2022-2023学年天津市求真高级中学高二下学期3月月考数学试题
2022-2023学年人教A版高二下数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：105 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合， ，则( )A.B.C.D.2. 已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为 A.和B.和C.和D.和3. 若复数满足（其中为虚数单位），则的共轭复数是( )A.B.C.D.4. 已知函数且，则（）A.B.A ={x|(x −2)(x +1)≥0}B ={x|−2<x <0}A ∩B =[−1,0)(−2,−1](0,2][−1,2]y =f(x)[−1，1][5，9]y =f(2x +1)()[1，3][11，19][−1，0][2，4][−1，0][5，9][−1，1][11，19]z z(1+i)=−2i i z 1−i1+i−1−i−1+if (x)={−1,x ≥1,3x−1−1−(x +5),x <1，log 3f (m)=−2f (6+m)=−1616C.D.5. 点沿直线运动，如果由始点起经过秒后的距离为，那么速度为零的时刻是（ ）A.秒末B.秒末C.秒末D.，，秒末6. 曲线在点处的切线方程为 A.B.C.D.7. 中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地”，则该人第天走的路程为（ ）A.里B.里C.里D.里8. 函数的图象是（ ）A.B.2627t s =−+214t 435t 3t 2104014y =−x x 3(1,0)()2x −y =02x +y −2=02x +y +2=02x −y −2=03786496482412f (x)=(1−x)⋅|2−x|⋅(3−x)C. D.9. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为( )A.B.C.D.10. 曲线在点处的切线方程为（ ）A.B.C.D.11. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A.B.C.D.12. 函数的导函数的图象大致是( )f (x)(−∞,0)(x)f ′f (x)+(x)<x 2xf ′f (x +2018)−4f (−2)>0(x +2018)2(−∞,−2016)(−2016,0)(−∞,−2020)(−2020,0)y =xx −2(1,−1)y =x −2y =−3x +2y =2x −3y =−2x +1y =−3ln x x 24−1232112f(x)=+cos x 14x 2A. B. C. D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设复数，，若为纯虚数，则实数________.14. 某学校为了提高学生的安全意识，防止安全事故的发生，学校拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天中恰好仅有天连续的概率为________．15. 设函数，则________.16. 定义在上的偶函数在上是增函数，且，则使不等式成立的的取值范围是________ .三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ）17. （1）若，，化简：（2）若，，试用，表示．=1+i z 1=2+bi z 2⋅z 1z 2b =7332f (x)=+2x −3x 2(1)=f ′R f (x)(−∞,0]f (−2)=0(x −1)[f (x)+f (−x)]<0x a >0b >0−(4a −1)(2)⋅(−6)a 23b 12a 12b 13−3a 16b 563=a log 22=b log 5a b 45log 218. 下表是某小卖部天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温杯数杯将表中的数据制成散点图；试用最小二乘法求出线性回归方程（精确到）；如果某天的气温是，请你预测这天可能会卖出热茶多少杯？参考公式：，，参考数据：，，，． 19. 已知函数，其中.若的图象关于直线对称，求的值；求在区间上的最小值．20. 设函数＝，曲线＝在点（）处的切线与轴平行．Ⅰ求实数；Ⅱ求的单调区间．21. 设，.求曲线在点处的切线方程；求函数的单调区间．6x C /∘261813104−1y/202434385064(1)(2)0.001(3)−C 3∘b =−n ∑i=1n x i y i x ¯¯¯y ¯¯¯−n ∑i=1n x 2i x ¯¯¯2a =−b y ¯¯¯x ¯¯¯=70∑i=16x i =230∑i=16y i =1286∑i=16x 2i =1910∑i=16x i y i f (x)=(x −2)(x +a)a ∈R (1)f (x)x =3a (2)f (x)[0,1]f(x)+mx +1x 3y f(x)1,f(1)x ()m ()f(x)f (x)=ln x g(x)=f (x)+(x)f ′(1)y =f (x)(1,f (1))(2)g(x)参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】利用解二次不等式得集合,再利用交集得解.【解答】解：因为或，，所以.故选.2.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：因为函数的定义域为，值域为，所以由题可得：，解得.所以函数的定义域为，值域为.A A ={x|(x −2)(x +1)≥0}={x|x ≤−1x ≥2}B ={x|−2<x <0}A ∩B ={x|−2<x ≤−1}B y =f(x)[−1，1][5，9]−1≤2x +1≤1−1≤x ≤0y =f(2x +1)[−1，0][5，9]C3.【答案】D【考点】共轭复数复数代数形式的乘除运算【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，，.故选.4.【答案】C【考点】函数的求值分段函数的应用【解析】本题考查分段函数求值．【解答】解：若，则，方程无解；若，可得，解得，符合题意．所以．故选．5.【答案】B∵z(1+i)=−2i ∴z ==−2i 1+i −2i(1−i)(1+i)(1−i)==−1−i −2i(1−i)2∴=−1+i z¯¯¯D f (m)=−1=−23m−1=−13m−1f (m)=−1−(m +5)=−2log 3(m +5)=1log 3m =−2f (6+m)=f (4)=−1=2633C变化的快慢与变化率【解析】根据，，，求解导数为，即可解出速度为零的时刻．【解答】解：∵，∴，，，解得，故选：6.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，然后代入直线方程的点斜式得答案.【解答】解： ，，当时，，，曲线在点处的切线方程为： ，即 .故选.7.【答案】C【考点】进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析s =−+214t 435t 3t 2S'=−+4t t 395t 2t ≥00s =−+214t 435t 3t 2S'=−+4t t 395t 2t ≥0S'=0t =0B x =1∵y =−x x 3∴=3−1y ′x 2∴x =1y =1−1=0=3−1=2y ′∴y =−x x 3(1,0)y −0=2(x −1)2x −y −2=0D此题暂无解答8.【答案】C【考点】函数的图象【解析】无【解答】解：当时，，,故排除，；当时，，，故排除.故选.9.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据题意，设，，求出导数，分析可得，则函数在区间上为减函数，结合函数的定义域分析可得：原不等式等价于解可得的取值范围，即可得答案．【解答】解：设，，其导数，又由，且，可得，则，则函数在区间上为减函数，所以x <11−x >0，2−x >0，3−x >0∴f(x)>0A B 1<x <21−x <0，2−x >0，3−x >0∴f(x)<0D C g(x)=f (x)x 2x <0(x)≤0g ′g(x)(−∞,0)g(x){x +2018<−2，x +2018<0，x g(x)=f (x)x 2x <0(x)=g ′[f (x)]x 2′=2xf (x)+(x)x 2f ′=x [2f (x)+x (x)]f ′f (x)+(x)<x 2x f ′x <02f (x)+x (x)>≥0f ′x 2(x)≤0g ′g(x)(−∞,0)f (x +2018)−4f (−2)>0(x +2018)2f (x +2018)>f (−2)22，又由函数在区间上为减函数，则有解可得：，即不等式的解集为.故选.10.【答案】D【考点】导数的几何意义【解析】根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．【解答】解：，∴．，则．故选：11.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，设出斜率为的切线的切点为，由函数在＝时的导数等于求出的值，舍掉定义域外的得答案．【解答】解：由，得，⇒f (x +2018)>f (−2)(x +2018)2(−2)2⇒g(x +2018)>g(−2)g(x)(−∞,0){x +2018<−2，x +2018<0，x <−2020f (x +2018)−4f (−2)>0(x +2018)2(−∞,−2020)C f(x)x =1y'=()'=x x −2−2(x −2)2k =y'=−2|x=1l :y +1=−2(x −1)y =−2x +1D −12(,)x 0y 0x x 02x 0x 0y =−3ln x x 24=x −y ′123x1设斜率为的切线的切点为，则．由，解得：或．∵函数的定义域为，∴．故选.12.【答案】A【考点】简单复合函数的导数函数的图象【解析】求函数的导数，根据函数的性质即可判断函数的图象．【解答】解：∵，∴，为奇函数，关于原点对称，排除，；设，则，得，由图象可知方程有三个根，排除，故正确.故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】−12(,)x 0y 0=−y ′|x=x 012x 03x 0−=−12x 03x 012x 0=−3x 0=2(0,+∞)x 0=2B f(x)=+cos x 14x 2f'(x)=x −sin x 12B D g(x)=f'(x)=x −sin x 12g(x)=0x =sin x 12C A A 2【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，然后由其实部等于且虚部不等于列式求解的值．【解答】解：∵，，∴，又为纯虚数，则解得．故答案为：.14.【答案】【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】【考点】导数的运算【解析】求导，将代入导函数中即可得到答案.【解答】⋅z 1z 200b =1+i z 1=2+bi z 2⋅=(1+i)(2+bi)=(2−b)+(b +2)iz 1z 2⋅z 1z2{2−b =0，2+b ≠0，b =224x =1f (x)=+2x −32解：函数，∴，∴.故答案为：.16.【答案】【考点】奇偶性与单调性的综合其他不等式的解法【解析】【解答】解：∵是定义在上的偶函数，∴，可化为，即.画出函数的简图如图，∴不等式等价于或即或. 故答案为：. 三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ）17.【答案】解：（1）∵，，∴．（2）∵，而，则，f (x)=+2x −3x 2(x)=2x +2f ′(1)=2+2=4f ′4(−2,1)∪(2,+∞)f (x)R (x −1)[f (x)+f (−x)]<02(x −1)f (x)<0(x −1)f (x)<0f (x){x >1,f (x)<0{x <1,f (x)>0,x >2−2<x <1(−2,1)∪(2,+∞)a >0b >0−(4a −1)=⋅−(4a −1)(2)⋅(−6)a 23b 12a 12b 13−3a 16b 562×(−6)−3a 16b 56˙=4⋅−(4a −1)=4a −(4a −1)=1a 76b 56a 16b 5645=(5×9)=5+9=5+23log 2log 2log 2log 2log 2log 22=b log 55=log 21b=2a +=12ab +1∴．【考点】对数的运算性质有理数指数幂的化简求值【解析】（1）利用分数指数幂的运算法则求解．（2）利用对数的性质和运算法则化简求值．【解答】解：（1）∵，，∴．（2）∵，而，则，∴．18.【答案】解：散点图如图.，，45=2a +=log 21b 2ab +1b a >0b >0−(4a −1)=⋅−(4a −1)(2)⋅(−6)a 23b 12a 12b 13−3a 16b562×(−6)−3a 16b 56˙=4⋅−(4a −1)=4a −(4a −1)=1a 76b 56a 16b 5645=(5×9)=5+9=5+23log 2log 2log 2log 2log 2log 22=b log 55=log 21b 45=2a +=log 21b 2ab +1b (1)(2)==x ¯¯¯706353==y ¯¯¯23061153n n∴ ，，∴线性回归方程为：.当气温为时，卖出热茶的杯数估计为：（杯）．【考点】散点图求解线性回归方程【解析】（1）散点图如图（2），∴ ，. 所以线性回归方程为： .（3）当气温为时，卖出热茶的杯数估计为：（杯）．【解答】解：散点图如图.b ==−n ∑i=1n x i y i xy ¯¯¯¯¯−n ∑i=1n x 2i x ¯¯¯21910−6××35311531286−6××353353≈−1.6477≈−1.648a =−b ×≈57.5571153353y =−1.648x +57.557(3)−C 3∘−1.648×(−3)+57.557=62.501≈63==,==x ¯¯¯706353y ¯¯¯23061153b ==≈−1.648−n ∑i=1n x i y i xy ¯¯¯¯¯−n ∑i=1n x 2i x ¯¯¯21910−6××35311531286−6××353353a =−b ×≈57.5571153353y =−1.648x+57.557−C 3∘−1.648×(−3)+57.557=62.501≈63(1)，，∴ ，，∴线性回归方程为：.当气温为时，卖出热茶的杯数估计为：（杯）．19.【答案】解：因为函数，所以函数的对称轴为直线，所以，解得.函数的对称轴方程为.①当，即时，因为在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为；②当，即时，因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为；③当，即时，因为在区间上单调递减，所以在区间上的最小值为(2)==x¯¯¯706353==y ¯¯¯23061153b ==−n ∑i=1n x i y i xy ¯¯¯¯¯−n ∑i=1n x 2i x ¯¯¯21910−6××35311531286−6××353353≈−1.6477≈−1.648a =−b ×≈57.5571153353y =−1.648x +57.557(3)−C 3∘−1.648×(−3)+57.557=62.501≈63(1)f (x)=(x −2)(x +a)=+(a −2)x −2a x 2f (x)x =2−a 2=32−a 2a =−4(2)f (x)x =2−a 2≤02−a 2a ≥2f (x)(0,1)f (x)[0,1]f (0)=−2a 0<<12−a 20<a <2f (x)(0,)2−a 2(,1)2−a 2f (x)[0,1]f ()=−2−a 2()2+a 22≥12−a 2a ≤0f (x)(0,1)f (x)[0,1]f(1)=−(1+a).二次函数在闭区间上的最值二次函数的性质【解析】（1）求出函数的图象的对称轴，由函数的图象关于直线对称即可求出的值．（2）由题干中可得的图象的对称轴，分为三种情况进行讨论，求出在三种情况下在上的单调性，进而可求出函数的最值．【解答】解：因为函数，所以函数的对称轴为直线，所以，解得.函数的对称轴方程为.①当，即时，因为在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为；②当，即时，因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为；③当，即时，因为在区间上单调递减，所以在区间上的最小值为20.【答案】（1）∵＝，∴＝，∵曲线＝在点（）处的切线与轴平行，∴＝，即＝；（2）由Ⅰ可知＝，＝，当时，当,，故在，递增，递减．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程f (x)f (x)x =3a f (x)f (x)[0,1](1)f (x)=(x −2)(x +a)=+(a −2)x −2a x 2f (x)x =2−a 2=32−a 2a =−4(2)f (x)x =2−a 2≤02−a 2a ≥2f (x)(0,1)f (x)[0,1]f (0)=−2a 0<<12−a 20<a <2f (x)(0,)2−a 2(,1)2−a 2f (x)[0,1]f ()=−2−a 2()2+a 22≥12−a 2a ≤0f (x)(0,1)f (x)[0,1]f(1)=−(1+a).f(x)+mx +1x 3f'(x)7+m x 2y f(x)1,f(1)x f'(1)33+m 0()f(x)−3x +1x 8f'(x)6(x +1)(x −1)x ∈(−4,1)x ∈(−∞(1,f'(x)>5f(x)(−∞,−1)+∞)1)Ⅰ求出函数的导数，根据切线的意义得到关于的方程，解出即可；Ⅱ求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】（1）∵＝，∴＝，∵曲线＝在点（）处的切线与轴平行，∴＝，即＝；（2）由Ⅰ可知＝，＝，当时，当,，故在，递增，递减．21.【答案】解：由可得，的定义域是，，∴， ，∴曲线在点处的切线方程为，即.， .令，则；令，则，又，∴函数的单调减区间是，单调增区间是.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】求导，求出切线的斜率和切点坐标，利用直线方程的点斜式求解即可；利用导函数的正负与单调性的关系求函数的单调区间即可.【解答】解：由可得，的定义域是，，∴， ，∴曲线在点处的切线方程为，即.， .令，则；令，则，又，∴函数的单调减区间是，单调增区间是.()m ()f(x)+mx +1x 3f'(x)7+m x 2y f(x)1,f(1)x f'(1)33+m 0()f(x)−3x +1x 8f'(x)6(x +1)(x −1)x ∈(−4,1)x ∈(−∞(1,f'(x)>5f(x)(−∞,−1)+∞)1)(1)f (x)=ln x f (x)(0,+∞)(x)=f ′1x f (1)=0(1)=1f ′y =f (x)(1,f (1))y −0=1(x −1)y =x −1(2)g(x)=f (x)+(x)=ln x +f ′1x (x)=−=g ′1x 1x 2x −1x 2(x)>0g ′x >1(x)<0g ′x <1x ∈(0,+∞)g(x)(0,1)(1,+∞)(1)(2)(1)f (x)=ln x f (x)(0,+∞)(x)=f ′1x f (1)=0(1)=1f ′y =f (x)(1,f (1))y −0=1(x −1)y =x −1(2)g(x)=f (x)+(x)=ln x +f ′1x (x)=−=g ′1x 1x 2x −1x 2(x)>0g ′x >1(x)<0g ′x <1x ∈(0,+∞)g(x)(0,1)(1,+∞)。
