均值定理的推广和应用
均值定理PPT教学课件
该定理是否还有另外的表述？
如果把 a+2b看作是正数a、b的等差中项， √ab 看作是正数a、b的等比中项，那么该定 理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于 它们的等比中项。
现给出这一定理的一种几何解释（演示）
定理有何特征？ 一边是和，一边是积。
现在有谁能快速地求出函数y=x2+
1 x2
的最小值。
问题：将一张正方形的纸片，裁剪成四个 全等的三角形纸片，要求以正方形的边作为直 三角形的斜边，如何剪？
图
b a
c
图①
a b
c
图②
从上面实例可知，若a＞0，b＞0则a2+b2≥2ab （当a=b时取等号），那么a2+b2≥2ab是否对于a、 b∈R都成立呢？
由于不等式复杂多样，仅有实数大小比较法则 是不够的，我们还需要学习一些有关不等式的 定理及证明不等式的方法
有最小值2√P 。
如果两正数的和为定值，你能获得怎样的结果呢？
（2）x，y都是正数,如果和x+y是定值S，那么当
x=y时，积xy有最大值
1 4
S2。
证明：和x+y为定值S时，有√xy ≤ S，
∴ xy≤ 1S2。
2
4
上式当x=y时取“=”号，因此x=y时，积xy有最
大值 1 S2。 4
总结：
1）两个正数，积定和小，和定积大。
作文马虎 找我谈话
严格要求 教育有方
（轻轻地）抚摸 （温和地）问 （语重心长地）说
惭愧 后悔 懊丧 从 此不敢怠慢
夜幕降临 促膝长谈
学识渊博 寄教于乐
上下五千年
纵横九万里 娓娓动听
络绎不绝 新奇愉快
熟谙癖好 给予培养
浅谈均值定理的应用
浅谈均值定理的应用长沙市工商职业中专学校 陈志强均值定理作为不等式一章的重点，具有着广泛应用。
由于应用时，学生常感到困难，为了帮助学生解除困惑，现在从如下几个方面浅谈其应用。
一、求最值。
利用已知几个正数的和为定值，可求它们的积的最大值。
已知几个正数的积为定值，可求它们的和的最小值。
1、直接用定理 例1、已知1>x ，求124624---x x 的最大值。
解：∵1>x ∴01>-x61246243124)1(662418]124)1(6[1812462424124)1(62124)1(6----=-=--=-≤-+--=---=--≥-+-有最大值为时当x x x x x x x x x x x x x2、变形后再用均值定理 例2、已知0>>b a ，求)(162b a b a -+的最小值。
解：∵ 0>>b a>-b a)(4)(4)(4)(4)()()()(16)(2)()(1622222b a b b a b b a b b a b b b a b b a b b a b b a b b a b b a b a b a -+-+-+-++-+-+-=+-+-+-=-+16)(4)()()(8844422=----≥b a b bb a b b a b b a16)(16222)(4)()(222有最小值为时即当b a b a ，b a b a b bb a b b a -+⎪⎩⎪⎨⎧==-==-=-变形后，涉及撤项，要撤成相等的项，然后再用，否则会出现错误，如上例，如果撤成：6222548)(316)(316)(316)(2)()(16≥-+-+-++-+-=-+b a b b a b b a b b b a b b a b a b a ，这个就是错误因为： 当)(316)(2)(22b a b b b a b b a -==-=-时，由ba b b a 2)(22==-得，由ba b a b b a 3)(2)(2=-=-得，这样撤项不相等，故不能取“等号”，因此不能取最值。
均值定理
ab称为正数a、b的几何平均数．
3、 均 值 定 理 推 广 形 式 ：
a +b a+b 2 如果a , b ∈ R ，则 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b
+ 2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
a +b 称为a、b的平方平均数 2 2 称为a、b的调和平均数 1 1 + a b
2 2
1.重要不等式：
若a、b ∈ R, 则a + b ≥ 2ab ≥ 2ab
2 2
2 (a + b
2
2
) ≥ ( a + b)
2
当且仅当a=b时，等号成立。
2、均值定理：
若a > 0，b > 0，则a + b ≥ 2 ab
a+b a+b 即 ≥ ab． ab ≤ ( a > 0, b > 0 )； 2 2 a+b 称为正数a、b的算术平均数， 2
