高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2.11导数的应用(3)课件文
(ⅱ)当 a>2 时，令 g′(x)＝0 得 x1＝a－1－ a－12－1，x2＝a－1＋ a－12－1. 由 x2>1 和 x1x2＝1 得 x1<1， 故当 x∈(1， x2)时， g′(x)<0， g(x) 在(1，x2)上单调递减，此时 g(x)<g(1)＝0. 综上，a 的取值范围是(－∞，2].
【解】 ( Ⅰ)f(x)的定义域为(0 ，＋∞)，当 a＝ 4 时，f(x)＝(x
1 ＋1)lnx－4(x－1)，f′(x)＝lnx＋ －3，f′(1)＝－2，f(1)＝0. x 曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 2x＋y－2＝0.
ax－1 (Ⅱ)当 x∈(1，＋∞)时，f(x)>0 等价于 lnx－ >0. x＋1 ax－1 x2＋21－ax＋1 1 2a 设 g(x)＝lnx－ ， 则 g′(x)＝ － ＝ ， x x＋12 x＋1 xx＋12 g(1)＝0. (ⅰ)当 a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0， 故 g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此 g(x)>0；
x2－2x＋1 > >0， x2
因此，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增． 又因为 h(1)＝0， 所以当 x>1 时， h(x)＝f(x)－g(x)>0， 即 f(x)>g(x) 恒成立． 1 综上，a∈[2，＋∞).
【总结反思】 不等式恒成立问题的求解方法 (1)由不等式恒成立求解参数的取值范围问题常采用的方法 是分离参数求最值，即要使 a≥g(x)恒成立，只需 a≥g(x)max， 要使 a≤g(x)恒成立，只需 a≤g(x)min.另外，当参数不宜进行 分离时， 还可直接求最值建立关于参数的不等式求解， 例如， 要使不等式 f(x)≥0 恒成立，可求得 f(x)的最小值 h(a)，令 h(a)≥0 即可求出 a 的取值范围． (2)参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数范围的关键 就是找到这样的不等式.
1 1 由(Ⅰ)有 f( )<f(1)＝0，而 g( )>0， 2a 2a 所以此时 f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立． 1 当 a≥2时， 令 h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)，
3 x －2x＋1 1 1 1 1 1 1－x 当 x>1 时，h′(x)＝2ax－ ＋ 2－e >x－ ＋ 2－ ＝ x x x x x x2
【解】
2 1 2ax －1 (Ⅰ)f′(x)＝2ax－ ＝ (x>0)． x x
当 a≤0 时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减． 1 当 a>0 时，由 f′(x)＝0 有 x＝ . 2a 1 当 x∈(0， )时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 2a 当 x∈( 1 ，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 2a
【总结反思】 对于不等式的证明问题可考虑：①通过 研究函数的单调性进行证明；②根据不 等式的结构构造新函数，通过研究新函 数的单调性或最值来证明.
2 证明：当 x∈[0,1]时， 2 x≤sinx≤x.
2 2 证明：记 F(x)＝sinx－ 2 x，则 F′(x)＝cosx－ 2 . π π 当 x∈(0，4)时，F′(x)>0，F(x)在[0，4]上是增函数； π π 当 x∈(4，1)时，F′(x)<0，F(x)在[4，1]上是减函数．
第二章
函数、导数及其应用
第十一节 导数的应用
第3课时 导数的综合应用
热点命题· 突破 02
课堂升华 强技提能
热点一
利用导数证明不等式
【例 1】 (2016· 新课标全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝(x＋1)lnx－ a(x－1)． (Ⅰ)当 a＝4 时，求曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (Ⅱ)若当 x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求 a 的取值范围．
热点二 利用导数解决恒成立问题 1 【例 2】 (2016· 四川卷)设函数 f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝ － x e ，其中 a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数． ex (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性； (Ⅱ)证明：当 x>1 时，g(x)>0； (Ⅲ)确定 a 的所有可能取值，使得 f(x)>g(x)在区间(1，＋∞) 内恒成立．
已知 f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)对一切 x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a 的取 值范围； 1 2 (2)证明：对一切 x∈(0，＋∞)，lnx>ex－ex恒成立．
解：(1)由题意知 2xlnx≥－x2＋ax－3 对一切 x∈(0，＋∞)恒成 3 3 立，则 a≤2lnx＋x＋x ，设 h(x)＝2lnx＋x＋x (x>0)， x＋3x－1 则 h′(x)＝ ， x2 ①当 x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， ②当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以 h(x)min＝ h(1)＝4，对一切 x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以 a≤h(x)min ＝4. 即实数 a 的取值范围是(－∞，4]．
2 又 F(0)＝0，F(1)>0，所以当 x∈[0,1]时，F(x)≥0，即 sinx≥ 2 x. 记 H(x)＝sinx－x，则当 x∈(0,1)时，H′(x)＝cosx－1<0，所以 H(x)在[0,1]上是减函数，则 H(x)≤H(0)＝0，即 sinx≤x. 2 综上， 2 x≤sinx≤x，x∈[0,1]．
(Ⅱ)证明：令 s(x)＝ex 1－x，则 s′(x)＝ex 1－1>0， 所以 e
x－1
1 1 >x，从而 g(x)＝ － x－1>0. x e
(Ⅲ)由(Ⅱ)，当 x>1 时，g(x)>0. 当 a≤0，x>1 时， f(x)＝a(x2－1)－lnx<0， 故当 f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有 a>0. 1 1 当 0<a<2时， >1. 2a
第2章函数及其表示-2021版高三数学(新高考)一轮复习教学课件(45张ppt)
第二章 函数、导数及其应用
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题组三 考题再现 5．(2019·江苏，5 分)函数 y＝ 7＋6x－x2的定义域是____[_－__1_,7_]_______.
