线性代数绪论 000
线性代数第一章
0 0
a11a22 ann
ann
除了以上三种特殊行列式外，还有以下对角行列式和三角行列式：
a2 ，n1
a1n
a1n
a11 a12
a1n
a2 ，n1 a2n a21 a22
an1
an1 an2
ann
an1
n ( n 1)
(1) 2 a1na2 ，n1 an1 ，
1.2.4 特殊行列式
定义4
（4）如果行列式 D 中元素满足 aij aji ，则行列式 D 称为对称行列式．
（1-3）
1.2.1 二阶行列式
定义1
二元线性方程组的解（1-2）可简单表示为
x1
D1 D
，x2
D2 D
(D 0) ．
（1-4）
其中， D a11 a12 为方程组未知数的系数所组成的行列式，称为方程组的系数行列 a21 a22
式；D1
b1 b2
a12 a22
（用方程组的常数项代替系数行列式的第 1 列）；D2
uvgh
分析：按行列式的定义，它应有 4! 24 项．但只有 adeh，adfg，bceh，bcfg 这四项不为
零．与这四项相对应列标的排列分别为 1 2 3 4，1 2 4 3，2 1 3 4 和 2 1 4 3，它们的逆序数分
别为 0，1，1，2，所以第一、四项应取正号，第二、三项应取负号．
解： D adeh adfg bceh bcfg ．
行列式的和，即
a11
a12
bi1 ci1 bi2 ci2
a1n
a11 a12
bin cin bi1 bi2
a1n
a11 a12
bin ci1 ci2
第一讲线性代数
an2
a1m
aim
km
a
jm
anm
b1
a11
a12
bj
a
j1
a
j2
k1 k2
bi
ai1
ai 2
bn
an1
an2
a1m
a
jm
km
aim
anm
b1
a11
于是
• 当 l ≠ 0 且 l ≠－3 时，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解．
bj
a j1
aj2
bn an1 an2
a1m
aim
ka jm
km
a jm
anm
由此可见，若以向量 1,2, ,m ,
为列的矩阵
A 1,2, ,m,
经初等行变换，变成以向量1, 2, , m, 为列的矩阵 B 1,2, ,m,
k11 k22 kmm
由此可见，有的向量可由某一向量组线性表示， 而有的向量则不能。那么如何判断一个向量能否由 某一向量组线性表示呢？
关于向量的线性表示，有以下明显的事实：
b1
a11
a12
bi
ai1
ai 2
k1 k2
b
j
a
j1
a
j
2
bn
an1
1,2 ,3, 1
2
1
4 2
1 1
3
r3 r1
r4 3r1
0
3
6
3
3
1 2 2
0Байду номын сангаас
0
5
0 0 3
4 5
线性代数课件第1章行列式
解 120 1 120 1 120 1
r2r1 0 1 5 1 r4r1 0 1 5 1 r3r2 0 1 5 1
D
015 6 015 6 000 7
．
123 4 003 3 003 3
120 1
r3 r4 0 1 5 1
21
003 3
课件
27
000 7
例2 计算 a b b b
式的值不变．即第 i 行乘 k 加到第 j 行上，有
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n
ai1
ai2
ain
ai1 ai2
ain
aj1 kai1 aj2 ．kai2
ajn kain aj1 aj2
ajn
an1
an2
ann
an1 an2
ann
课件
25
为叙述方便，引进以下记号：
（1）交换行列式的 i , j 两行（列），记
为行列式 d e t ( a ij ) 的元素．
定理2 n 阶行列式也可定义为
a11 a12 Da21 a22
a1n
a2n (1)ta a p11 p22
apnn
an1 an2
ann
其中 t 为行标排列 p1p2 pn 的逆序数．
课件
17
定义4 对角线以下（上）的元素均为零的行 列式称为上（下）三角行列式．
列组成的记号
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1
a． n2
ann
为 n 阶行列式，简记为 D det(aij ) ．
课件
16
n 阶行列式可表示为
智慧树答案线性代数知到课后答案章节测试2022年
绪论1.线性代数是研究离散变量的。
（）答案:对第一章1.分别计算下列四个4阶排列的逆序数, 然后指出奇排列是（）答案:4312；2.下列结果正确的是（）。
