线性代数讲义-复习知识树
线性代数总复习讲义
线性代数总复习
r(A) r(A,b)无解
r(A)=r(A,b)=n 有唯一解
克拉默法则， xj
Dj D
Ax=b
b=0 b≠0
d1 d 2 d n T 初等变换，
齐次方程的基础解系
r(A)=r(A,b)<n 有无穷多解
非齐次方程的一个特解
非齐次方程的通解
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0 1 1
1 1 0 0 0 0
r3 r2 r4 3r1
0 1 1 2 r4 r3 0 0 0 0 2 4 2 2
0 1 1
1 ( 1) ( 2) ( 2) 4
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线性代数总复习
(2) 利用行列式展开计算
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
r2 5r3
32 2 1 0 10 1 3 r2 （ 2） 3 5 3 5 1 A 1 3 3 . 0 0 2 2 2 r3 （ 1） 2 11 1 0 0 11 1
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线性代数总复习
r1 r2
r3 r2
r1 2r3
1 0 2 1 1 0 r 2r 3 1 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3 1 0 0 1 3 2 r 2 （ 2） 0 2 0 3 6 5 （ 1） 0 0 1 1 1 1 r3
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线性代数总复习
2、n阶行列式的计算 (1) 利用行列式的性质计算 （化为三角形） 性质1 行列式与它的转置行列式相等.
线性代数知识点归纳与梳理
线性代数知识点归纳与梳理线性代数是现代数学的一个重要分支，不仅是数学领域中的基础性学科，也是物理学、计算机科学、经济学、工程学等多个领域的重要应用基础。
在计算机科学领域中，线性代数是机器学习、计算机图形学、计算机视觉等多个领域必不可少的数学工具。
本文将介绍线性代数的重要知识点，并对其进行归纳与梳理。
1. 线性方程组线性方程组是线性代数研究的一个基础问题。
线性方程组可以表示为Ax = b的形式，其中A是一个矩阵，x和b是向量。
解线性方程组即求出x的值，这对于很多实际问题来说是十分重要的。
常见的解法有高斯消元法、LU分解法和QR分解法等。
2. 矩阵和向量空间矩阵是线性代数中的一个基础概念，具有加法、数乘、转置、乘积等运算。
矩阵可以用来表示线性变换和向量的坐标，因此在物理学、计算机图形学、计算机视觉等领域中得到了广泛的应用。
向量空间则是由向量和它们之间的运算构成的一个集合，其具有一些基本性质，如加法结合律、数乘结合律等。
3. 特征值与特征向量某些重要的线性变换具有特殊的性质，即它们在某个向量上的作用相当于对该向量进行数乘。
对于某个向量空间中的线性变换A，如果存在一个实数λ和非零向量v，使得Av = λv，则称该向量v为矩阵A的特征向量，λ为特征值。
特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，在很多数学及工程应用中都有广泛的应用。
4. 行列式行列式是线性代数中的一个基础概念，用于表示一个方阵中各元素按照一定规律排列的乘积之和。
行列式可以用来求解线性方程组的解、判断矩阵的秩以及计算线性变换的缩放因子等。
行列式是线性代数中必须掌握的基础知识。
5. 线性无关与基在向量空间中，如果存在若干个向量，它们不能用另外的向量线性表示，则称这些向量是线性无关的。
线性无关向量的概念对于解决线性方程组、求解特征值和特征向量等问题非常重要。
基是向量空间中的一组线性无关向量，可以用来表示该空间中的任意向量。
对于一个n维向量空间，其基一般由n个线性无关向量组成。
《线性代数》知识点归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理线性代数是一门重要的数学学科，在许多领域都有广泛的应用，如计算机科学、物理学、工程学等。
下面将对线性代数的一些关键知识点进行归纳整理。
一、行列式行列式是线性代数中的一个基本概念。
它是一个数值，可以通过特定的计算规则得到。
对于二阶行列式，其计算公式为：＼＼begin{vmatrix} a ＆ b ＼＼ c ＆ d ＼end{vmatrix} ＝ ad bc ＼对于三阶行列式，计算相对复杂些，可通过按行（列）展开来计算。
行列式具有一些重要的性质，例如：1、行列式转置后其值不变。
2、某行（列）元素乘以一个数加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。
行列式的应用包括求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等。
二、矩阵矩阵是线性代数中的核心概念之一。
矩阵的定义：由\（m×n\）个数排成的\（m\）行\（n\）列的数表称为\（m×n\）矩阵。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘、乘法等。
1、矩阵加法和减法要求两个矩阵具有相同的行数和列数，对应元素相加减。
2、数乘矩阵是将矩阵中的每个元素乘以一个数。
3、矩阵乘法需要前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，乘法运算不满足交换律。
矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
逆矩阵是一个重要概念，若矩阵\（A\）可逆，则存在矩阵\（B\），使得\（AB ＝ BA ＝ I\），其中\（I\）为单位矩阵。
三、向量向量可以看作是一组有序的数。