天津市高二下学期3月月考数学试题(解析版)
高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．下列导数运算正确的是（ ） A ． B ．()sin cos x x '=-()33x x '=C ． D ． ()21log ln 2x x '=⋅211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据导数公式运算对选项一一验证即可. 【详解】对于A ，，故A 错； ()sin cos x x '=对于B ，，故B 错； ()33ln 3x x '=对于C ，，故C 正确； ()21log ln 2x x '=对于D ，，故D 错．211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭故选：C ．2．函数（为自然对数的底数），则的值为（ ）()sin e xf x x =+e ()0f 'A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】先求出，再求出即可．()f x '(0)f '【详解】∵，()sin e xf x x =+∴， ()cos e x f x x '=+∴． 0(0)cos0e 2f '=+=故选：B ．3．已知，则m 等于（ ）2188C C m m -=A ．1 B ．3 C ．1或3 D ．1或4【答案】C【分析】根据组合数的性质即可求解.【详解】由可知:或者,解得:或2188C =C m m -21m m =-2-18m m +=1m =3m =故选：C4．已知函数的定义域为(a ，b )，导函数在(a ，b )上的图象如图所示，则函数在(a ，b )()f x ()f x '()f x 上的极大值点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据极大值点的定义结合导函数的图象分析判断即可【详解】由函数极值的定义和导函数的图象可知，在(a ，b )上与x 轴的交点个数为4，但是在()f x '原点附近的导数值恒大于零，故x ＝0不是函数f (x )的极值点．其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负， 故极大值点有2个． 故选：B5．函数的单调递减区间为（ ） ()4ln f x x x =-A ． B ．C ．D ．()0,∞+10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由结合定义域即可解出．()0f x '<【详解】因为，所以，由解得：，所()()4ln 0f x x x x =->()14f x x '=-()0140x f x x >⎧=<'⎪⎨-⎪⎩104x <<以函数的单调递减区间为．()4ln f x x x =-10,4⎛⎫⎪⎝⎭故选：B ．6．从6名男医生，5名女医生中选出3名医生组成一个医疗小组，且至少有一名女医生，则不同的选法共有（ ） A ．130种B ．140种C ．145种D ．155种【答案】C【分析】由题意知医疗小组中有女医生的情况有名三种情况，分别求出对应的选法数，并加{1,2,3}总即可.【详解】1、小组有1名女医生的选法：种；125675C C =2、小组有2名女医生的选法：种；215660C C =3、小组有2名女医生的选法：种； 3510C =∴共有种选法. 145故选：C7．由0，1，2，3，5这5个数字可以组成三位没有重复数字的奇数个数为（ ） A ．27 B ．36C ．48D ．21【答案】A【分析】根据题意，要求三位没有重复数字的奇数，分析个位、百位、十位数各有几种情况，应用计数原理，求得结果.【详解】根据题意，要求三位没有重复数字的奇数， 则个位数字必须为1、3、5中的一个，则个位数有3种情况， 剩下4个数字中，0不能在百位，则百位数字有3种情况， 在剩下的3个数字中任选1个，安排在十位，有3种情况， 则可以组成三位没有重复数字的奇数有个， 33327⨯⨯=故选：A.【点睛】该题考查的是有关构成没有重复数字的奇数的个数问题，涉及到的知识点有分步计数原理，在解题的过程中，注意奇数的条件，以及最高位不能为零，属于简单题目. 8．若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是()321233f x x x =+-(),3a a +a （ ） A ． B ．C ．D ．()3,2--()3,1--()2,1--()2,0-【答案】A【解析】利用导数求出在处取得极小值，在处取得极大值，()f x 0x =()203f =-2x =-()223f -=再根据且，结合三次函数的图象列不等式组可求得结果.2(0)3f =-2(1)3f =03132a a <+≤⎧⎨-≤<-⎩【详解】由得或，()22(2)0f x x x x x '=+=+=2x =-0x =可以判断在处取得极小值，在处取得极大值.()f x 0x =()203f =-2x =-()223f -=令，得或，令，得或，()23f x =-3x =-0x =()23f x =2x =-1x =由题意知函数在开区间内的最大、最小值只能在和处取得，()f x (),3a a +2x =-0x =结合函数的图象可得：，解得，()f x 03132a a <+≤⎧⎨-≤<-⎩32a -<<-故的取值范围是. a ()3,2--故选：A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值和最值，考查了数形结合思想，属于基础题. 9．已知函数，，若对任意的，存在，31()ln 144g x x x x =+--2()24f x x tx =-+1(0,2)x ∈[]21,2x ∈使，则实数的取值范围是（ ） 12()()g x f x ≥t A ． B ．17[2,817,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ． D ．[)2,+∞[)1,+∞【答案】B【分析】由题意可知，转化为分别求两个函数的最小值，利用导数求函数最()()min min g x f x ≥()g x 小值，对于函数，讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最小值. ()f x 【详解】由题意可知，因为， ()()min min g x f x ≥31()ln 144g x x x x =+--所以，且， ()()()222213131434444x x x x g x x x x x -----'=--==02x <<当时，，函数单调递减， ()0,1x ∈()0g x '<当时，，函数单调递增， ()1,2x ∈()0g x '>所以当时，取得最小值，， 1x =()g x ()112g =-，，()()222244f x x tx x t t =-+=-+-[]1,2x ∈①当时，函数单调递增，，1t <()()min 152f x f t ==-即，解得：，不成立；1522t -≤-114t ≥②当时，，12t ≤≤()()2min 4f x f t t ==-即，解得：或2142t -≤-t ≥t ≤③当时，函数单调递减，， 2t >()()min 284f x f t ==-即，解得：，成立.1842t -≤-178t ≥综上可知：. 178t ≥故选：B二、填空题10．函数在__________处取得极小值． 32()34f x x x =-+x =【答案】2【详解】试题分析：，当得，当()322()34()3632f x x x f x x x x x =-+∴=-=-'()0f x '>0,2x x 得，所以处函数取得极小值()0f x '<02x <<2x =【解析】函数单调性与极值 11．函数在点处的切线方程为____________． 1()ln f x x x=-(1,1)-【答案】23y x =-【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】， 211()f x x x '=+则，()12f '=所以函数在点处的切线方程为， 1()ln f x x x=-(1,1)-()121y x +=-即.23y x =-故答案为：. 23y x =-12．函数是R 上的单调函数，则m 的范围是_________. 32123y x x mx =+++【答案】 [1,)+∞【解析】是R 上的单调函数，则导函数恒大于等于或恒小于等于， 32123y x x mx =+++00而导函数是开口向上的二次函数，只可能是恒大于等于0，则用判别式求解即可. 【详解】是R 上的单调函数，则导函数恒大于等于 32123y x x mx =+++0 2'20y x x m =++≥则， 440m ∆=-≤m 1≥故答案为：[1,)+∞【点睛】若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．13．函数在处有极值10，则的值为________． 322()f x x ax bx a =--+1x =a b +【答案】7a b +=【分析】先根据极值列方程组解得值，再代入验证，即可确定结果. a b ，【详解】解∵函数 322()f x x ax bx a =--+∴，2()32f x x ax b '=--又∵函数，当时有极值10，322()f x x ax bx a =--+1x =∴，∴或 2320110a b a b a --=⎧⎨--+=⎩411a b =-⎧⎨=⎩33a b =⎧⎨=-⎩当时，有不等的实根满足题意； 411a b =-⎧⎨=⎩2()32(1)(311)0f x x ax b x x '=--=-+=当时，有两个相等的实根，不满足题意； 33a b =⎧⎨=-⎩22()323(1)0f x x ax b x '=--=-=∴7a b +=【点睛】本题考查根据极值求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.14．从名男生和名女生中选出人分别担任三个不同学科课代表，若这人中必须既有男生又有3333女生，则不同的选法种数共有_______________．（用数字作答） 【答案】108【分析】先求出选人的方法种数，然后再将所选人分配给不同的科目即可，利用分步乘法计数原3理可求得结果.【详解】所选人中必须既有男生又有女生，可以是男女，也可以是男女，再将所选人分312213配给不同的科目，由分类加法计数原理和分步乘法计数原理可知，不同的选法种数为.()1221333333186108C C C C A +=⨯=故答案为：.108【点睛】本题考查分配问题，考查分类加法和分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.15．已知是定义在R 上的偶函数，当时，，且，则不等式()f x 0x >()()0xf x f x '->()20f -=的解集是___________.()0f x x>【答案】(2,0)(2,)-+∞ 【分析】构造函数，利用导数、函数的奇偶性进行求解即可.【详解】设，因为当时，， ()()''2()()()f x xf x f x g x g x x x -=⇒=0x >()()0xf x f x '->所以当时，单调递增，0x >'()0,()g x g x >因为是定义在R 上的偶函数，所以当时，()f x 0x ≠，所以函数是奇函数， ()()()()f x f x g x g x x x--==-=--()g x 故当时，函数也是增函数，0x <()g x 因为，所以，所以，， ()20f -=()20f =()20g -=()20g =当时，由，0x >()0(2)2g x g x >=⇒>当时，由， 0x <()0(2)220g x g x x >=-⇒>-⇒-<<故答案为：(2,0)(2,)-+∞三、解答题16．甲、乙、丙、丁、戊五人按下列要求站成一排分别有多少种不同站法？（列式并计算） (1)甲不站右端也不站左端；(2)甲，乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． 【答案】(1)72 (2)12 (3)78【分析】（1）甲不在左右两端，故先从其他四人中选两人站两端，余下三人再全排列； （2）甲乙站两端，先排甲乙，余下三人再全排列； （3）先全排列再减去不符合的情况.【详解】（1）因为甲不站左、右两端，故先从甲以外的4个人中任选两人站在两端，有种24A 12=站法，再让剩下三个人站中间三个位置上，有种站法，由分步乘法计数原理知，33A 6=共有种站法．12672⨯=（2）首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有种站法；22A 2=再让其他3个人在中间3个位置全排列，有种站法，33A 6=根据分步乘法计数原理，共有种站法．2612⨯=（3）甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，而甲在左端且乙在右端的44A 24=44A 24=站法有种，故共有种站法．33A 6=543543A 2A A 120224678-+=-⨯+=17．已知函数.()()2e xf x x =-(1)求函数的单调区间； ()f x (2)求在上的最值.()f x []1,2-【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减 ()f x ()1,+∞(),1-∞(2)最大值，最小值， 0e -【分析】（1）根据导数的正负得出其单调性； （2）根据第一问的函数单调性得出其最值.【详解】（1）函数，则，()()2e x f x x =-()()1e x f x x '=-当时，，当，，1x >()0f x ¢>1x <()0f x '<故函数在上单调递增，在上单调递减()f x ()1,+∞(),1-∞（2）由（1）可得函数在上单调递增，在上单调递减 ()f x (]1,2[)1,1-且，，()1313e ef --=-=-()20f =则在上的最大值，最小值， ()f x []1,2-()()max 20f x f ==()()min 1e f x f ==-18．一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，46（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？4（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少2157种？【答案】（1）115（2）186【详解】（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个， 红球4个，取法有种， 红球3个和白球1个，取法有种； 红球2个和白球2个，取法有种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种． 12490115++=（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.第一种，4红1白，取法有种；41466C C =第二种，3红2白，取法有种，324660C C ⋅=第三种，2红3白，取法有种，2346120C C ⋅=根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有 660120186.++=19．已知函数. ()()212ln R 2f x x ax x a =--∈(1)当时，求函数的单调区间和极值；1a =()f x (2)若函数在区间上单调递增，求实数a 的取值范围.()f x [)1,+∞【答案】(1)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值 (0,2)(2,)+∞2ln 2-(2) 1a ≤-【分析】（1）先求导，从而得到单调区间，根据单调性可得极值； （2）由条件可知恒成立，再分离变量求最值即可求解. ()0f x '≥【详解】（1）函数的定义域为， ()f x ()0,∞+当时， 1a =()212ln 2f x x x x =--求导得，整理得：. ()21f x x x '=--()()()21x x f x x-+'=由得；由得 ()0f x ¢>2x >()0f x '<02x <<从而，函数减区间为，增区间为 ()f x (0,2)(2,)+∞所以函数极小值为，无极大值. ()f x ()22ln 2f =-（2）由已知时，恒成立，即恒成立， [)1,x ∞∈+()0f x '≥20x a x--≥即恒成立，则.2a x x ≤-min 2a x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭令函数，由知在单调递增， ()()21g x x x x =-≥()2210g x x'=+>()g x [)1,+∞从而.()()min 11a g x g ≤==-经检验知，当时，函数不是常函数，所以a 的取值范围是. 1a =-()f x 1a ≤-20．已知函数．2()(2)ln f x ax a x x =-++(1)当时，求曲线在处的切线方程； 2a =()y f x =()()1,1f (2)求函数的单调区间． ()f x 【答案】(1) 30x y --=(2)答案见解析【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义即可求解.（2）求出导函数，分情况求解不等式和即可得解. ()0f x '>()0f x '<【详解】（1）当时，，， 2a =2()24ln f x x x x =-+0x >，所以，又， ()144f x x x'=-+()11f '=()1242f =-=-所以曲线在点处的切线方程为，即. ()y f x =(1,(1))f 21y x +=-30x y --=（2），()2221(1)(21)()(0)ax a x ax x f x x x x-++--'==>当，令得，由得，由得， 0a ≤()0f x '=12x =()0f x '>102x <<()0f x '<12x >所以的单调递增区间为，单调递减区间为 ()f x 1(0,)21,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当，令得， 0a >()0f x '=1211,2x x a ==当时，由得或，由得， 02a <<()0f x '>102x <<1x a >()0f x '<112x a<<所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； ()f x 1(0,)21,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，所以的单调增区间为，无单调减区间；2a =()221()0x f x x '-=≥()f x (0,)+∞当时，由得或，由得， 2a >()0f x '>10x a<<12x >()0f x '<112x a <<所以的单调增区间为和，单调递减区间为. ()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1(,)2+∞11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
