概率统计分布列

一、频率视为概率

当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。

（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；

（Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期型。

2.（全国新课标理19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：

（I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；

（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为

2,942,941024,102t y t t -

=≤

从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）． 3.【2010·湖南理数】图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.

（Ⅰ）求直方图中x 的值

（II ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望。

二、相互独立事件概率

1.（四川理18）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过

两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）。

有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为

11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,

24；两人租车时间都不会超过四小

时。

（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ； 2.【2010·浙江理数】如图，一个小球从M 处投入，通过管道自

上而下落A 或B 或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A ，B ，C ，则分别设为l ，2，3等奖．

（I ）已知获得l ，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随变量ξ为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望ξE ；

(II)若有3人次(投入l 球为l 人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求)2(=ηP ．

3.【2010·江西理数】某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过．．．的通道，直至走完迷宫为止.令ξ表示走出迷宫所需的时间. （1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望。

4.【2010·北京理数】某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为

，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p ＞q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求p ，q 的值； (Ⅲ)求数学期望E ξ.

5.【2010·四川理数】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16

.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.

（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望E ξ. 三、选取问题

1.（辽宁理19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．

（I ）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；

（II ）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据n x x x ,,,21???的的样本方差])()()[(12

22212x x x x x x n s n -+???+-+-=， 2.（天津理16）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，

乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i ）摸出3个白球的概率；（ii ）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X .

3.（重庆理17）某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A 片区房源的概率；

（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望

4.【2010·广东理数】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,]495，（495,]500，……（510,]515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 引言 (1) 1几种常见的具有可加性的分布 (1) 二项分布 (2) 泊松分布（Possion分布） (3) 正态分布 (4) 伽玛分布 (6) 柯西分布 (7) 卡方分布 (7) 2具有可加性的概率分布间的关系 (8) 二项分布的泊松近似 (8) 二项分布的正态近似 (9) 正态分布与泊松分布间的关系 (10) 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系 (11) 3小结 (12) 参考文献 (12) 致谢 (13)

概率论中几种具有可加性的分布及其关系摘要概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点，这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论. 关键词概率分布可加性相互独立特征函数 SeveralKindsofProbabilityDstributionanditsRelationshipwithAdd itive 'scentrallimittheorem,andsoon,hascarriedonthedifferentlevelsofdiscussion. KeyWords probabilitydistributionadditivitypropertymutualindependencecharacteristicfunction 引言概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等. 1几种常见的具有可加性的分布在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]： ①离散场合的卷积公式设离散型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的分布列分别是 n k a k P k ,1,0,)(???===ζ和.,,1,0,)(n k b k P k ???===ξ则ξζ?+=的概率分布列可表示为 ②连续场合的卷积公式设连续型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的密度函数分别是 )(),(y f x f ξζ，则它们的和ξζ?+=的密度函数如下其证明如下： ξζ?+=的分布函数是dxdy y f x f z f z F z y x )()()()(ξζ?ξζ??≤+= ≤+= 其中)(x F ζ为ζ的分布函数，对上式两端进行求导，则可得到ξζ?+=的密度函数：

大学概率论与数理统计复习资料

第一章随机事件及其概率知识点：概率的性质事件运算古典概率事件的独立性条件概率全概率与贝叶斯公式常用公式 ) ()()()()()2(加法定理AB P B P A P B A P -+= ) ,,() ()(211 1 有限可加性两两互斥设n n i i n i i A A A A P A P ∑===) ,(0 )()()()()(互不相容时独立时与B A AB P B A B P A P AB P ==) ()()()()5(AB P A P B A P B A P -==-) () ()()()(时当A B B P A P B A P B A P ?-==-))0(,,()()/()()()6(211 >Ω=∑=i n n i i i A P A A A A B P A P B P 且的一个划分为其中全概率公式 ) ,,()] (1[1)(211 1 相互独立时n n i i n i i A A A A P A P ∏==--=) /()()/()()()4(B A P B P A B P A P AB P ==) (/)()/()3(A P AB P A B P =) () /()() /()()/()7(1 逆概率公式∑== n i i i i i i A B P A P A B P A P B A P )(/)()(/)()1(S L A L A P n r A P ==