[解析] 要使函数有意义，则 7＋6x－x2>0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是 [－1,7]．
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[答案] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数 (3)不同函数①②；同一函数③
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第二章 函数、导数及其应用
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1.映射与函数的含义 (1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与 之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓． (2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，且每个象都有 原象，即称为函数． 2．判断两个函数是否相同的方法 (1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同． (2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．
f2：
x
x≤1
y
1
1<x<2 2
x≥2 3
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f3：
第二章 函数、导数及其应用
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[解析] (1)①是映射，也是函数； ②不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多”； ③当x＝0时，与其对应的y值不存在．故不是映射，更不是函数； ④是映射，但不是函数，因为集合A不是数集． (2)A图象不满足函数的定义域，不正确；B、C满足函数的定义域以及函数的值 域，正确；D不满足函数的定义，故选B、C． (3)①中f1的定义域为{x|x≠0}，f2的定义域为R，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是 同一函数； ②中f1的定义域为R，f2的定义域为{x|x≥0}，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是同 一函数； ③中f1，f2，f3的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数．
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性学案文
第三节函数的奇偶性与周期性1.了解函数奇偶性的含义．2．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 3．会运用函数图象理解和研究函数的性质．知识点一 函数的奇偶性f(－x)＝f(x) y 轴 f(－x)＝－f(x) 原点1．(必修①P 39习题1.3B 组第3题改编)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A ．y ＝－x 3，x ∈RB ．y ＝sin x ，x ∈RC ．y ＝x ，x ∈RD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈R解析：选项B 在其定义域内是奇函数但不是减函数；选项C 在其定义域内既是奇函数又是增函数；选项D 在其定义域内不是奇函数，是减函数．故选A.答案：A2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13B.13C.12D ．－12解析：∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.答案：B3．(必修①P39A 组第6题改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2. 答案：A知识点二 周期性 1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有__________，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个______的正数，那么这个________就叫做f (x )的最小正周期．答案1．f (x ＋T )＝f (x ) 2.最小 最小正数4．判断正误(1)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( )(2)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2 014)＝0.( ) 答案：(1)√ (2)√5．(2016·四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f (－52)＋f (1)＝________.解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.又f (x )＝－f (－x )，f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (1－x )，令x ＝0，得f (1)＝－f (1)，所以f (1)＝0.f (－52)＝f (－2－12)＝f (－12)＝－f (12)＝－2，所以f (－52)＋f (1)＝－2. 答案：－2热点一 函数奇偶性的判断【例1】 (1)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos xD ．y ＝e x－e －x(2)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝|x ＋1|－|x －1|； ②f (x )＝9－x 2＋x 2－9； ③f (x )＝1－x2|x ＋2|－2；④f (x )＝(x －1)1＋x1－x，x ∈(－1,1)． 【解析】 (1)因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；因为y ＝|sin x |为偶函数，排除B ；因为y ＝cos x 为偶函数，排除C ；因为y ＝f (x )＝e x －e －x ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数y ＝e x －e －x为奇函数，选D.(2)解：①函数的定义域x ∈(－∞，＋∞)，关于原点对称． 因为f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1| ＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f (x )， 所以f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．②由⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x 2－9≥0，得x ＝±3.所以f (x )的定义域为{－3,3}，关于原点对称．又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0. 即f (x )＝±f (－x )．所以f (x )既是奇函数，又是偶函数．③由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠0且x ≠－4.故f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x ＋2>0. 从而有f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x2x ，这时有f (－x )＝1－－x2－x ＝－1－x2x＝－f (x )，故f (x )是奇函数．④已知f (x )的定义域为(－1,1)，其定义域关于原点对称． 因为f (x )＝(x －1)1＋x1－x ＝－－x＋x ，所以f (－x )＝－＋x－x ＝f (x )．即f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数． 【答案】 (1)D(1)下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝2x－12xB ．f (x )＝x 3sin x C ．f (x )＝2cos x ＋1D ．f (x )＝x 2＋2x(2)判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的奇偶性．