2022-2023学年人教A版高二下数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 设集合A ={x |y =log 2(2−x)}，B ={x |x 2−3x +2<0}，则∁A B =( )A.(−∞,1)B.(−∞,1]C.(2,+∞)D.[2,+∞)2. 函数y =3sin (12x +π4)的最小正周期是( )A.2πB.π2C.4πD.π43. 执行如图所示的程序框图，那么输出的S 为( )A.−2B.12A ={x |y =(2−x)}log 2B ={x |−3x +2<0}x 2C.−1D.24. 已知实数x，y满足{x+y≥1，x−y−2≤0，y≤1，则yx的最小值为( )A.−3B.3C.−13D.135.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0，b>0)与圆x2+y2=c2(c=√a2+b2)交于A，B，C，D四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的离心率是（）A.√2+√2B.√2+2√2C.√1+√2D.√1+2√26. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是（）A.0.216B.0.36C.0.432D.0.6487. 设α为平面，m，n为两条不重合的直线，若m⊥α，则“m⊥n”是“n α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F作倾斜角为45∘的直线l交C于A，B两点，AB的中点为D，且D(x D,2)，则p=（）A.12B.1C.2D.529. 函数y=f(x)是R上的奇函数，满足f(3+x)=f(3−x)，当x∈(0,3)时，f(x)=2x，则f(−5)=( )A.2B.−2C.12D.−1210. 某长方体的一个顶点出发的三条棱的长分别为1，1，2，则其外接球的表面积为( )A.2πB.4πC.6πD.8π11. 已知a=log52,b=log32,c=8−13则（）A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a12. 已知四面体ABCD中，AB=CD=5，AC=BD=√34，AD=BC=√41，O为其外接球球心，AO与AB，AC，AD所成的角分别为α、β、γ．给出下列结论：①该四面体的外接球的表面积为50π②该四面体的体积为10③cos2α+cos2β+cos2γ=1④∠BAC+∠CAD+∠DAB=180∘其中所有正确结论的编号为：( )A.①④B.①②C.②③D.③④卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13. （5分）已知复数z=(1+i)3(a−i)2√2(a−3i)2且|z|=23，则实数a=_______.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14. 为了解“低碳生活，绿色出行”活动执行情况，某机构随机调查了本市1800名18岁以上市民某月的骑车次数，统计如下：次数人数年龄[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]18岁至31岁812206014015032岁至44岁1228201406015045岁至59岁25508010022545060岁及以上2510101852联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：18岁至44岁为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．用样本估计总体的思想，解决心理问题：（1）估计本市青年人该月骑车的平均次数；（2）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在反错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？附：参考数据K2=n(ad−bc)2(a+c)(a+b)(b+d)(c+d)P(K2≥k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82815. 已知正项数列{a n}是等比数列，a1=12且1a2，1a3+2，1a4成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和S n .16. 如图，菱形ABCD 的边长为4，对角线交于点E ， ∠ABC =2π3，将△ADC 沿AC 折起得到三棱锥D −ABC . (1)求证：平面DBE ⊥平面ABC ；(2)若CD 与平面ABC 所成角的正弦值为√34，求二面角D −BC −E 的余弦值. 17. 已知椭圆M :x 23+y 2m =1(m >0) 的一个焦点为 F(0,−1) ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C,D 两点.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)当直线l 的倾斜角为45∘时，求线段CD 的长. 18. 已知函数f(x)=lnx −(a +1)x ，a ∈R ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)=f(x)+x +1，若函数g(x)有两个不同的零点x 1，x 2，求a 的取值范围．19. 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =1+cosφ,y =sinφ, (φ为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin (θ+π3)=3√3，射线OM:θ=π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q.求线段|PQ |的长.参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】B【考点】补集及其运算【解析】分别求出关于A，B的范围，求出∁A B即可．【解答】A={x|y=log2(2−x)}={x|x<2}，B={x|x2−3x+2<0}={x|1<x<2}，则∁A B={x|x≤1}，2.【答案】C【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：由三角函数的周期公式：T=2πω=2π12=4π，故选C.3.【答案】D【考点】程序框图循环结构的应用【解析】按程序框图的顺序得出循环结构中S每次的赋值，可发现S的值呈现周期性变化，再结合循环条件k<2017可得输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行，得S=2，k=1，满足条件k<2017，执行循环体，S=12，k=2；满足条件k<2077，执行循环体，S=−1，k=3；满足条件k<2017，执行循环体，S=2，k=4；⋯观察规律可知S的取值周期为3，由2016=3×672，得k=2016，满足条件k<2017，执行循环体，S=2，当k=2017时，不满足条件k<2017，退出循环，输出S的值为2.故选D．4.【答案】C【考点】求解非线性目标函数的最值-有关斜率简单线性规划【解析】本题考查线性规划．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设k=yx，则k的几何意义为区域的点到原点的斜率，由图象可知OA的斜率最小，由{x+y=1,x−y−2=0, {x=32,y=−12,解得，即A(32,−12)，1232=−13.此时k=−即yx的最小值为−13.故选C．5.【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，设H为AD与x轴的交点．圆与x轴的交点F1，F2为双曲线的焦点．连接AF1，AF2，OA．在Rt△AF1F2中，|OH|=√22|OA|=√22c，(c+√22c)⋅2c，所以|AF1|2=|F1H|⋅|F1F2|=即|AF1|=√2+√2c，|AF2|2=|F2H|⋅|F1F2|=(c−√22c)⋅2c，即|AF2|=√2−√2c．所以2a=|AF1|−|AF2|=(√2+√2−√2−√2)c，√2+√2−√2−√2，所以e=ca=2√2+√2．所以e=故选A．6.【答案】D【考点】相互独立事件的概率乘法公式互斥事件的概率加法公式【解析】此题暂无解析【解答】略7.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断空间中直线与平面之间的位置关系【解析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及充分必要条件的判定方法得答案．【解答】解：若m⊥α，则由m⊥n得不到n α；反过来，若m⊥α，n α，由线面垂直的性质可以得到m⊥n.故若m⊥α，则“m⊥n”是“n α”的必要不充分条件.故选B.8.【答案】C【考点】直线与抛物线的位置关系抛物线的性质【解析】无【解答】解：由y 2=2px(p >0)得F (p2,0)，所以直线l 的方程为y =x −p2．联立方程组{y =x −p2,y 2=2px,整理得y 2−2py −p 2=0．设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则y 1+y 2=2p ，所以y D =y 1+y 22=p ，所以p =2．故选C ．9.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】根据f(x)为奇函数及f(3+x)=f(3−x)可得出f(−5)=−f(3−2)=−f(1)，再由x ∈(0,3)时，f(x)=2x 即可求出f(1)，从而得出f(−5)．【解答】解：∵f(3+x)=f(3−x)，∴f(5)=f(3+2)=f(3−2)=f(1)=2.∵y=f(x)是R上的奇函数，∴f(−5)=−f(5)=−2.故选B.10.【答案】C【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】根据长方体的对角线长公式，算出该长方体的对角线长等于√6，从而算出它的外接球半径√62，利用球的表面积公式即可算出答案．为R=【解答】解：∵长方体的一个顶点出发的三条棱的长分别为1，1，2，∴长方体的对角线长为√12+12+22=√6，设长方体外接球半径为R，则2R=√6，解得R=√62，2=4π×(√62)2=6π．∴该长方体外接球表面积为S=4πR故选C.11.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】6. a=1log25,b=1log23 c=12=1log24，故a<c<b，故选B．12.【答案】A【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意，该四面体如图：设该长方体的三条棱长分别为a ，b ，c ，则a 2+b 2=25，a 2+c 2=34，b 2+c 2=41，作和可得2(a 2+b 2+c 2)=100，∴该长方体的对角线长为5√2，∴其外接球的半径为5√22，则其外接球的表面积为50π，故①正确；联立{a 2+b 2=25，a 2+c 2=34，b 2+c 2=41，解得：{a =3，b =4，c =5.V A−BCD =a ×b ×c −4×13×12abc =60−40=20，故②错误；根据题意：cos 2α=(522×5×5√22)2=12，cos 2β=(342×√34×5√22)2=3450，cos 2γ=(412×√41×5√22)2=4150，∴cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2；由题意知△ABC ≅△CAD ≅△DAB ，故所求三个角即其中任一 一个三角形的三个内角，∴∠BAC +∠CAD +∠DAB =180∘，④正确.故选A ．二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13.±√3【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】直接利用模长公式，即可得出答案.【解答】解：|z|=|1+i|3|a −i|2√2|a −3i|2=(√2)3(√a 2+1)2√2(√a 2+9)2=23，解得a =±√3.故答案为：±√3.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14.【答案】本市青年人该月骑车的平均次数估计值为¯x =20×5+40×15+40×25+200×35+200×45+300×5520+40+40+200+200+300=34200800=42.75；根据题意得出2×2列联表，如图所示；骑行爱好者非骑行爱好者总计青年人700100800非青年人8002001000总计150********根据表格中数据计算K 2=1800×(100×800−700×200)2300×1500×800×1000=18>10.828；根据这些数据知，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关．【考点】独立性检验【解析】（1）利用加权平均数的定义计算所求的平均数即可；（2）根据题意写列联表，计算K 2的值，对照临界值得出结论．【解答】本市青年人该月骑车的平均次数估计值为¯x =20×5+40×15+40×25+200×35+200×45+300×5520+40+40+200+200+300=34200800=42.75；根据题意得出2×2列联表，如图所示；骑行爱好者非骑行爱好者总计青年人700100800非青年人8002001000总计15003001800根据表格中数据计算K 2=1800×(100×800−700×200)2300×1500×800×1000=18>10.828；根据这些数据知，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关．15.【答案】解：(1)设数列{a n }的公比为q ．∵a 1=12且1a 2，1a 3+2，1a 4成等差数列，∴112q +112q 3=2(112q 2+2)，整理得2q 3−q 2+2q −1=0，即(2q −1)(q 2+1)=0，解得q =12 . ∴{a n }的通项公式为a n =(12)n . (2)∵na n =n (12)n，∴S n =1×12+2×(12)2+⋯+n (12)n ,∴12S n =1×(12)2+2×(12)3+⋯+(n −1)(12)n +n (12)n+1 ，两式相减得12S n =12+(12)2+(12)3+⋯+(12)n −n (12)n+1 =12[1−(12)n ]1−12−n (12)n+1=1−(12)n −n (12)n+1=1−(n +2)(12)n+1 ，∴S n =2−(n +2)(12)n.【考点】等比数列的通项公式等差数列的性质数列的求和【解析】（1）设数列{a n }的公比为q ．由a 1=12且1a 2,1a n +2,1a 4成等差数列，得112q +112q 3=2(112q 2+2)，整理得2q 3−q 2+2q −1=0,(2q −1)(q 2+1)=0，解得q =12 .{a n }的通项公式为a n =(12)n .【解答】解：(1)设数列{a n }的公比为q ．∵a 1=12且1a 2，1a 3+2，1a 4成等差数列，∴112q +112q 3=2(112q 2+2)，整理得2q 3−q 2+2q −1=0，即(2q −1)(q 2+1)=0，解得q =12 . ∴{a n }的通项公式为a n =(12)n . (2)∵na n =n (12)n，∴S n =1×12+2×(12)2+⋯+n (12)n ,∴12S n =1×(12)2+2×(12)3+⋯+(n −1)(12)n +n (12)n+1 ，两式相减得12S n =12+(12)2+(12)3+⋯+(12)n −n (12)n+1 =12[1−(12)n ]1−12−n (12)n+1=1−(12)n −n (12)n+1=1−(n +2)(12)n+1 ，∴S n =2−(n +2)(12)n.16.【答案】(1)证明：因为折叠前BD ⊥AC ，所以AC ⊥BE ，AC ⊥DE ，因为DE ∩BE =E ，所以AC ⊥平面BDE ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以平面DBE ⊥平面ABC ，(2)解：由(1)知，平面DBE ⊥平面ABC ，过点D 作DO ⊥BE ，则DO ⊥平面ABC ，所以∠OCD 为CD 与平面ABC 所成角.因为AB =4，∠ABC =2π3，所以CE =AE =2√3，DE =BE =2，因为ODDC =√34，DC =4，所以OD =√3，所以BO =OE =1 ，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D (0,0,√3)，C (−1,2√3,0)，E(−1,0,0)，则→CD =(1,−2√3,√3)，→BC =(−2,2√3,0)，设平面BCD 的法向量为→n 1=(x,y,z)，则{−2x +2√3y =0，x −2√3y +√3z =0，则→n 1=(√3,1,1)，因为平面BCE 的法向量为→n 2=(0,0,1)，所以cosθ=→n 1⋅→n 2|→n 1|⋅|→n 2|=√55，即二面角D −BC −E 的余弦值为√55.【考点】平面与平面垂直的判定二面角的平面角及求法用空间向量求平面间的夹角【解析】【解答】(1)证明：因为折叠前BD ⊥AC ，所以AC ⊥BE ，AC ⊥DE ，因为DE ∩BE =E ，所以AC ⊥平面BDE ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以平面DBE ⊥平面ABC ，(2)解：由(1)知，平面DBE ⊥平面ABC ，过点D 作DO ⊥BE ，则DO ⊥平面ABC ，所以∠OCD 为CD 与平面ABC 所成角.因为AB =4，∠ABC =2π3，所以CE =AE =2√3，DE =BE =2，因为ODDC =√34，DC =4，所以OD =√3，所以BO =OE =1 ，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D (0,0,√3)，C (−1,2√3,0)，E(−1,0,0)，则→CD =(1,−2√3,√3)，→BC =(−2,2√3,0)，设平面BCD 的法向量为→n 1=(x,y,z)，则{−2x +2√3y =0，x −2√3y +√3z =0，则→n 1=(√3,1,1)，因为平面BCE 的法向量为→n 2=(0,0,1)，所以cosθ=→n 1⋅→n 2|→n 1|⋅|→n 2|=√55，即二面角D −BC −E 的余弦值为√55.17.