答案:3.求解线性方程组则该方程组的解是（）答案:4.计算行列式 =( )答案:5.求多项式的根=,正确的是( )答案:第二章1.已知矩阵，则它的秩达到最小时，参数的值为（）答案:-6，52.设为n阶矩阵，则下列矩阵为对称矩阵的是（）答案:3.设A,B均为4阶方阵。
如果，那么( )答案:|4.设都是n阶方阵，且满足 ,其中为n阶单位矩阵，则=( )答案:5.设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的倍加到第2列得 C，记，则（）答案:第三章1.设，计算（）答案:；2.设, , ,．取值为时，不能经线性表示。
（）。
答案:3.指出下列向量组线性相关的是( )答案:,,,.4.计算向量组，，,的秩，并判断该向量组是否线性相关。
( )答案:秩为2，线性相关5.下列向量组中，( )是的一组基。
答案:, , ;第四章1.线性方程组的通解为（）.答案:, 其中,是任意实数.2.设，，是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量且R(A)=3，若，，C表示任意实数，则线性方程组AX=b的通解X=（）.答案:.3.下列命题中，正确的命题是（）.答案:若AX=b有两个不同的解，那么AX=0有无穷多解.4.线性方程组AX=b经过初等变换其增广矩阵化为若方程组无解，则=（）.答案:35.已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是对应齐次线性方程组的基础解系，为任意常数，则方程组的通解必是（）.答案:.第五章1.若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为则行列式=（）答案:242.设n阶矩阵A与B相似，则（）.答案:对任意常数t, 与相似3.若n阶方阵A与B合同，则（）答案:R4.下述结论正确的有( ),其中A为n阶矩阵答案:A与有相同的特征多项式。
5.实二次型，则其正惯性指数＝（）答案:2第六章1.当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性相关。
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目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
武汉大学线性代数-01 第一章
3 1 1 2 5 1 3 4 (2)
2 0 1 1 1 5 3 3
2019/11/12
37
1 1 1 2
1 1 1 2
1 D
1
4
1
r2 r1 0
0
5
3
2 4 6 1 r3 2r1 0 2 4 3
1 2 2 2 r4 r1 0 1 3 0
1 1 1 2
0 0 ann
2019/11/12
22
(2) 下三角形行列式
a11
D
a21
0 a22
0
0
a11a22 ann
a a a
n1
n2
nn
2019/11/12
23
(3) 对角行列式
a11
D
a22
a11a22 ann
ann
2019/11/12
24
(4) 副对角行列式
解： t1 0, t2 1, t3 0, t4 3, t5 1 排列的逆序数t 5
2019/11/12
16
逆序数为奇数的排列称为奇排列。 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例如：123 t = 0 为偶排列， 321 t = 3 为奇排列， 312 t = 2 为偶排列。
19 5
24 10
18 5 1 12 5 2 0 0
18 5 5 2
c1 3c4
0 0 01 00 01
2019/11/12
40
4 1 10 3 8 1 10 3
12 1 18 5 0 1 18 5
40
线性代数教学课件第一章行列式第一节n 阶行列式
b2 a11 a11a22
b1a21 a12a21
为了便于记忆，引入记号
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
称为2阶行列式(determinant)，其中横排叫行，
纵排叫列，aij叫行列式的元素，元素aij 的第一个
下标i叫行标，第二个下标j叫列标. 13
二阶行列式的计算
行列式中的横排叫行，纵排叫列，叫元素. 三阶 行列式所表示的代数和可利用下图所示的对角线 法则来记忆，实线上三元素之积取正号，虚线上 三元素之积取负号.