解析：(1)对于A 选项，函数的定义域为R .f (－x )＝2－x －12－x ＝12x －2x＝－f (x )，故A 正确；对于B 选项，函数的定义域为R ，函数y ＝x 3是奇函数，函数y ＝sin x 是奇函数，该函数为偶函数；对于C 选项，函数定义域为R ，f (－x )＝2cos(－x )＋1＝2cos x ＋1＝f (x )，f (x )为偶函数；对于D 选项，由f (1)＝3，f (－1)＝32，f (1)≠f (－1)，f (1)≠－f (－1)，知该函数为非奇非偶函数，故选A.(2)解：方法1：画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．方法2：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数． 答案：(1)A热点二 函数周期性及应用【例2】 设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝________.【解析】 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝2.又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，所以f (0)＝0，f (1)＝1，所以f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 016)＝0.f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 015)＝1.故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1 008. 【答案】 1 0081．若将“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝－f (x )”，则结论如何？ 解：∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1] ＝－f (x ＋1)＝f (x )．故函数f (x )的周期为2.由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1 008. 2．若将“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝1f x”，则结论如何？解：∵f (x ＋1)＝1f x，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝1fx ＋＝f (x )．故函数f (x )的周期为2.由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1 008.(1)(2017·晋中模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，f (1)＝2，且对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，则f (2 017)＝________.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．解析：(1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，∴当x ＝－3时，有f (3)＝f (－3)＋f (3)＝0，∴f (－3)＝0，f (3)＝0，所以有f (x ＋6)＝f (x )，周期为6.故f (2 017)＝f (1)＝2.(2)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4， 从而a ＋3b ＝－10. 答案：(1)2 (2)－10 热点三 函数奇偶性的应用 考向1 利用奇偶性求值【例3】 已知f (x )＝22x ＋1＋sin x ，则f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)的值是____.【解析】 因为f (x )－1＝1－2x1＋2x ＋sin x 是奇函数，所以f (－x )－1＝－[f (x )－1]＝1－f (x )，故f (－x )＋f (x )＝2，且f (0)＝1，所以f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝[f (－4)＋f (4)]＋[f (－3)＋f (3)]＋[f (－2)＋f (2)]＋[f (－1)＋f (1)]＋f (0)＝2×4＋1＝9.【答案】 9考向2 奇偶性与单调性的结合【例4】 (2017·新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23 【解析】 ∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)，∴f (|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，再根据f (x )的单调性， 得|2x －1|<13，解得13<x <23，故选A.【答案】 A考向3 奇偶性与周期性的结合【例5】 (2017·内蒙古包头一模)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在[0,2]上为增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值为( )A ．8B ．－8C ．0D ．－4【解析】 ∵f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，又由f (x －4)＝－f (x )可得f (x ＋2)＝－f (x ＋6)＝－f (x －2)，因为f (x )是奇函数，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以f (x )的图象关于x ＝2对称，结合在[0,2]上为增函数，可得函数的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8.故选B.【答案】 B(1)(2017·山东青岛一模)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2(2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x，则下列命题：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中正确命题的序号是________．解析：(1)∵f (x ＋1)为偶函数，f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，f (x )＝－f (－x )，f (0)＝0，∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2.∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.(2)由已知条件得f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以2为周期的周期函数，∴①正确． 当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1.f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x ，函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图象知②正确，③不正确．当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此④正确．答案：(1)A (2)①②④1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )是奇函数，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)．对于偶函数的判断以此类推．3．若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是一个周期为2a 的周期函数．。
高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2.11导数在研究函数中的应用课件理
若 m≥0，则当 x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)<0； 当 x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)>0. 若 m<0，则当 x∈(－∞，0)时，emx－1>0，f′(x)<0； 当 x∈(0，＋∞)时，emx－1<0，f′(x)>0. 所以，f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
－m
＋m>e－1.