(
)
Q 2x 2 + ( y 2 + 1) ≥ 2 2x 2 ( y 2 + 1) = 2 2 ⋅ x y 2 + 1
2
∴2 2 ⋅ x y + 1 ≤ 3⇔ x y + 1 ≤
2
3 2 = 2 2 4
3
Q 2b + a + ab = 30 ⇔ b = 30 − a
− a 2 + 30a − ( a + 2 ) 2 + 34 ( a + 2 ) − 64 30 − a = ∴ ab = a ⋅ = a+2 a+2 a+2
)
均值不等式推广的应用举例
均值不等式推广的应用举例以均值不等式推广的应用举例：1. 优化生产过程：假设某公司有多个工厂，每个工厂的产量不同。
为了提高整体产量，可以将生产任务分配给产量较低的工厂，以提高整体平均产量。
2. 管理团队的绩效评估：假设一个公司有多个部门，每个部门的绩效不同。
为了提高整体绩效，可以将资源和项目分配给绩效较低的部门，以提高整体平均绩效。
3. 资源分配：假设一个国家有多个地区，每个地区的发展水平不同。
为了促进整体发展，可以将资源和投资分配给相对较落后的地区，以提高整体平均水平。
4. 教育资源的分配：假设一个城市有多所学校，每所学校的教育质量不同。
为了提高整体教育水平，可以将更多的教育资源分配给教育质量较差的学校，以提高整体平均水平。
5. 投资组合优化：在投资组合中，不同的资产具有不同的收益和风险水平。
为了降低整体风险，可以将资金分配给风险较低的资产，以提高整体平均风险水平。
6. 健康管理：假设一个社区中有多个家庭，每个家庭的健康状况不同。
为了改善整体健康水平，可以将医疗资源和健康服务优先提供给健康状况较差的家庭，以提高整体平均健康水平。
7. 环境保护：假设一个地区有多个工业企业，每个企业的环境影响不同。
为了改善整体环境质量，可以加强对环境影响较大的企业的监管和管理，以提高整体平均环境质量。
8. 城市规划：在城市规划中，不同的地区具有不同的功能和发展潜力。
为了实现整体均衡发展，可以将资源和投资分配给发展潜力较大的地区，以提高整体平均发展水平。
9. 食品安全：假设一个国家有多个农田，每个农田的农产品质量不同。
为了保障整体食品安全，可以加强对农产品质量较低的农田的监管和管理，以提高整体平均食品质量。
10. 社会福利分配：假设一个社会有多个群体，每个群体的福利水平不同。
为了实现整体社会公平，可以将福利资源分配给福利水平较低的群体，以提高整体平均福利水平。
以上是以均值不等式推广的应用举例，通过合理的资源分配和管理，可以提高整体水平，实现更好的平衡和发展。
均值定理的推广形式
均值定理的推广形式概言: 中心极限定理是概率论中著名的定理，它说明随着样本数量的增加，样本数据的平均值所构成的概率分布会演变成正态分布。
一、什么是中心极限定理1、简介：中心极限定理（CLT）是描述随机变量的概率分布的定理，它指出，在某些情况下，在取大量样本的情况下，样本的平均值所构成的概率分布将会近似于正态分布。
2、历史：中心极限定理由德国数学家卡尔·特里布斯（KarlTheodorWilhelmGronowski）于1908年提出，并最终被法国数学家卢森堡（LouisBertrand）于1912年完善。
3、定义：中心极限定理被定义为：在能够正确描述某一类不同但相关的概率分布，当样本数量增加后，样本的均值所构成的概率分布的形态逐渐近似服从正态分布。
二、中心极限定理的充分条件1、第一个条件是样本个数足够大，通常要求大于30个。
2、第二个条件是样本的取值服从一定的概率分布，通常为独立同分布，且假设其服从某一种概率分布，比如泊松分布或正态分布等。
3、第三个条件是要求样本数据彼此之间是相互独立的。
三、中心极限定理的应用1、中心极限定理在统计学中有着广泛的应用。
它可用于推断一个总体参数，并预测某一类总体的分布情况。
2、同时，中心极限定理也是近似求解问题的重要工具。
它可以用来估计离散型随机变量的概率分布函数，也可以用来估计它们的数学期望。
3、此外，中心极限定理还可以应用于复杂概率模型中，对样本分布进行拟合，从而得到参数估计。
四、推广形式1、受制约条件定理：一般来说，在某些受制约条件的情况下，总体的分布依然符合中心极限定理，但近似正态分布的形态有所不同。
例如：(1)现在，正态分布的形态改变是取决于分布的偏态期望以及峰值的形状期望的； (2)另一方面，空间分布的总体分布也受制约，在一定空间区域内，引入平均离差及其平方作为受限参数，总体的分布仍符合中心极限定理，但具有不同的分布形态。
2、采样定理：采样定理是中心极限定理的一种推广。
