《高等数学》教学课件：第三节 函数的连续性
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函数的连续性(6)共40页PPT资料
定理 函数 f(x)在x0处连 续 是函f(数 x)在x0
处既左连续 . 又右连续
例讨 ：论f(函 x) 数 x x 2 2,,
x0, 在 x0处的.连 x0,
右连续：✔
左连续：✖
连 续：✖
定义3： （ 函数在区间上的连续性）
函 数 在 开 区 间 的：连 续 性
若 函 数 f (x)在 开 区(a间 ,b)的 每 一 点 处,都 则 称f (x)在 开 区(a间 ,b)内 连.续
x0, x0
在点x0处间断
y
2•
1
x
O
x1,
y
g(x)
0,
x1,
x 0,
x0, 在点x0处间断
x 0.
y
x
•
O
在点x0处间断
一、连续函数的定义
定 义设 1f： (x)在x0的 某 邻 域 内 ,如有 果定
lx im x0 f(x)f(x0) 则 称 函 f 在 数点 x0处 连. 续
""定义 :
x, 1 x,
x 0, x 0,
(x x0跳 跃 间 断) 点
特点：左右极限都存 在
例2：f
(x)
2 1,
x,
0 x 1 x 1
1 x, x 1
(可 去 间 断 点)
特点：左右极限都存 在
y
o
x
y y1x
2
y2 x
1
o1
x
情形2：左右极限不同时存在的间断点
y
例1： 正 切 函y数tanx在x 处 没
函数在闭区间 ：的连续性
若 函f(数 x)在 开 区 (a,b)间 内 连,且 续在a右 点连 续 ,在 点 b左 连,则 续称 f(x)在 闭 区 [a,b]间 上 连.
《函数的连续》课件
在闭区间上的连续函数一定取得最大值和最小值。
闭区间上连续函数的零点定理
如果闭区间上的连续函数在区间两端取值异号，则函数在该区间内至少有一个零点。
03
函数连续性的应用
利用连续性求极限
总结词
利用连续性求极限是函数连续性应用的重要方面之一。
详细描述
在数学分析中，许多函数的极限可以通过利用函数的连续性来求解。例如，利用函数在某点的连续性 ，可以推导出该点的极限值。此外，连续函数的极限定理也是利用连续性求极限的重要工具。
二次函数
二次函数在定义域内也是连续的 。例如，函数$f(x) = x^2$在全 体实数域$mathbf{R}$上是连续 的。
分段函数的连续性
• 分段函数：分段函数在各段定义域的交界处可能不连 续，但在整个定义域内是连续的。例如，函数$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ x, & x < 0 \end{cases}$在全体实数域$\mathbf{R}$上是连续的 ，但在$x=0$处不连续。
函数连续性的性质
Байду номын сангаас
如果内层函数和外层函数都在 某点连续，则复合函数在该点
也连续。
02
反函数的连续性
01
复合函数的连续性
反函数存在的前提下，如果原函 数在某点连续，则反函数在该点
也连续。
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
函数在某点连续的定义
如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。
无穷函数的连续性
• 无穷函数：无穷函数在无穷处的值可能不定义，因此不连续。 例如，函数$f(x) = \frac{1}{x}$在$x=0$处不连续。
闭区间上连续函数的零点定理
如果闭区间上的连续函数在区间两端取值异号，则函数在该区间内至少有一个零点。
03
函数连续性的应用
利用连续性求极限
总结词
利用连续性求极限是函数连续性应用的重要方面之一。
详细描述
在数学分析中，许多函数的极限可以通过利用函数的连续性来求解。例如，利用函数在某点的连续性 ，可以推导出该点的极限值。此外，连续函数的极限定理也是利用连续性求极限的重要工具。
二次函数
二次函数在定义域内也是连续的 。例如，函数$f(x) = x^2$在全 体实数域$mathbf{R}$上是连续 的。
分段函数的连续性
