相似三角形专题训练(一)、(二)求比值的方法
初一数学上册综合算式专项练习题相似三角形的边长比计算练习
初一数学上册综合算式专项练习题相似三角形的边长比计算练习在初一数学上册中，相似三角形是一个非常重要的概念。
相似三角形具有相等的内角，但是边长各不相等。
在本文中，我们将通过综合算式专项练习题来探索相似三角形的边长比的计算方法。
在开始之前，我们先来回顾一下相似三角形的定义和性质。
两个三角形是相似的，当且仅当它们对应的角相等，即三个内角分别相等。
相似三角形的边长比可以通过以下几种方法计算：方法一：边长比的定义相似三角形的边长比是指两个相似三角形对应边的比值。
设两个相似三角形分别为△ABC与△DEF，对应边的比值记为k，则：AB/DE = BC/EF = AC/DF = k方法二：高度与底边的比值在一个三角形中，如果有一条边平行于另一边，并且与两边的夹角相等，那么这条边被称为底边，与其平行的边称为高度。
对于两个相似三角形，它们的高度与底边的比值等于对应边的比值。
即：高度比 = 对应边的比值方法三：重心与顶点的比值在一个三角形中，重心是三条中线的交点。
对于相似三角形，重心与顶点的距离比值等于对应边的比值。
即：重心距离比 = 对应边的比值通过掌握这几种方法，我们可以灵活地计算相似三角形的边长比。
接下来，我们将通过具体的综合算式专项练习题来进行进一步的实践。
题目一：已知两个相似三角形的一个内角为60°，其中一个三角形的边长为5cm、8cm和10cm，求另一个三角形的边长。
解析：设两个相似三角形为△ABC和△DEF，对应边的比值为k。
根据相似三角形的性质，我们可以得到以下等式：AB/DE = BC/EF = AC/DF = k已知一个内角为60°，根据三角形内角和定理，我们可以得到另一个内角为120°，而第三个内角的度数为180°减去前两个内角的度数之和，即180°-60°-120°=0°。
由于一个三角形的内角之和为180°，所以第三个内角为0°是不可能的，因此这个题目是无解的。
专题训练相似三角形的计算与证明
相似三角形的对应边之间的比例 称为相似比。
相似三角形的性质
对应角相等
相似三角形的对应角相等，即 $angle A = angle A'$、$angle
B = angle B'$、$angle C = angle C'$。
对应边成比例
相似三角形的对应边之间成比例， 即$frac{a}{a'} = frac{b}{b'} = frac{c}{c'}$。
专题训练相似三角 形的计算与证明
目 录
• 相似三角形的定义与性质 • 相似三角形的计算方法 • 相似三角形的证明技巧 • 相似三角形在实际问题中的应用 • 相似三角形与其他几何知识的综合应用
01
CATALOGUE
相似三角形的定义与性质
相似三角形的定义
相似三角形
如果两个三角形对应的角相等， 则这两个三角形相似。
与四边形的综合应用
总结词
利用相似三角形研究四边形的性质和分 类
VS
详细描述
在研究四边形的问题时，经常需要利用相 似三角形的性质来推导四边形的性质。例 如，在判断四边形的形状时，可以通过构 造相似三角形来证明两个角相等，从而确 定四边形的类型。此外，在求解四边形的 面积或周长时，也可以利用相似三角形的 性质来找到简便的解法。
02
CATALOGUE
相似三角形的计算方法
利用相似三角形的性质计算
相似三角形的对应角相等
利用相似三角形的性质，我们可以计算出相似三角形的对应角，从而确定三角 形的形状和大小。
相似三角形的对应边成比例
相似三角形的对应边长之间存在一定的比例关系，利用这一性质可以计算出三 角形的边长。
利用相似三角形的比例关系计算
相似三角形的计算
相似三角形的计算相似三角形是指具有相同形状但是大小不同的两个三角形。
计算相似三角形的关键在于确定它们的对应边长的比值，也称为相似比。
在本文中，我们将介绍三种常见的计算相似三角形的方法。
方法一：角度相等法当两个三角形的对应角相等时，它们是相似三角形。
这是最简单的判定方法。
我们可以使用以下公式来计算相似比：$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$$其中，AB、BC、AC分别是大三角形ABC的三个边长，DE、EF、DF分别是小三角形DEF的三个边长。
方法二：边长比值法如果我们知道两个三角形某两边的比值相等，且这两边夹角相等，则可以确定这两个三角形相似。
我们可以使用以下公式来计算相似比：$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$$其中，AB、BC、AC分别是大三角形ABC的三个边长，DE、EF、DF分别是小三角形DEF的三个边长。
方法三：高比值法如果我们知道两个三角形的高的比值相等，且这两个三角形有一个共同的底边，则可以确定这两个三角形相似。
我们可以使用以下公式来计算相似比：$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$$其中，AB、BC、AC分别是大三角形ABC的三个边长，DE、EF、DF分别是小三角形DEF的三个边长。
现在，让我们通过一个例子来演示如何计算相似三角形。
例题：在相似三角形ABC和DEF中，已知AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，DE=4cm，求EF的长度。
根据方法一，我们可以直接使用角度相等法来计算。