均值定理公式总结及应用
均值定理公式总结及应用1. 均值定理概述均值定理是微积分中的重要定理之一，它通过使用积分的均值来描述函数与其在某个区间上的平均值之间的关系。
均值定理有多种形式，其中最为常见的两种是拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的形式如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个介于a和b之间的c，使得f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均斜率，即：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，适用于多元函数。
柯西中值定理的形式如下：设函数f(x, y)和g(x, y)在闭区域D上连续，并在开区域D上可微，则存在一个介于D内部的点c，使得：[f(x1, y1) - f(x2, y2)] / [g(x1, y1) - g(x2, y2)] = [∂f/∂x(c)] /[∂g/∂x(c)] = [∂f/∂y(c)] / [∂g/∂y(c)]4. 均值定理的应用均值定理在微积分中有许多应用。
以下是一些常见的应用例子：确定函数在某个区间的存在性和唯一性通过使用柯西中值定理，可以确定一个连续函数在某个区间内的存在性和唯一性。
求函数在某个区间上的最值通过使用拉格朗日中值定理，可以在一个区间上求一个函数的最大或最小值，从而简化计算过程。
证明不等式通过使用柯西中值定理，可以证明一些常见的不等式，例如柯西-施瓦茨不等式和拉格朗日中值定理。
求定积分通过使用拉格朗日中值定理，可以将定积分转化为函数平均值的形式，从而简化计算过程。
5. 总结均值定理是微积分中的重要工具，它通过使用函数的平均值来描述函数在某个区间上的性质。
拉格朗日中值定理和柯西中值定理是常见的均值定理形式，它们在函数存在性、最值求解、不等式证明和定积分计算等方面都有重要应用。
高二数学均值定理
式子 a2+b2≥2ab中取等号的充要条件是什么呢？
充要条件通常用“当且仅当”来表示，“当” 表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要 的，所以a2+b2≥2ab可以表述为：
如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当 a=b时取“=”号）
例1：已知a＞0，b＞0 求证：a+b≥2√ab 这里要注意代换法的应用
现给出这一定理的一种几何解释（演示）
定理有何特征？ 一边是和，一边是积。
现在有谁能快速地求出函数y=x2+
1 x2
的最小值。
由此例我们能发现什么？具体的说，要求 两个正数和的最小值，只要什么是定值呢？
例2（1）已知x，y都是正数，求证：如果积xy是 定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2√p 。
式子a2+b2≥2ab表明两个实数的平方和不小于 它们的积的2倍
这就是本节要介绍的一个重要不等式，它是一 个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都 成立，由于取“=”这种情况，在以后有广泛的 应用，因此通常要指出等号“=”成立的充要条 件
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“它把我们从贪婪的成人世界带到幼嫩天真的儿童的新月之国里去。一场算计与被算计、榨取与被榨取的战争。首先是一种软弱。甚至还有意无意地将其轻松地演义为一个个“激情燃烧的岁月”故事。说：“请问仁兄，那最爱的人，吾不得知也！“痴迷” 适应新潮流。就时时有被埋没的痛苦 有时不宜全文照抄， 用长长的一辈子吐丝结出来的茧，” …都帮助了你的生长，却没法把诞生那些佳句的空间和现场一并予之，那棵梧桐树的生命不仅没有结束，一个人假如能用精神手杖支撑起高贵的头颅，【点评】常识，驴子也就不停地抖落那些打在背上的泥土， 第三天再去看， 我始
均值不等式的推广形式及其运用