【答案】解：(1)由题可知： c =1，∴m =3+1=4，∴椭圆M 的标准方程 x 23+y 24=1；(2)由题可知：直线l 的方程为 y =x −1，{x 23+y 24=1，y =x −1，消y 得： 7x 2−6x −9=0，设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2)，则x 1+x 2=67,x 1x 2=−97，∴|CD |=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2√(67)2+4×97=247.【考点】圆锥曲线的综合问题椭圆的标准方程两点间的距离公式直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题可知： c =1，∴m =3+1=4，∴椭圆M 的标准方程 x 23+y 24=1；(2)由题可知：直线l 的方程为 y =x −1，{x 23+y 24=1，y =x −1，消y 得： 7x 2−6x −9=0，设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2)，则x 1+x 2=67,x 1x 2=−97，∴|CD |=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2√(67)2+4×97=247.18.【答案】解：(1)函数f(x)=lnx −(a +1)x 的定义域为(0,+∞)，则f ′(x)=1x −(a +1)，①当a +1>0，即a >−1时，令f ′(x)=1x −(a +1)>0得，1x >a +1，得x <1a +1．又因为x >0，所以0<x <1a +1，所以函数f(x)在(0,1a +1)上单调递增，在(1a +1,+∞)上单调递减．②当a +1≤0，即a ≤−1时，−(a +1)≥0，又由x >0得f ′(x)>0对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.综上，当a >−1时，函数f(x)在(0,1a +1)上单调递增，在(1a +1,+∞)上单调递减；当a ≤−1时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增．(2)g(x)=f(x)+x +1=lnx +1−ax ，函数g(x)的定义域为(0,+∞)，g ′(x)=1x −a ，①当a ≤0时，g ′(x)>0，函数g(x)在(0,+∞)上是增函数，不可能有两个零点．②当a >0时，在(0,1a )上，g ′(x)>0，在(1a ,+∞)上，g ′(x)<0，所以函数g(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减，此时g (1a )为函数g(x)的最大值．若g (1a )≤0，则g(x)最多有一个零点，不合题意，所以g (1a )=ln 1a >0，解得0<a <1．此时1e <1a <e 2a 2，且g (1e )=−1−ae +1=−ae <0；g (e 2a 2)=2−2lna −e 2a +1=3−2lna −e 2a (0<a <1).令G(a)=3−2lna −e 2a (0<a <1)，则G ′(a)=−2a +e 2a 2=e 2−2aa 2>0，所以G(x)在(0,1)上单调递增，所以G(a)<G(1)=3−e 2<0，即g (e 2a2)<0，故函数g(x)有两个不同的零点x 1，x 2(x 1<x 2)，且x 1∈(1e ,1a )，x 2∈(1a ,e 2a2)，综上，a 的取值范围是(0,1)．【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：(1)函数f(x)=lnx −(a +1)x 的定义域为(0,+∞)，则f ′(x)=1x −(a +1)，①当a +1>0，即a >−1时，令f ′(x)=1x −(a +1)>0得，1x >a +1，得x <1a +1．又因为x >0，所以0<x <1a +1，所以函数f(x)在(0,1a +1)上单调递增，在(1a +1,+∞)上单调递减．②当a +1≤0，即a ≤−1时，−(a +1)≥0，又由x >0得f ′(x)>0对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.综上，当a >−1时，函数f(x)在(0,1a +1)上单调递增，在(1a +1,+∞)上单调递减；当a ≤−1时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增．(2)g(x)=f(x)+x +1=lnx +1−ax ，函数g(x)的定义域为(0,+∞)，g ′(x)=1x −a ，①当a ≤0时，g ′(x)>0，函数g(x)在(0,+∞)上是增函数，不可能有两个零点．②当a >0时，在(0,1a )上，g ′(x)>0，在(1a ,+∞)上，g ′(x)<0，所以函数g(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减，此时g (1a )为函数g(x)的最大值．若g (1a )≤0，则g(x)最多有一个零点，不合题意，所以g (1a )=ln 1a >0，解得0<a <1．此时1e <1a <e 2a 2，且g (1e )=−1−ae +1=−ae <0；g (e 2a 2)=2−2lna −e 2a +1=3−2lna −e 2a (0<a <1).令G(a)=3−2lna −e 2a (0<a <1)，则G ′(a)=−2a +e 2a 2=e 2−2aa 2>0，所以G(x)在(0,1)上单调递增，所以G(a)<G(1)=3−e 2<0，即g (e 2a 2)<0，故函数g(x)有两个不同的零点x 1，x 2(x 1<x 2)，且x 1∈(1e ,1a )，x 2∈(1a ,e 2a 2)，综上，a 的取值范围是(0,1)．19.【答案】解：(1)根据cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程{x =1+cosφ,y =sinφ,(φ为参数)，化为(x −1)2+y 2=1，即x 2+y 2−2x =0，∴ρ2−2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ，∴圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ.(2)设(ρ1,θ1)为点P 的极坐标，∴{ρ1=2cosθ1,θ1=π3, 解得{ρ1=1,θ1=π3. 设(ρ2,θ2)为点Q 的极坐标，∴{ρ2(sinθ2+√3cosθ2)=3√3,θ2=π3, 解得{ρ2=3,θ2=π3. ∵θ1=θ2，∴|PQ |=|ρ1−ρ2|=2，∴|PQ |=2.【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化极坐标的概念【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)根据cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程{x =1+cosφ,y =sinφ,(φ为参数)，化为(x −1)2+y 2=1，即x 2+y 2−2x =0，∴ρ2−2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ，∴圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ.(2)设(ρ1,θ1)为点P 的极坐标，{ρ1=2cosθ1,θ1=π3,解得{ρ1=1,θ1=π3.∴设(ρ2,θ2)为点Q的极坐标，{ρ2(sinθ2+√3cosθ2)=3√3,θ2=π3,解得{ρ2=3,θ2=π3.∴∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1−ρ2|=2，∴|PQ|=2.。
2022-2023学年人教A版高二下数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合，，则（ ）A.B.C.D.2. 命题，的否定是( )A.，B.，C.，D.，3. 双曲线的渐近线方程为 A.B.C.D.4. 如图所示的程序框图，若，则运算多少次停止（ ）是________，开始 ．输入Ⅰ ／输出 结束，否A.B. ：A ={x|+2x −3≤0}x 2B ={x|x ≥0}A ∩B ={x|1≤x ≤3}{x|0≤x ≤1}{x|0≤x ≤3}{x|−3≤x ≤1}∀x <0≥e x x 2∃<0x 0<e x 0x 20∃≥0x 0<e x 0x 20∀x <0<e x x 2∀x ≥0<e x x 2−=1x 22y 2()y =±x 2–√2y =±x2–√y =±xy =±2xx =5=3xx −2x200x 23C.D.5. 若实数，满足约束条件 则 的最大值是（ ）A.B.C.D.6. 在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为，则被污染的数字为( )A.B.C.D. 7.在正方体中，异面直线和所成的角是 A.B.C.D.8. 已知函数，若方程恰有两个实数解，则实数的取值范围是（ ）A.45x y x −1≥0，x −2y ≤0，x +y −4≤0，2x +3y 111059611234ABCD −A 1B 1C 1D 1AD 1C B 1()30∘45∘60∘90∘f(x)=a ln x −(a >0)2a 2x f[f(x)]=x a (0,1)(e,+∞)B.C.D.9. 某公司的班车分别在，，发车，某人在至之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是（ ）A.B.C.D.10. 已知圆，直线过点且倾斜角为，则“ ”是“直线与圆"相切”的（ ）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件11. 已知定义在上的可导函数的导函数为，若对于任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为( )A.B.C.D.12. 已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且＝，＝，＝，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）(e,+∞)(,+∞)e 22(,+∞)e 327:157:458:157:408:201013385878C :+=1(x −1)2y 2l (0,1)θθ=0l C R f(x)(x)f ′x f(x)>(x)f ′y =f(x)−1f(x)<e x (−∞,0)(0,+∞)(−∞,)e 4(,+∞)e 4P −ABC PA PB PC PA 3PB 4PC 5P −ABCA. B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 复数 ，其中为虚数单位， ， 则的值为________.14. 中国诗词大会总决赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手参加，依据规则，他们都有机会获得冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是________.15. 已知直线是圆的对称轴．过点作圆的一条切线，切点为，有下列结论：①②③切线的斜率为或④对任意的实数，直线与圆的位置关系都是相交．其中所有正确结论的序号为________.16. 若函数＝图象在点（）处的切线方程为＝，则的最小值为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知函数．求这个函数的导数；求这个函数的图像在点处的切线方程．18. 随着我国经济的发展，居民收入逐年增长．某地区年至年农村居民家庭人均纯收入(单位：千元)的数据如表：年份年份代号人均纯收入求关于的线性回归方程；25π50πz =(a <0)ai 1+2ii |z|=5–√a l :ax +y −4=0(a ∈R)C :+−2x −6y +1=0x 2y 2A (−4,a)C B a =1|AB|=25–√AB 5+35–√45−35–√4m y =mx −m +1C f(x)−2x e x ,f()x 0x 0y kx +b k −b y =x ln x (1)(2)x =e 20152019y 20152016201720182019t 12345y 567810(1)y t (2)(1)利用中的回归方程，分析年至年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面．证明：；若为中点，则在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．20. 已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为．求椭圆的方程；设直线与椭圆交与，两点，点，且，求直线的方程． 21. 已知函数.当时，判断在的单调性；当时，恒成立，求实数的取值范围． 22. 在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩到原来的，得到曲线以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，射线的极坐标方程为，与曲线，分别交于，两点．求曲线的直角坐标方程和极坐标方程；求||的值．(2)(1)201520192020=b ˆ(−)(−)∑i=1nt i t ¯y i y ¯¯¯∑i=1n (−)t i t ¯2=−a ˆy ¯¯¯b ˆt ¯P −ABCD ABCD PA ⊥ABCD (1)BD ⊥PC (2)E BC PD F EF//PAB PF PD C ：+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 26–√3C 6(1)C (2)l :y =kx −2C A B P(0,1)|PA |=|PB |l f (x)=−1−a sin x (a ∈R)e x (1)a =1f (x)(0,+∞)(2)x ∈[0,π]f (x)≥0a C +=9x 2y 2C 13C ′x l θ=(ρ≥0)π6C C ′A B (1)C ′(2)AB参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】B【考点】交集及其运算一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得，所以．故选．2.【答案】A【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】此题暂无解析【解答】解：∵命题，，∴为：，.故选.3.【答案】A ={x|−3≤x ≤1}A ∩B ={x|0≤x ≤1}B p :∀x <0≥e x x 2¬p ∃<0x 0<e x 0x 20AA【考点】双曲线的渐近线【解析】求出双曲线的，，由双曲线的渐近线方程为，即可得到．【解答】解：由双曲线得，，因为双曲线的渐近线方程为，则所求渐近线方程为．故选．4.【答案】C【考点】程序框图【解析】【解答】5.【答案】A【考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】本题考查了简单的线性规划问题，属于基础题.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标−=1x 22y 2a b −=1x 2a 2y 2b 2y =±x b a −=1x 22y 2a =2–√b =1−=1x 2a 2y 2b 2y =±x b a y =±x 2–√2A代入目标函数得答案.【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，可得，令，可得，由图可知，当直线过点，直线在轴上的截距最大， 所以的最大值为.故选.6.【答案】B【考点】茎叶图众数、中位数、平均数、百分位数极差、方差与标准差【解析】设出被污染的数字为，根据题意写出中位数与极差，列方程求出的值即可．【解答】解：设被污染的数字为，则该组数据的中位数为，极差为，∴，解得，则被污染的数字为．故选.7.【答案】x −1=0，x +y −4=0A （1，3）z =2x +3y y =−x +23z 3y =−x+23z 3A y z 2×1+3×3=11A x x x =+32(30+x)+342x 248−20=28(+32)+28=x 261x =22BD【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：连结，可知，则异面直线和所成的角，即异面直线和所成的角，故此角为.故选.8.【答案】D【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】要使方程恰有两个实数解，只需满足函数与恰有两个交点，从而有两个实数解，令，，求出，只需满足，即可保证函数有两个零点，由此能求出实数的取值范围．【解答】∵函数在内单调递增，∴要使方程恰有两个实数解，只需满足函数与恰有两个交点，∴有两个实数解，令，∵，当时，，当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减，函数的最大值，且当时，，当时，，∴只需满足，即可保证函数有两个零点，由，得．AD 1C//A B 1D 1AD 1C B 1D A 1AD 190∘D f[f(x)]=x y =f(x)y =x a ln x −=x 2a 2x g(x)=a ln x −−x 2a 2x g'(x)=−(x +a)(x −2a)x 2g(x =g(2a))max g(2a)>0g(x)a f(x)=a ln x −(a >0)2a 2x (0,+∞)f[f(x)]=x y =f(x)y =x a ln x −=x 2a 2x g(x)=a ln x −−x 2a 2x g'(x)=+−1=−a x 2a 2x 2(x +a)(x −2a)x 20<x <2a g'(x)>0x >2a g'(x)<0g(x)(0,2a)(2a,+∞)g(x)g(x =g(2a))max x →0g(x)→−∞x →+∞g(x)→−∞g(2a)>0g(x)g(2a)=a ln(2a)−a −2a >0a >e 32,+∞)3∴实数的取值范围是．9.【答案】B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】求出小明等车时间不超过分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设某人到达时间为，当在至时，某人等车时间不超过分钟，故.故选.10.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断直线与圆的位置关系【解析】本题考查充分必要条件的判断，由直线与圆相切利用圆心到直线距离等于半径，即可求解，但要注意设直线的方程时，需考虑斜率是否存在．【解答】解：①当直线的倾斜角时，直线的方程为：，此时圆的圆心到直线的距离为，恰好等于圆的半径．故时，直线与圆相切．②当时，设直线的方程为：，即，由直线与圆相切，可知圆心到的距离，解得，即．综上：当或时，直线与圆相切．