云南省玉溪第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

玉溪一中2018-2019学年上学期高二年级期中考试文科数学试卷一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|2x1}，N={x|-2x2}，则（）A. [-2，1]B. [0，2]C. （0，2]D. [-2，2]【答案】C【解析】【分析】先分别求出集合M，N，再求出C R M，由此能求出(C R M)∩N．【详解】∵集合M={x|2x≤1}={x|x≤0}，N={x|﹣2≤x≤2}，∴C R M={x|x＞0}，∴(C R M)∩N={x|0＜x≤2}=（0，2]．故选：C．【点睛】本题考查补集、交集的求法和性质等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题．2.“x2”是“x2+x﹣60”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解出不等式“x2+x﹣60”的范围，再根据必要条件和充分条件的定义判断.【详解】由x2+x﹣60解得x2或x<-3，故“x2”是“x2+x﹣60”的充分而不必要条件，故选：B．【点睛】此题主要考查必要条件和充分条件的定义，及必要条件，充分条件的判断，属于基础题.3.已知a=log20.3，b=20.3，c=0.32，则a，b，c三者的大小关系是（）A. b c aB. b a cC. a b cD. c b a【答案】A【解析】故选：A．点睛：本题考查三个数的大小的比较，则基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的单调性的合理运用．4.路公共汽车每分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度，然后代入几何概型公式，即可得到答案详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为．故选A .点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键5.已知高一（1）班有48名学生，班主任将学生随机编号为01，02，……，48，用系统抽样方法，从中抽8人，若05号被抽到了，则下列编号的学生被抽到的是（）A. 16B. 22C. 29D. 33【答案】C【解析】【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可.【详解】样本间隔为48÷18=6，则抽到的号码为5+6（k﹣1）=6k﹣1，当k=2时，号码为11，当k=3时，号码为17，当k=4时，号码为23，当k=5时，号码为29，故选：C．【点睛】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于简单题．6.直线2x+3y–9=0与直线6x+my+12=0平行，则两直线间的距离为（）A. B. C. 21 D. 13【答案】B【解析】分析：先根据两直线平行，算出m的值，然后利用两平行直线间距离公式进行计算详解：∵与平行，∴，∴m=9.将直线化为2x+3y+4=0，故其距离 .故选B.点晴：两直线平行于垂直的关系需要求掌握，另外在两平行直线间距离公式的运算过程中首先确保相应的x 和y的系数需相等”7.某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，如图，体积为选B.8.在中，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量基本定理分析求解即可.【详解】由已知可得点是靠近点的三等分点，又点是的中点。

故选【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题.9.执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A. s≤？B. s≤？C. s≤？D. s≤？【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞？时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件．【详解】模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S==（此时k=6），因此可填：S≤？．故选：C．【点睛】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键，属于基础题．10.已知a，b R，且，则的最小值为（）A. B. 4 C. D. 3【答案】A【解析】【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可．【详解】a，b∈R，且a﹣3b+6=0，可得：3b=a+6，则==≥2=，当且仅当2a=．即a=﹣3时取等号．函数的最小值为：．故选：A．【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值．考查计算能力．11.已知四棱锥的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且面ABCD，若四棱锥的体积为，则该球的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把四棱锥P-ABCD扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，求出外接球的半径R，再计算外接球的体积．【详解】四棱锥扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，由四棱锥的体积为，解得；，解得；∴外接球的体积为．故选：B．【点睛】本题考查了四棱锥的结构特征与其外接球的应用问题，是基础题．12.定义在R上的奇函数f（x）满足：，则函数的所有零点之和为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】化简分段函数的解析式，判断函数的零点的关系，求解即可．【详解】当x≥0时，又f（x）是奇函数，关于原点对称可知：g（x）=0⇒f（x）=a，（0＜a＜1），有5个零点，其中有两个零点关于x=﹣3对称，还有两个零点关于x=3对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线y=a与函数y=，x∈交点的横坐标，即方程a=的解，x=，故选：C．【点睛】本题考查函数零点与奇函数图象的对称性及指数方程的解法，考查数形结合，属于基础题.二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.在等比数列{a n}中，已知=8，则=__________【答案】4【解析】【分析】利用等比数列通项公式得a2a4a6==8，求出a4=2，再由a3a5=，能求出结果．【详解】∵在等比数列{a n}中，a2a4a6=8，∴a2a4a6==8，解得a4=2，∴a3a5==4．故答案为：4．【点睛】本题考查等比数列的等比中项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，是基础题．14.已知变量x,y满足约束条件，则目标函数z=2x-y的最大值是________【答案】2【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件，作出可行域如图，联立，解得B（1，0），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×1﹣0=2．故答案为;2．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.将函数f（x）=sin(2x)的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是__________【答案】【解析】【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得函数g（x）的单调递减区间,注意x前面的系数为负数，平移时要提出来．