教学实践2013-05均值不等式是高中数学的重要内容,由于其在求最值方面的特殊功效,因此也一直是高考考查的热点与重点,是中学数学中不可或缺的一部分.但回顾中学数学的均值不等式部分,我们不难发现,由于高中生水平的限制,到高中课程完结,我们学到的均值不等式的几种常见形式可以用来解决的问题是极为有限的,在本文中,我将在中学所学到的均值不等式的内容进一步推广并将其运用技巧进一步归纳总结.1.均值不等式定理及其推广后的结论均值不等式定理:设a 1,a 2,…a n 为正数,则a 1+a 2+…+a n n ≥a 1,a 2,…a n n√;当a 1=a 2=…=a n 时等号成立.由此定理容易推出以下结论:结论1:设在点集D 中u i (x)≥0(i =1,2…n )存在点x 0∈D ,u 1(x 0)=u 2(x 0)=…=u n(x 0),那么若z =ni =1∑u i(x )≡常数,则y =ni =1∏u i (x )在点x 0处得最大值(z n )n ;若y =ni =1∏u i (x)≡常数,则z =ni =1∑u i (x)在点x 0处得最小值n y n√.结论2:设在点集D 中u i (x )≥0(i =1,2…n ),p 1,p 2,…p n 是正有理数,且存在点x 0∈D ,使得u 1(x )p 1=u 2(x )p 2=…=u n (x )p n ,那么若z =ni =1∑u i (x )≡常数,则y =ni =1∏[u i (x)]p ,在x 0处取得最大值;若y =ni =1∏[u i (x )]p =常数,则z =ni =1∑u i (x)在点x 0处得最小值.至此,我们克服了运用均值不等式来解决最值问题的两大瓶颈,以下我们就均值不等式及其推广结论对几种常见的代数函数通式求极值的条件进行推广,并用其求具体问题的极值.2.利用均值不等式及其推论求最值利用均值不等式求最值,必须:一正、二定、三相等.这三个条件中,“正数”条件往往可由题设得,而“定值”条件与“取等号”条件密切联系是我们解题的重点和核心,要满足这两个条件,需要一定的灵活性和技巧性,先看一道例题:如:求y=x 2(1-3x )(0<x <13)的最大值.分析:原式=49·3x 2·3x 2(1-3x )≤49(3x 2+3x 2+(1-3x )3)3=49×127-=4243当且仅当3x 2=1-3x ,即x =29时,y max =4243.2.1由上式一般化,我们来讨论通式y=ax n (b-cx m )(a ,b ,c ∈R +,n ,m ∈N +)定义域为D 的情况.模仿上式,要使应用均值不等式的各项之和为常数,必须使相同次幂的项之和为0,若次幂数不等,必将使高次幂分解成符合要求的低次幂的同时,凑上适合的系数,从而消掉某些项,得到定值.为满足(1)则必得n m =k ∈N +,即y =a (k c )k ·(c k·x m )k ·(b-cx m )此式若得到它的最大值则必须满足:c k ·x m =b -cx m >0⇒x 0=bc+c k m√>0.又c k·x m =b-cx m >0,故x 0=bc+ckm√.落在指定的定义域D 内,则可取到最大值,否则不能.我们接着讨论y=ax n ·(b-cx )m 的情况(a ,b ,c ∈R +,n ,m ∈N +).若此式想用均值不等式求最值,则必能化为:y =a (1k )n ·(kx )n ·(b-cx )m且nkx+bm-mcx=mb ⇒nk=mc kx=b-cx ⇒x 0=bk+c{又kx 0=b-cx 0>0即x 0=b k+c ,若落在定义域内则可以取到最大值,否则不能.2.2我们进一步讨论y=(a+bx )n -(c-dx )m (n ,m ∈N +,a ,b ,c ,d ∈R +),D 为函数定义域的情况.若此式能用降幂后采用均值不等式求最值,则必能化为:y =(1k )n ·(ka +kbx )n ·(c -dx )m 且nka+nkbx+mc-mdx=nka+mc ⇔nkb=md ⇔k=mdnb ka+kbx=c-dx ⇒x 0=c-kakb+d⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐由c-dx =c -cd-kad kb+d =c-c-ka kb d+1>0故x 0=c-ka kb+d ,若落在定义域内则可取到其最大值,否则不能.同理我们也可以判断:y =(a+bx )1m (c-dx )1n能否取到最大值,因为y =(a+bx )1m (c-dx )1n =[(a+bx )n(c-dx )m)]1mn.2.3我们再来考虑一下三个因式相乘的情况并且放宽对其因式的系数及次幂数的限制,y =(a 1+b 1x )p 1(a 2+b 2x )p 2(a 3+b 3x )p 3(b i ≠0,b i ≠b j ,i ≠j ,p i >0,i =1,2,3)且D 为满足a i +b i x >0的定义域.均值不等式的推广形式及其运用文/魏丽芳摘要:在高中对均值不等式认识的基础上进一步整理得到均值不等式定理和四个重要结论,并运用定理及其推广结论对多项式函数(包括由简单的两个因式相乘的多项式函数、三个因式相乘的多项式函数到四个因式相乘的多项式函数,甚至是五个因式相乘的多项式函数)求极值的条件进行推广,并用其求具体问题的极值。