行向量是一行数，列向量是一列数。
向量的运算包括加法、减法、数乘。
向量组的线性相关性是一个重要内容。
如果存在一组不全为零的数，使得向量组的线性组合等于零向量，则称该向量组线性相关；否则称线性无关。
四、线性方程组线性方程组可以表示为矩阵形式\（Ax ＝ b\）。
线性方程组的解分为有解和无解的情况。
1、有解时，可能有唯一解或无穷多解。
2、无解时，方程组矛盾。
通过高斯消元法可以求解线性方程组。
五、特征值与特征向量对于矩阵\（A\），如果存在非零向量\（x\）和数\（＼lambda\），使得\（Ax ＝＼lambda x\），则\（＼lambda\）称为矩阵\（A\）的特征值，＼（x\）称为对应于特征值\（＼lambda\）的特征向量。
湖南省考研数学复习资料线性代数基础知识归纳
湖南省考研数学复习资料线性代数基础知识归纳湖南省考研数学复习资料 - 线性代数基础知识归纳线性代数是数学的一个重要分支，也是考研数学科目中的一部分。
其中，线性代数基础知识是考研数学复习中必须掌握的内容之一。
本文将对湖南省考研数学复习资料中的线性代数基础知识进行归纳整理，以帮助考生更好地准备考试。
1. 向量和矩阵1.1 向量的基本概念向量可以表示为有限个数的实数按照一定顺序组成的一列数，常用的表示方式有行向量和列向量。
向量的加法、数乘以及内积等运算具有特定的性质。
1.2 矩阵的基本概念矩阵是由若干个数按照行和列排列组成的矩形阵列。
矩阵对应的运算包括矩阵加法、数乘以及矩阵的乘法等。
1.3 矩阵的转置与伴随矩阵矩阵的转置是将矩阵的行列互换得到的新矩阵。
伴随矩阵是矩阵的转置矩阵中每个元素的代数余子式。
2. 线性方程组2.1 线性方程组的基本概念线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。
线性方程组的解可以通过矩阵的消元法来求解。
2.2 线性方程组的解的判定线性方程组的解可以分为唯一解、无解和无穷多解三种情况。
这些解的判定可以通过矩阵的行阶梯形和列阶梯形来判断。
2.3 向量空间与矩阵的秩向量空间是由若干个向量构成的集合，满足一定的条件。
矩阵的秩是指矩阵的行列向量的极大线性无关组的向量个数。
3. 特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义矩阵A乘以一个向量x，若结果为常数倍的x，则称常数为矩阵A 的特征值，对应的x为特征向量。
3.2 特征值与特征向量的计算特征值可以通过解矩阵的特征方程来计算，特征向量可以通过解齐次线性方程组来求得。
3.3 对角化矩阵若存在可逆矩阵P，使得对角阵D=P^-1AP，则称原矩阵A为可对角化矩阵。
4. 内积空间4.1 内积空间的定义内积空间是一个带有特定内积运算的线性空间。
内积运算满足对称性、线性性、正定性等性质。
4.2 基于内积的正交与正交补空间若向量空间中的两个向量内积为0，则称两个向量正交。
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数复习要点第一部分行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义1.行列式的计算：①(定义法)②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④若都是方阵（不必同阶）,则⑤关于副对角线：⑥范德蒙德行列式：证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。
⑦型公式：⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法.(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；3. 证明的方法：①、；②、反证法；③、构造齐次方程组，证明其有非零解；④、利用秩，证明；⑤、证明0是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系：第二部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵方程的求解1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.③矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为.c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.a. 分块对角阵相乘：,b. 用对角矩阵○左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；c. 用对角矩阵○右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.④方阵的幂的性质：，⑤矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.a. 对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b. 分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为中各个元素的代数余子式.,, .分块对角阵的伴随矩阵：，矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：（无条件恒成立）r(A)与r(A*)的关系若r（A）=n，则不等于0，A*=可逆，推出r（A*）=n。
线性代数知识点总结
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
【精品】线性代数各章知识点及脉络图(含例题)-假期预习必备