• 分段函数：分段函数在各段定义域的交界处可能不连 续，但在整个定义域内是连续的。例如，函数$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ x, & x < 0 \end{cases}$在全体实数域$\mathbf{R}$上是连续的 ，但在$x=0$处不连续。
函数连续性的性质
Байду номын сангаас
如果内层函数和外层函数都在 某点连续，则复合函数在该点
也连续。
02
反函数的连续性
01
复合函数的连续性
反函数存在的前提下，如果原函 数在某点连续，则反函数在该点
也连续。
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
函数在某点连续的定义
如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。
无穷函数的连续性
• 无穷函数：无穷函数在无穷处的值可能不定义，因此不连续。 例如，函数$f(x) = \frac{1}{x}$在$x=0$处不连续。
最新高等数学1-8-函数的连续性教学讲义ppt课件
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结束
铃
三体三部曲书评
七（2）林泽凯
目录
一、作品简介 二、作者简介 三、精彩片段及赏析 四、读后感悟
一、作品简介
《三体》三部曲，又名“地球往事”三部曲，作者刘慈欣。该系列小说 由《三体》、《三体Ⅱ黑暗森林》、《三体Ⅲ死神永生》三部小说组成， 于2006年至2010年由《科幻世界》杂志连载，出版。
《三体》三部曲讲述了地球文明和三体文明在宇宙中的兴衰历程。作品 对人类历史、物理学、天文学、社会学及哲学等均有涉及，从科幻的角 度对人性进行了深入探讨，全书格局宏大，立意高远，被誉为迄今为止 中国当代最杰出的科幻小说，是中国科幻文学的里程碑之作，将中国科 幻推上了世界的高度。
2014年底小说第一部的英文版在美国上市，反响热烈，并于2015年获 得美国科幻奇幻协会“星云奖”等五个奖项提名。2015年8月23日， 《三体》获第73届世界科幻大会颁发的雨果奖最佳长篇小说奖，这是亚 洲科幻小说首次获得雨果奖。 10月，作者刘慈欣因该作获得全球华语 科幻文学最高成就奖。
n
n
当x0时, f(x)0;
当x0时, ex 1, lim enx lim(ex)n , f(x)x1.
n
n
综上得
x 1, x 0
f
(x)
0,
x 0,
x 1, x 0
注 当 |a|1时 ,lim an0; 当 |a|1时 ,lim an.
n
n
13
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铃
例
5
讨论
f
(x)
y sin x x
如 果 补 充 定 义 ： 令 x=0 时 y=1
则 所 给 函 数 在 x=0 成 为 连 续
高等数学-函数的连续性课件.ppt
(1)在x=1处有定义；
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。
函数的连续性PPT课件
是第_____类间断点 .
x, x 1
二、研究函数 f ( x)
的连续性，并画出函数
1, x 1
的图形 .
2021/8/2
函数与极限
23
第23页/共27页
三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些
间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变
函数的定义使它连续 .
1、
f
(
x)
x 3
1, x,
3.第二类间断点 如果 f ( x)在点x0处的左、
右极限至少有一个不存在, 则称点x 为函数 0
f ( x)的第二类间断点.
例6
讨论函数
f
(x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 1为函数的第二类间断点. 这种情况称为无穷间断点.
x x
1在 1
x
R
上
.
2、 f ( x) x ,在x R 上 . tan x
四、讨论函数f( x Nhomakorabea lim n
1 1
x 2n x 2n
的连续性，若有间断
点，判断其类型 .
五、试确定 a, b 的值,使 f ( x) e x b ， ( x a)( x 1)
（1）有无穷间断点x 0 ；（2）有可去间断点x 1 .