综上，m 的取值范围是[－1,1]．
命题角014· 湖北高考]π 为圆周率，e＝2.71828…为自然对数的底数．
(1)求函数 f(x)＝
解
(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． 1－ln x ln x ，所以 f′(x)＝ . x x2
①
设函数 g(t)＝et－t－e＋1，则 g′(t)＝et－1. 当 t<0 时，g′(t)<0；当 t>0 时，g′(t)>0. 故 g(t)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增． 又 g(1)＝0，g(－1)＝e 1＋2－e<0，故当 t∈[－1,1]时，g(t)≤0.
－
当 m∈[－1,1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立； 当 m>1 时，由 g(t)的单调性，g(m)>0，即 em－m>e－1； 当 m<－1 时，g(－m)>0，即 e
因为 f(x)＝
当 f′(x)>0，即 0<x<e 时，函数 f(x)单调递增； 当 f′(x)<0，即 x>e 时，函数 f(x)单调递减． 故函数 f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用课件
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解析 由条件知 f′(x)＝2x＋a－x12≥0 在12，＋∞上恒
成立，即 a≥x12－2x 在12，＋∞上恒成立．∵函数 y＝x12－
2x 在12，＋∞上为减函数，∴ymax＜112－2×12＝3，∴a≥3. 2
经检验，当 a＝3 时，满足题意．
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∴对应函数 f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、 增．
观察选项可知，排除 A，C. 如图所示，f′(x)有 3 个零点，从左到右依次设为 x1， x2，x3，且 x1，x3 是极小值点，x2 是极大值点，且 x2>0，故 选项 D 正确．故选 D.
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2．函数的极大值与极大值点 若函数 f(x)在点 x＝b 处的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附 近其他点的函数值 都大 ，且 f′(b)＝0，而且在 x＝b 附近 的左侧 f′(x)＞0 ，右侧 f′(x)＜0 ，则点 b 叫做函数的 极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
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解析 由图可得函数 y＝(1－x)f′(x)的零点为－2,1,2， 则当 x<1 时，1－x>0，此时在(－∞，－2)上 f′(x)>0，在(－ 2,1)上 f′(x)<0；当 x>1 时，1－x<0，此时在(1,2)上 f′(x)<0， 在(2，＋∞)上 f′(x)>0.所以 f(x)在(－∞，－2)为增函数， 在(－2,2)为减函数，在(2，＋∞)为增函数，因此 f(x)有极大 值 f(－2)，极小值 f(2)．故选 D.
推荐-高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用课件文北师大版
3．导数的几何意义，导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等 方面的应用是高考的重点与热点．
4．本章内容集中体现了四大数学思想：函数与方程、数形结合、分类讨 论、转化与化归的思想，且常与方程、不等式、导数等知识交汇命题，体现了综 合与创新．
[导学心语] 1．注重基础：对函数的概念、图像、性质(单调性、奇偶性、周期性)、导数 的几何意义、导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用， 要熟练掌握并灵活应用. 2．加强交汇，强化综合应用意识：在知识的交汇点处命制试题，已成为高 考的一大亮点，函数的观点和方法贯穿于高中数学的全过程，因此，应加强函数 与三角函数、数列、不等式、解析几何、导数等各章节之间的联系． 3．把握思想：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和等价转化 思想在解决各种与函数有关的问题中均有应用，复习时应引起足够重视．
再见
2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.1函数及其表示课件理
经典题型冲关
题型 1 函数的概念 典例1 集合 A＝{x|0≤x≤4}， B＝{y|0≤y≤2}， 下列 ) 1 B．f：x→y＝3x D．f：x→y＝ x
不表示从 A 到 B 的函数的是( 1 A．f：x→y＝2x 2 C．f：x→y＝3x
用定义法．
解析 依据函数概念，集合 A 中任一元素在集合 B 中 都有唯一确定的元素与之对应，选项 C 不符合．故选 C.
4．必记结论 函数与映射的相关结论 (1)相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则这两个函数相等． (2)映射的个数 若集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从 集合 A 到集合 B 的映射共有 nm 个． (3)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有 1 个交 点．
值域 ．
表示函数的常用方法有 解析法、图象法和 列表法 ．
3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不 同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函 数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ， 其值域等于各段函数的值域的 并集 ，分段函数虽由几个部 分组成，但它表示的是一个函数．
解析 ①y＝x 与 y＝alogax 定义域不同； ②y＝2x＋1－2x＝2x(2－1)＝2x 相同； ③f(u)与 f(v)的定义域及对应法则均相同； ④对应法则不相同.
x＋1≥0， 等函数；D 项，由 解得 x≥1，即函数 f(x)的定 x－1≥0，
义域为{x|x≥1}．由 x2－1≥0，解得 x≥1 或 x≤－1，即 g(x) 的定义域为{x|x≥1 或 x≤－1}，两个函数的定义域不相同， 不是相等函数．故选 A.