一、行列式知识结构网络图概念性质展开式计算证明0A =应用经转置行列式的值不变；某行有公因数k ，可把k 提到行列式外；某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和； 两行互换行列式变号；某行的k 倍加至另一行．行列式的值不变；不同行、不同列的n 个元素之积的代数和1nn ik ik k D a A ==∑（按i 行展开）1nn kj kj k D a A ==∑（按j 行展开）余子式、代数余子式给定（i ,j ）元的值未给定（i ,j ）元的值化三角形－加边法、爪型行列式；公式法－特殊行列式、范德蒙德行列式； 递推、数学归纳法；等用行列式性质计算； 用矩阵性质计算； 用方阵的特征值；等克拉默法则；判断方阵的可逆，利用伴随几种求逆矩阵； 线性相关性的判定；求矩阵的秩，并判断线性方程组的解存在情况； 求方阵的特征值。
()n n R n ⨯<A ；0是方阵A 的特征值；=-A A行列式行列式是线性代数中的重要工具，在求解线性方程组、求逆矩阵、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值、判断二次型的正定性等方面都要用到．本章的重点是应用行列式的性质和展开定理计算行列式．行列式的计算除了利用性质及展开定理外，还有三角化法、升阶法、递推法和数学归纳法等，计算方法多，技巧性强，这是难点所在．要掌握好这些方法，首先必须具体分析所求行列式元素分布的规律，针对其特点采取适当的方法；其次是要注意总结、积累经验，不断提高运算能力．行列式的性质【例】：已知531，252，234都是9的倍数，利用行列式的性质（而不是展开），证明522353124也是9的倍数。
解答：522353124231321010r r ,r r ++522353531252234139r 5229353582726【例】：如果除最后一行外，从每一行减去后面的一行，而从最后一行减去原先的第一行，问行列式值如何变化？解答：设原行列式为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A αα 1det ，则新的行列式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-113221det ααααααααn n n B ， ()00,,3,2det 11321113221=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=--ααααααααααααααn n n i n n n n i r r B特殊行列式1、（主）对角行列式、上（下）三角行列式1111111111221122221111111niii nnnnnna a a a a a a a a a a a a a a a ====∏2、（次）对角行列式、上（下）三角行列式()()12111111212212121111111n n n n n nn,n,n ,n ,n iii n n,n nnn n a a a a a a a a a a aa a a a a ----=-===-∏3、分块三角行列式 形式简记为：*==⨯*A O A AB BO B，()1k n⨯*==-⨯*O A AA B BB O4、范德蒙德行列式()211112112122222221212121111111121121111111,,,11n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x --------------==()()121,,,n ijn i j f x x x x x ≥>≥=-∏ ()()()()()1213211212111,,,n nj n j j j n j n j j j f x x x xx xx xx x x --≥≥-≥≥≥≥≥≥=-⋅---∏∏∏∏()()()()1221n n n n n n x x x x x x x x --=----()()()()()()()12131211323121n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -------------认识范德蒙德行列式可以将n 阶范德蒙德行列式看成式关于n 个变量12,,,n x x x 的函数，即()12,,,n n D f x x x =。
2022考研线性代数强化讲义(知识体系+重点题型解析)
第一章行列式一、知识体系 1122,,A i j i j A i j i j =a A a A a A ≠ i j i j 1122 +++= 0,= a A a A a A i j i j +++= ≠ 0, in jnn ! 项不同行不同列元素乘积的代数 定 ni nj 义和 性质 上()或下三角、主对角行列式 副对角行列式ab 型行列式 拉普拉斯展开式 范德蒙行列式行列式12,,,,12,,,T n kA k A A A D n D D x x x −D D D1−1n −1i =1 行列式的概念重要行列式展开定理=nAB A B ==A A= 行列式的公式 * =A A=12=== = ∏ n i 设 n A A 的特征值为λλλλ则 若A B A B 与相似,则Cramer 法则二、重点题型重点题型一数字行列式的计算【方法】【例1.1】设212322212223333245354435743x x x x x x x x x x x x −−−−−−−− f x ()=−−−−x x x x −−− 则方程f x ()0 =根的个数为【】（B ）2（C ）3（A ）1【详解（D ）4】【例1.2】利用范德蒙行列式计算222a a bcb bac cc ab=.【详解】【例1.3】设x x x x 1234≠0，则11121314212223243132333441424344x a a a a a a a a a x a a a a a a a a a x a a a +a a a a a a x a 2+2=+2+2.