★
f
(
x)
1, 1,
当x是有理数时 , 当x是无理数时 ,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
判断下列间断点类型:
y
y f x
2021/8/2
x1 o
《函数连续性说》课件
03
函数连续性的应用
在微积分中的应用
极限理论
函数连续性是微积分中的基本概念，极限理论中的许多概念和定理都与连续性密切相关。 例如，连续函数的极限性质、闭区间上连续函数的性质等。
导数与微分
连续函数在某一点的导数定义为该点附近函数值的增量与自变量增量的比值。如果函数在 某点可导，则该点必连续。同时，连续函数的微分也是其导数的近似值，这在近似计算和 误差估计中具有重要应用。
不定积分与定积分
不定积分是求原函数的过程，而原函数的存在性要求被积函数必须是连续的。定积分则是 求某个区间上函数的面积，而连续函数在该区间上的定积分存在且唯一。
在实数理论中的应用
实数完备性
实数理论中的许多重要定理都与连续性有关。例如，实数完备性定理指出，实 数集具有完备性，即实数集上的任何有界序列都存在极限。这个定理的证明过 程中涉及到了连续函数的性质。
《函数连续性说》ppt课件
• 函数连续性的定义 • 函数连续性的判定 • 函数连续性的应用 • 函数连续性的扩展
01
函数连续性的定义
函数连续性的数学定义
函数在某点连续的定义
如果函数在某点的极限值等于函数值，则函数在该点连续。
函数在区间上连续的定义
如果函数在区间的每一点都连续，则函数在该区间上连续。
函数连续性的几何意义
01
连续函数的图像是连绵不断的曲 线，没有间断点。
02
在直角坐标系中，连续函数的图 像是一条光滑的曲线。
函数连续性的性质
连续函数的和、差、积、商（分母不 为零）仍然为连续函数。
连续函数在闭区间上具有最大值和最 小值，分别在区间的端点和极值点取 得。
02
函数连续性的判定
《函数连续性》课件
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
总结词
极限存在准则
详细描述
如果函数在某点的左右极限存在且相等，则函 数在该点连续。
总结词
四则运算连续性
详细描述
函数的四则运算保持连续性，即两个连续函数进行 加、减、乘、除运算后仍为连续函数。
复合函数连续性
总结词
详细描述
复合函数在某点连续，当且仅当内外函数在该点都连续 。
《函数连续性》ppt课 件
contents
目录
• 函数连续性的定义 • 函数连续性的判定 • 函数连续性的应用 • 函数连续性的扩展
01
函数连续性的定义
函数连续性的数学定义
总结词
描述函数在某点或某范围内的极限状 态
详细描述
函数在某一点或某范围内的极限状态 ，如果函数在这一点或这个范围内的 极限值等于该点的函数值，则函数在 该点或该范围内连续。
详细描述
一致连续性是指在函数的整个定义域内，对 于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使 得当|x'-x''|<δ时，有|f(x')-f(x'')|<ε。也就是 说，无论x'和x''在定义域内取何值，只要它
们足够接近，函数值的变化就会足够小。
紧致性定理
总结词
紧致性定理是函数连续性的一种重要性质，它表明在闭 区间上的连续函数必定可以取到其最大值和最小值。
函数连续性的几何意义
总结词
表示函数图像在某点或某范围的连续变化
详细描述
函数连续性的几何意义可以理解为函数图像在某一点或某范围内没有间断、断裂或跳跃，图像平滑过 渡。
函数连续性的性质
高等数学(第三版)课件：函数的连续性
(x0 )
上述三个条件中只要有一条不满足,则称函数 f (x)
在点x0处间断, x0称为函数 f (x)的间断点．
如果 x0是函数 f (x) 的间断点,可将其分成两类:
第一类间断点 f (x) 在点 x0 处的左右极限存在;
可去间断点 其它
第二类间断点
f (x) 在点 x0 处的左右极限至少有 一个不存在.
由以上三个定理可知：一切初等函数在其有定义的 区间内是连续的．
计算初等函数 f (x) 在其定义区间内某点 x0 处的极限, 只要计算 f (x)在点x0 处的函数值 f (x)即可．
三、闭区间上连续函数的性质
定理4（最值定理） 闭区间上的连续函数一定有
最大值和最小值．
如函数 y x 在(a,b) 内既没有最大值，
x
且为可去间断点.
例3
如图,考察函数
f
(x)
1 x 1
在x
1
处的连续性.
解 该函数在点 x 1 处没有定义,所以函数在 x 1
处间断;又因为
,极限 lim 1
x1 x 1
不存在，趋于无穷，所以 x 1
是函数
f
(x)
1 x 1
的第二类间断点,
且为无穷间断点.
例4 考察函数
f
(x)
sin
3. f (x)在 x0 处左(右)连续:
lim
x x0
f (x) f (x0 )
( xx0 )
2．函数的间断点及其类型
函数f (x)在点x0 处连续,必须同时满足以下三个条件：
(1) f (x) 在 x0的某邻域内有定义；
(2) lim f (x) 存在； xx
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若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间7上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
例如,
( 有理整函数 )
在
上连续 .
又如, 有理分式函数
在其定义域内连续.
只x要0 Q((x0
,)0),,
都lim有
x x0
Pli(mx)R(
x x0
Px)(
（1）若
x0
是
f
(x)
的一个间断点，但左右极限
lim
x
x
0
f (x)和
lim
xx0
f (x) 都存在，称 x0 为第一类间断点.