应用举例 1、已知事件,A B 满足)()(B A P AB P =，且6.0)(=A P ，则=)(B P （）。 2、已知事件,A B 相互独立，,)(k A P =6.0)(,2.0)(==B A P B P ，则=k （）。 3、已知事件,A B 互不相容，,3.0)(=A P ==)(,5.0)(B A P B P 则（）。 4、若,3.0)(=A P ===)(,5.0)(,4.0)(B A B P B A P B P （）。 5、,,A B C 是三个随机事件，C B ?，事件()A C B - 与A 的关系是（）。 6、5张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3张，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（）。某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。（1）试求他在5:40~5:50到家的概率；（2）结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。解（1）设1A ={他是乘地铁回家的}，2A ={他是乘汽车回家的}， i B ={第i 段时间到家的}，4,3,2,1=i 分别对应时间段5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00以后则由全概率公式有 )|()()|()()(2221212A B P A P A B P A P B P += 由上表可知4.0)|(12=A B P ，3.0)|(22=A B P ，5.0)()(21==A P A P 35.05.03.04.05.0)(2=?+?=B P （2）由贝叶斯公式 7 4 35.04.05.0)()()|(22121=?== B P B A P B A P 8、盒中12个新乒乓球，每次比赛从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到3个新球的概率。看作业习题1: 4, 9, 11, 15, 16

概率统计分布表(常用)

标准正态表

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

概率统计分布表(常用)

. 标准正态表 x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 .

概率论和数理统计知识点总结(超详细版)

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率论中几种常用重要分布

概率论中几种常用的重要的分布摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。关键词 1 一维随机变量分布随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布．下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P X x x =∈-∞=-∞ +∞. 这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈= 称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。（1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。（2）X 可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a ，b ，使 ([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])P X b p ==，那么，([])1P X a p ===-。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p 来确定。（3）X 可能取的值只有n 个：12,...,a a （这些值互不相同），且，取每个i a 值

大学概率论与数理统计必过复习资料试题解析(绝对好用)

《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4） 3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5）（6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式：（4） Bayes公式： 7．事件的独立性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）；（3）对任意， 4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，；（6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3）若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量 1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有（1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1）离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续时，；，； (3) 二维时， (4)；（5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）；（3）；（4）独立时， 3．协方差（1）；；；（2）（3）；（4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5） 4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律 3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布，或，或

概率论与数量统计-公式

第1章随机事件及其概率（1）排列组合公式从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。为必然事件，?为不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算 ①关系：如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：如果同时有，，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ： A=B 。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为A-AB 或者，它表示A 发生而B 不发生的事件。 A、B 同时发生：A B ，或者AB 。A B=?，则表示A 与B 不可能同时发生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

概率统计分布表常用

标准正态表 x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842

概率论与数理统计复习资料要点总结

《概率论与数理统计》复习资料一、复习提纲注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。 1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义 2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义 3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式 4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。 5、理解随机变量的概念，了解(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。 6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。 7、掌握指数分布(参数 )、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算 8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。 9、会求分布中的待定参数。 10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、

条件密度函数，会判别随机变量的独立性。

11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。 12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。 14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。 15、较熟练地求协方差与相关系数. 16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。 17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。 18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握 2分布(及性质)、t分布、F 分布及其分位点概念。 19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。 20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。 21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均值与方差的置信区间。

概率论与数理统计中的三种重要分布

概率论与数理统计中的三种重要分布摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质一、二项分布二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。（一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布) 1．泊努利试验在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = () q p A P =-=1。 2．泊努利分布定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数，则??? ? ??ξp q 10 ~，称ξ服从参数为)10(<