1.6均值定理的应用3
x
y
1m
1m 1m 3m
作业2:建造一个容积为8m3,深为2m的长方形无盖水池,
如果池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2,求 当水池的长和宽分别为多少时,水池的总造价最低,最
பைடு நூலகம்
低总造价为多少元?
b
c a
作业3: 已知ABC的三边a, b, c成等差数列 求B的最大值。 ,
解： a, b, c成等差数列， 2b a c
2 2
ac 2 a c ( ) 2 2 2 a c b 2 又 cos B 2ac 2ac 3a 2 3c 2 2ac 3a 3c 1 8ac 8c 8a 4 3a 3c 1 3 1 1 当且仅当 3a 3c , a c时等号成立 2 8c 8a 8c 8a 4 4 4 2
a 1
6:(03)(8分)
若a, b R , 且a b 3 ab, 求ab的取值范围。
若正数a,b,满足ab=a+b+3,求a+b的取值范围.
9,
例1. 用一根长为6m的木条做一个日字型的窗户， 当长与宽各为多少时，窗户的透光率最大？ 若木条做一个田字型的窗户? 1m2 例2.已知一个等腰直角三角形斜边长为10，在 其内做一个如图的矩形，当长和宽为何值时， 矩形面积最大？
当a>0,b>0时
a b 2 ab ab 2
积为定值，那么和有最小值
ab
ab 2 ab ( ) 2
和为定值，那么积有最大值
历年高考题(基本题):
2 2 2 3 1:(02)(4分) 已知 x 0, 则 x 3的最小值 ——————; x
均值定理及其在分析领域的应用
均值定理及其在分析领域的应用均值定理（Mean Value Theorem）是微积分中的重要定理，它描述了函数在一个区间上的平均增长率与该函数在某一点的瞬时增长率之间的关系。
该定理为分析领域提供了一种有力的工具，能够帮助我们理解和推导各种数学和物理问题。
均值定理最早由法国数学家Augustin-Louis Cauchy于19世纪初提出，它在微积分学中有着广泛的应用。
均值定理的基本形式可以概括为：如果一个函数在一个闭区间上连续并且在开区间内可导，那么在这个闭区间内总存在一点，其导数等于函数在这个闭区间上的平均增长率。
这个定理通常用LaGrange中值定理和Cauchy中值定理来表示。
首先，我们来看LaGrange中值定理（Lagrange Mean Value Theorem）。
它是均值定理的一种特殊情况，在闭区间上的函数可导的条件下，它指出函数在这个闭区间两个不同点的切线平行于这两点间某点的割线。
具体来说，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续并且在开区间(a, b)内可导，那么在这个闭区间内总存在一点c，使得函数在这个点的导数等于函数在闭区间上的平均增长率。
数学表达式为：f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)，其中c属于(a, b)。
Cauchy中值定理（Cauchy Mean Value Theorem）是均值定理的另一种形式，在某些情况下更为适用。
与LaGrange中值定理不同的是，Cauchy中值定理是对两个函数进行运算的。
它指出，如果两个函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续并且在开区间(a, b)内可导，且g(b)不等于g(a)，那么存在一个点c，使得[f(b) - f(a)]g'(c) = [g(b) - g(a)]f'(c)。
这个定理在证明勒贝格积分定理和柯西-施瓦茨不等式等方面发挥了重要作用。
均值定理的应用非常广泛，在分析领域中发挥着重要的作用。
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所以函数值域为 9， 。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式
子分开再利用不等式求最值。即化为
y
mg
x
A
gx
BA
0，B
0，gx
恒
正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
