新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线 知识点考点重点难点解题规律归纳总结

第二章 圆锥曲线

1 椭圆 ........................................................................................................................... - 1 -

1.1 椭圆及其标准方程 ......................................................................................... - 1 - 1.2 椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 6 - 2 双曲线 ..................................................................................................................... - 11 -

2.1 双曲线及其标准方程 ................................................................................... - 11 - 2.2 双曲线的简单几何性质 ............................................................................... - 15 - 3 抛物线 ..................................................................................................................... - 19 -

3.1 抛物线及其标准方程 ................................................................................... - 19 - 3.2 抛物线的简单几何性质 ............................................................................... - 23 - 4 直线与圆锥曲线的位置关系 .................................................................................. - 28 -

4.1 直线与圆锥曲线的交点 ............................................................................... - 28 - 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 ....................................................................... - 28 -

1 椭圆

1.1 椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义

平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．

1．椭圆定义中，将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“小于|F 1F 2|”，

其他条件不变，点的轨迹是什么？

[提示] 当距离之和等于|F 1F 2|时，动点的轨迹就是线段F 1F 2；当距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在．

2．椭圆的标准方程

焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2＋y 2

b 2＝1 (a >b >0) y 2a 2＋x 2

b 2＝1 (a >b >0) 焦点 (－

c ，0)，(c ，0)

(0，－c )，(0，c )

a 、

b 、

c 的关系

c 2＝a 2－b 2

2．椭圆x 29＋y 2

16＝1的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上？

[提示] 椭圆x 29＋y 2

16＝1的焦点在y 轴上．

疑难问题

类型1 椭圆定义及应用

【例1】 (1)椭圆x 225＋y 2

9＝1上一点A 到焦点F 的距离为2，B 为AF 的中点，O 为坐标原点，则|OB |的值为( )

A ．8

B ．4

C ．2

D ．3

2

(2)已知B (－5，0)、C (5，0)，且△ABC 的周长等于24，则顶点A 的轨迹方程为________．

(3)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点，过F 1的直线AB 与椭圆交于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为________．

(1)B (2)x 249＋y 2

24＝1(y ≠0) (3)4a [(1)设F ′为椭圆的另一焦点，则|AF |＋|AF ′|＝2a ＝10，∴|AF ′|＝8，∵O ，B 分别为FF ′，AF 的中点．∴|OB |＝1

2

|AF ′|＝4．

(2)由已知得，|AB |＋|AC |＝14，由椭圆的定义可知，顶点A 的轨迹是椭圆， 又2c ＝10，2a ＝14，即c ＝5，a ＝7， 所以b 2＝a 2－c 2＝24．

当点A 在直线BC 上，即y ＝0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是x 249＋y 2

24＝1(y ≠0)．