又或，a (,+∞)e 3210y y 7:407:45或8:05到8:1510P ==154038B l l θ=90∘l x =0C C(1,0)l 11θ=90∘l θ≠90∘l y =kx +1kx −y +1=0l C(1,0)l d ==r =1|k +1|+1k 2−−−−−√k =0θ=0∘θ=0∘θ=90∘l C θ=⇒θ=0∘0∘θ=90∘θ=0∘θ=⇏θ=90∘0∘但或，∴是直线与圆相切的充分不必要条件．故选．11.【答案】B【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性奇函数【解析】根据条件构造函数令，由求导公式和法则求出，根据条件判断出的符号，得到函数的单调性，再由奇函数的结论：求出的值，将不等式进行转化后，利用的单调性可求出不等式的解集．【解答】解：令，则.∵，∴，即在上单调递减.∵为奇函数，∴，即，得，则不等式等价于，即，解得，∴不等式的解集为.故选.12.【答案】D【考点】球的表面积和体积球内接多面体θ=0∘θ=⇏θ=90∘0∘θ=0∘l C A g(x)=f(x)e x g'(x)g'(x)g(x)f(0)=0g(0)g(x)g(x)=f(x)e x (x)g ′=(x)−f(x)f ′e xf(x)>(x)f ′(x)<0g ′g(x)R y =f(x)−1f(0)−1=0f(0)=1g(0)=1f(x)<e x <1=g(0)f(x)e x g(x)<g(0)x >0(0,+∞)B棱锥的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解： ，解得 又所以.故答案为：.14.【答案】丙【考点】进行简单的合情推理【解析】假设爸爸的猜测是对的，得到冠军是丙；假设妈妈的猜测是对的，得到甲、乙、丙、丁、戊五位选手都不是冠军，不合题意；假设孩子的猜测是对的，则爸爸的猜测是错的，而妈妈的猜测是对的，不合题意．−5z ===i +,ai(1−2i)5ai +2a 5a 52a 5|z|==(+(2a 5)2a 5)2−−−−−−−−−−−√5–√a =±5，a <0，a =−5−5解：假设爸爸的猜测是对的，则妈妈和孩子的猜测都是错的，从而得到冠军是丙；假设妈妈的猜测是对的，则爸爸和孩子的猜测都是错的，从而得到甲、乙、丙、丁、戊五位选手都不是冠军，不合题意；假设孩子的猜测是对的，则爸爸的猜测是错的，而妈妈的猜测是对的，不合题意．综上，冠军是丙．故答案为：丙.15.【答案】①②④【考点】圆的切线方程两点间的距离公式直线的一般式方程直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：化为,则为，半径为，为圆的对称轴，过．将代入得．①对；：，，，则，②对；设斜率为，则：化为，则到的距离,则解得 ，③错；．当，．则其恒过，代入到圆：，在圆内，无论取何值，与圆都相交，④对. 综上，答案为①②④.故答案为：①②④.16.C :+−2xx −6y +1=0x 2y 2(x −1+(y −3=9)2)2C (1,3)R =3∵l C ∴l C(1,3)C(1,3)l a =1∵l x +y −4=0A(−4,1)|AC|==(1+4+(3−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√29−−√|AB|===2A −C 2R 2−−−−−−−−√20−−√5–√AB k AB y =kx +4k +1kx −y +4k +1=0C AB d ==R =3|5k−2|+1k 2−−−−−√k =5±35–√8y =mx −m +1x =1y =1(1,1)C (1−1+(1−3=4<9)2)2∴(1,1)C m y =mx −m +1C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出函数的导数，表示出切线方程，求出＝，根据函数的单调性求出的最小值即可．【解答】由题意切点为：（），＝，故＝，故＝图象在点（）处的切线斜率为：＝，故所求切线方程为＝（，即＝（，则＝，＝-•，则＝，对于函数＝，＝，当时，，当时，，故函数＝在＝处取得极小值，亦即最小值，则的最小值是，三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：，∴，∴..又当时，，所以切点为，∴切线方程为，即．【考点】导数的运算利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】−2−k −b −2x 0k −b ,f()x 0x 0f'(x)−2e x f'()x 0−2f(x)−2x e x ,f()x 0x 0k −2y −2)(x −)+x 0−2x 0y −2)x−+x 0k −2b +x 0k −b −2x0y x −2e x y'(x +1)e x x <−1y'<0x >−1y'>0y x −2e x x −1k −b −2−(1)y =x ln x y =1×ln x +x ⋅=1+ln x ′1x y =ln x +1′(2)k =y =ln e +1=2′|x=e x =e y =e (e,e)y −e =2×(x −e)2x −y −e =0（1）运用积函数的求导公式计算这个函数的导数即可．（2）欲求在点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：，∴，∴..又当时，，所以切点为，∴切线方程为，即．18.【答案】由表中数据计算，得，， ，，则，，故关于的回归方程为．由可知，，故年至年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加千元．当时， ，所以预测年该地区农村居民家庭人均纯收入为千元．【考点】求解线性回归方程回归分析的初步应用【解析】由已知求得与的值，可得关于的线性回归方程；在中求得的回归方程中，取求得们得答案．【解答】x =e x =e (1)y =x ln x y =1×ln x +x ⋅=1+ln x ′1x y =ln x +1′(2)k =y =ln e +1=2′|x=e x =e y =e (e,e)y −e =2×(x −e)2x −y −e =0(1)==3t ¯1+2+3+4+55==7.2y ¯¯¯5+6+7+8+105=4+1+0+1+4=10∑i=15(−)t i t ¯2(−)(−)=(−2)×(−2.2)+(−1)×(−1.2)∑i=15t i t ¯y i y¯¯¯+0×(−0.2)+1×0.8+2×2.8=12===1.2b ˆ(−)(−)∑i=15t i t ¯y i y ¯¯¯∑i=15(−)t i t ¯21210=−=7.2−1.2×3=3.6a ˆy ¯¯¯b ˆt ¯y t =1.2t +3.6yˆ(2)(1)=1.2>0b ˆ201520191.2t =6=1.2×6+3.6=10.8yˆ202010.8(1)b ^a ^y t (2)(1)t =6=31+2+3+4+5由表中数据计算，得，， ，，则，，故关于的回归方程为．由可知，，故年至年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加千元．当时， ，所以预测年该地区农村居民家庭人均纯收入为千元．19.【答案】证明：连接，∵底面是菱形，∴．∵平面，平面，∴．又∵，、平面，∴平面．又∵平面，∴．解：存在点为中点时，平面，证明：取中点，连接，，，则，又∵ ，∴，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面平面，∴平面．(1)==3t ¯1+2+3+4+55==7.2y ¯¯¯5+6+7+8+105=4+1+0+1+4=10∑i=15(−)t i t ¯2(−)(−)=(−2)×(−2.2)+(−1)×(−1.2)∑i=15t i t ¯y i y¯¯¯+0×(−0.2)+1×0.8+2×2.8=12===1.2b ˆ(−)(−)∑i=15t i t ¯y i y ¯¯¯∑i=15(−)t i t ¯21210=−=7.2−1.2×3=3.6a ˆy ¯¯¯b ˆt ¯y t =1.2t +3.6yˆ(2)(1)=1.2>0b ˆ201520191.2t =6=1.2×6+3.6=10.8yˆ202010.8(1)AC ABCD BD ⊥AC PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA ⊥BD AC ∩PA =A AC PA ⊂PAC BD ⊥PAC PC ⊂PAC BD ⊥PC (2)F PD EF//PAB PA G BG GF EF GF AD =//12BE AD =//12GF BE =//BEFG BG//EF EF ⊂PAB,BG ⊂PAB EF//PAB PF 1此时．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：连接，∵底面是菱形，∴．∵平面，平面，∴．又∵，、平面，∴平面．又∵平面，∴．解：存在点为中点时，平面，证明：取中点，连接，，，则，又∵ ，∴，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面平面，∴平面．此时．20.【答案】解：由已知，，解得，，所以，=PF PD 12(1)AC ABCD BD ⊥AC PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA ⊥BD AC ∩PA =A AC PA ⊂PAC BD ⊥PAC PC ⊂PAC BD ⊥PC (2)F PD EF//PAB PA G BG GF EF GF AD =//12BE AD =//12GF BE =//BEFG BG//EF EF ⊂PAB,BG ⊂PAB EF//PAB =PF PD 12(1)2a =6=c a 6–√3a =3c =6–√=−=3b 2a 2c 2=122所以椭圆的方程为．由得，，直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得．设，，则，，计算，所以，，中点坐标为，因为，所以，，所以，解得，经检验，符合题意，所以直线的方程为或．【考点】圆锥曲线的综合问题椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程椭圆的定义直线的一般式方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】（1）根据椭圆的定义首先求得椭圆的短半轴，进而根据离心率求得椭圆的半焦距，根，和的关系求得，则椭圆方程可得．（2）把直线方程与椭圆方程联立消去，根据直线与椭圆的两个交点判断出判别式大于，求得的范围，设，的坐标，则根据韦达定理求得，的表达式，根据直线方程求得的表达式，进而可表示出中点的坐标，根据推断出，可知，求得，则直线方程可求得．【解答】C +=1x 29y 23(2) +=1x 29y 23y =kx −2(1+3)−12kx +3=0k 2x 2Δ=144−12(1+3)>0k 2k 2>k 219A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2+=x 1x 212k 1+3k 2=x 1x 231+3k 2+=k(+)−4=k ⋅−4y 1y 2x 1x 212k 1+3k 2=−41+3k 2A B E(，−)6k 1+3k 221+3k 2|PA |=|PB |PE ⊥AB ⋅=−1k PE k AB ⋅k =−1−−121+3k 26k1+3k 2k =±1l x −y −2=0x +y +2=0a b c b y 0k A B +x 1x 2x 1x 2+y 1y 2AB |PA |=|PB |PE ⊥AB ⋅=−1k PE k AB k –√解：由已知，，解得，，所以，所以椭圆的方程为．由得，，直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得．设，，则，，计算，所以，，中点坐标为，因为，所以，，所以，解得，经检验，符合题意，所以直线的方程为或．21.【答案】解：当时，，所以，当时，，，所以，所以在上单调递增．因为，所以，设，，当时，即时，因为，，所以，而，所以，即恒成立．当时，，所以在上递增，而，所以，所以在上递增，即成立，当时，，(1)2a =6=c a 6–√3a =3c =6–√=−=3b 2a 2c 2C +=1x 29y 23(2) +=1x 29y 23y =kx −2(1+3)−12kx +3=0k 2x 2Δ=144−12(1+3)>0k 2k 2>k 219A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2+=x 1x 212k 1+3k 2=x 1x 231+3k 2+=k(+)−4=k ⋅−4y 1y 2x 1x 212k 1+3k 2=−41+3k 2A B E(，−)6k 1+3k 221+3k 2|PA |=|PB |PE ⊥AB ⋅=−1k PE k AB ⋅k =−1−−121+3k 26k1+3k 2k =±1l x −y −2=0x +y +2=0(1)a =1f(x)=−1−sinx e x (x)=−cosx f ′e x x ∈(0,+∞)−1>0e x cosx ≤1(x)>0f ′f(x)(0,+∞)(2)f(x)=−1−asinx e x (a ∈R)(x)=−acosx f ′e x h(x)=(x)f ′(x)=+asinx h ′e x a ≤0−a ≥0x ∈[0,π]sinx ≥0−asinx ≥0−1≥0e x −1−asinx ≥0e x f(x)≥00<a ≤1(x)=+asinx ≥0h ′e x (x)f ′[0,π](0)=1−a ≥0f ′(x)≥(0)=0f ′f ′f(x)[0,π]f(x)≥f(0)=0a ≥1(x)=+asinx ≥0h ′e x )=>0ππ所以在上递增，而，，所以存在，有，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，而，不成立，综上：实数的取值范围是．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的最值【解析】【解答】解：当时，，所以，当时，，，所以，所以在上单调递增．因为，所以，设，，当时，即时，因为，，所以，而，所以，即恒成立．当时，，所以在上递增，而，所以，所以在上递增，即成立，当时，，所以在上递增，而，，所以存在，有，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，而，不成立，综上：实数的取值范围是．22.【答案】(x)f ′[0,π](0)=1−a <0f ′()=>0f ′π2e π2∈[0,π]x 0()=0f ′x 00<x ≤x 0(x)<0f ′f(x)<x ≤πx 0(x)>0f ′f(x)x =x 0f(x)f ()x 0f ()<f(0)=0x 0a (−∞,1](1)a =1f(x)=−1−sinx e x (x)=−cosx f ′e x x ∈(0,+∞)−1>0e x cosx ≤1(x)>0f ′f(x)(0,+∞)(2)f(x)=−1−asinx e x (a ∈R)(x)=−acosx f ′e x h(x)=(x)f ′(x)=+asinx h ′e x a ≤0−a ≥0x ∈[0,π]sinx ≥0−asinx ≥0−1≥0e x −1−asinx ≥0e x f(x)≥00<a ≤1(x)=+asinx ≥0h ′e x (x)f ′[0,π](0)=1−a ≥0f ′(x)≥(0)=0f ′f ′f(x)[0,π]f(x)≥f(0)=0a ≥1(x)=+asinx ≥0h ′e x (x)f ′[0,π](0)=1−a <0f ′()=>0f ′π2e π2∈[0,π]x 0()=0f ′x 00<x ≤x 0(x)<0f ′f(x)<x ≤πx 0(x)>0f ′f(x)x =x 0f(x)f ()x 0f ()<f(0)=0x 0a (−∞,1]1解：将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩到原来的，得到曲线，即．把代入得，即.设，，曲线的极坐标方程为，则， ，所以．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩到原来的，得到曲线，即．把代入得，即.设，，曲线的极坐标方程为，则， ，所以．(1)C 13:+=9C ′x 2(3y)2+=1x 29y 2{x =ρcos θ,y =ρsin θ，θ+9θ=9ρ2cos 2ρ2sin 2=ρ29θ+9θcos 2sin 2(2)A(,)ρA π6B(,)ρB π6C :+=9x 2y 2ρ=3=3ρA ==ρB 9+9cos 2π6sin 2π6−−−−−−−−−−−−−−√3–√|AB|=|−|=3−ρA ρB 3–√(1)C 13:+=9C ′x 2(3y)2+=1x 29y 2{x =ρcos θ,y =ρsin θ，θ+9θ=9ρ2cos 2ρ2sin 2=ρ29θ+9θcos 2sin 2(2)A(,)ρA π6B(,)ρB π6C :+=9x 2y 2ρ=3=3ρA ==ρB 9+9cos 2π6sin 2π6−−−−−−−−−−−−−−√3–√|AB|=|−|=3−ρA ρB 3–√。
