12.5-6双曲线的标准方程(4课时)(精)
双曲线及其标准方程ppt课件
x2
y2
变式．给出曲线方程
＋
＝1.
4＋k 1－k
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
y2 x2
例 5．已知双曲线 C 的方程是 － ＝1，其上下焦点分别是 F2，
16 20
F1，点 M 在双曲线 C 上，且|MF1|＝9，则|MF2|＝________.
归纳总结
y
图形
y
P
P
x
O
F1
F1 O F2
方程
焦点
a,b,c之间的关系
F2
x
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
c2=a2+b2
a，b大小不定
椭圆与双曲线的区别
O
焦点在对应轴上
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
① 方程用“－”号连接；
y
F2
F1
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
② c2=a2+b2 ；
③分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1 O
F2
结论：已知F1，F2分别是双曲线C：
高中数学《双曲线及其标准方程》课件
解析
课堂互动探究
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
探究 1 双曲线标准方程的认识 例 1 若 θ 是第三象限角，则方程 x2＋y2sinθ＝cosθ 表示的曲线是( ) A．焦点在 y 轴上的双曲线 B．焦点在 x 轴上的双曲线 C．焦点在 y 轴上的椭圆 D．焦点在 x 轴上的椭圆
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为xm2＋yn2＝1， 则当 mn<0 时，方程表示双曲线．若nm<>00，， 则方程表示焦点在 x 轴上的双曲 线；若mn><00，， 则方程表示焦点在 y 轴上的双曲线．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
【跟踪训练 1】 若 k>1，则关于 x，y 的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1 所表示 的曲线是( )
[解] b>0)．
(1)当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，
∵M，N
在双曲线上，∴4－a22722－3
52
2 b2
＝1，
3 a2
－4b22＝1，
解得a12＝－116， b12＝－19
(不符合题意，舍去)．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
(2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6，两边平方得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2 中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2 ＝21|P0F0－1|·|1P0F02|＝0， ∴∠F1PF2＝90°， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
双曲线及其标准方程 课件
(3)设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点 P，Q 在双曲线上，
∴92A956＋A2＋12652B5B＝＝1，1，
解得AB＝＝－19. 116，
∴双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
[规律方法] 1.求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出 a2，b2 的值． 2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在 x 轴上和 y 轴上两 种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为 Ax2 ＋By2＝1(AB<0)来求解．
图 2-3-1
[思路探究]
建立平面直 角坐标系
→
由已知条件得 到边长的关系
→
判断轨迹 的形状
→
写出轨迹方程
[解] 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直
角坐标系，如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．由正弦定理，得 sin A＝|B2CR|，
sin B＝|A2CR|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径)．
求双曲线的标准方程
例 2、根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点
A1，－4
310；
(2)与双曲线1x62 －y42＝1 有相同的焦点，且经过点(6，5且焦点在坐标轴上．
[思路探究] (1)结合 a 的值设出标准方程的两种形式，将点 A 的坐标代 入求解．
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝12×64× 23＝16 3.
双曲线及其标准方程 课件
新知视界
1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个 定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线 的焦距．
思考感悟
1．双曲线的定义中，常数为什么要小于|F1F2|? 提示：①如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时 动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包括端 点)． ②如果定义中常数为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线． ③如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨 迹不存在．
解得ab22＝ ＝19， 6， ∴双曲线的方程为1y62 －x92＝1.
