、V2是线性空间V的两个⼦空间，则分别称为V1和V2的交与和。
2.定理：若V1和V2是线性空间V的两个⼦空间，则，V1＋V2均为V的⼦空间[证明]（1）是V的⼀个线性⼦空间。
矩阵论-第二讲
2、维数公式
定理（维数公式）：设W1和W2是有限维线性空间V的两 个子空间，则 dimW 1 dimW 2 dim(W 1 W 2) dim(W 1 W 2)
x x x 例：对二阶矩阵所构成的线性空间M （ 2 R），令A ，B x y 0 L（A），L（B），L（A） L（B）和 M （ 2 R）的关系。 y ， z
T { A | S1 A A, A M 22 (R)} 2 { A | S2 A A, A M 22 (R)}
定义： 设W1和W2是线性空间V的两个子空间，
W 1 W 2 { | W 1, W 2}
称为子空间W1和W2的交。
W 1 W 2 { 1 2 | 1 W 1, 2 W 2}
(1) ( ) ( ) ( ), , W 1 (2) (k ) k ( ), W 1 , k F
则称 是同构映射，线性空间W1和W2同构。
同构映射的性质：
(1) (0) 0, ( ) ( ). (2) ( k i i )
生成子空间：
给定线性空间V的一组元素 1， ， 2， m, L( 1 , 2 ,, m) { k i i | k i F , i 1,2,, m)
i 1 m
定理：设W是线性空间V的一个非空子集，则W是V的 子空间的充要条件是： W对V的加法和数乘运算是封 闭的。
称为子空间W1和W2的和。
定理：设W1和W2是线性空间V的两个子空间，则它 们的交以及它们的和仍然是V的子空间。
定义： 设W1和W2是线性空间V的两个子空间，如果
W 1 W 2 {0}
则称W1+W2为子空间W1和W2的直和，记为 W 1 W 2 。
线性子空间
α1 ,α 2 ,⋯ ,α t ( t ≤ r ) 为它的一个极大无关组． 为它的一个极大无关组．
因为 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 与 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α t 等价， 所以, 等价， 所以,
L(α1 ,α 2 ,⋯ ,α r ) = L(α1 ,α 2 ,⋯ ,α t ).
第六章 线性空间 §5 线性子空间
例5
判断P 的下列子集合哪些是子空间： 判断 n的下列子集合哪些是子空间：
W1 = {( x1 , x2 ,⋯ , xn ) x1 + x2 + ⋯ + xn = 0, xi ∈ P } W2 = {( x1 , x2 ,⋯ , xn ) x1 + x2 + ⋯ + xn = 1, xi ∈ P } W3 = {( x1 , x2 ,⋯ , xn−1 ,0) xi ∈ P , i = 1,2,⋯ , n − 1}
的一个子空间． 则R[x]为V的一个子空间． 为 的一个子空间 例3 P[x]n是P[x]的的线性子空间． 的的线性子空间． 的的线性子空间
线性子空间
第六章 线性空间 §5
ห้องสมุดไป่ตู้
例4
n元齐次线性方程组 元齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n xn = 0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a x + a x +⋯ + a x = 0 s2 2 sn n s1 1
∀α ∈ L(α1 ,α 2 ,⋯ ,α r ) ， 可被 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 线性表出， α 线性表出，
【机器学习-课件】第2章 线性代数2 线性相关和子空间
运算+称为加法运算，k 称为数乘运算，它们统称为 线性运算。
O O 称为零向量，若 O, 则称 为 的
负向量，并把 的负向量记为 。
二 线性空间例子
例1 Rn 表示全体n维实向量形成的集合，即
a1
Rn
k1 + k2 + k 3 = 0
k2 + k 3 = 0
k 3= 0
这是关于k1, k2, k 3 的齐次方程组，它的系数行 列式
111
由克莱姆法则
1 1 10 1
所以 方程组只有零解，即k1= k2 = k 3 =0。 证毕
线性空间及其子空间 一 线性空间定义 二 线性空间例子 三 线性空间的子空间
量，称集合
R(A) {y | y Ax, x Rn} L (α1，α2 ， ，αn ) span{α1，α2 ， ，αn}
的负向量
a1
a2
ห้องสมุดไป่ตู้
an
注 Rn是最重要的实线性空间。
类似有复线性空间 Cn
例2 m n 阶实矩阵全体 M mn关于矩阵线性运算是
一个线性空间(实矩阵空间）。特别的
n 阶实方阵全体 Mn 关于矩阵线性运算是一个线性
空间。
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
不难验证
3 21 2
则 3 就是向量 1、2 的线性组合，又称 3 可 由向量1、2 线性表示。
显然：任一 n 维向量 =(a1,a2,…,an)T 都是向量组
1
0
0
1
第二章第二节线性子空间
P[ x]n L(1, x, x2, , xn1)
a0 a1 x an1xn1 a0 ,a1, ,an1 P
有关结论
1、设W为n维线性空间V的任一子空间，1,2 , ,r 是W的一组基，则有 W L(1,2 , ,r ) 2、（定理3）
1）1,2 , ,r；1, 2 , , s 为线性空间V中的
则W关于V的运算作成V的一个子空间．
即1,2 , ,r 的一切线性
组合所成集合.
