待定系数法求双曲线的标准方程

待定系数法求双曲线的标准方程

【例】求焦点在坐标轴上，且经过12(2(23

P P -，和两点的双曲线的标准方程.

解法一：若双曲线的焦点在x 轴上，则设它的标准方程为

2222

1(0,0).x y a b a b -=>>12P P 和两点在双曲线上，22222222(2)21431a b a b ⎧⎪--=⎪⎪∴⎨⎪⎪-=⎪⎩解得22

111611

9a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩不合题意，故方程组无解； 若双曲线的焦点在y 轴上，则设它的标准方程为22

221(0,0).y x a b a b

-=>>12P P 和两点在双曲线上，22

222222(2)21431a b a

b ⎧⎪--=⎪⎪∴⎨⎪⎪-=⎪⎩解得221191116a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即22916a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩综上可知，所求双曲线的标准方程为22

1.916

y x -= 解法二：设所求双曲线的方程为221(0).mx ny mn +=<12P P 和两点在双曲线上，

454141671619

m n m n ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪⨯+=⎪⎩解得11619m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求双曲线的标准方程为22 1.916y x -=