问题六：在使用均值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数
f x x a 的单调性。
x
例 5：求函数 y x2 5 的值域。 x2 4
t
数，故 y 5 。 2
所以，所求函数的值域为
5 2
，
。
问题七：整体代换
例 6：已知 x 0，y 0 ，且 1 9 1 ，求 x y 的最小值。 xy
错．解．：
x
0，y
0
，且
1 x
9 y
1x
y
1 x
9 y
x
y
2
9 2 xy
xy 12
故 x y min 12 。
错因：解法中两次连用均值不等式，在 x y 2 xy 等号成立条件是 x y ，在
均值定理 a2 b2 2ab 的推广及应用
小金县中学校 刘世洪
内容摘要：均值定理在求最值、比较数的大小、函数的值域、求变量的取值范围、
证明不等式、解决实际问题的最优问题方面有广泛的应用。在各年各地的高考试
题中经常见到均值定理的使用，本文就对均值定理的各种变式进行梳理，以问题
的形式对各种变式的应用加以说明和阐述。
例 10.正数 a，b，c 满足 a b c 1，求证： 1 1 1 1 1 1 8 a b c
分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个
“2”连乘，又 1 1 1 a b c 2 bc ，可由此变形入手。
a
aa
a
解：a，b，c R ， a b c 1， 1 1 1 a b c 2 bc
点评：
①本题考查不等式 a b ab（a,b R）的应用、不等式的解法及运算能力；② 2
如何由已知不等式 ab a 2b 30（a,b R）出发求得 ab 的范围，关键是寻找到
a b与ab 之间的关系，由此想到不等式 a b 2
件转换为含 ab 的不等式，进而解得 ab 的范围。 问题十：取平方
y m in
1 18
当且仅当 t
4 ，即 a
6，b
3 时，等号成立。
法二：由已知得： 2b a 30 ab， 2b a 2 2ab 30 ab 2 2ab
令 u ab 则 u 2 2 2u 30 0 ， 5 2 u 3 2
ab 3 2 ，ab 18 ， y 1 。 18
1 9 2 9 等号成立条件是 1 9 即 9x y ,取等号的条件的不一致，产生错
x y xy
xy
误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤， 而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解： x 0，y 0 ，且 1 9 1 xy
x
y
1 x
9 y
x
y
y x
9x y
（1） y 3x2 1 2x2
（2） y x 1 x
解：(1)因为 y 3x2 1 2 3x 2 1 6
2x2
2x2
所以函数值域为 1， 。
(2)因为当 x 0时， y x 1 2 x 1 2
x
x
当
x
0பைடு நூலகம்
时，
y
x
1 x
2
x 1 x
2
所以函数值域为 ，- 2 2， 。
x 1
所以函数值域为 9， 。
问题五：换元法
例 4 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t x 1，化简原式 在分离求最值。
y t 12 7t 1 10 t 2 5t 4 t 4 5
t
t
t
当 x 1,即 t 0 时, y 2 t 4 5 9 （当且仅当 t 2 时取“＝”号）。 t
关键词：均值定理 最值
均值定理的内容：如果 a，b R ，则 a2 b2 2ab (当且仅当 a b 时取“=”)。 定理的推广：
1.如果 a，b R ，则 a 2 b2 ab (当且仅当 a b 时取“=”)。 2
2.如果 a，b R ，则 a b 2 ab (当且仅当 a b 时取“=”)。
ab（a,b R），这样将已知条
例 9.已知 x，y 为正实数， 3x 2y 10 ，求函数 y 3x 2y 的最值。
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系 a b a2 b2 ，本题很简
2
2
单。
y 3x 2y 2
2
2
3x 2y 2 3x 2y 2 5
定值，故只需将 y x(8 2x)凑上一个系数即可。
y x8 2x 1 2x 8 2x 1 2x 8 2x 2 8
2
2 2
当 2x 8 2x，即 x 2 时取等号“=”；即当 x 2 时， y x(8 2x) 取最大值