二、一类重要的子空间 ——生成子空
间
定义：V为数域P上的线性空间，1,2, ,r V，
则子空间
W {k11 k22 krr ki P,i 1,2, ,r}
称为V的由 1,2 , ,r 生成的子空间， 记作 L(1,2 , ,r ) ． 称 1,2 , ,r 为 L(1,2 , ,r )的一组 生成元.
空间，称W为方程组(＊)的解空间．
注 ① (＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)，A (aij )sn ；
② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.
例5 判断Pn的下列子集合哪些是子空间：
W1 {( x1, x2 , , xn ) x1 x2 xn 0, xi P} W2 {( x1, x2 , , xn ) x1 x2 xn 1, xi P}
1,2, ,r,j 线
故 性相1, 2 , , r 为 1, 2 , , s 的极大无关组，
所以关L(1, 2 , , s ) 的维数＝r＝秩(A).
.
注：
由证明过程可知，若1,2 , ,n 为V的一组基，
(1, 2 , , s ) (1,2 , ,n ) A 则向量组 1, 2 , , s与矩阵A的列向量组具有相同
1 0 3 1 2
2. 线性空间与线性子空间
§2 线性空间与线性子空间一、 线性空间[线性运算] 设F 是一个域，其元素a ，b ，c ，…作为数量；V 是任一种类对象的集，其元素用希腊字母α,β,γ,…表示. 确定两个运算法则：1o V 中元素的加法. 对V 中任二元素α，β，总有唯一确定的元素γ与它们对应，称为α与β之和，记作βγ+=α.2o F 中的数量与V 中元素的乘法. 对F 中任一数a 与V 中任一元α，总有唯一确定的元素δ与它们对应，称为a 与α的数乘，记作αδa =这两个运算法则称为线性运算.[线性空间及其性质] 设F 是一个域，V 是任一种类对象的集，若对线性运算满足以下条件，则称V 为域F 上的线性空间：(i) V 是一个加法群；(ii) 对任意元a ∈F 与α∈V ，对应着唯一确定的一个元V a ∈=αβ(iii) 满足分配律和结合律，即对V F b a ∈∈βα,,,有)()()(,)(αααααβαβαb a ab b a b a a a a =+=++=+ 域F 的元素称为线性空间的数量，V 的元素称为它的矢量，因而线性空间又称矢量空间. 加法群的单位元称为零矢量，记作0，（-1）α是α∈V 的逆元，称为负矢量.实数域上的线性空间称为实线性空间；复数域上的线性空间称为复线性空间. 例1 三维空间中的矢量全体组成一个实线性空间.例2 数域F 上的多项式环F [x ]，按照通常的多项式加法与多项式乘法，组成数域F 上的线性空间.例3 元素属于数域F 的m ×n 矩阵，按照矩阵的加法和矩阵与数的乘法，组成数域F 上的线性空间.例4 按照通常的加法和乘法，实数全体是实数域R 上的线性空间. 复数全体是复数域C 上的线性空间. 任一域是用自己当作数量域的线性空间.例5 把在一个实区间（a ，b ）中定义的每个连续实函数当作一个元素，任意两个元素f 与g 的和记作g f +，g f +是在),(b a 中定义的一个连续实函数，它在每一点x 的值规定为)()())((x g x f x g f +=+又把一个元素f 乘实数c 所得到的元素cf 规定为b x a x cf x cf <<=),())(( 则这些元素全体组成一个实线性空间.线性空间有以下性质：1o 零矢量是唯一的.2o 负矢量是唯一的.3o F c c V ∈=∈=,;,0000αα.4o 若0=∈∈ααc V F c ,,则c =0或α=0.[线性相关与线性无关] 域F 上的线性空间V 中一组有限个矢量{}n ααα,,,21 ,如果对F c c c n ∈,,,21 ,仅当021====n c c c 时等式02211=+++n n c c c ααα才成立，则称矢量组{}n ααα,,,21 为线性无关，否则称为线性相关. 若矢量组{}n ααα,,,21线性相关，则其中至少有一个矢量i α是其余矢量)(i k k ≠α的一个线性组合：n n i i i i i k k k k ααααα+++++=++-- 111111含零矢量0的任一组矢量是线性相关的.假定域F 上的线性空间V 上又定义了收敛性（第二十一章，§3，四）,V 中一组无限多个矢量{} ,,21αα,如果对F 中的 ,,21c c 仅当021=== c c 时等式0=++ 2211ααc c才成立，则称矢量{} ,,21αα为线性无关，否则称为线性相关.