3．小题热身 －x2－x＋2 (1)(2018· 广东深圳模拟)函数 y＝ 的定义域 ln x 为( ) A．(－2,1) B．[－2,1] C．(0,1) D．(0,1]
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2111导数的应用课件理新人教A版
解法一：因为 f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，所以[f(x)]2＝4sin2x(1 ＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3，设 cosx＝t，则 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)， 所以 y′＝4[－(1＋t)3＋3(1－t)(1＋t)2]＝4(1＋t)2(2－4t)，所以当－1<t<21时， y′>0；当21<t<1 时，y′<0。所以函数 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)在－1，21 上单调递增，在12，1上单调递减，所以当 t＝12时，ymax＝247；当 t＝±1 时， ymin＝0。所以 0≤y≤247，即 0≤[f(x)]2≤247，所以－32 3≤f(x)≤32 3，所以 f(x)的最小值为－32 3。
(ⅱ)当 0<2a<1，即 0<a<2 时，由 f′(x)>0，得 0<x<a2或 x>1； 由 f′(x)<0，得a2<x<1。 则函数 f(x)的单调递增区间为0，a2，(1，＋∞)， 函数 f(x)的单调递减区间为a2，1。 (ⅲ)当2a＝1，即 a＝2 时，f′(x)≥0 恒成立，则函数 f(x)的单调递增区 间为(0，＋∞)。
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数 y＝f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数
值 都小
，且 f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0 ，右
侧 f′(x)＞0 ，则 x＝a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值
1．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成 立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。
高三数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11课时导数应用精品课件文北师大.ppt
解y′＝3x2－6x<0，得0<x<2. ∴函数的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)， 单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)可知函数在x＝0时取得极大值c，在x＝2时取得极小值c－4， ∴函数的极大值与极小值的差为c－(c－4)＝4.
• (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出 实际问题的数学模型，写出实际问题中变量 之间的函数关系y＝f(x)，根据实际意义确定 定义域；
• (2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝ 0得出定义域内的实根，确定极值点；
• (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数 值大小，获得所求的最大(小)值；
【变式训练】 3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝
1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为
10 10
，
若x＝23时，y＝f(x)有极值． (1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
解析： (1)由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得 f′(x)＝3x2＋2ax ＋b.
• 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可 导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步 骤
• (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
• (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数 值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值．
2020版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用(第2课时)
角度1 根据函数图象判断极值 1．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如 图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( )
A.1 B．2 C．3 D．4 答案 B
答案
解析 极大值点处导数值为0，且两侧导数符号左正右负，观察导函数 f′(x)在(a，b)上的图象可知，f(x)在(a，b)上的极大值点有2个.
值．
(2)函数的极大值与极大值点 若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数
□ □ 值 04 都大 ，f′(b)＝0，而且在点x＝b 附近的左侧 05 f′(x)>0 ，
□ 右侧 06 f′(x)<0
值．
，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大
2.函数的最值与导数
答案
解法二：①当a＝0时，令f′(x)＝0，得x＝2， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
解析
角度2 求函数的极值
2.(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)
的极小值为( )
A.－1
B．－2e－3
C.5e－3
D．1
答案－1)ex－1， 则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1 ＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]． 由x＝－2是函数f(x)的极值点得 f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0， 所以a＝－1. 所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)． 由ex－1>0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用课件
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
21,7 分(文)
22(1)，7 分(理)
22(2)，5 分(理)
22,14 分(理)
22(2)，7 分(理)
8,5 分(文)
21，约 7 分(文)
21，约 5 分(文)
21(2)，7 分(文) 22,5 分(文)
[重点关注] 从近五年浙江高考试题来看，函数导数及其应用是每年高考命题的重点与 热点，既有客观题，又有解答题，各种难度的题目均有．
函数的单 调性
18(2)，约 4 分(理) 20(1)，约 4 分(文)
7,5 分(理) 15,4 分(理)
函数的奇 偶性与周 5,5 分(理) 11,3 分(理) 期性
18,15 分 二次函数 18,7 分(理) (理) 与幂函数 6,5 分(文) 20,15 分
(文)