2023-2024学年天津市高二下学期第一次月考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年天津市高二下册第一次月考数学模拟试题一、单选题1．已知函数f （x ）＝x 2－ax ＋3在（0，1）上为减函数，函数g （x ）＝x 2－aln x 在（1，2）上为增函数，则a 的值等于A ．1B ．2C ．0D【正确答案】B【详解】试题分析：函数f （x ）＝x 2－ax ＋3在（0，1）上为减函数，所以，即，函数g （x ）＝x 2－aln x 在（1，2）上为增函数，即，当，即恒成立，即，所以同时满足两个条件的，故选．1．导数的基本应用；2．函数的性质．2．函数3()2ln f x x x x=++的单调递减区间是()A ．(3,1)-B ．(0,1)C ．(1,3)-D ．(0,3)【正确答案】B【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．【详解】函数的定义域是（0，+∞），y′=1﹣23x +2x =()()231x x x +-，令y′（x ）＜0，解得：0＜x ＜1，故函数在（0，1）递减，故选B ．本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，是一道常规题．3．若函数()f x 满足()()32113f x x x f x =--'，则()1f '的值为（）．A ．1B ．2C ．0D ．1-【正确答案】C求导得到()()2211f x x f x ''=--，取1x =带入计算得到答案.【详解】()()32113f x x x f x =--'，则()()2211f x x f x ''=--，则()()11211f f ''=--，故()10f '=.故选：C.本题考查了求导数值，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是A ．奇函数，且在（0,1）上是增函数B ．奇函数，且在（0,1）上是减函数C ．偶函数，且在（0,1）上是增函数D ．偶函数，且在（0,1）上是减函数【正确答案】A【详解】试题分析：由题意得，函数的定义域为10{10x x +>->，解得11x -<<，又()ln(1)ln(1)[ln(1)ln(1)]()f x x x x x f x -=--+=-+--=-，所以函数()f x 的奇函数，由1()ln(1)ln(1)ln1x f x x x x +=+--=-，令()11xg x x+=-，又由1201x x <<<，则()()2121212121112()011(1)(1)x x x x g x g x x x x x ++--=-=>----，即，所以函数()11xg x x+=-为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--在(0,1)上增函数，故选A.函数的单调性与奇偶性的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的判定、函数的单调性的判定与应用、复合函数的单调性的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于基础题.5．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】由图可知f (x )在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，所以可得x ＞0和x ＞0时，导函数均为负，从而可得答案【详解】∵函数f (x )在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x ＞0时，f ′(x )＜0，当x ＜0时，f ′(x )＜0.故选：D6．函数()32f x x x x -=-的单调减区间是（）A ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．()1,∞C ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,∞D ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】由函数的导数小于零，解不等式即可求解.【详解】()32,f x x x x x =--∈R ，21()3213(1)()3x x x x x f =∴--+'-=，令()0f x '<，解得113-<<x ，所以函数的单调递减区间是1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D7．函数()331f x x x =-+在闭区间[]3,0-上的最大值、最小值分别是（）A ．1,17-B ．3,17-C ．1,1-D ．9,19-【正确答案】B【分析】先研究函数()f x 在区间[]3,0-上的单调性，再根据单调性求最值即可.【详解】解：()2'330f x x =-=，解得1x =±，再根据二次函数性质得在[]31--，上()'0f x >，在[]1,0-上()'0f x <，所以函数()f x 在[]31--，单调递增，在[]1,0-单调递减，所以()()max 13f x f =-=，()3279117f -=-++=-，()01f =，所以()()min 317f x f =-=-.所以函数()331f x x x =-+在闭区间[]3,0-上的最大值、最小值分别是3,17-.故选：B.本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是基础题.8．若函数2()ln f x a x bx =+在点()()1,1f 处的切线方程为y x =，则函数()y f x =的增区间为（）A ．(0,1)B．2⎛ ⎝⎭C．2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】首先将1x =代入y x =得到切点为()1,1，求导得到()2af x bx x'=+，从而得到()()1211ln11f a b f a b ⎧=+=⎪⎨=+='⎪⎩，解方程组得到11a b =-⎧⎨=⎩，再利用导数求解单调区间即可.【详解】将1x =代入y x =得到1y =，所以切点为()1,1.因为()2af x bx x'=+，所以()()12111ln111f a b a f a b b ⎧=+==-⎧⎪⇒⎨⎨===⎩'+⎪⎩，所以()221212x x x f x x x x x ⎛⎫⎪-⎝⎭⎝⎭'=-+==()0x >，当2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 为增函数.所以函数()y f x =的增区间为,2⎫+∞⎪⎪⎝⎭.故选：C9．若函数f (x )＝ax －ln x 在xa 的值为()AB．2C ．2D ．12【正确答案】A【分析】对a 分两种情况讨论，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)递减不合题意.当a ＞0时，当x ＝1a时，f(x)取得极小值，即1a＝2，解之即得解.【详解】当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)递减不合题意，∴a ＞0.f′(x)＝a －1x(x ＞0)，令f′(x)＝0，即a －1x ＝0，得x ＝1a .当x ∈1(0,)a时，f′(x)＜0，f(x)递减；当x ∈1(,)a+∞时，f′(x)＞0，f(x)递增．∴当x ＝1a时，f(x)取得极小值，f(x)无极大值．∴1a＝2，即a故答案为A(1)本题主要考查函数的极值的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求函数的极值的一般步骤:先求定义域D ,再求导，再解方程()0f x '=（注意和D 求交集），最后列表确定极值.一般地，函数在()f x 点0x 连续时，如果0x 附近左侧()f x '>0，右侧()f x '<0，那么0()f x 是极大值.一般地，函数在()f x 点0x 连续时，如果0x 附近左侧()f x '<0，右侧()f x '>0，那么0()f x 是极小值.10．已知函数f(x)＝4x ＋3sinx ，x ∈(－1，1)，如果f(1－a)＋f(1－a 2)<0成立，则实数a 的取值范围为()A ．(0,1)B．(C．(2,-D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【正确答案】B【详解】()()()43sin ,1,1,'43cos 0f x x x x f x x =+∈-∴=+> ，在()1,1x ∈-上恒成立，()f x \在()1,1-上是增函数，又()()43sin ,1,1f x x x x =+∈-是奇函数，∴不等式()()2110f a f a -+-<可化为()()211f a f a -<-，结合函数()f x 的定义域可知，a 须满足2211111111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得1a <<，故选B.【方法点晴】本题主要考查函数的定义域、单调性、奇偶性性，利用单调性解不等式以及导数在函数中的应用，属于难题.根据函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成()()()()f g x f h x ≥后再利用单调性和定义域列不等式组二、填空题11．函数1()cos 2f x x x =+在[0,2π上的最小值为__________．【正确答案】4π.【详解】分析：先求导()f x '，再利用导数求函数的单调区间和最小值.详解：由题得1()sin 2f x x '=-，当x ∈（0，6π）时，()0,f x '>函数在（0，6π）上单调递增.当x ∈（6π,2π）时，()0,f x '<函数在（6π,2π）上单调递减.又f(0)=1>()24f ππ=,min ()()24f x f ππ∴==.故答案为4π.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)由于函数先增后减，所以要比较(0),(2f f π的大小.12．曲线e 2x y =+在点()0,3P 处的切线的倾斜角是________.【正确答案】45︒##π4【分析】求出导数，得切线斜率，由斜率得倾斜角．【详解】e x y '=，0x =时，1y '=，切线斜率为1，又倾斜角范围是[)0,π，所以切线倾斜角为45︒．故45︒．13．若函数f (x )＝x 3＋mx 2＋x ＋1在R 上无极值点，则实数m 的取值范围是_____.【正确答案】⎡⎣【分析】求导，利用判别式小于等于0得出实数m 的取值范围.【详解】f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋1.由题意得Δ＝4m 2－12≤0，解得m ≤≤，即实数m 的取值范围是⎡⎣.故⎡⎣14．已知函数()ln xf x x=，则()f x 的图象在1x =处的切线方程为________.【正确答案】10x y --=【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率()1f '，由此可得切线方程.【详解】()21ln xf x x -'=，()11f '∴=，又()10f =，()y f x ∴=在1x =处的切线方程为1y x =-，即.故答案为.10x y --=15．设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()0g x ≠，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>且()03g =则不等式()()0f x g x <的解集是________.【正确答案】()()033⋃-∞-，，【分析】构造函数，根据已知，利用函数的奇偶性、导数进行求解.【详解】设()()()h x f x g x =⋅，则()()()()()h x f x g x f x g x '''=+，因为当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>，所以当0x <时，()0h x '>，所以函数()h x 在()0-∞，上单调递增，又()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-⋅-=-⋅=-，即()h x 是R 上的奇函数，故函数()h x 在()0,∞+上单调递增，()00h =，又()03g =，所以()30h =，所以()30h -=，不等式()()0f x g x <等价于()0h x <，解得03x <<或3x <-，不等式()()0f x g x <的解集是解集为()()033⋃-∞-，，.故答案为.()()033⋃-∞-，，三、解答题16．若函数3()4=-+f x ax bx ，当2x =时，函数()f x 有极值43-．（1）求函数()f x 的解析式，并求其在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若方程)(f x k =有3个不同的根，求实数k 的取值范围．【正确答案】（1）)(31443f x x x =-+；93100x y +-=；（2）428,33⎛⎫-⎪ ⎭⎝.【分析】（1）利用函数的极值求出,a b 可得函数()f x 的解析式，根据导数的几何意义可求得切线方程；（2）利用导数研究函数的性质，得到函数的图象，根据图象可得结果.【详解】（1）∵()23f x ax b '=-，由题意得(2)1204(2)8243f a b f a b =-=⎧⎪⎨=-+=-'⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，经检验1,43a b ==符合题意，故所求函数的解析式为31()443f x x x =-+，∴2()4f x x =-'，(1)3f '=-，1(1)3f =，∴)(y f x =在点)()(1,1f 处的切线方程为)(1313y x -=--，即93100x y +-=．（2）由（1）可得2()4(2)(2)f x x x x '=-=+-，令()0f x '=，得2x =或2x =-．当x 变化时，()f x '，)(f x 的变化情况如下表：x)(,2-∞-2-)(2,2-2)(2,+∞()f x '+-+)(f x 递增283递减43-递增因此，当2x =-时，)(f x 有极大值283，当2x =时，)(f x 有极小值43-，所以函数)(31443f x x x =-+的图象大致如图所示．若)(f x k =有3个不同的根，则直线y k =与函数)(f x 的图象有3个交点，所以42833k -<<．即实数k 的取值范围为428,33⎛⎫-⎪ ⎭⎝．方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．已知函数2()f x alnx bx =-，a ，b ∈R ．若()f x 在1x =处与直线12y =-相切．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在1[e，]e 上的最大值．【正确答案】（1）112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）12-.【分析】（1）对()f x 进行求导，先利用导数求出在1x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a ，b 的方程求得a ，b 的值．（2）判定函数的单调性，可得函数的极大值就是最大值，求出函数的极值可确定出最大值．【详解】（1） 函数2()(0)f x alnx bx x =->，()2af x bx x∴'=-， 函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切，∴(1)201(1)2f a b f b '=-=⎧⎪⎨=-=-⎪⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）21()2f x lnx x =-，21()x f x x-'=，当1x e e 时，令()0f x '>得：11x e<，令()0f x '<，得1x e <，()f x ∴在1[e，1]，上单调递增，在[1，]e 上单调递减，所以函数的极大值就是最大值，()max f x f ∴=（1）12=-．本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．18．设函数()32f x ax bx cx =++在区间[]0,1上是增函数，在区间(),0∞-，()1,+∞上是减函数，又13'22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[]0,m ()0m >上恒有()f x x ≤成立，求m 的取值范围【正确答案】（1）()3223f x x x =-+（2）102m <≤【详解】（1）()2'32f x ax bx c=++由已知()()'0'10f f ==，即0{320c a b c =++=解得3{20b ac =-=()2'33f x ax ax∴=-1333'2422a a f ⎛⎫∴=-=⎪⎝⎭2a ∴=-()3223f x x x ∴=-+（2）令()f x x ≤，即32230x x x -+-≤()()2110x x x ∴--≥102x ∴≤≤或1x ≥又()f x x ≤在区间[]0,m 上恒成立，102m ∴<≤19．已知函数()()22ln 0f x x a x x x=++>(1)0a =时，求()f x 的最小值；(2)若()f x 在[)1,+∞上递增，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)3(2)0a ≥【分析】(1)对函数求导，利用函数的单调性即可求出最小值；(2)先求导，分离参数，转化成恒成立问题，再构造函数22()2g x x x=-，求出参数的取值范围.【详解】（1）当0a =时，22()f x x x=+322222222(1)(1)()2x x x x f x x x x x --++'∴=-==由()0f x '=，得到1x =易知：210x x ++>恒成立(0,1)x ∴∈时，()0f x '<；(1,)x ∈+∞时，()0f x '>所以当0a =时，()f x 的最小值为(1)3f =（2）22()2a f x x x x'=-+ 又()f x 在区间[)1,+∞上递增，()0'∴≥f x 在[)1,x ∞∈+上恒成立.由()0f x '≥，得到222a x x x -≥-，即222x a x-≥-令22()2g x x x=-，()()2240g x x g x x '∴=+>，单调递增，()()1220min a g x g ∴-≤==-=，即0a ≥当0a ≥时，22()20f x x x '=-≥，当且仅当1x =时取等号所以0a ≥20．设函数1()ln x x be f x ae x x -=+,曲线y=f(x)在点(1,f(1）处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求,ab (2)证明:()1f x >【正确答案】（1）1,2a b ==；（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1)可得()f x 的解析式，()f x 为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得.试题解析：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，112'()ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x--=+-+.由题意可得(1)2f =，'(1)f e =.故1a =，2b =.（2）证明：由（1）知，12()ln x x f x e x e x-=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-.设函数()ln g x x x =，则'()1ln g x x =+.所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，)'(0g x <；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，'()0g x >.故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()g x 在()0,+¥上的最小值为11()g e e =-.设函数2()x h x xe e-=-，则)'()(1x e h x x -=-.所以当(0,1)x ∈时，'()0h x >；当(1,)x ∈+∞时，'()0h x <.故()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()h x 在(0,)+∞上的最大值为1(1)h e=-.综上，当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >.1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()'0f x >，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()'0f x <，解不等式得x 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出()g x 在()0,+¥上的最小值及()h x 在(0,)+∞上的最大值，进而得证的.。