(2)解法一：设双曲线方程为xa22－by22＝1. 由题意易求得 c＝2 5. 又双曲线过点(3 2，2)，∴3a222－b42＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 (小于
|F1F2|)的点的轨迹是不是双曲线？ 提示：不是，是双曲线的某一支．
在双曲线的定义中，P为动点，F1，F2分别为双曲 线的左、右焦点，则①|PF1|－|PF2|＝2a，曲线只表示 双曲线的右支．
② |PF1| － |PF2| ＝ － 2a ， 曲 线 只 表 示 双 曲 线 的 左 支．
类型三 双曲线中的焦点三角形 [例 3] 若 F1，F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个 焦点，P 是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试 求△F1PF2 的面积．
双曲线 [分析] 双曲线方程 的―定―→义 |PF1|－|PF2|＝±2a ―平―方→ |PF1|2＋|PF2|2的值 余―弦―定→理 ∠F1PF2＝90° 面积公式 ――→ S△F1PF2
双曲线及其标准方程ppt课件
C.(0,-5),(0,5)
D.(0,- 7),(0, 7)
双曲线的定义
2
1.设 F1,F2 分别是双曲线 x2-24=1 的左、右焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 则△PF1F2 的面积等于 ( )
A.4 2
B.8 3
C.24
D.48
2.已知动点 P(x,y)满足 ( + 2)2 + 2- ( -2)2 + 2=2,则动点 P 的轨迹是 ( )
这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
y
M
F1 o F2 x
如何理解绝对值？若去掉绝对值则图像有何变化？
03 双曲线的标准方程
1. 建系：如图建立直角坐标系xOy，使x轴经 过点F1，F2，并且点O与线段F1F2中点重合.
y M
F1 O F2
x
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
利用定义求轨迹方程
P P127 习题3.2 第5题
如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O外一定点,P是圆上任
意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当
O
点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A Q
P115 习题3.1 第6题 如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O内一定点,P是圆上 任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点 Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A.椭圆 C.双曲线的左支
B.双曲线 D.双曲线的右支
双曲线的定义
22
【变式练习】
已知
P
是双曲线
双曲线及其标准方程 课件
双曲线的其他形式
(1)双曲线的一般方程：当 ABC≠0 时，方程 Ax2＋By2＝C 可以变形为xC2＋yC2＝ AB
1，由此可以看出方程 Ax2＋By2＝C 表示双曲线的充要条件是 ABC≠0，且 A，B 异号．此时称方程 Ax2＋By2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的 标准方程时，可以将其设为 Ax2＋By2＝1(AB<0)，将其化为标准方程，即x12Biblioteka y12＝双曲线及其标准方程
1．双曲线的定义
(
1
)
在
平
面
内
到
两个
定
点
F1
、
F
距
2
离
之
_差__
的绝
对
值
等
于
定
值
2
a
(
大于
0
且
小
于
| F 1F 2| ) 的 点 的 轨 迹 叫 做 双 曲 线 ． 这 两 个 定 点 叫 做 双 曲 线 的 _焦_ _点_ _ _ _ ， 两 焦 点
之间的距离叫做双曲线的_焦_距____．
，
∴双曲线方程为x82－y42＝1.
『规律总结』 利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下： (1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，不能确定时 应分类讨论． (2)设方程：根据焦点位置，设方程为ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，焦 点不定时，亦可设为 mx2＋ny2＝1(m·n<0)； (3)寻关系：根据已知条件列出关于 a、b(或 m、n)的方程组； (4)得方程：解方程组，将 a、b、c(或 m、n)的值代入所设方程即为所求．