由于两个三角形相似，我们可以得知：$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$$代入已知条件，得到：$$\frac{6}{4}=\frac{8}{EF}=\frac{10}{DF}$$通过交叉相乘求解，可以得到：$$6 \times EF = 4 \times 8$$解得EF= \frac{32}{6} = \frac{16}{3} cm因此，EF的长度为 \frac{16}{3} cm。
初中相似三角形专题训练
初中相似三角形专题训练
相似三角形是指在结构上相似或比例上相似的三角形。
在初中数学中，相似三角形是一个重要的概念，常常出现在图形推理、比例计算和证明题中。
下面是一些初中相似三角形的专题训练:
1. 判断两个三角形是否相似。
给定两个三角形，请判断它们是否相似，提供一些判断依据，如三角形的内角和是否相等、三角形的面积是否相等、三角形的高和中线是否相等等。
2. 计算两个三角形的相似比。
给定两个三角形，要求计算它们相似比，即两个三角形相似，相似比可以用来计算两个三角形的面积比、周长比等。
3. 证明两个三角形相似。
给出两个三角形，要求证明它们相似，可以使用相似三角形的定义、比例关系、内角相等等来证明。
4. 解决关于相似三角形的问题。
相似三角形在数学和应用中有许多应用，例如在图形推理中，可能会给出一个三角形，要求判断另外两个三角形是否相似;在工程和建筑中，相似三角形常常被用来测量和计算面积、周长等。
在初中数学中，相似三角形是一个重要的概念，通过专题训练，可以帮助初中生更好地理解相似三角形的概念和特性，提高他们的图形推理能力和计算能力。
相似相似三角形全部知识点总结附带经典习题和答案
拔高相似三角形习题集适合人群：老师备课，以及优秀同学拔高使用。
一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
专题28 相似三角形篇(解析版)
专题28 相似三角形考点一：比例1. 比例的性质：①基本性质：两内项之积等于量外项之积。
即若d c b a ::=，则ad bc =。
②合比性质：若d c b a =，则d d c b b a +=+。
③分比性质：若d c b a =，则d d c b b a -=-。
④合分比性质：若d c b a =，则d c d c b a b a -+=-+。
⑤等比性质：若n m d c b a ===...，则n m d c b a n d b m c a ====++++++.........。
2. 比例线段：若四条线段d c b a ，，，，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如d c b a ::=（即ad bc =），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。
3. 平行线分线段成比例：三条平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例。
即如图：有EFDE BC AB =；DFDE AC AB =；DFEF AC BC =。
推论：①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
②如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
③平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
1．（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍．【分析】根据比例的性质解决此题．【解答】解：由题意得，5m被称物＝6m砝码．∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．故答案为：1.2．2．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作CD ∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）A．4B．5C．6D．7【分析】根据CD∥OB得出，根据AC：OC＝1：2，得出，根据C、D两点纵坐标分别为1、3，得出OB＝6，即可得出答案．【解答】解：∵CD∥OB，∴，∵AC：OC＝1：2，∴，∵C 、D 两点纵坐标分别为1、3，∴CD ＝3﹣1＝2，∴，解得：OB ＝6，∴B 点的纵坐标为6，故选：C ．3．（2022•临沂）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，32 DB AD ，若AC ＝6，则EC ＝（ ）A ．56B ．512C ．518D ．524【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴＝，∴，∴，∴EC ＝．故选：C ．4．（2022•丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上．若线段AB ＝3，则线段BC 的长是（ ）A ．32B ．1C ．23D ．2【分析】过点A 作平行横线的垂线，交点B 所在的平行横线于D ，交点C 所在的平行横线于E ，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，则＝，即＝2，解得：BC＝，故选：C．5．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝33，则△ABC的周长为 ．