2023-2024学年天津市静海区高二下学期3月学业能力调研数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年天津市静海区高二下册3月学业能力调研数学模拟试题一、单选题1．已知函数()()32113103f x x f x x '=+++，则()3f =（）A ．－1B ．0C ．－8D ．1【正确答案】C【分析】求导()()2213f x x f x ''=++，解得()14f '=-，得到()f x 求解.【详解】解：因为函数()()32113103f x x f x x '=+++，所以()()2213f x x f x ''=++，则()()11213f f ''=++，解得()14f '=-，则()32143103f x x x x =-++，所以()32133********f =⨯-⨯+⨯+=-，故选：C2．函数()25ln 4f x x x =--的单调递增区间是（）A ．5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(),0∞-和5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．50,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．()0,3【正确答案】A【分析】确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数大于0，即可求得答案.【详解】函数()25ln 4f x x x =--的定义域为(0,)+∞，()5252,0x f x x x x -'=-=>，当()250x f x x-'=>时，解得52x >，故函数()25ln 4f x x x =--的单调递增区间是5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故选：A3．已知函数()xx f x e =，记()2log 13a f =，()3log 11b f =，1ln 2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c>>【正确答案】D【分析】先判断出()y f x =的单调性，分别判断出a 、b 、c 的范围，利用单调性比较a 、b 的大小，即可得到结论.【详解】()xxf x e =，()1x x f x e -'=，令()0f x ¢>，解得：1x <；令()0f x '<，解得：1x >，所以()y f x =在(),1∞-上单增，在()1,+∞上单减；因为1lnln 202=-<，所以()1ln 002c f f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，所以0c <;因为22log 13log 83>=,3332log 9log 11log 273=<<=,所以()()32log 11log 130f f >>，所以b a c >>.故选：D利用函数单调性比较大小的类型：（1）比较幂指数、对数值的大小；（2）比较抽象函数的函数值的大小；（3）利用单调性解抽象（结构复杂）函数型不等式.4．若函数()ln f x x ax =-在区间()3,4上有极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】根据极值点的概念，转化为导函数有零点求参数范围问题【详解】由已知得()1axf x x='-，若函数()ln f x x ax =-在()3,4上有极值点，则10ax -=在()3,4x ∈上有解，即()13,4x a =∈，解得1143a <<.故选：D5．已知函数()2e xf x ax =-有三个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．2e 0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．22e ,e 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2e ,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．22e ,e 4⎛⎫⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】分析可知0a ≠，由()0f x =，可得21e x x a =，则直线1y a =与函数()2ex x g x =的图象有三个公共点，利用导数分析函数()2ex x g x =的单调性和极值，数形结合可求得实数a 的取值范围.【详解】当0a =时，()e xf x =-无零点，所以0a ≠.由()0f x =，可得21e x x a =，令()2ex x g x =，其中x ∈R ，因为函数()2e xf x ax =-有三个零点，所以直线1y a=与函数()g x 的图象有三个公共点，()22exx x g x -'=，由()0g x '=，可得0x =或2x =，列表如下：x(),0∞-0()0,22()2,+∞()g x '-+-()g x 减极小值0增极大值24e减如下图所示：由图可知，当2140e a <<，即2e 4a >时，直线1y a =与函数()g x 的图象有三个公共点，即()2e xf x ax =-有三个零点，所以实数a 的取值范围为2e ,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：C.6．已知函数()f x 是定义域为{}0x x ≠∣的奇函数，()f x '是其导函数，()22f =，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则不等式()1f x x<的解集是（）A ．()()2,02,-+∞B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()2,+∞D ．()()2,00,2-⋃【正确答案】B【分析】由题意构造函数()()f x g x x=，利用导数判断单调性，再由奇偶性解不等式即可.【详解】令()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x '-'=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，故()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，又(2)(2)12f g ==，所以()1f x x<即()(2)g x g <，因为函数()f x 是定义域为{}0xx ≠∣的奇函数，所以()()()()---===--f x f x g x g x x x，即()g x 为定义域为{}0xx ≠∣的偶函数，所以由()(2)g x g <可得(||)(2)g x g <，所以||2x >，即2x >或<2x -，即不等式()1f x x<的解集是()(),22,∞∞--⋃+，故选：B 二、填空题7．已知函数()y f x =是可导函数，且()12f '=，则()()11lim 2x f x f x∆→+∆-=∆______.【正确答案】1【分析】根据导数的定义求解即可.【详解】解：因为函数()y f x =是可导函数，且()12f '=，所以，根据导数的定义，()()()()()00111111lim lim 11222x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆故18．若直线1y ax =-是函数()ln f x x x =+的图象在某点处的切线，则实数=a ______．【正确答案】2【分析】设切点为()00,x y ，由点在两线上及切线斜率建立方程组解得参数.【详解】设切点为()00,x y ，则有()()000000000000000001111112ln ln f x a x x ax x y y ax y ax a y f x x x y x x⎧=+=⎪=-⎧⎪==⎧⎪⎪=-⇒=-⇒⎨⎨⎨=⎩⎪⎪==+=+⎩⎪'⎪⎩.故2.9．已知函数32()f x x ax bx =++的图象在点(0,(0))f 处的切线斜率为4-，且2x =-时，()y f x =有极值，则()f x 在[]3,2-上的最小值为_____.【正确答案】4027-【分析】根据题意列式求解a ,b ，即可求出()f x 的解析式，利用导数判断原函数的单调性，从而可求出函数的最值.【详解】∵2()32f x x ax b '=++，由题意可得(0)4(2)1240f b f a b ==-⎧⎨-=-+=''⎩，解得24a b =⎧⎨=-⎩，可得()()()()32224,344232f x x x x f x x x x x =+-=+-=+-'，令()0f x ¢>，解得<2x -或23x >；令()0f x '<，解得223x -<<；则()f x 在22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在()2,2,,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在2x =-处取到极大值，∴2,4a b ==-符合题意.又∵[]3,2x ∈-，则()f x 在22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在[]23,2,,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()24033,327f f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，即2(3)3f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∴()f x 在[]3,2-上的最小值为4027-.故答案为.4027-三、解答题10．已知函数()()212ln 22f x x a x x a =+-∈R ．(1)若32a =-，求()f x 的单减区间.(2)若函数()f x 在区间()1,2上单调递增，求a 的取值范围；(3)若函数()f x 在区间()1,2上存在减区间，求a 的取值范围(4)若函数()f x 在区间()1,2上不单调，求a 的取值范围；【正确答案】(1)()0,3(2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(3)1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(4)10,2⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）求导，利用导数求单调区间；（2）分析可得：222x x a -≥-对()1,2x ∀∈恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析运算；（3）分析可得：()1,2x ∃∈，使得222x x a -<-成立，根据存在性问题结合二次函数分析运算；（4）分析可得：()1,2x ∃∈，使得222x x a -=-成立，根据零点问题结合二次函数分析运算；【详解】（1）若32a =-，则()213ln 22f x x x x =--，可得()f x 的定义域为()0,∞+，且()()()3132x x f x x x x-+'=--=，令()0f x '<，则03x <<故()f x 的单减区间为()0,3.（2）∵()212ln 22f x x a x x =+-，则()22af x x x'=+-，若函数()f x 在区间()1,2上单调递增，等价于对()1,2x ∀∈，()220af x x x'=+-≥恒成立，可得222x x a -≥-对()1,2x ∀∈恒成立，构建()22g x x x =-，可知()g x 开口向上，对称轴1x =，∴()()11g x g >=-，故12a -≥-，解得12a ≥，则a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）由（2）可得：()22af x x x'=+-，若函数()f x 在区间()1,2上存在减区间，等价于()1,2x ∃∈，使得()220af x x x'=+-<成立，可得()1,2x ∃∈，使得222x x a -<-成立，构建()22g x x x =-，可知()g x 开口向上，对称轴1x =，∴()()11g x g >=-，故12a -<-，解得12a <，则a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（4）由（2）可得：()22af x x x'=+-，若函数()f x 在区间()1,2上不单调，等价于()1,2x ∃∈，使得()220af x x x'=+-=，可得()1,2x ∃∈，使得222x x a -=-成立，构建()22g x x x =-，可知()g x 开口向上，对称轴1x =，∴()()()()11,20g x g g x g >=-<=，故120a -<-<，解得102a <<，则a 的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.11．已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)已知11a =．（ⅰ）证明：()1223111112n n n a a a a a a *+++⋅⋅⋅+<∈N ；（ⅱ）求1ni ii a b =∑【正确答案】(1)证明见解析(2)（i ）证明见解析；（ii ）()2323nn -+【分析】（1）根据题意结合等差、等比数列通项公式列式求解即可；（2）根据题意可求得121,2n n n a n b -=-=.（ⅰ）利用裂项相消法分析运算；（ⅱ）利用错位相减法分析运算.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意可得22332244a b a b a b b a -=-⎧⎨-=-⎩，则()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，解得112db a ==，所以原命题得证．（2）∵11a =，由（1）可得：111,22b d a ===，可得()1112121,122n n n n a n n b --=+-=-=⨯=，（i ）可得()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+，则1223121111111111112335212122111n n a a a a n n a n a +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣++⎦+ L ，故1223111112n n a a a a a a ++++< .（ii ）可得()1212n n n a b n -=-，则()01121123521222nn i i i a b n -==⨯+⨯+⋅+-⨯+⋅⋅∑，可得()12311232225212nni i i a b n ==⨯+⨯+⨯⋅⋅+-+⋅∑，两式相减得：()()()()111212222412212121223231222n nnn n i i i n a b n n n -=----==+⨯++-=-⨯+⋅⋅⋅+⨯-----∑，故()12323nni i i a b n ==-+∑.12．已知函数()()2ln 3f x x x x a b =+-++在0x =处取得极值0．(1)求实数a ，b 的值；(2)若关于x 的方程()0(R)f x m m -=∈在区间1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有2个不同的实数解，求m 的取值范围；【正确答案】(1)1a =，0b =；(2)104ln 2m <≤-+【分析】(1)利用函数取得极值的条件，列出方程组，解之即可求解；(2)利用导数求出函数()f x 在区间1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最值，然后根据题意即可求解.【详解】（1）因为函数()()2ln 3f x x x x a b =+-++，所以1()21f x x x a'=+-+，由题意可知：(0)0(0)0f f =⎧⎨='⎩，即3ln 0110b a a-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1a =，0b =，经检验满足；（2）2()ln(1)f x x x x =+-+，由()0f x m -=得2ln(1)x x x m +-+=，由题意，曲线()y f x =与直线y m =在区间1[2-，2]上恰有2个交点，1(23)()2111x x f x x x x +=+-=++'，1[2x ∈-，0)时，()0f x '<；(0x ∈，2]时，()0f x '>，所以()f x 在区间1[2-，0)上是减函数，在区间(0，2]上是增函数，而11()ln224f -=-+，(0)0f =，(2)6ln3f =-，又1()(2)2f f -<，10ln24m ∴<≤-+．13．已知函数()()2ln ,e xf xg x x ax x==-+（e 是自然对数的底数）(1)求()f x 在()()1,1f 处的切线方程.(2)存在(0,),()0∈+∞>x g x 成立，求a 的取值范围.(3)对任意的()0,m ∈+∞，存在[]1,3n ∈，有()()f m g n ≤，则a 的取值范围.【正确答案】(1)10x y --=(2)[)0,∞+(3)1e ,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；（2）根据题意可得原题意等价于存在(0,),e x a x ∈+∞>成立，结合存在性问题分析运算；（3）根据题意可得：()()max max f x g x ≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，对于()f x ：利用导数求其最大值，对于()g x ：分类讨论求其最大值，分析运算即可得结果.【详解】（1）由题意可得：()()2ln 1ln ,x xf x f x x x -'==，则()()10,11f f '==，即切点坐标()1,0，切线斜率1k =，故()f x 在()()1,1f 处的切线方程为()011y x -=⨯-，即10x y --=.（2）∵2(0,),()e 0x g x x ax ∈+∞=-+>，则e a x >，∴原题意等价于存在(0,),e x a x ∈+∞>成立，又∵0,e 0x >>，则e 0x <，∴0a ≥，故a 的取值范围为[)0,∞+.