沪教版高中数学高二下册第十二章12.5 双曲线的标准方程 课件 (共14张PPT)
焦点的坐标为：(0,-3),(0,3)
y2 5 =1
x2 5 =1
设F1(-3,0),F2(3,0),动点M到F1的距离减去M到 F2的距离之差为常数4，写出动点M的轨迹方程
解： ∵ /MF1/ － /MF2/ ＝4
（动点M的轨迹是双曲线的右支）
∴2a=4 ∴a=2
［思考］
平面上两定点F1F2相距2c，动点M到F1F2的距离之 差的绝对值为常数2a，则动点M的轨迹一定是双曲线 吗解？：不一定。
当2a<2c(即a<c)时，动点M的轨迹是双曲线
当2a=2c(即a=c)时，动点M的轨迹是两条射线 （即直线F1F2，除去F1F2 之间的部分） 当2a>2c(即a>c)时，动点M的轨迹不存在
x2
=1
a2
b2
（三）应用
1、例题 2、课堂练习
例题
已知：双曲线的焦距为６，双曲线上的点到 两个焦点的距离之差的绝对值为４。
求： 双曲线的标准方程及焦点的坐标
解： ∵2c=6 ∴c=3 ∵2a=4 ∴a=2
∴b2=c2－a2=9－4=5
∴(1)若焦点在x轴上,双曲线的标准方程为 x2 4
焦点的坐标为：(-3,0),(3,0) y2
双曲线与它的标准方程
（一）双曲线的定义 （二）双曲线的标准方程 （三）应用 （四）小结 （五）作业
（一）双曲线的定义
平面上到两个定点F1和F2的距离之 差的绝对值等于常数2a（2a</F1F2/） 的点的轨迹，叫做双曲线。
（1）双曲线的焦点：两个定点F1和F2 （2）焦距：两个焦点的距离/F1F2/(设/F1F2/=2c)
16 9 =1
高二数学双曲线的标准方程
12.5双曲线的标准方程上海市控江中学 柳敏一、教学内容分析本小节的重点是双曲线的定义和标准方程，通过对椭圆的定义的类比联想，很容易想到研究到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹问题.要充分注意双曲线定义中“2120F F a <<”，“绝对值”的词汇的定性描述，正确理解概念，注重思维的严密性.双曲线定义的理解以及标准方程的形式，c b a ,,三个量的关系都可以与椭圆进行类比学习，从而理解两种曲线的联系与区别.本小节的难点是双曲线的标准方程的推导.双曲线的标准方程的推导可以在椭圆的标准方程的推导经验中类比完成.突破难点的关键是初步研究双曲线的对称性，建立恰当的直角坐标系，注重方程化简过程中的合理变形.对于“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的证明，有条件的还是需要的，使方程的推导更完备. 二、教学目标设计理解双曲线的定义;能推导双曲线的标准方程,掌握焦点在x 轴和y 轴上的双曲线的标准方程，会求给定条件下的双曲线的标准方程.通过对双曲线的标准方程的推导，巩固求动点的轨迹方程的一般方法.在与椭圆的类比学习中获得双曲线的知识，培养比较、分析、归纳、推理等能力.三、教学重点及难点双曲线的定义和双曲线的标准方程. 双曲线的标准方程的推导. 四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习回顾 思考并回答下列问题 1、椭圆的定义是什么？ 2、椭圆定义中有哪些注意点？ 3、椭圆的标准方程是怎样的？ 二、讲授新课 1、概念引入问题引入：如果把椭圆定义中的和改成差: 12||||2PF PF a -=或21||||2PF PF a -=,即:12||||||2PF PF a -=，其中0>a 动点的轨迹会发生什么变化呢？①若21212F F a MF MF ==-，则轨迹是线段21F F 的延长线；若21122F F a MF MF ==-，则轨迹是线段12F F 的延长线；②若21212MF MF a F F -=<，则无轨迹；③在1202||a FF <<条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做双曲线. [说明]通过对椭圆定义的类比，启发学生思考并发现a 2与21F F 的大小关系与动点的轨迹的变化规律.此时可设计探究实验：学生用笔、细绳等工具试验画出满足条件的轨迹图形（可以让学生在上课前做一些实验的设计准备），教师利用多媒体演示（并加以说明）.通过学生的动手操作，增加学生的感性认识，提高学生学习的参与度.2、概念形成 ⏹ 双曲线定义定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点21,F F 叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离12||F F 叫做焦距.