其中，若
左右极限
lim
xx
0
f
(
x)
和
x
lim
x
0
f (x) 相等，称 x0 为可去间
断点
；若左右极限
lim
xx
0
f
(
x)
和
lim
x
x
0
f (x) 不相等，称
x0 为跳跃间断点.
u u2 u1 . 当 u2 u1 时， u 为正；当 u2 u1 时， u 为负. 设函数 y f (x) 在点 x0 及其某邻域内有定义，
当自变量 x 在点 x0 处有一个增量 x ，即从 x0 变
到 x x0 x 时，因变量的增量 y 是 x 的函数 y f (x0 x) f (x0 ) f (x) f (x0 ) .
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二、函数的间断点
9
(discontinuous point)
函数 f (x) 的不连续点称为间断点.
若 x0 是函数 f (x) 的间断点，那么必是下列三种情 况之一：
（1） f (x) 在点 x0 无定义
（2）
f
(x)
（2）当
x
lim
x0
f (x) ，xlimx0 f (x) 至少有一个不存在时，称 x0
为第二类间断点.
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例如:
11
y
y tan x
x
2
为其无穷间断点 .
x 0 为其振荡间断点 .
y
o
x
2
y y sin 1 x
0x
x0R) (
x0c)ontinue
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8
例 2. 证明指数函数 y a x (a 0) 是 (,) 上的连续函数.
证明.任取 x0 (,) ，给出自变量的增量 x ，相 应的因变量的增量为
y a x0 x a x0 a x0 (a x 1)
lim y lim [ax0 (ax 1)]
x 0
x 0
ax0 lim (ax 1) x 0
ax0 (11)
.
0
所以指数函数 y a x 是 (,) 上的连续函数.
类似地可以证明，常数函数 y c 和基本三角函数 sin x 、cos x 、tan x
及 cotx 在各自的定义域内都是连续函数.
6
有函数的增量
函数
在点 连续有下列等价命题:
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
y y f (x)
y
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
左连续 右连续
x
o x0 x x
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在点
x0
有定义，但
lim
x x0
f
(x) 不存在
（3）
f (x)
在点
x0
有定义且
lim
x x0
f (x) 存 在 ， 但
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
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10
根据函数在间断点处左右极限的情况，通常将间断点分 为两大类：
f (0 ) 1
x 0 为其跳跃间断点 .
12
y
1
1 2
o 1x
y
1
o
x
1
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13
连续函数的四则运算法则： 定理 1.设函数 f (x) 和 g(x) 在点 x0 处是连续的，则函数 f (x) g(x) 、 f (x) g(x) 、 f (x) g(x)（ g(x0 ) 0 ）在点 x0 处 都是连续的.
x 1为可去间断点 .
o1 x
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x, x 1
(4)
y
f
(x)
1 2
,
x 1
显然 lim f (x) 1 f (1)
x1
x 1为其可去间断点 .
(5)
y
f
(x)
x 1 0
, ,
x0 x0
x 1 , x 0
f (0 ) 1,
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3
一、连续函数的概念
例 1．肿瘤的体积是生 长时间的函数，体积的 生长速度很快，但在短 短的一小段时间里，肿 瘤的体积的变化是微 小的。右图是皮下瘤和 原位瘤体积生长曲线.
肿 瘤 体 积 (mm3 )
1800 1600 1400 1200 1000
800 600 400 200
0
皮下 瘤 原位瘤
7
14 21 28 35 42
时间t
肿瘤体积随时间的变化
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4
定义 1.当变量 u 从 u1变到 u2 时，称差值 u2 u1
为 变 量 u 的 增 量 (increment) ， 记 作 u . 即
单侧连续性：若 f (x) 在点 x0 处的左（右）极限 f (x0 ) （ f (x0 ) ）存在且 f (x0 ) f (x0 ) （ f (x0 ) ），则称 f (x) 在 点 x0 处左（右）连续.
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对自变量的增量
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5
定义
2.若当
x
0 时，
y
是无穷小，即
lim y
x0
0
，
则称函数 y f (x) 在点 x0 处是连续的(continuous).
定义
3.
若
lim
xx0
f (x)
f (x0 ) ，则称函数 y
f (x) 在点
x0 处是连续的.
第二章 一元函数的极限 及其连续性
第一节 函数 第二节 函数的极限 第三节 函数的连续性
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bioinformatics Group
2020年9月5日星期六
2
第二节 函数的连续性
一、连续函数的概念 二、函数的间断点 三、连续函数的运算 四、闭区间上连续函数的性质