[基底与坐标] 域F 上的线性空间V 中一组矢量},,{1n αα 如果满足(i) },,,{21n ααα 是线性无关的;(ii) V 中任一矢量都是矢量),,2,1(n i i =α的一个有限线性组合；则称},,,{21n ααα 为V 的一个有限基底，也称},,,{21n ααα 生成（或张成）这个空间，},,,{21n ααα 为空间的一组生成元.设},,,{21n ααα 为V 的一组基底，则V 中任一矢量α一定可以用n ααα,,,21 的线性组合来表示：n n a a a αααα+++= 2211式中复数n a a a ,,,21 是唯一确定的，它称为矢量α关于基底},,,{21n ααα 的坐标.如果V 有一个有限基底，就称V 是一个有限维线性空间，否则，称为无限维空间. 有限维线性空间V 的基底的矢量个数称为V 的维数，记作V dim .[第一维数定理] 域F 上有限维线性空间V 的任意两个基底有相同个数的元素. 推论 设},,,{21k ααα 为一个n 维线性空间V 中一组线性无关的矢量，显然n k ≤，则在V 中存在一个基底使得},,,{21k ααα 是它的一部分.二、 线性子空间[线性子空间] 设S 是域F 上线性空间V 的一个非空子集，若S 对于V 的线性运算也构成线性空间，则称S 为V 的一个线性子空间，简称为子空间.设S 是域F 上线性空间V 的一个子集，若关于线性运算是封闭的，即(i) 若S ∈βα,则S ∈+βα；(ii) 若F a S ∈∈,α,则S a ∈α；则S 是V 的子空间.例如，在线性空间V 中的单个零矢量所组成的子集是V 的一个子空间，称为零子空间. V 本身也是V 的一个子空间. 这两个子空间称为V 的平凡子空间.设r ααα,,,21 为域F 上线性空间V 中的一组矢量，这组矢量的一切线性组合),,2,1(,2211r i F c c c c i r r =∈+++ααα构成V 的一个子空间，称为由r ααα,,,21 生成（或张成）的子空间. 这是V 的非平凡子空间.[子空间的交与和] 设S ，T 是域F 上线性空间V 的子空间，属于S 又属于T 的V 中一切矢量所构成的子集称为S 与T 的交（通集），记作T S . 由能表示为),(T S ∈∈+βαβα的一切矢量构成的子集称为S 与T 的和（和集），记作T S +（或T S ）.设S 与T 是F 上线性空间V 的两个子空间，则S 与T 的交T S 以及和T S +都是V 的子空间.[第二维数定理] 设S 与T 是线性空间V 的两个子空间，则)dim()dim(dim dim T S T S T S ++=+（这里V dim 表示线性空间V 的维数）.推论 若n 维线性空间V 中两个子空间S 与T 的维数之和大于n ，则S ，T 必含有公共非零矢量.例如，三维空间中两个不同平面（二维子空间）交于一条直线，由于422dim dim =+=+T S ，但3)dim(=+T S ，所以1)dim(=T S .[子空间的直和] 设k S S S ,,,21 是线性空间V 的子空间，若和k S S S +++ 21中每个矢量α的分解式),,2,1(,21k i S i i k =∈+++=ααααα是唯一的. 这个和就称为直和，记作k S S S ⊕⊕⊕ 21子空间的直和具有以下性质：1o 和k S S S +++ 21是直和的充分必要条件是：),,2,1(,21k i S i i k =∈=+++αααα0仅当i α全为零矢量时才成立.2o 和k S S S +++ 21是直和的充分必要条件是：=∑≠ij j i S S Φ（空集）),,2,1(k i =3o 设k S S S ,,,21 是线性空间V 的子空间，若k S S S W ⊕⊕⊕= 21则 k S S S W d i m d i m d i m d i m 21+++=其逆也真.这表明对于子空间的直和，维数是可加的. 由此可见，若k S S S W ⊕⊕⊕= 21把子空间),,2,1(k i S i =的基),,,(,,,k i i in i i 2121=ααα合并起来就得到子空间W 的一组基.[商空间] 设S 是V 的一个子空间，并设两个矢量V ∈',αα，若S ∈-αα'，则说α和'α是等价的，记作'~αα. 实际上，这个关系具有等价关系的三个性质：(i) 反身性 对每个S ∈α，有'~αα；(ii ) 对称性 若'~αα，则αα~'；(iii) 传递性 若'~αα，"'~αα，则"~αα.和集合的情形一样，称两个等价的矢量α和'α是属于同一类. 每个矢量V ∈α恰好包含在一个类中，这一类记作_α. V 中的零矢量0包含在与子空间S 重合的_0类中.若把每个类作为一个元素，则这一切元素组成的集是一个线性空间，称为V 关于S 的商空间，记作S V /. 商空间的零矢量是_0，且有S V S V dim dim /dim -=由此可见，若V S =，则商空间的维数是零；又若S 是零空间，则商空间的维数与V 的维数相同.。