【分析】如图，过点F作FM于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．证明AB ＝3AD，设AD＝CD＝a，证明ET＝CT，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，求出a+b，可得结论．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，设AD ＝DC ＝a ，则AB ＝3a ，∵AD ＝DC ，DT ∥AE ，∴ET ＝CT ，∴＝＝3，设ET ＝CT ＝b ，则BE ＝3b ，∵AB +BE ＝3，∴3a +3b ＝3，∴a +b ＝，∴△ABC 的周长＝AB +AC +BC ＝5a +5b ＝5，故答案为：5．6．（2022•哈尔滨）如图，AB ∥CD ，AC ，BD 相交于点E ，AE ＝1，EC ＝2，DE ＝3，则BD 的长为（ ）A ．23B ．4C ．29D ．6【解答】解：∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∴＝，即＝，∴BE ＝1.5，∴BD ＝BE +DE ＝4.5．故选：C ．7．（2022•雅安）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，DE ∥BC ，若12 BD AD ，那么BCDE ＝（ ）A ．94B ．21C ．31D ．32【分析】根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝＝．故选：D ．8．（2022•凉山州）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，若DE ∥BC ，32 BD AD ，DE ＝6cm ，则BC 的长为（ ）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．18cm【分析】根据＝，得到＝，根据DE ∥BC ，得到∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，得到△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形对应边成比例即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴＝，∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，∴＝，∴＝，∴BC ＝15（cm ），故选：C ．9．（2022•鞍山）如图，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点E ，若AE ：DE ＝1：2，AB ＝2.5，则CD 的长为 ．【分析】由平行线的性质求出∠B ＝∠C ，∠A ＝∠D ，其对应角相等得△EAB ∽△EDC ，再由相似三角形的性质求出线段CD 即可．【解答】解：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ，∠A ＝∠D ，∴△EAB ∽△EDC ，∴AB ：CD ＝AE ：DE ＝1：2，又∵AB ＝2.5，∴CD ＝5．故答案为：5．10．（2022•上海）如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝90°，D 为AB 中点，E 在线段AC 上，BC DE AB AD ，则AC AE ＝ ．【分析】利用平行线截线段成比例解答．【解答】解：∵D 为AB 中点，∴＝．当DE ∥BC 时，△ADE ∽△ABC ，则＝＝＝．当DE 与BC 不平行时，DE ＝DE ′，＝．故答案是：或．11．（2022•宜宾）如图，△ABC 中，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，∠1＝∠2．若BC ＝4，AF ＝2，CF ＝3，则EF ＝ ．【分析】由∠1＝∠2，∠A ＝∠A ，得出△AEF ∽△ABC ，再由相似三角形的性质即可得出EF 的长度．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ABC ，∴，∵BC ＝4，AF ＝2，CF ＝3，∴，∴EF ＝，故答案为：．考点二：相似三角形的性质1.相似图形的概念：把形状相同的图形称为相似图形。
中考数学专题训练1：相似三角形的证明与计算
【基本结论】1.比例.2.三角形相似的判定：(1)(2)对应成比例，且夹角相等，(3)3.的平方。
【基础练习】1.相似三角形.2. 如图，BD、CE是△△AED∽△ACB.3. 如图，等边△ABC中，P上一点，且∠APD=600,BP长.4.E是AC边上一∠ADE＝∠C．求证：AE•AC．ABC的边BC上的高，，求证：△ABE∽△ADC．都是等边三角形，AD、F、G，AD、BE交于(2)AF·FC=BF·FH．E是AC上的点，延F．若AE∶EC=1∶2，的值．E，过E作EF∥AB，11CD EF=.10. 如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； (2)连结FG ，如果α＝45°，AB＝AF ＝3，求FG 的长．11. 如图，已知AB 是O ⊙的直径，过点O 作弦BC 的平行线，交过点A 的切线AP 于点P ，连结AC ． (1)求证：ABC POA △∽△； (2)若2OB =，72OP =，求BC 的长．