【详解】将函数f（x）= sin(2x)的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x）=sin（-2x-）=-sin（2x+）的图象，令2kπ-≤2x+≤2kπ+求得kπ-≤x≤kπ+故g（x）的单调减区间为，k∈Z，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，平移时注意自变量x的系数，再利用正弦函数的单调性求出新函数的单调区间，属于基础题．16.由直线x+2y7=0上一点P引圆x2+y22x+4y+2=0的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为__________ 【答案】【解析】【分析】根据题意，将圆的一般方程变形为标准方程，即可得圆心坐标与半径，由直线与圆相切的性质可得|PA|2=|MP|2﹣r2=|MP|2﹣3，分析可得|MP|取得最小值时，|PA|取得最小值，据此分析可得答案．【详解】根据题意，圆x2+y2﹣2x+4y+2=0的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=3，则圆的圆心为（1，﹣2），半径r=，设圆心为M，则|PA|2=|MP|2﹣r2=|MP|2﹣3，则|MP|取得最小值时，|PA|取得最小值，且|MP|的最小值即M到直线x+2y﹣7=0的距离，|MP|最小值==2，则|PA|最小值=，故答案为:．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆的一般方程变形为标准方程．二．解答题:共6小题,共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB．（1）求角C的大小；（2）若c=，a2+b2=10，求△ABC的面积．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，由A+B+C=π，求出cosC=，由此求出∠C．（2）由余弦定理得7=10﹣ab，从而ab=3，由此能求出△ABC的面积．【详解】（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB，∴2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，∵A+B+C=π，∴2sinAcosC=sin（B+C）=sinA，∴cosC=，∵0＜C＜π，∴∠C=．（2）∵c=，a2+b2=10，，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=10﹣ab，解得ab=3，∴△ABC的面积S===．【点睛】本题考查三角形角的大小的求法，三角形面积的公式等基础知识的求法，利用正弦定理、余弦定理，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18.对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，请列举出所有基本事件，并求至多1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率．【答案】（1）0.125；（2）5；（3）【解析】【分析】（1）由频率=，能求出表中M、p及图中a的值．（2）由频数与频率的统计表和频率分布直方图能求出参加社区服务的平均次数．（3）在样本中，处于[20，25）内的人数为3，可分别记为A，B，C，处于[25，30]内的人数为2，可分别记为a，b，由此利用列举法能求出至少1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率．【详解】（1）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，所以M=40．因为频数之和为40，所以．因为a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以．（2）因为该校高三学生有360人，分组[15，20）内的频率是0.625，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.625=225人．（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有3+2=5人设在区间[20，25）内的人为{a1，a2，a3}，在区间[25，30）内的人为{b1，b2}．则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）10种情况，（9分）而两人都在[20，25）内共有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3）3种情况，至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率为．【点睛】本题考查频率分布表和频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.设数列{a n}的前n项和S n满足S n＝，且a1，a2＋1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和为T n，求证： T n＜1．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式得到a n=2a n﹣1（n≥2），再由已知a1，a2+1，a3成等差数列求出数列首项，可得数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列的通项公式，再由等比数列的前n项和求得T，再利用单调性求出T的范围.【详解】(1)由已知S n＝2a n－a1，有a n＝S n－S n－1＝2a n－2a n－1(n≥2)，即a n＝2a n－1(n≥2)．从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.所以数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n＝2n.(2)由(1)得＝，所以T n＝＋＋…＋＝＝1－.由1－.在自然数集上递增，可得n=1时取得最小值，且1－＜1，则≤T n＜1．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知圆C经过原点O（0，0）且与直线y=2x﹣8相切于点P（4，0）．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过点（4, 5），且与圆C相交于M，N两点，若|MN|=2，求出直线l的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（Ⅰ）由已知得圆心经过点P（4，0）、且与y=2x﹣8垂直的直线上，它又在线段OP的中垂线x=2上，求得圆心C（2，1），半径为，可得圆C的方程．(2)把圆的弦长转化为圆心到直线的距离，讨论k存在和不存在两种情况.【详解】（1）由已知，得圆心在经过点P（4，0）且与y=2x﹣8垂直的直线上，它又在线段OP 的中垂线x=2上，所以求得圆心C（2，1），半径为．所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即.因为|MN|=2，圆C的半径为，所以圆心到直线的距离d=2,解得，所以直线,②当斜率不存在时，即直线l:x=4，符合题意综上直线l为或x=4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用直线和圆的弦长求直线的方程，注意讨论k存在和不存在两种情况，属于中档题．21.已知，.（1）若，求t的值；（2）当，且有最小值2时，求的值；（3）当时，有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（Ⅰ）把1和2代入函数，求出t.（2）t=4，化简F（x）=g（x）﹣f（x）通过最小值2，列出不等式组，即可求a的值；（3）当时，有f（x）≥g（x）恒成立，转化为在上恒成立，通过构造二次函数，求出实数t的取值范围．【详解】（1）即（2），又在单调递增，当，解得当，解得（舍去）所以(3），即，，，，，依题意有而函数因为，，所以.【点睛】本题考查了利用函数的单调性求最值的知识，特别是与分类讨论相贯穿使此题更显综合；第三问考查了恒成立问题，要注意学习由已知向对数不等式转化的能力，由对数不等式向二次不等式转化的能力．同时本题体现的分离参数思想亦值得学习．。