《概率统计》公式、符号汇总表

《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点（共3页）第一章均独立。与与与此时独立与B A B A B A B P A P AB P B A B P AB P B A P ,,);()()( ) ()()( (1)?=?= ) () ()()( )()()()()( )3() (1)( )()( A B )()()( )()()()()( )()()()( )2(11A P B P B A P A B P B P B A P B P B A P A P A P A P B P A P AB P A P B A P A P A B P B P B A P AB P AB P B P A P B A P i i i n n ?= ?++?=-=-?-=-?=?=-+= 第二、三章一维随机变量及分布：X ， i P ， )(x f X ， )(x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ),(y x f ， ),(y x F *注意分布的非负性、规范性（1）边缘分布：∑ = j ij i p P ，? +∞ ∞ -= dy y x f x f X ),()( （2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与或)()()(y f x f y x f Y X =， ),,(1 1n X X 与),,(21n Y Y 独立),,(1 1n X X f ?与),,(21n Y Y g 独立（3）随机变量函数的分布（离散型用列表法）一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布-------连续型用分布函数法二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,max =、{}Y X N ,min =的分布- ? ? +∞ ∞ -+∞ ∞ --=-= dy y y z f dx x z x f z f Z ),(),()( M 、N 的分布---------连续型用分布函数法第四章（1）期望定义：离散：∑= i i i p x X E )( 连续：?? ? +∞∞ -+∞ ∞-+∞ ∞ -= = dxdy y x xf dx x xf X E ),()()( 方差定义：)()(]))([()(2 2 2 X E X E X E X E X D -=-= 离散：∑-=i i i p X E x X D 2 ))(()( 连续：? +∞ ∞ --= dx x f X E x X D X )())(()(2

概率论与数理统计期末复习重要知识点

概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点： 1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。 2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为 12{},{}1(01) P X x p P X x p p ====-<<，则称X 服从 12 ,x x 处参数为p 的两点分布。两点分布的概率分布：12{},{}1(01) P X x p P X x p p ====-<< 两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =- （2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式 {}(1),0,1,...,. k k n k n P x k C p p k n -==-= 给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,. k k n k n P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =- （3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,... ! k P X k e k k λ λλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ) 泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,... ! k P X k e k k λ λλ-==>= 泊松分布的期望： ()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ= 4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，有 (){}()x F x P X x f t dt -∞ =≤=? ，则称X 为连续型随机变量，称 ()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。 5.常用的连续型分布：

概率统计分布表

概率统计分布表标准正态表 x 0、00 0、01 0、02 0、03 0、04 0、05 0、06 0、07 0、08 0、09 0、0 0、5000 0、5040 0、5080 0、5120 0、5160 0、5199 0、5239 0、5279 0、5319 0、5359 0、1 0、5398 0、5438 0、5478 0、5517 0、5557 0、5596 0、5636 0、5675 0、5714 0、5753 0、2 0、5793 0、5832 0、5871 0、5910 0、5948 0、5987 0、6026 0、6064 0、6103 0、6141 0、3 0、6179 0、6217 0、6255 0、6293 0、6331 0、6368 0、6406 0、6443 0、6480 0、6517 0、4 0、6554 0、6591 0、6628 0、6664 0、6700 0、6736 0、6772 0、6808 0、6844 0、6879 0、5 0、6915 0、6950 0、6985 0、7019 0、7054 0、7088 0、7123 0、7157 0、7190 0、7224 0、6 0、7257 0、7291 0、7324 0、7357 0、7389 0、7422 0、7454 0、7486 0、7517 0、7549 0、7 0、7580 0、7611 0、7642 0、7673 0、7704 0、7734 0、7764 0、7794 0、7823 0、7852 0、8 0、7881 0、7910 0、7939 0、7967 0、7995 0、8023 0、8051 0、8078 0、8106 0、8133 0、9 0、8159 0、8186 0、8212 0、8238 0、8264 0、8289 0、8315 0、8340 0、8365 0、8389 1、0 0、8413 0、8438 0、8461 0、8485 0、8508 0、8531 0、8554 0、8577 0、8599 0、8621 1、1 0、8643 0、8665 0、8686 0、8708 0、8729 0、8749 0、8770 0、8790 0、8810 0、8830 1、2 0、8849 0、8869 0、8888 0、8907 0、8925 0、8944 0、8962 0、8980 0、8997 0、9015 1、3 0、9032 0、9049 0、9066 0、9082 0、9099 0、9115 0、9131 0、9147 0、9162 0、9177 1、4 0、9192 0、9207 0、9222 0、9236 0、9251 0、9265 0、9279 0、9292 0、9306 0、9319 1、5 0、9332 0、9345 0、9357 0、9370 0、9382 0、9394 0、9406 0、9418 0、9429 0、9441 1、6 0、9452 0、9463 0、9474 0、9484 0、9495 0、9505 0、9515 0、9525 0、9535 0、9545 1、7 0、9554 0、9564 0、9573 0、9582 0、9591 0、9599 0、9608 0、9616 0、9625 0、9633 1、8 0、9641 0、9649 0、9656 0、9664 0、9671 0、9678 0、9686 0、9693 0、9699 0、9706 1、9 0、9713 0、9719 0、9726 0、9732 0、9738 0、9744 0、9750 0、9756 0、9761 0、9767 2、0 0、9772 0、9778 0、9783 0、9788 0、9793 0、9798 0、9803 0、9808 0、9812 0、9817