12. 如图，⊙O 中，弦AB CD 、相交于AB 的中点E ，连接AD 并延长至点F ， 使DF AD =，连接BC 、BF ．(1)求证：CBE AFB △∽△；(2)当58BE FB =时，求CBAD的值13．在△ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4．O 为BC 边上一点，以O 为圆心，OB 为半径作半圆与BC 边和AB 边分别交于点D 、点E ，连结DE ．过点E 作半圆O 的切线，当切线与AC 边相交时，设交点为F ．求证：△F AE 是等腰三角形．14. 已知，延长BC 到D ，使．取的中点，连结交于点． (1)求的值；(2)若，求的长．15.如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE ⊥OB 交BC 边于点E ． (1)求证：△ABF ∽△COE ；(2)当O 为AC 边中点，2AC AB = 时，如图2，求OFOE ; (3) 当O 为AC 边中点，ACn AB= 时，请直接写出OFOE的值．16. 如图，已知抛物线y ＝34x 2＋bx ＋c与坐标ABC △CD BC =AB F FD AC E AEACAB a FB EC ==，AC BBAACE D DEC O F 图1图2F轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为(－1，0)，过点C 的直线y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，点P是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1． (1)填空：点C 的坐标是_____，b ＝_____，c ＝_____； (2)求线段QH 的长(用含t 的式子表示)；(3)依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有17. 已知，如图1，过点E(0，-1)作平行于x 轴的直线l ，抛物线214y x =上的两点A B 、的横坐标分别为-1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A 、B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF 、DF ．(1)求点A 、B 、F 的坐标； (2)求证：CF ⊥DF ；(3)点P 是抛物线214y x =对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ ⊥PO 交x 轴于点Q ，是否存在点P 使得△OPQ 与△CDF 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18. 如图，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接22)(m k m x y -++=x 1(0)A x ，2(0)B x ，y C ABC △圆的圆心为点．(1)求与轴的另一个交点D 的坐标； (2)如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值．19.如图，A 、P、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC =∠BPC = 60︒，AB 与PC 交于Q 点．(1)判断△ABC 的形状，并证明你的结论； (2)求证：； (3)若∠ABP = 15︒，△ABC 的面积为4，求PC 的长．20. 如图，AB 是⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线并在其上取一点C ，连接OC 交⊙O 于点D ，BD 的延长线交AC 于E ，连接AD ． (1)求证：△CDE ∽△CAD ； (2)若AB =2，AC =2，求AE 的长．21. 已知，如图，直线l 经过A (2，0)和B (0，4)两点，它与抛物线2ax y =在第一象限内相交于点C ，又知△AOC 的面积为2，(1)求直线AB 的函数关系式和a 的值.(2)在y 轴上有点P ，使由P 、C 、B 三点组成的三角形与△AOB 相似，求点P 的坐标. (3)在y 轴上有一点Q ，使△COQ 是以OC 为底边的等腰三角形，求Q 点的坐标；【巩固练习】1. 阴影部分是一个正方形，求其边长.P P ⊙y AB P ⊙ABC △5m k QBAQPB AP =32、ABCD 是边长为4的正方形，DEFG 是矩形，A 在EF 上，DG=5，求DE 的长.3、已知CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，求证：22AC BC =ADDB.4.四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ，AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．求证：(1)AE=CG ；(2)AN ·DN=CN ·MN ．5. 如图,已知DE ∥BC,CD 和BE 相交于O,若S △DOE ︰S △COB=9︰16,求AD ︰DB.6、如图，S ADE ∆=0.5S ABC ∆,且∠1=∠B,求DE ︰BC.7.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 上的点O 为圆心，OB 的长为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ．(1)求证：∠ADE ＝∠ABD ；(2)设AD ＝2，AE ＝1，求⊙O 直径的长．8. Rt △ABC 中，有3个内接正方形，DF=9，GK=6，求PQ.9. 如图，DF ∥EG ∥BC ，AD ＝DE ＝EB ，且把△ABC 分成三部分，求这三部分的面积之比S1∶S2∶S3．ANM GFEDCBA∙ABCD EO。