⏹ 双曲线定义中的注意点 在概念的理解中要注意：（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于21F F . （2）当12||||2PF PF a -=时，动点的轨迹是与2F 对应的双曲线的一支， 21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支.3、双曲线的标准方程的推导可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程．如图8-12建系，设c F F 221=，取过点21F F 、的直线为x轴，线段21F F 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则)0,(F )0,(21c c F 、-，设M 是所求轨迹上的点.依已知条件有a MF MF 221±=-，221)(y c x MF ++=，222)(y c x MF +-=，22)(y c x ++∴a y c x 2)(22±=+--，移项得：22)(y c x ++22)(2y c x a +-+±=，平方得：222)()(y c x a cx a +-=-± （*）再平方得：)()(22222222c a a y a x c a -=+-，即)()(22222222a c a y a x a c -=--，令)0(222>>-=b c a c b则222222b a y a x b =-，即12222=-by a x反之：设M 是12222=-b y a x 上的点，则)1(2222-=ax b y ， aa cx a cx x a c a xb bc cx x y c x MF +=++=+-++=++=222222222222122)(222)(y c x MF +-==a acx-，x a c a ≤<, ， ∴当a x ≥时，a a cx MF +=1 ，a a cx MF -=2，有a a acx a a cx MF MF 221=+-+=-； 当a x -≤时，a a cx MF --=1，a acxMF +-=2，有a a acxa a cx MF MF 221-=-+--=-综上：焦点在x 轴上双曲线的标准方程是12222=-by a x ①，其中)0(222>>+=a c b a c ，焦点)0,(F )0,(21c c F 、-.[说明]对于标准方程的推导可以启发学生仿照求椭圆的标准方程的做法来完成，在建立直角坐标系之前，可以让学生初步推断双曲线所具有的对称性，使建系更合理.对于证明“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”这一过程可以视学生的程度来定，这样可使推导过程更完整，思维更严谨，这一过程需在教师的引导下师生共同完成.同样如果双曲线的焦点在y 轴上(图8－13)，那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？焦点是F1(0，－c)、F2(0，c)时，a 、b 的意义同上，那么双曲线只要将方程①的x 、y 互换，就可以得到焦点在y 轴上的标准方程是12222=-bx a y ，其中)0(222>>+=a c b a c ，焦点),0(F ),0(21c c F 、-.[说明]双曲线的标准方程是指双曲线在标准状态下的方程，这里的标准状态有两层含义：（1）双曲线的两个焦点均在坐标轴上，（2）这两个焦点的中心必须与原点重合.从这一方面理解，双曲线的标准方程就是在特殊的直角坐标系下的方程.思考：将方程推导过程中的方程（*）做变形可得()ca x a c y c x 222-=+-，即()acca x y c x =-+-222，且1>a c ，那么其中又蕴涵着怎样的几何意义呢？思考其几何意义可知，双曲线上的点满足到定点)0,(F 2c 的距离与到定直线ca x 2=的距离之比是一个大于1的常数，这是双曲线的一个几何性质.反之，如果一个点),(y x P 满足()ac ca x y c x =-+-222，且1>a c ，即点P 到定点)0,(F 2c 的距离与到定直线c a x 2=的距离之比是一个大于1的常数，则点P 的轨迹是双曲线吗？这个问题留给课后思考.[说明] 思考这个问题的目的是扩展学生的认知空间，与圆锥曲线的第二定义联系起来，使知识体系更系统化一些.这一问题是作为课后思考题让学生完成.4、例题解析 例1 课本P55例1.[说明] 本题主要是让学生正确理解双曲线的定义，熟悉双曲线的标准方程，标准方程中三个量c b a ,,的意义与方程的关系.例2(补充)：求满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦距为26，动点到两焦点的距离之差为24；（2）已知双曲线过定点()()03,2≠m m m ，且2=ac，求双曲线的标准方程. （3） 已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点)24,3(1-P ，)5,49(2P 在此双曲线上，求双曲线的标准方程.