【详解】【例1.4】计算三对角线行列式000000000000αβαβαβαβαββαβ+++D n =++αβα【详解】重点题型二代数余子式求和【方法】【例1.5】已知1234522211312451112243150A=27，则A A A 414243=++=，A A 4445+=.【详解】010000200001n 000【例1.6】设A =n −，则A 的所有代数余子式的和为.【详解】重点题型三抽象行列式的计算【方法】【例1.7】（2005，数一、二）设α1,α2,α3均为3维列向量，A =(α1,α2,α3)，(,24,39)B ααααααααα=++++++123123123.若A =1，则=B .【详解】【例1.8】设A 为n 阶矩阵，αβ,为n 维列向量.若A a =，TAαb=0，β则TA β【详解】(2)(2)A A O −O A 1*−【例1.9】设A 为2阶矩阵，B =2 .若A =−1，则=B .【详解】【例1.10】设n 阶矩阵A 满足A A 2=，A E ≠，证明A =0.【详解】第二章矩阵一、知识体系 ()AB A A Ax +A B kAAT⇔≠||0 ⇔=r A n ⇔ ⇔=⇔=定 义 性质 定义法 初等变换 求法伴 随矩法阵法 分块矩阵法的列（或行）向量组线性无关 充要条件齐次线性方0 程组只有零解 非齐次线性方程组Ax b 有唯一解 ⇔A 的特征值均不为零 定义矩性质阵求法基本运算逆 秩定 义 伴随矩阵性质 定义 性质 求矩阵的逆初等变换与初等矩阵 求矩阵的秩线性 应用求表极大示线性无关组 解线性方程组 求二次型的标准形分块矩阵二、重点题型重点题型一求高次幂【方法】2131【例2.1】设46A a b c − =，B 为3阶矩阵，满足BA O=，且r B ()1>，则A n =.【详解】200412 【例2.2】设A =−320，则A n=.【详解】−−121 【例2.3】设A =−− −−363 121，P 为3阶可逆矩阵，B P AP =−12022B E ，则()+=.【详解】重点题型二逆的判定与计算【方法】 【例2.4】设n 阶矩阵A 满足A 2=2A ，则下列结论不正确的是【】 （B ）A E （C ）−可逆A E（D ）+可逆A E −3可逆 （A ）A 可逆【详解】,为n 阶矩阵，【例2.5】设A B a b ,为非零常数.证明： I ）若（AB aA bB ，则=+AB BA =2+=，则（II ）若A aAB E AB BA ；=.【详解】11a 0110a 【例2.6】（2015，数二、三）设A a =−，满足A O 3=. （I ）求a 的值；（II ）若矩阵X 满足22X XA AX AXA E ，求X −−+=.【详解】重点题型三秩的计算与证明 【方法】秩的性质（1）设A 为m ×n 阶矩阵，则()min ,r A m n {}≤； 2）（()()()r A B r A r B +≤+； （{3）()min (),()r AB r A r B }≤；（{4）max (),()()()()r A r B r A B r A r B }≤≤+；5）r A r kA k （()()(0)=≠；（6）设A 为m ×n 阶矩阵，P 为m 阶可逆矩阵，Q 为n 阶可逆矩阵，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；7）设A 为m ×n 阶矩阵，若（r A n ()=，则()()r AB r B ；若=r A m ()=，则()()r CA r C =；===TTT8）（()()()()r A r A r AA r AA ；（9）设A 为m ×n 阶矩阵，B 为n ×s 阶矩阵，AB O =，则r A r B n ()()+≤.,为n 阶矩阵，【例2.7】（2018，数一、二、三）设A B () X Y 表示分块矩阵，则【】 （A ）( )()r A AB r A （B ）=( )()r A BA r A ={ }（C ）( )max (),()r A B r A r B =T T（D ）r A B r A B ( )( )=【详解】 【例2.8】设A 为n 阶矩阵.证明：I ）若A 2=A ，则（r A r A E n ()()+−=；2=，则（II ）若A E r A E r A E n ()()++−=.【详解】重点题型四关于伴随矩阵【伴随矩阵的性质】||01**11（1）,AA A AA E A A A A AA A≠**−−== →==； （*1*=n 2）()kA k A −； 3）()AB B A （***=（4；）*A A n −1=；（** A A 5）()()T T=；（ 6）()()A 1**1A A A−−==；（ n −7）()A A A 2**=； ,()8）r A r A n （()1,()1=n r A n *==−r A n <−0,()1.【例2.9】设n 阶矩阵A 的各列元素之和均为2，且A =6，则A ∗的各列元素之和均为【】（B ）31（C ）3 （A ）2【详解（D ）6】ij 为n n 【例2.10】设A a =()(3)阶非零矩阵，A ij 为a ij 的代数余子式，≥证明：（*(,1,2,,)TTI ）a A i j n A A AA E ij ij ==⇔=⇔= 且A =1；*(,1,2,,)TT（II ）a A i j n A A AA E ij ij =−=⇔=−⇔= 且A =−1.【详解】重点题型五初等变换与初等矩阵【初等变换与初等矩阵的性质】（1）E i j (,)1=−，(())E i k k =，E ij k (())1=； T2）（(,)(,)E i j E i j =T，E ij k E ji k T ，E i k E i k (())(())=(())(())=；−13）（(,)(,)E i j E i j =1，E i k E i k(())−1=−1，(())(())E ij k E ij k =−；（4）初等行（或列）变换相当于左（或右）乘相应的初等矩阵；（5）可逆矩阵可以写成有限个初等矩阵的乘积.