概率统计公式符号汇总表

《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点（共3页）第一章第二、三章一维随机变量及分布：X ， i P ， )(x f X ， )(x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ),(y x f ， ),(y x F *注意分布的非负性、规范性（1）边缘分布：∑=j ij i p P ，?+∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()( （2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与或)()()(y f x f y x f Y X =， ),,(11n X X Λ与),,(21n Y Y Λ独立),,(11n X X f Λ?与),,(21n Y Y g Λ独立（3）随机变量函数的分布（离散型用列表法）一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布-------连续型用分布函数法二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,m ax =、{}Y X N ,m in =的分布- M 、N 的分布---------连续型用分布函数法第四章（1）期望定义：离散：∑= i i i p x X E )( 连续：? ? ? +∞∞-+∞ ∞ -+∞ ∞ -== dxdy y x xf dx x xf X E ),()()( 方差定义：)()(]))([()(2 2 2 X E X E X E X E X D -=-= 离散：∑-=i i i p X E x X D 2))(()( 连续：? +∞ ∞ --= dx x f X E x X D X )())(()(2 协方差定义：)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E V X COV -=--= 相关系数定义：) ()(),(Y D X D Y X COV XY = ρ K 阶原点矩定义：)( K k X E ?μ K 阶中心矩定义：]))([( K k X E X E -?σ （2）性质：

概率统计分布表(常用)

标准正态表 x0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09 0.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.5359 0.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.5753 0.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.6141 0.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64060.64430.64800.6517 0.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.6879 0.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.7224 0.60.72570.72910.73240.73570.73890.74220.74540.74860.75170.7549 0.70.75800.76110.76420.76730.77040.77340.77640.77940.78230.7852 0.80.78810.79100.79390.79670.79950.80230.80510.80780.81060.8133 0.90.81590.81860.82120.82380.82640.82890.83150.83400.83650.8389

1.00.84130.84380.84610.84850.85080.85310.85540.85770.85990.8621 1.10.86430.86650.86860.87080.87290.87490.87700.87900.88100.8830 1.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.9015 1.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.9177 1.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92790.92920.93060.9319 1.50.93320.93450.93570.93700.93820.93940.94060.94180.94290.9441 1.60.94520.94630.94740.94840.94950.95050.95150.95250.95350.9545 1.70.95540.95640.95730.95820.95910.95990.96080.96160.96250.9633 1.80.96410.96490.96560.96640.96710.96780.96860.96930.96990.9706 1.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97610.9767 2.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.9817 2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857 2.20.98610.98640.98680.98710.98750.98780.98810.98840.98870.9890 2.30.98930.98960.98980.99010.99040.99060.99090.99110.99130.9916 2.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99320.99340.9936 2.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.99490.99510.9952 2.60.99530.99550.99560.99570.99590.99600.99610.99620.99630.9964