[说明] 本题主要帮助学生掌握根据给定条件确定双曲线的标准方程的方法，注意方程的形式与焦点位置的关系.使学生学会用方程的思想来确定双曲线的标准方程. 例3：课本P56例2.[说明] 本题主要让学生应用双曲线定义解决有关实际应用问题，注意根据题设条件仅能得到双曲线的一支.利用两个不同的观察站测得同一爆炸点的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置，如果再增加一个观察点C ，利用B 、C （或A 、C ）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置了. 例4：课本P56例3.[说明]本题主要让学生学习利用双曲线的标准方程解决一些相关的简单几何问题.初步认识双曲线的标准方程的应用.三、课堂小结1.双曲线的定义是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于21F F .注意双曲线定义中“2120F F a <<”，“绝对值”的词汇的定性描述.2.双曲线的标准方程的特点是平方差，一般根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上.3、比较与区分双曲线与椭圆的定义和标准方程的异同. 四、巩固练习 1．课本P57练习12.52．（补充）填空：已知方程11222=+--m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围是 ；若表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是 .3．已知圆()13:221=++y x C 和圆()93:222=+-y x C ，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心的轨迹方程. 五、课后作业1．练习册P29习题12.5 A 组1、2、3 2、练习册P29习题12.5 A 组4，B 组1、2六、教学设计说明1、用类比联想的方法从椭圆的定义中提出新的问题，到两个定点的距离之差为正常数的点的轨迹是什么？再通过探究解答问题，并提出双曲线的定义，这样可以使学生正确理解双曲线的概念，并能在学习中主动加强知识间的联系.特别注意双曲线定义中“2120F F a <<”，“绝对值”的词汇的定性描述，当没有绝对值时，通常表示为双曲线的一支.在问题的探究过程中，可以设计学生的动手实验，增加学生的感性认识，培养学习的兴趣和主动参与的精神. 2、由于前一节学生接触了椭圆的标准方程的推导，对建、设、列、化、证等步骤有所熟悉，则双曲线的标准方程的推导过程可以在教师的引导下由学生尝试完成.特别是证明“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的过程可以由师生共同完成，以培养思维、论证的严密性. 3、本解课可以安排两节课时，第一节主要是理解双曲线的定义和正确推导双曲线的标准方程.可以完成例1、例3，课后作业完成1.第二节课主要是学习根据已知条件确定双曲线的标准方程，以及利用双曲线的方程解决简单几何问题.完成例2、例4和巩固练习.课后作业完成2. 4、运用对比教学的方法，使学生区分椭圆与双曲线的概念、标准方程、图形、c b a ,,三个量的异同.教师在课堂小结中可以设计一个表格，让学生填写内容.见下表：。
双曲线及其标准方程ppt课件
双曲线的定义
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a
②如图(B)，|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）上面 两条
曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支.
双曲线的定义
（2）定义
北师大版选择性必修一
2.2.1 双曲线的标准方程
复习
复习 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点
的集合（或轨迹）叫做椭圆.
问题1 如果平面内到两个定点F1,F2的距离之差也是一个常数，这
样的点的轨迹是什么图形呢？
双曲线的定义
模型试验：取一条拉链，如图，把它固定在板上的F1、F2两点，
tan
2
中2可以直接使用此公式求双曲线焦点三角形的面积．
双曲线的焦点三角形
例3
2
F1，F2是双曲线
4
−
2
9
= 1的两个焦点，点P在双曲线右支
上，∠F1PF2＝90°.求△F1PF2的面积．
双曲线的轨迹方程
例4 在△ABC中,已知||＝4 2,且三个内角A,B,C满足2sin A＋
sin C＝2sin B．建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
点的轨迹是什么？
2、若常数2a=0,轨迹是什么?