【例2.11】（2005，数一、二）设A 为n (n ≥2)阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得到矩阵B ，则【】（A ）交换A *的第1列与第2列，得B *（B ）交换A *的第1行与第2行，得B *（C ）交换A *的第1列与第2列，得−B *（D ）交换A *的第1行与第2行，得−B *【详解】123012001 【例2.12】设A = 001010100，P =110010001 ，Q = ，则()()T −P A Q 120212022=__________.【详解】第三章向量一、知识体系212(,,,)(,,,) (,,,)s k k k x 1x x r r βαααααααααβ αααβαβ+ k α [αβ,] =+++ ⇔= ⇔= →1122 s s 12 s 12 s s 12 s 定初等行变换义非齐次线性方程组(,,,)αααβ有解 充要条件 充分条件 求法行最简形矩阵向线性相关量 1 22 (,,,)0(,,,)x x x s r s x 1x x s ααα 定ααα义 ⇔=⇔< ⇔= 12s 12 s 12s ⇔至少有一个向量可由其余向量线性表 示齐次线性方程组充要条件ααα有非零解 充分条件齐次线性方程组充要条件(,,,)0只有零解 (,,,)ααα基本运算线性表示定义⇔任意向量均不能由其余向量线性表示线性无 关αs =s ⇔r (,,αα12,)12 s → 充分条初等行变换件定义极大线性无关组与向量组的秩求法行阶梯形矩阵二、重点题型重点题型一线性表示的判定与计算 【方法】,,与数【例3.1】设向量组αβγk l m ,,满足k l m km αβγ++=≠0(0)，则【】,与（A ）αβαγ ,等价 ,与（B ）αββγ,等价（D ）α与γ,,与（C ）αγβγ等价等价【详解】【例3.2】（123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)T T T2004，数三）设αααa ab a b ==+−=−−−+，β=−(1,3,3)T .当a ,b 为何值时， ,,线性表示I ）β不能由ααα（123；,,唯一地线性表示，并求出表示式（II ）β可由ααα123；,,线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式（III ）β可由ααα123. 【详解】【例3.3】（2019，数二、三）设向量组（123(1,1,4),(1,0,4),(1,2,3)T TT a 2I ）ααα===+；向量组2a a a 123(1,1,3),(0,2,1),(1,3,3)T T T （II ）βββ=+=−=+I ）与（II ）等价，求a 的.若向量组（值，,,线性表示并将β3由ααα123.【详解】重点题型二线性相关与线性无关的判定【方法】【例3.4】（2014，数一、二、三）设ααα123,,均为3维列向量，则对任意常数k l,，1323,αααα ++k l ,,线性无关的【线性无关是ααα123】（B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件（A ）必要非充分条件【详解（D ）既非充分又非必要条件】【例3.5】设A 为n 阶矩阵，ααα123,,均为n 维列向量，满足A A 2αα11=≠0，212A A2ααα=+， 2323A A ααα=+ ,,线性无关，证明ααα123.【详解】,,线性无关，与4维列向量β1,β2两两正交，证明β1,β2线性相关【例3.6】设4维列向量ααα123.【详解】重点题型三极大线性无关组的计算与证明【方法】 1234(1,1,1,3),(1,3,5,1),(3,2,1,2),(2,6,10,)TTTT【例3.7】设ααααa a ==−−=−+=−−.（I ）当a 为何值时，该向量组线性相关，并求其一个极大线性无关组；（II ）当a 为何值时，该向量组线性无关，并将α=(4,1,6,10)T 由其线性表示.【详解】,为I ）设A B m n ×矩阵，则()()()r A B r A r B +≤+；×矩阵，B 为n s {×矩阵，则()min (),()r AB r A r B 【例3.8】证明：（（II ）设A 为m n 【详解}≤.】重点题型四向量空间（数一专题）【方法】过渡矩阵12,,,n 到基β1,β2, ,βn 的过渡矩阵为由基ααα(,,,)(,,,)=βββααα12C 12 n n ，−12αααβββ1C =(,,,)(,,,) 12 n n .12坐标变换公式,,, n 下的坐标为设向量γ在基αααx x x x12 n T，在基β1,β2, ,βn 下=(,,,)的坐标为y y y y 12 n T，则坐标变换公式为x =Cy =(,,,).2015，数一）设向量组ααα【例3.9】（123,,为R 3的一个基，113βαα=+22k ，βα22=2，313k=++βαα(1).,,为R 3的一个基I ）证明向量组βββ（123；（II ）当k 为何值时，存在非零向量ξ在基ααα123,,下的坐标相同，并求所有的ξ,,与基βββ123.I 【详解】（）3123201(,,)(22,2,(1))(,,)020201k k βββαααααααα1231321=+++= k k +201020201令C =k k +，则,,为R 3的一个基,,线性无关，故βββ=≠40，从而βββC 123123.（II ）设ξ在基ααα123,,下的坐标为x ,,与基βββ123，则 123123123Cx x=ξαααβββααα(,,)(,,)(,,)=x =C E x −=得()0.