16
对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
28
同理可得下三角行列式
a11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 ann
a11a22 ann .
29
特殊情况:
a11 0 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 0 a33 0 0 a11a22 ann . 0 0 0 0 ann
这种行列式称为对角行列式.
30
类似可证：
关，如方程 x2 1 0
在有理数范围和实数范围均无解，但在复数
范围有解：x i
5
因此同一问题在不同的数集内可有不同的结 果. 另一方面，有理数、实数和复数有许多共同 的关于加、减、乘、除的运算性质, 为了把具有 这些共同运算性质的数集统一处理，便引入以下 数域的概念.
定义1.1 设F是至少含有两个不同复数的数集，若 中任意两个数（可以相同）的和、差、积、商（除 数非零）仍为F中的数，则称F是一个数域(field of numbers). 若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F中， 则称F关于这一运算封闭. 因此，F为数域当且仅当 至少含有两个不同数且关于加、减、乘、除（除数 非零）的运算封闭.
线性代数重难点大纲
绪论从高科技本质上就是数学技术到CT 技术到数学应用到数学建模到黑客帝国2的矩阵母。
工程数学之线性代数《线性代数》主要讲述矩阵的初步理论及其应用，包括矩阵的代数运算；矩阵的秩与初等变换；矩阵的特征值、特征向量与相似，以及线性方程组和二次型。
n 维向量空间相关性理论则是本课程的难点所在。
全书各部分以线性空间与线性变换为主线，逐渐阐述欧氏空间的理论，使学生掌握线性代数的基本理论与方法，一方面为学生学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的基础，另一方面培养学生建立数学模型解决实际问题的能力。
第一章 行列式内容概述：行列式是线性代数中的一个重要概念。
本章从二、三元方程组的解的公式出发，引出二阶、三阶行列式的概念，然后推广到n 阶行列式，并导出行列式的一些基本性质及行列式按行（列）展开的定理，最后讲用行列式解n 元方程组的克拉默法则。
第一节 行列式的定义和性质教学目的：复习二阶、三阶行列式的概念，了解逆序概念，掌握到n 阶行列式定义和性质。
重点难点：n 阶行列式定义和性质 教学过程：一、 复习二阶、三阶行列式的概念 1．二阶行列式我们从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。
在线性代数中，将含两个未知量两个方程式的线性方程组的一般形式写为（1）， 用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当112212210a a a a -≠时，有 （2）：（1） （2）这就是二元方程组的解的公式。
但这个公式不好记，为了便于记这个公式，于是引进二阶行列式的概念。
我们称记号（3）为二阶行列式，它表示两项的代数和：11221221a a a a -（3）即定义（4）二阶行列式所表示的两项的代数和，可用下面的对角线法则记忆：从左上角到右下角两个元素相乘取正号，这条连线为主对角线；从右上角到左下角两个元素相乘取负号，这条连线为副对角线（或次对角线），即：由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程组中未知量的系数，所以又称它为二元方程组的系数行列式，并用字母D 表示；如果将D 中第一列的元素a 11，a 21 换成常数项b 1，b 2 ，则可得到另一个行列式，用字母D 1表示，按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：，这就是公式（2）中x 1 的表达式的分子。
线性代数--第一章 行列式
a21 a31
a11 (a22 a33 a23a32 ) a12 (a23a31 a21a33 ) a13 (a21a32 a22 a31 )
a11
a12
a21 a23 a31 a33
并称M1j是D的元素a1j的余子式, A1j是元素a1j的代数余子式.
1 3 例如, 对行列式: D 2 1 3 4 1 有 M12= 2 2 0 32 1 4 3 3 2 1 1 4 1 3 2 0 2 4 3
, A12=(－1)1+2M12=32.