双曲线的定义
3、若常数2a=|F1F2|轨迹是什么？
4、若常数2a＞|F1F2|轨迹是什么？
双曲线的标准方程
双曲线标准方程的推导
(1)建立直角坐标系.
y
(2)设点的坐标
M
(3)根据定义推导出双曲线的标准方程
沪教版高中数学高二下册第十二章12.5 双曲线的标准方程 教案
双曲线的标准方程
教学目标：
1．掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义； 2．能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标准方程； 3．能解决较简单的求双曲线标准方程的问题； 4．培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。
展示学生画图结果二：
M
画出来的曲线开口向左边
F1
F2
（把学生的图在实物投影下展示，发现存在的差异，
讨论点 M 到 F1 与 F2 两点的距离的差确切怎样表示？） M
.
展示学生画图结果三：
F1
F2
拉链头拉不到 F2 点，图画不出来
（引发学生思考为什么会画不出来？||MF1|-|MF2||
与|F1F2|有何关系？）
师：由椭圆的定义，一般情况下，我们设该常数为 2a。那么什么情况下表示的是双曲线的右支，什 么情况下表示的是双曲线的左支？
生：当 MF1 − MF2 = 2a 时，表示的是双曲线的右支，当 MF1 − MF2 = −2a 时，表示的是双曲线的 左支。
2、定义探究 （教师引导学生分情况讨论）： 师：这个常数 2a 有没有限制条件？
生：有。这个常数 2a 要比焦距 F1F2 小。 师：很好。为什么要有这个限制条件呢？其他情况会是怎样的呢？我们一起来分析一下：
（1）若 a=0，则有 MF1 − MF2 = 0 即 MF1 = MF2 ，此时轨迹为线段 F1F2 的中垂线；
（2）若 2a= F1F2 ,则有 MF1 − MF2 = F1F2 ，此时轨迹为直线 F1F2 上除去线段 F1F2 中间部分， 以 F1 、 F2 为端点的两条射线；
【变式 4】已知点 M（x,y）到点 F1(-3，0)的距离减去它到点 F2 的距离的差的绝对值是 2a，求点 M 的 轨迹方程。
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12.5 双曲线的标准方程
【练习1】定义：
1．平面内两个定点12F F 、且1210F F =，动点M 满足126MF MF -=，则点M 的轨迹是（ ） A ．两条射线 B ．直线 C ．椭圆 D ．双曲线
2．平面内两个定点12F F 、且1210F F =，动点M 满足1210MF MF -=，则点M 的轨迹是（ ） A ．两条射线 B ．直线 C ．椭圆 D ．双曲线
3．平面内两个定点12F F 、且1210F F =，动点M 满足1216MF MF -=，则点M 的轨迹是（ ） A ．不存在
B ．直线
C ．椭圆
D ．双曲线
4．平面内两个定点12F F 、且1210F F =，动点M 满足126MF MF -=，则点M 的轨迹是（ ） A ．两条射线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．双曲线的一支 【练习2】方程：
1．若双曲线22
19x y n
-=的焦点在x 轴上，且焦距为10，求实数n 的值。
2．若双曲线的标准方程为22
14
x y m +=且焦距为6，求实数m 的值。
3．已知方程22
146x y k k
+=-+表示双曲线，求实数k 的取值范围。
4．动点M 到两个定点()()123,03,0F F -、的距离的差的绝对值是4，求动点M 的轨迹方程．
5．动点M 到点()23,0F 的距离减去到点()13,0F -的距离的差是4，求动点M 的轨迹方程．
6．动点M 到两个定点()()120,50,5F F -、的距离的的差的绝对值8，求动点M 的轨迹方程．
7．动点M 到点()20,4F 的距离减去到点()10,4F -的距离的差是8，求动点M 的轨迹方程．
8．动点M 到点()13,0F 的距离减去到点()23,0F -的距离的差是0，求动点M 的轨迹方程．
9．如果双曲线2
2
164
36
x y -=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，求点P 到另一个焦点F 2的距离．
10．如果双曲线2
2
164
36
x y -=上一点P 到焦点F 1的距离等于19，求点P 到另一个焦点F 2的距
离．
11．如果双曲线2
2
164
36
x y -=上一点P 到焦点F 1的距离等于17，求点P 到另一个焦点F 2的距
离．
12．已知定点)0,3(A 和定圆16)3(:22=++y x C ，动圆和定圆C 外切，并经过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．
13．已知双曲线22
221x y a b
-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过点1F 交双曲线的左支
于A 、B 两点，且m AB =||，求△2ABF 的周长．
【例1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(-5，0)、(5，0)，双曲线上一点P 到两焦点距离的差的绝对值等于6；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，-6)、(0，6)，并且椭圆经过点()25-，．
(3)求过点
(,2M N -的双曲线的标准方程.