对C E −作初等行变换，1011010100102000k k kC E −=→当k =0时，方程组()00−C E x −=有非零解，所有非零解为1x c 1=，在两个基下坐标相同的所有非零向量为1231231xc −ξαααααααα1=(,,)(,,)0()==−c 31，其中c 为非零常数第四章线性方程组一、知识体系11220 () 0() ()()()()1 ()()()()r A n Ax r A n r A r A n r A r A n k k k ξξξ−− =⇔= Ax =0Ax =⇔<Ax b r A r A r A r A =⇔<⇔=− Ax b Ax b ==⇔== Ax b =⇔=< +++ 性 n r n r 质只有零解有非零解无解 判定有唯一解有无穷多解的通解线性方程组 1122()()()()()()()AX BAX B r A r A B n r A r A B n ξξξη−− Ax =0 ++++ Ax b k k k = =⇔< AX B r A r A B =⇔== AX B =⇔=< A B → n r n r =的通初等行变换解 定义无解矩阵方程判定有唯一解有无穷多解 求法行最简形矩阵 定义 求法,的行向量组等价()()A ⇔r A r r B B 解的性质与判定解的结构公共解定义公共解与同解 ⇔ A B 同解充要条 件==二、重点题型重点题型一解的判定【方法】【例4.1】（0TA2001，数三）设A 为n 阶矩阵，α为n 维列向量，且r r A α α=()，则线性方程组（A ）Ax =α有无穷多解（B ）Ax =α有唯一解A x α （C ）αT0y =0只 有零解Ax α（D ） αT 0y =0有 非零解 【详解】 ×阶矩阵，且【例4.2】设A 为m n r A m n ()=<，则下列结论不正确的是【】T =0（A ）线性方程组A x 只有零解 T （B ）线性方程组A Ax =0有非零解 （C ）∀b ，线性方程组A x b（D ）∀b ，线性方程组T =有唯一解Ax b =有无穷多解【详解】重点题型二求齐次线性方程组的基础解系与通解【方法】1234为4阶矩阵，(1,0,1,0)T为线性方程组Ax =0【例4.3】（2011，数一、二）设A =αααα(,,,)的 *=0的基础解系可为【基础解系，则A x 】 , （A ）αα12,（B ）αα13,,（C ）ααα123,,（D ）ααα234【详解】a b c ，【例4.4】（2005，数一、二）设3阶矩阵A 的第1行为(,,)a b c 12324636k ,,不全为零，B =，满足AB O=，求线性方程组Ax =0的通解.【详解】【例4.5】（2002，数三）设线性方程组n 0n 0n 0 123n 0++++=ax bx bx bx bx ax bx bx 123++++=123++++=bx bx ax bx123++++=bx bx bx ax其中a ≠0，b ≠0，n ≥2. 当a b 求其通解,为何值时，方程组只有零解、有非零解，当方程组有非零解时，.【详解】重点题型三求非齐次线性方程组的通解【方法】,,为非齐次线性方程组【例4.6】设A 为4阶矩阵，k 为任意常数，ηηη123Ax b =的三个解，满足124ηη12+=23245 3，ηη23+==，则.若r A ()3Ax b =的通解为【】11203142− （A ） +k （B ）21324051 +k （C ）01102132− +k （D ）11121011 +k【详解】2017，数一、二、三）设3阶矩阵A =【例4.7】（(,,)=+2ααα123有三个不同的特征值，其中312ααα. I ）证明r A （()2=；（II ）若βααα=++123，求线性方程组Ax =β的通解.【详解】1101011λλλ 【例4.8】（2010，数一、二、三）设A =−11a ，b =，线性方程组 Ax b=有两个不同的解.（I ）求λ,a 的值；（II ）求方程组Ax b =的通解.【详解】【例4.9】设A 为m n ×阶矩阵，且r A r 12,,,()=.若ξξξ−为齐次线性方程组Ax =0的 n r 基础解系，η为非齐次线性方程组Ax =b 的特解，证明：（,,,,I ）ηξξξ12 n r −线性无关；,,,,（II ）ηηξηξηξ+++12 n r −线性无关；,,,,（III ）ηηξηξηξ+++n r −为Ax =b 所有解的极大线性无关组12 .【详解】重点题型四解矩阵方程【方法】矩阵方程解的判定AX B=无解⇔<()()r A r A B AX B ()()r Ar A B n =有唯一解⇔==AX B ()()r Ar A B n =有无穷多解⇔=<矩阵方程的求法对()AB 作初等行变换，化为行最简形矩阵，得矩阵X .101−202101【例4.10】设A =−−，矩阵X 满足AX E A X 20222，求矩阵X +=+.【详解】【例4.11】（123401111203−−2014，数一、二、三）设A =− −.（I ）求线性方程组Ax =0的一个基础解系；（II ）求满足AB E =的所有矩阵B .【详解】重点题型五公共解的判定与计算【方法】【例4.12】（2007，数一、二、三）设线性方程组（+ +=++=001321x x I ）x x 1+4x 2+a 2x 3=0ax 2x 32x 与方程（II ）x 1+2x 2+x 3=a −1有公共解，求a 的值及所有公共解.【详解】【例4.13】设齐次线性方程组（123420x x x 123+−=230I ）x x x x ++−= 12(2,1,2,1),(1,2,4,8)齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为ααa a T T =−+=−+.（1）求方程组（I ）的一个基础解系；（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解，并求所有非零公共解.【详解】重点题型六同解的判定与计算【方法】【例4.14】（2005，数三）设线性方程组（ =+=++ I ）202132+321 x 35 x 1+x 2+ax 3=0x x x x 3x +=++0 12+321 2(1)x 3=0c x 0与（II ） x cx b x +bx 2同解，求a ,b ,c 的值.