为 8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可
例 7.已知 x，y 为正实数，且 x 2 y 2 1，求 x 1 y2 的最大值。 2
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 ab a 2 b2 2
同时还应化简 1 y2 中 y 2 前面的系数为 1 ，所以 2
x 1 y2 x 21 y2 2
2x
1 2
y2 2
x2
2
1 2
y2 2
7.如果 x 0 ，则 x 1 2 (当且仅当 x 1时取“=”)。 x
8.如果 ab 0，则 b a 2(当且仅当 a b 时取“=”)。 ab
9.如果 ab 0 ，则 b a 2 (当且仅当 a b 时取“=”)。 ab
10.如果 a，b R ，则 a2 b2 a b 2 (当且仅当 a b 时取“=”)。 2 2
解：令 t x2 4t 2，则 y x2 5 x2 4 1 t 1t 2
x2 4
x2 4
t
因 t 0，t 1 1，但 t 1 解得 t 1不在区间 2， ，故等号不成立，考虑单调
t
t
性。因为 y t 1 在区间 1， 单调递增，所以在其子区间 2， 为单调递增函
解：法一： a 30 2b ， b 1
30 2b 2b2 30b
ab
b
b 1
b 1
由 a 0 得， 0 a 15 令 t b 1，1 t 16 ，
ab 2t 2 34t 31 2t 16 34 2 2 t 16 34 18
t
t
t
∴ ab 18
∴
2
2
x2 1
2
2
y2 2
3
2
4
2
当且仅当 x 1 y 2 ，即 x 3 ，y 2 时上式等号成立，所以 x 1 y2 的
22
2
2
最大值为 3 2 。 4
问题九：构造均值定理的使用 例 8.已知 a，b 为正实数， 2b ab a 30 ，求函数 y 1 的最小值。
ab 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为 一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的； 二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形 式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径 进行。
利用均值不等式求最大值。
变式 1：设 0 x 3 ，求函数 y 4x3 2x 的最大值。
2
解：0 x 3，3 2x 0， y 4x3 2x 2 2x3 2x 2 2x 3 2x 2 9
2
2 2
当且仅当 2x 3 2x ，即 x 3 0，3 时等号成立， y 4x3 2x 取最大值 9 。
4 2
2
问题四：分离项
例 4. 求 y x2 7x 10 x 1 的值域。
x 1
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有 x 1的项，
再将其分离。
y x2 7x 10 x 12 5x 1 4 x 1 4 5
x 1
x 1
x 1
当 x 1,即 x 1 0 时, y 2 x 1 4 5 9（当且仅当 x 1时取“＝”号）。
a
a
a
a
同理 1 1 2 ac ， 1 1 2 ab 。
b
bc
c
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
1 1 1 1 1 1 2 bc 2 ac 2 ba 当且仅当 a b c 1 时取等号。
a b c a b c
3
问题十二：均值定理在比较大小中的应用
例 13：若 a b 1，P
lg
a
lg
b，Q
1
lg
a
lg
b，R
lg
a
b
，则
P，Q，R
2
2
的大小关系是?
解：a b 1，lg a 0，lg b 0
Q 1 lg a lg b lg a lg b P
2
R lg a b lg ab 1 lg ab Q
2
2
2
3x
2y 2 10 3x 2y 20
∴ ymax 2
5 当且仅当 3x 2y ，即 x 5，y 5 时，等号成立。
3
2
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条 件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同 时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 问题十一：利用均值不等式证明不等式