例4 计算n阶对角行列式
an Dn an 1 a1
性质2也称为行列式按行(按列)展开定理, 用语言描述 成: 行列式的值等于行列式的任何一行(列)的所有元素与
其对应的代数余子式乘积之和.
例8 计算行列式
3 2 D 0 5 5 3 3 2 0 6 0 0 2 4 0 1
解
3 2 D 0 5 5 3 3 2 0 6 0 0 2 3 0 2 4 2 3 2 2 2 3 3(1) 2 6 4 3 6(1) 0 5 1 5 0 1 1
解 按定义有
a22 a11 a32 an1 a33 an 2 ann
a11a22 ann
即, 下三角行列式等于对角线元素的乘积。
bn
例6 计算n阶行列式 Dn
b1
bn 1
解 按定义有
bn 1 Dn (1)
1 n
bn b1
bn 2
D2
b2 b1
解 按定义有
an 1 Dn an an 2 a1
同济_线代第零章_绪论
一般形式:
������元线性方程: ������1 ������1 + ������2 ������2 + · · · + ������������ ������������ = ������; ⎧ ⎪ ⎪ ������11 ������1 + ������12 ������2 + · · · + ������1������ ������������ = ������1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ������元线性方程组: ⎨������21 ������1 + ������22 ������2 + · · · + ������2������ ������������ = ������2 ⎪ (������个方程) ⎪ ................................... ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩������������1 ������1 + ������������2 ������2 + · · · + ������������������ ������������ = ������������
3
4
思考问题 对一元线性方程组回答上面的问题.
李忠华 (同济大学)
绪论
2013年秋季
7 / 15
一元线性方程(组)的解
定理 对于任意的一元线性方程组������������ = ������,
李忠华 (同济大学)
绪论
2013年秋季
5 / 15
主角―线性方程组简介
未知数: ������, ������, ������, ������1 , ������2 , . . . , ������������ , . . ..
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线性代数
绪论
数学研究的一个重要方法是抽象。
所谓抽象就是从一般事物中找到其共有的性质，对它们进行研究，从而得到具有普遍意义的规律。
例如古人从一头野牛和一头野猪中抽象出整数“一”的概念.一头野牛和一头野猪虽然是两个不同的事物，但在数量上是相同的.
有了整数的概念以后，又进一步抽象出整数的运算。
例如某人昨天猎得一头野牛，今天又猎得一头野牛，他一共猎得两头野牛。
另一人昨天猎得一头野猪，今天又猎得一头野猪，他一共猎得两头野猪。
两头野牛和两头野猪虽然是两个不同的事物，但在数量上又是相同的.从而可抽象出整数的加法的概念既“1+1=2”.
进一步抽象后可得到“分数”的概念。
研究整数
和分数运算的学科就是我们在小学学的“算术”。
到了中学，我们又学了“代数”。
代数就是用字母代替数。
例如用英文字母“a”可以表示数字1，也可以表示数字2.用字母代替数可以很方便地表示数的运算的规律。
例如数的加法的交换律可表示为
a+b=b+a
更进一步，如果一个等式中含有未知的字母，这个等式就称为方程。
例如 一元一次方程
3x=6 （其中x 是未知数)
一元二次方程
2x 2+3x+4=0
因为在平面上2x+y=1表示一条直线。
所以
又称为 二元线性方程组。
.
在中学里，我们学过二元线性方程组的解法，
二元一次方程组
⎩⎨⎧=+=-.
121223y x y x ⎩
⎨⎧=+=-.1212
23y x y x
主要有代入法和消去法。
在实际问题中，未知数的个数往往不止两个，
因此我们必须研究n元线性方程组的求解方法。
另一方面，未知数的个数越多，求解就越复杂，
用人工手算很难胜任，因此必须利用计算机.这就需要
找到求解一般n元线性方程组的方法.这就是
我们的这门课《线性代数》的主要目的.
在解决了求解一般n元线性方程组的问题以后，我们再考虑它们的一些应用。