【练习2】写出分别满足下列条件的椭圆的标准方程. （1）4,3a b ==，焦点在x 轴上；
（2）焦点在y 轴上，且双曲线经过9(3,54⎛⎫- ⎪⎝⎭
、，
．
（3）a =经过点()5,2A -，焦点在x 轴上；
（4）9,3b c a +==
【例2】一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s ．
(1)爆炸点应在什么样的曲线上？
(2)已知A 、B 两地相距800m ，并且此时声速为340m/s ，求曲线的方程
【例3】双曲线22
1916
x y -=的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若12PF PF ⊥,求点P
到x 轴的距离。
【练习3】
1.已知双曲线19
162
2=-y x 的两个焦点分别为12F F 、，P 为双曲线上一点，且122F PF π∠=，求12
PF F ∆的面积．
2.已知双曲线19
162
2=-y x 的两个焦点分别为12F F 、，P 为双曲线上一点，且123F PF π∠=，求12PF F ∆的面积．
3．已知双曲线22221x y a b
-=的两个焦点分别为12F F 、，P 为双曲线上一点，且12F PF θ∠=，求12PF F ∆的面积．
12.6 双曲线的性质（第一课时：双曲线的几何性质）
【例1】已知双曲线过点P(4，3)，它的一条渐近线的方程为12
y x =，求双曲线的标准方程。
【练习2】
1.已知双曲线的一个焦点坐标为（5，0）, 一条渐近线的方程为340x y -=，求此双曲线的标准方程．
2.已知双曲线的实轴的长为8，一条渐近线的方程为20x y +=，求此双曲线的标准方程．
3．求与双曲线14
2
2
=-y x 有共同渐近线，且过点)2,2(M 的双曲线的标准方程．
4. 已知双曲线经过点（1，1），其渐近线方程为y =，求此双曲线的标准方程．
【例2】求以椭圆22
185
x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。
【练习2】若椭圆14222=+a y x 与双曲线122
22=-y a
x 的焦点相同，求实数a 的值．
【例3】证明：双曲线12
2
22=-b
y a x ()0,0a b >>上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个
定值．
【练习3】
求证：从双曲线12
2
22=-b
y a x ()0,0a b >>的一个焦点到一条渐近线的距离是定值。
12.6 双曲线的性质（第二课时：直线和双曲线的关系）
【例1】已知直线1:+=ax y l 与双曲线13:22=-y x C 相交于A 、B 两点． （1）求实数a 的取值范围．
（2）当实数a 为何值时，以线段AB 为直径的圆经过坐标原点．
【例2】已知在△ABC 中，A 为动点，B 、C 两定点的坐标分别为)0,2(-、)0,2(，且满足A B C sin 2
1
sin sin =-，求动点A 的轨迹方程．
【例3】求过定点()0,1P 的直线l 被双曲线2
2
14
y x -=截得的弦AB 中点P 的轨迹方程。
【例4】已知直线l 交双曲线2
212
y x -=于M N 、两点，()1,2A 是MN 的中点，求直线l 的
方程。
【例5】以等轴双曲线122=-y x 的顶点为焦点的椭圆与直线3=+y x 有公共点，求当椭圆长轴最短时的椭圆方程．。