【详解】第五章特征值与特征向量一、知识体系 (0)0()0A E B P AP P AP A n A λλA αλαα−1=≠ −= A E x −= =−1=Λ ⇔ ⇔k k A n 定义性质 特征方程法 定义 性质特征值与特 定义征有个线性无关的特征向量 充要条件重特征值有个线性无关的向特征向量量有个不同的特征值 充分条件为实对称矩阵 T k k 特征值与特征向量相似矩阵相似对角化==Λ特征值均为实数不同特征值的特征向量正交实对称矩阵重特征值有个线性 无关的特征向量,使得− A 可正交相似对角化,即存在正交矩阵Q Q AQ Q AQ 1二、重点题型重点题型一特征值与特征向量的计算【方法】特征值与特征向量的性质 （1）不同特征值的特征向量线性无关；（2）不同特征值的特征向量之和不是特征向量；（3）k 重特征值最多有k 个线性无关的特征向量；4）设A 的特征值为12（,,,λλλnn ，则i =1∑nA λi=tr A ()，λi i =1=∏；=，即A =αβT，其中5）若r A （()1αβ,为n 维非零列向量，则A 的特征值为TT tr A ()λαββαn1===0 ，λλ2===（6）设α为矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则【例5.1】设1111111111111111−−A = −− −−求A 的特征值与特征向量.【详解】322 223010001【例5.2】（2003，数一）设A = 232 ，P = 101 ，B =P −1A *P ，求B +2E 的特征值与特征向量.【详解】12214212a 【例5.3】设A = −−− 的特征方程有一个二重根，求A 的特征值与特征向量. 【详解】 2【例5.4】设3阶非零矩阵A 满足A O = ，则A 的线性无关的特征向量的个数是【】（B ）1（C ）2（A ）0【详解（D ）3】【例5.5】设A =+αββαTT，其中αβ 1,为3维单位列向量，且αβT 3=，证明：（I ）0为A 的特征值； ,（II ）αβαβ为A +−的特征向量；（III ）A 可相似对角化.【详解】重点题型二相似的判定与计算【相似的性质】（1）若A B ，则A B ,有相同的行列式、秩、特征方程、特征值、迹；2）若（A B ，则()()f A f B ，A B −− 11 ，(0)AB BA A ≠，A B T T ，A B ** ；3）若（A B ，B C，则A C .【例5.6】设1000030000110022 A =矩阵B 与A 相似，则r B E r B E ()(3)−+−=.【详解】【例5.7】设n 阶矩阵A 与B 相似，满足A E 2=2，则 AB A B E +−−=. 【详解】【例5.8】（22−−002221 2019，数一、二、三）设A x =−−21001000y与B =−相似.I ）求（x y ,的值；−（II ）求可逆矩阵P ，使得P AP B 1=.【详解】重点题型三相似对角化的判定与计算【方法】【例5.9】设3阶矩阵A 的特征值为1，3，−2，对应的特征向量分别为ααα123,,.若P =−ααα(,2,)−1*=【132，则P A P 】12 （A ）−1− 36 （B ）−2 −36 （C ） −2 13（D ） −2【详解】【例5.10】设n 阶方阵A 满足32A A E O ，证明A 可相似对角化2−+=.【详解】【例5.11】（2020，数一、二、三）设A 为2阶矩阵，P A =(,)αα，其中α为非零向量且不是A 的特征向量.（I ）证明P 为可逆矩阵； 2ααα+−=60，求II ）若（A A P AP−1，并判断A 是否相似于对角矩阵.【详解】重点题型四实对称矩阵的计算【方法】2+=，n 阶矩阵B 满足【例5.12】设n 阶实对称矩阵A 满足A A O B B E 2+=，且r AB ()2=，则A +【详解】01413【例5.13】（2010，数二、三）设40A a a −=−T，正交矩阵Q 使得Q AQ 为对角矩阵.若Q的第12,1)T ，求a Q ,.【详解】 2=，【例5.14】设3阶实对称矩阵A 满足A E A E+的各行元素之和均为零，且r A E ()2+=.（I ）求A 的特征值与特征向量；（II ）求矩阵A .【详解】第六章二次型一、知识体系0,0T T f x Ax B C AC x Ax x Bx =x x Ax T =T ⇔ ⇔ 定∀≠>义 拉格朗日配方法 合同变换 标准形的求法法正交变换法 定义与有相同的正、负惯性指数 充要条件A B ,有相同的正、负特征值的个数 充分条件A B 与相似必要条件二次A B 与等价型有T 0(1,,)0A E A A 二次型与标准形合同矩阵定义 性质 ⇔f n ⇔ 正定矩阵 ⇔ii >= a i n > 的正惯性指数为与合同充要条件的特征 值均大于零⇔A 的顺序主子式均大于零必要条件二、重点题型重点题型一求二次型的标准形【方法】222【例6.1】（2016，数二、三）设二次型123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x=+++++ 的正、负惯性指数分别为1，2，则【】（B ）a <−2 a （A ）a >1【详解（D ）a =1或−（C ）−<<212】 =−+++++222【例6.2】（2018，数一、二、三）设二次型1231232313(,,)()()()f x x x x x x x x x ax .I ）求f x x x （(,,)0 123=的解；（II ）求f x x x (,,)123的规范形.【详解】【例6.3】（2020，数一、三）设二次型121122(,)44f x x x x x x 1122x y =−+22经正交变换x y =Q化为二=++22，其中次型(,)4121122g y y ay y y by a b ≥.I ）求（a b ,的值；（II ）求正交矩阵Q .