相似三角形等积等比证明方法
相似三角形解题方法【基本图形】两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.【方法精讲】一、、“三点定形法”例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证: BA AC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？ ）例2、如图，CD 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高，△BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC·AE=AF·AB 吗？说明理由。
分析方法：1）先将积式______________2）______________（“横定”还是“竖定”？）练习1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。
求证：CD2=DE·DF。
二、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．1、等量过渡法（等线段代换法）例1：如图3，△ABC中，AD平分△BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。
例2：如图4，在△ABC中，△BAC=90°，AD△BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：AB DF AC AF．3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
相似三角形(一)线段的比、比例线段
相似三角形（一）-------------------线段的比、比例线段一、知识点：1、线段的比：2、比例线段：等价形式3、比例尺：4、合比定理：5、等比定理：6、黄金分割点：黄金比例：7、方法：二、精选例题例1：(1)已知x ∶y ∶z =3∶4∶5，①求zy x +的值；②若x +y +z =6，求x 、y 、z .(2)已知线段x 、y ，如果(x+y)∶(x-y)＝a ∶b ，求x ∶y.(3)已知a 、b 、c 是非零实数，且kcb a d da b c dc a b dc b a =++=++=++=++，求k的值.(4)若a 、b 、c 是非零实数，并满足acb a bcb a ccb a ++-=+-=-+，且abca c cb b a x ))()((+++=，求x 的值.针对练习：1.若4x=5y,则x ∶y ＝ .2.若3x ＝4y ＝5z ，则yz y x +-∶xxz y -+＝ .3.已知13y x -＝7y ，则yy x +的值为 .4.已知ba ＝43，那么bb a +＝ .5.若ba ＝dc ＝fe ＝3，且b+d+f ＝4，则a+c+e ＝ .6.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ .7.若ba b +＝53，那么ba ＝ .8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 .例2、已知a 、b 、c 为ΔABC 的三边，且a+b+c =60cm ，a ∶b ∶c =3∶4∶5，求ΔABC 的面积.例3、（1）已知线段AB ＝8，C 为黄金分割点，求AC ：BC（2）已知线段AB=a ，在线段AB 上有一点C ，若AC=a 253-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？课堂练习9.已知△ABC 和△A ′B ′C ′，''B A AB ＝''C B BC ＝''A C CA ＝23，且A ′B ′+B ′C ′+C ′A ′＝16cm.则AB+BC+AC ＝ .10.若a ＝8cm ，b ＝6cm ，c ＝4cm ，则a 、b 、c 的第四比例项d ＝ cm ； a 、c 的比例中项x ＝ cm. 11.已知3∶x ＝8∶y ，求yx = 12. 已知bb a 23+＝27，则ba =13. 若2x ＝3y ，求yyx += 14. 如果x ∶y ∶z ＝1∶3∶5，那么zy x z y x +--+33＝15. 正方形对角线的长与它的边长的比是16.在1∶5000000的福建省地图上，量得福州到厦门的距离约为60cm ，那么福州到厦门的实际距离约为 km.17、在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为_______. 18.已知ba ＝dc ＝52 (b+d ≠0)，则db c a ++＝19、若43x x=，则x 等于 20．