第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系

2009~2013年高考真题备选题库第7章立体几何第3节空间点、直线、平面之间的位置关系考点平行关系与垂直关系的综合问题1．（2013广东，5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：本题主要考查线面关系知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力．画出一个长方体ABCD-A1B1C1D1.对于A，C1D1∥平面ABB1A1，C1D1∥平面ABCD，但平面ABB1A1与平面ABCD相交；对于C，BB1⊥平面ABCD，BB1∥平面ADD1A1，但平面ABCD与平面ADD1A1相交；对于D，平面ABB1A1⊥平面ABCD，CD∥平面ABB1A1，但CD⊂平面ABCD.答案：B2．（2013浙江，5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β解析：本题主要考查空间直线与平面平行和垂直的判定定理和性质定理等基础知识，意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力，以及利用相关定理解决问题的能力．逐一判断可知，选项A中的m，n可以相交，也可以异面；选项B中的α与β可以相交；选项D中的m与β的位置关系可以平行、相交、m在β内．答案：C3．（2013江苏，14分）如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明：本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推理论证能力．(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG ∥平面ABC .(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC .因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB .因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .4.（2013山东，12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．(1)求证：CE ∥平面P AD ；(2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .证明：本题主要考查空间直线与平面、平面与平面间的位置关系，考查推理论证能力和空间想象能力．(1)法一：取P A 的中点H ，连接EH ，DH .因为E 为PB 的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB . 又AB ∥CD ，CD ＝12AB ， 所以EH ∥CD ，EH ＝CD ，因此四边形DCEH 是平行四边形．所以CE ∥DH .又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD ，因此CE ∥平面P AD .法二：连接CF .因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB . 又CD ＝12AB ， 所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形．因此CF ∥AD .又CF ⊄平面P AD ，所以CF∥平面P AD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥P A.又EF⊄平面P AD，所以EF∥平面P AD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面P AD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面P AD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥P A.又AB⊥P A，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，因此MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.5．（2013广东，14分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC＝2 2.(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG . 解：本题主要考查空间点、线、面的位置关系，同时考查空间想象能力与推理论证能力、运算求解能力，难度适中．题目考查知识层次清晰，体现了广东数学学科重视对重要知识与重要能力的考查，特别注重对基础知识和基本技能的考查．(1)证明：在等边三角形ABC 中，AB ＝AC .∵AD ＝AE ，∴AD DB ＝AE EC ，∴DE ∥BC ，∴DG ∥BF ，如图2，DG ⊄平面BCF ，∴DG ∥平面BCF .同理可证GE ∥平面BCF .∵DG ∩GE ＝G ，∴平面GDE ∥平面BCF ，∴DE ∥平面BCF .(2)证明：在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，∴AF ⊥FC ，∴BF ＝FC ＝12BC ＝12.在图2中，∵BC ＝22，∴BC 2＝BF 2＋FC 2，∴∠BFC ＝90°，∴FC ⊥BF .∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .(3)∵AD ＝23，∴BD ＝13，AD ∶DB ＝2∶1，在图2中，AF ⊥FC ，AF ⊥BF ，∴AF ⊥平面BCF ，由(1)知平面GDE ∥平面BCF ，∴AF ⊥平面GDE .在等边三角形ABC 中，AF ＝32AB ＝32，∴FG ＝13AF ＝36，DG ＝23BF ＝23×12＝13＝GE ，∴S △DGE ＝12DG ·EG ＝118，∴V F -DEG ＝13S △DGE ·FG ＝3324.6．（2012浙江，5分）设l 是直线，α，β是两个不同的平面() A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．答案：B7．（2012安徽，5分）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD每组对棱相互垂直②四面体ABCD每个面的面积相等③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长解析：①错误，当AB＝4，AC＝3，AD＝3时，AC与BD不垂直；②正确，在△ABC与△CDA中，AB＝CD，AD＝BC，AC＝AC，故△ABC与△CDA全等；同理四面体的四个面都全等，故四面体ABCD每个面的面积相等；③错误，根据四面体的四个面都全等可得从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角为一个三角形的三个内角，故其和为180°；④正确，如图所示，E、F、G、H是所在边的中点时，则四边形EFGH为菱形，故EG与FH 互相垂直平分，同理可得连接四面体ABCD的每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤正确，因为AD＝BC，AB＝CD，AC＝BD，所以从四面体ABCD的顶点A出发的三条棱的长可组成△BCD，同理可得从四面体ABCD的每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．答案：②④⑤8．(2009·江苏，5分)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号________(写出所有真命题的序号)．解析：由面面平行的判定定理可知，(1)正确．由线面平行的判定定理可知，(2)正确．对(3)来说，l只垂直于α和β的交线l，得不到l是α的垂线，故也得不出α⊥β.对(4)来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α.也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不垂直于α.答案：(1)(2)9.（2012江苏，14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.解：(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以AF∥平面ADE.10．（2012北京，14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE ⊥AC .所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD .所以DE ⊥平面A 1DC .而A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F .又因为A 1F ⊥CD ，所以A 1F ⊥平面BCDE .所以A 1F ⊥BE .(3)线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ .理由如下：如图，分别取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，则PQ ∥BC .又因为DE ∥BC ，所以DE ∥PQ .所以平面DEQ 即为平面DEP .由(2)知，DE ⊥平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1C .又因为P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点，所以A 1C ⊥DP .所以A 1C ⊥平面DEP .从而A 1C ⊥平面DEQ .故线段A 1B 上存在点Q ，使得A 1C ⊥平面DEQ .11．(2011天津，13分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．(1)证明PB ∥平面ACM ；(2)证明AD ⊥平面P AC ；(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．解：(1)证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .(2)证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面P AC .(3)取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝12PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，所以DO ＝52.从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝455，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455.12．(2010安徽，13分)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ；(2)求证：AC ⊥平面EDB ；(3)求四面体B －DEF 的体积．解：(1)证明：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点．连接EG ，GH ，由于H 为BC的中点，故GH 綊12AB . 又EF 綊12AB ，∴EF 綊GH ，∴四边形EFHG 为平行四边形， ∴EG ∥FH ，而EG ⊂平面EDB ，∴FH ∥平面EDB .(2)证明：由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC .又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC .而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC ，∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH .又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC .∴FH ⊥平面ABCD .∴FH ⊥AC .又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG .又AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ，∴AC ⊥平面EDB .(3)∵EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，∴BF ⊥平面CDEF .∴BF 为四面体B －DEF 的高．∵BC ＝AB ＝2，∴BF ＝FC ＝ 2.又EF ＝1，∴V B －DEF ＝13×12×1×2×2＝13.13．(2010辽宁，12分)如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B .(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点，且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．解：(1)证明：因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1.又已知B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B ，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1.又B 1C ⊂平面AB 1C ，所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1.(2)如图，设BC 1交B 1C 于点E ，连结DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线．因为A 1B ∥平面B 1CD ，所以A 1B ∥DE .又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点．即A 1D ∶DC 1＝1.14. (2009·江苏，14分)如图，在直三棱柱ABC －A1B 1C 1中，E 、F分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明：(1)因为E、F分别是A1B、A1C的中点，所以EF∥BC，EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC. 所以EF∥平面ABC.(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1，BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C，所以A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.。