【详解】重点题型二合同的判定【方法】 12【例6.4】（2008，数二、三）设A =21，与A 合同的矩阵是【】−1221 （A ）− 21− （B ） −12 21 12（C ）12− （D ）−21 【详解】【例6.5】设A B ,为n 阶实对称可逆矩阵，则存在n 阶可逆矩阵P ，使得 ①PA B −；②=P ABP BA 1−；③=P AP B 122T =；④P A P B =. 成立的个数是【 】 （A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4【详解】重点题型三二次型正定与正定矩阵的判定【方法】【例6.6】设A 为m n ×阶矩阵，且r A m ()=，则下列结论 ①AA T 与单位矩阵等价；③AA T 与单位矩阵合同；②AA T 与对角矩阵相似；④AA T 正定. 正确的个数是【 】（B ）2（C ）3 （A ）1【详解（D ）4】 I ）设A 为n 阶正定矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，则【例6.7】证明：（A B −2为正定矩阵；,为n 阶矩阵，且（II ）设A B r A B n TT()+=，则A A B B +为正定矩阵.【详解】。
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线性代数
绪论
一、线性代数研究的核心问题
代数——用字母代替数；
代数学——关于字母运算的学说，
研究的中心内容：解方程。
初等代数（用字母代替数）：
)1(
一元一次方程
)2(
行列式解法
消元法四元一次方程组三元一次方程组二元一次方程组无一般根式解一元五次及更高次方程根式解或求根公式
一元四次方程一元三次方程一元二次方程⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−→−
⎪⎭
⎪⎬⎫)2()1(
问题一：如何求解含更多个未知数的一次方程组？
1．Varga ，1962年提到在Bettis 原子能实验室已经解了108000个未知数的方程组；
2．70年代末，我国“全国天文大地网首次整体平差计算”课题，核心部分是求解一个含16万个未知数31万个方程式的矛盾方程组。
一般地，如何求解含n 个未知数m 个一次方程的方程组：
⎪
⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111
其中未知数之间的关系由加法与数乘来实现，称这种关系为线性关系，称相应的方程组为线性方程组。
线性代数如何求解线性方程组发展−−→−
线性代数研究的核心问题——求解线性方程组。
字母——代替代数量（如行列式、向量、矩阵、张量等）。
线性代数定义——研究具有线性关系的代数量的一门学科。
问题二：一元高次方程及多元高次方程组（简称为代数方程（组））的有关问题，如：根的个数、根的性质（实根、虚根、重根等）、根的分布（上界与下界、分布区域等）、根的近似计算、公共根等。
研究代数方程（组）−−→−发展
多项式代数
⎭⎪⎬⎫→→→研究代数结构抽象代数研究代数方程（组）多项式代数等研究线性方程组的求解线性代数
高等代数
二、线性代数的重要性
1．数学基础课之一
数学系： 数学分析（252学时）
高等代数（128学时）
空间解析几何（48学时）
工科类： 高等数学（192学时）
线性代数（40学时）
空间解析几何（高等数学含14学时）
2．工程应用的基础
1）线性模型——利用线性代数的理论直接处理；
2）非线性模型——利用一系列的线性运算逐步完成；
3）高维问题——利用线性代数中的概念和方法，书写上十分简洁，理论上高度概括，容易抓住问题的本质；
4）计算机为处理线性代数问题提供了强有力的工具。
3．考研中占有较大比例
满分：150分考试时间：180分钟
工学类
数学一：高等数学60%
线性代数20%
概率论与数理统计20%
数学二：高等数学80%
线性代数20%
经济学
数学三：微积分50%
线性代数25%
概率论与数理统计25%
数学四：微积分50%
线性代数25%
概率论与数理统计25%
L．戈丁（瑞典）《数学概观》：
“如果不熟悉线性代数的概念，如线性性质、向量、线性空间、矩阵等等，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多，甚至可能学习社会科学也是如此。
”
三、线性代数课程的特点与要求
现代科技人才所必须具备的数学素养：
1．对问题善于从量的方面洞察、抽象和研究；
2．思维的逻辑性和严谨性；
3．自我更新数学知识的能力；
4．运用数学的原理和方法解决所从事领域内有关问题的意识、兴趣和能力。
通过不同数学课程的学习，受到不同侧重点的能力、方法和思维的训练：
高等数学——研究连续变化的量。
研究对象：函数；
基本思想：以“直”代“曲”、
以“不变”代“变”；
基本方法：初等数学+极限。
目标：培养分析问题和解决问题的能力线性代数——研究离散变化的量。
研究对象：向量和矩阵；
基本思想：用字母代替代数量进行运算，
运用概念进行逻辑推理；
方法：多种多样。
目标：培养创造性分析、思维和逻辑推理的能力。
概率统计——研究随机变化的量。
目标：培养观察问题的能力和预测能力。
空间解析几何——形象思维的基础。
目标：培养空间想象力。
数学建模——算法设计和数据处理。
目标：培养应用数学知识的能力。
线性代数的特点：
1．概念集中，内容抽象
用字母代替代数量进行运算，关于数的运算规则许多不再适用；概念比较密集，运用概念进行逻辑推理较多。
2．解题方法“灵活多变，不易捉摸”
线性代数需要跳跃性思维，证明题对不同问题有不同的思路，经常有跳跃性；计算题往往一题多解。
（高等数学需要连续性思维。
）
3．计算麻烦，容易出错
要求：
1．提前预习；
2．内容及时消化；
3．问题及时解决；
4．作业及时完成；
5．阅读有关书籍。