已知35=yx，则=-+)(:)(y x y x21、若9810z y x ==, 则______=+++zy z y x 22．已知a b a 3)(7=-，则=ba23．如果2===cz by ax，那么=+-+-cb a z y x 323224．在x ∶6= (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5-x )∶x 中的x = . 25．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且a +b -c =6, 则a = ，b = ，c = . 26．已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且x +y +z =12, 那么x = ，y = ，z = . 27．若43===f e d c b a , 则______=++++fd be c a .28、若322=-yy x , 则_____=yx .29．已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= . 30．图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 .练习：1、已知875c b a==，且20=++c b a ，求c b a -+22、若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，求b a -的值．3、若65432+==+c b a ,且2132=+-cb a ，试求c b a ::4.已知0≠-=-=-za c yc b xba ，求x+y+z 的值.5、已知0753≠==z y x ，求下列各式的值：(1)yzy x +- (2)zy x z y x +-++35432.。
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案相似三角形是几何学中的一个重要概念，它指的是两个三角形的对应角相等，且对应边成比例。
下面是一些相似三角形的练习题及答案，供同学们练习和参考。
练习题1：已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB/DE = 2/3，求BC/EF的比值。
答案1：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边的比值相等。
因此，BC/EF = AB/DE = 2/3。
练习题2：在三角形ABC中，点D在边BC上，且AD是三角形ABC的高。
已知AD = 6cm，AB = 8cm，AC = 10cm，求BD和DC的比值。
答案2：由于AD是三角形ABC的高，根据相似三角形的性质，三角形ABD与三角形ACD相似。
设BD = x，DC = y，则有：\[ \frac{AB}{BD} = \frac{AD}{DC} \]\[ \frac{8}{x} = \frac{6}{y} \]由于三角形ABD和三角形ACD共享边AD，根据相似三角形的面积比等于边长的平方比，我们有：\[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \]\[ \frac{8}{10} = \frac{x}{y} \]解得 x = 4.8cm，y = 6cm，所以BD:DC = 4.8:6 = 4:5。
练习题3：已知三角形PQR与三角形XYZ相似，且∠P = ∠X，∠Q = ∠Y，求∠R与∠Z的比值。
答案3：由于三角形PQR与三角形XYZ相似，且对应角相等，根据三角形内角和定理，我们知道∠P + ∠Q + ∠R = 180°，∠X + ∠Y + ∠Z = 180°。
由于∠P = ∠X，∠Q = ∠Y，我们可以得出∠R = ∠Z，所以∠R:∠Z = 1:1。
练习题4：在三角形ABC中，点E在边AB上，点F在边AC上，且EF平行于BC。
已知AE:AB = 1:2，求AF:AC的比值。
答案4：由于EF平行于BC，根据平行线的性质，三角形AEF与三角形ABC相似。
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方法规律：利用平行线分线段成比例定理或相似性质求解
1．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A．B．2 C．D．
2．如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，若，则的值为．
4．如图，ABCD为正方形，A，E，F，G在同一条直线上，并且AE=5厘米，EF=3厘米，那么FG=厘米．
5．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC和CD于点P，Q，则BP：PQ：QR=．
方法规律：通过添加平行线，利用平行线分线段成比例定理或相似性质求解
1．如图，▱ABCD中，E是AB的中点，在AD上截取2AF=FD，EF交AC于G，求的值．
1
3．已知；如图，AD是△ABC的BC边上的中线，E为AD的中点，连接BE并延长交AC 于点F．求EF：BF．
4．如图，在△ABC中，M是AC的中点，P，Q为边BC的三等分点．若BM与AP，AQ 分别交于D，E两点，则BD，DE，EM三条线段的长度比等于（）
A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：3：2 D．5：2：1。