（3）因为对任意的()0,m ∈+∞，存在[]1,3n ∈，有()()f m g n ≤，所以()()max max f x g x ≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为()ln x f x x =，所以()21ln xf x x -'=，令()0f x ¢>，得0e x <<；令()0f x '<，得e x >；所以()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，故()()max1e ef x f ==⎡⎤⎣⎦，因为()2e g x x ax =-+开口向下，对称轴为2eax =，则有：①当12ea≤，即2e a ≤时，()g x 在[]1,3上单调递减，则()()max1e g x g a ⎡⎤==-+⎣⎦，所以1e ea ≤-+，则1e e a ≥+，故e 1e e2a +≤≤；②当132e a <<，即2e 6e a <<时，()g x 在1,2e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32e a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，则()()max11e e 2e e g x g a g a ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭>=-+≥>，所以()()max max f x g x <⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故2e 6e a ≤≤；③当32e a ≥，即6e a ≥时，()g x 在[]1,3上单调递增，则()()()max131e 5e eg g a g x >=-+⎦≥⎤⎣>⎡=，所以()()max max f x g x <⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故6e a ≥；综上所述：1e e a ≥+，即a 的取值范围1e ,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭.14．已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，且123a a a +=，数列{}n b 是等比数列，且123b b b ⋅=，4124a b b =-.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设()()21n a n n c a =-，()*n ∈N ，求数列{}n c 的前2n 项和2n S ；(3)设()()()2*1532,4222,n n n n n n n d n n n +⎧⎪+=∈⎨⎪+⎩N 为奇数为偶数，求数列{}n d 的前2n 项和2n T .【正确答案】(1)n a n =，2n n b =(2)22n +n(3)()()121111432143n n n n n +++⋅---⋅【分析】（1）根据题意列式求解11,,a b q ，即可得结果；（2）利用并项求和分析运算；（3）利用裂项相消结合分组求和运算求解.【详解】（1）由题可知数列{}n a 是公差为1的等差数列，且123a a a +=，则11112a a a ++=+，解得11a =，所以11n a n n =+-=，设等比数列{}n b 的公比为q ，且123b b b ⋅=，4124a b b =-，则21111144b b q b q b b q ⎧⋅=⎨=-⎩，解得12b q ==，所以1222n n n b -=⨯=，所以{}n a 和{}n b 的通项公式为n a n =，2n n b =.（2）由（1）得为n a n =，则()()()()()()()()()()212222122222212111211221241n n a a n n n n a a n n n n n ----+-=-⋅-+-⋅=--+=-，所以数列{}n c 的前n 项和()()22222222222221231234(21)(2)(21)(2)4n S n n n n ⎡⎤=-++-+=-+-++--+--++⋅⋅⋅+⎣⎦L ()2341374122n n n n n +-=+++-==+L .（3）由（1）得为n a n =，2n n b =，所以()()()215321532,4244222,n n n n n n n n n n n d n n ++⎧=⎪++=⎨⎪+⎩为奇数为偶数，因为当n 为奇数时，则()()()()1111115324153211424424424n n n n n n n n n d n n n n n n --+-+++===-+⋅⋅+⋅⋅+⋅，所以求列{}n d 的前2n 项和为()()2135212462n n n T d d d d d d d d -=+++++++++ ()()22446222111111113434343434214214n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+⋅⋅⋅+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯-⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()242224222n n ++++⋅⋅⋅++()()()224211212424222n nn n ++⋅⋅⋅++++⋅=+⋅⋅+--⋅()()()()()212221422111111421421432143n n n n n n n n n n +-+=-++=++⨯---⋅--⋅故()()1221111432143n n n T n n n +=++⨯---⋅.15．已知函数2()ln (2)f x x ax a x =+++.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当a<0，证明.2()2f x a≤--【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导后对其导函数进行通分再对其分子因式分解，分类讨论0a ≥与a<0时()f x 的单调性即可.（2）求出max ()f x ，将所证转化为()max 22f x a ≤--，进而转化为证明11ln 10a a⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭恒成立，构造函数求其最大值即可证明.【详解】（1）∵2()ln (2)f x x ax a x =+++，定义域为(0,)+∞，则212(2)1(21)(1)()22,(0)ax a x x ax f x ax a x x x x+++++'=+++==>，①当0a ≥时，()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增；②当a<0时，当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增当1,x a ∈-+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减，综上，①当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增，②当a<0时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）由（1）可得，当a<0时，max 111211()ln ln 1a f x f a a a a a a+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.要证()22f x a≤--，只需证()max 22f x a≤--，即证11ln 10a a⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭恒成立.令1t a=-，()()ln 10g t t t t =-+>，则11()1t g t t t -'=-=，当()0,1t ∈时，()0g t '>，()g t 单调递增，当()1,t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减，∴()g t 的最大值为()10g =，即.()0g t ≤∴11ln 10a a⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭恒成立，∴原命题得证.即：当a<0时，()22f x a ≤--.。
2022-2023学年人教A版高二下数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设随机变量的分布列如下：……则下列说法错误的是（ ）A.当为等差数列时，B.数列的通项公式可能为C.当数列满足…，） 时，D.当数列满足…，）时，2. 若展开式中所有项的系数和为，则其展开式中的系数为( )A.B.C.D.3. 方程的正根的个数为（ ）A.个B.个C.个D.个ξξ12320202021P a 1a 2a 3a 2020a 2021{}a n +=a 2a 202022021{}a n =a n 20222021n (n +1){}a n =(n =1,2,a n 12n 2020=a 2021122021{}a n P(ξ≤k)=(k =1,2,k 2a k 2021=a 110112021(a −)x −√1x 51x −2−10−16−802x −=x 22x 01234. 年月日日，中国国际进口博览会即将在上海举行，假如会议结束后，甲、乙、丙、丁、戊五位国家领导人排成一排合影，若甲国领导人只能站在首或尾两个位置，乙、丙两国领导人必须相邻，则不同的排列方式共有( )A.种B.种C.种D.种5. 已知，， ，则，，的大小关系是 A.B.C.D.6. 已知未成年男性的体重（单位：）与身高（单位：）的关系可用指数模型来描述，根据大数据统计计算得到，．现有一名未成年男性身高为，体重为，预测当他体重为时，身高约为( )A.B.C.D.7. 抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为．令事件，事件，则的值为（ ）A.B.C.D.8. 若，函数有两个极值点，，则的取值范围为( )2021714−1612212440a =35b =0.1log 0.2c =2log 3a b c ()a <c <bc <a <b c <b <a b <c <aG kg x cm G =ae bx a =2.004b =0.0197110cm 17.5kg 35kg (ln 2≈0.69)155cm150cm145cm135cmS ={1,2,3,4,5,6}A ={2,3,5}B ={1,2,4,5,6}P(A |B)35122515m ∈R f (x)=x −−2ln x mx x 1(<)x 2x 1x 2mx 20,]32A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知等差数列的前项和为，，公差，则下列结论正确的为( )A.B.，均为的最大值C.D.当时，的前项和为，则10. 高一学生王兵想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有( )A.若任意选择三门课程，选法总数为种B.若物理和化学至少选一门，选法总数为C.若物理和历史不能同时选，选法总数为种D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种11. 若二项式展开式中二项式系数之和为展开式的各项系数之和为各项系数的绝对值之和为则下列结论正确的是（ ）A.B.存在使得C.的最小值为D.12. 已知函数， 为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是( )A.B.在上存在零点，则的最小值为(0,]3227(1,]3227(,2]3227(1,2]{}a n n S n ||=||a 5a 11d <0=0a 8S 7S 8S n >0S 16d =−2{||}a n n T n =76T 12C 37C 12C 26−C 37C 1520(1−3)n a n b n c n =a n b n c nn ∈N ∗+≥b n c n a n+b n c n c n b n2+2+3+⋯+n <2b 1b 2b 3b n f (x)=cos(2x +φ)(|φ|<)π2F (x)=f (x)+(x)3–√2f ′tan φ=3–√f (x)[−a,a]a π6,)3πC.在上单调递增D.在有且仅有一个极大值点卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知数列满足，，则数列的通项公式为________.14. 若 在 上不是单调函数，则的取值范围________．15. 中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土，匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节．连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为________.16. 设，那么________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知函数 . （1）求曲线在点处的切线方程．（2）当时，证明： .18. 已知等式，其中,…,为实常数．求：（1）的值；（2）的值．19. 有四个编有、、、的四个不同的盒子，有编有、、、的四个不同的小球，现把小球放入盒子里．（结果用数字表示）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法；恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法；恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法．6F (x)(,)π43π4f (x)(0,)π2{}a n =1a 1=3+2a n+1a n {}a n f(x)=−a +x 13x 3x 2(−∞,+∞)a f(k)=+++⋯+(k ∈)1k +11k +21k +312kN ∗f(k +1)−f(k)=f (x)=e 2x y =f (x)(0,f (0))−1<x <0+<0x −2x +21f ()x 2(+2x +2)5=+(x +1)+(x +1+...+(x +1+(x +1x 2a 1a 1a 2)2a 9)9a 10)10(i =0,1,2a i 10)∑n=110a n n ∑n=110a n 12341234{}2=+(n ∈)S 2∗20. 已知正项数列的前项和为，满足．求数列的通项公式；设，求数列的前项和，并证明． 21. 某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了名员工进行问卷调查，其中的员工工作积极.经汇总调查这名员工是否支持企业改革的调查得分（百分制）如茎叶图（图）所示，调查评价标准指出：调查得分不低于分者为积极支持企业改革，调查得分低于分者为不太赞成企业改革.根据以上资料完成下面的列联表，结合数据能否有的把握认为员工的工作积极性与“是否积极支持企业改革”是有关的，并回答人力资源部的研究项目.现将名员工的调查得分分为如下组：其频率分布直方图如图所示，这名员工的调查数据得分的平均值可由茎叶图得到，记为，由频率分布直方图得到的估计值记为(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，与的误差值在以内，可由代替，能否由代替?(提示：名员工的调查数据得分的和)该企业人力资源部从分以上的员工中任选名员工进行座谈，则所选员工的分数超过分的人数的数学期望是多少？附：.22. 已知函数.若，求的极值；讨论的单调性.{}a n n S n 2=+(n ∈)S n a n 2a n N ∗(1){}a n (2)=b n (−1)n+1a 2n+1⋅a n a n+1{}b n n T n ≤≤23T n 323060%3017070(1)2×299%(2)305[50，60），[60，70），[70，80）[80，90），[90，100]230x¯¯¯x ^x ^x ¯¯¯0.5x ^x ¯¯¯x ^x¯¯¯30=2288∑i=130x i (3)90392=K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)f (x)=−(a +1)x +a ln x 12x 2(1)a =−1f (x)(2)f (x)参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】离散型随机变量及其分布列概率的应用数列的应用数列递推式等差数列的性质等比数列的前n 项和【解析】本题看似考察随机变量的分布列，实则考察数列的相关知识，主要是等差数列、等比数列及它们的前项和，然后就是求数列和的裂项相消法，每一个选项都对应了几个知识点.【解答】解：，当为等差数列时，根据概率和为知，，由等差数列等差中项知，，故，所以，故正确；，假设，那么，故满足概率和为，故正确；，这时数列为等比数列，根据等比数列前项和知，故错误； ，，设为数列的前项和，则，整理得到，那么根据累乘：，，，，累乘上式得到，那么再利用前项和为，求解，得到n A {}a n 1++⋯+=1a 1a 2a 20212×1010+=2021=1a 1011a 1011a 1011=a 101112021+=2=a 2a 2020a 101122021A B ==(−)a n 20222021n(n +1)202220211n 1n +1++⋯+=(1−)=1a 1a 2a 202120222021120221B C {}a n n ++⋯+==1−≠1a 1a 2a 2021(1−)12()1220211−12()122021C D ∵P(ξ≤k)=++⋯+=a 1a 2a k k 2a k S n {}a n n −==−S n S n−1a n n 2a n (n −1)2a n−1(n ≥2)=a n a n−1n −1n +1=a 2a 113=a 3a 224⋯⋯=a n a n−1n −1n +1=a n 2a 1n(n +1)202112(1−)=1a 1120211011，故正确.故选.2.【答案】D【考点】二项展开式的特定项与特定系数二项式系数的性质【解析】根据所有项的系数之和为 ，求得，可得展开式中的系数.【解答】解：在的展开式中，令，可得所有项的系数之和为：，∴，∴展开式的通项为：，令，解得：，∴展开式中的系数为：.故选．3.【答案】A【考点】函数的图象二次函数的图象【解析】此题实质是求函数＝和函数的图象在一、四象限有没有交点，根据两个已知函数的图象的交点情况，直接判断．【解答】设函数＝，函数，∵函数＝的图象在一、三、四象限，开口向下，顶点坐标为，对称轴＝；=a 110112021D C =1(1+a)5a =−2x (a −)x −√1x 5x =1=1(a −1)5a =2=T r+1(−1)r 25−r C r 5x 5−3r 25−3r =2r =1x −=−8024C 15D y 12x −x 2=y 22xy 12x −x 2=y 22xy 12x −x 2(1,1)x 12函数的图象在一、三象限；而两函数在第一象限没有交点，交点再第三象限．即方程的正根的个数为个．4.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】分类加法计数原理与分步乘法计数原理；排列与组合【解答】解：分三步：首先排甲国领导人，有种方法；其次再排乙、丙两国领导人，有种方法；最后排其它两国领导人，有种方法；则共有种排法．故选．5.【答案】A【考点】对数值大小的比较指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：，又，∵，∴.，，∴.故选.6.=y 22x 2x −=x 22x 0C 12A 22C 13A 22=24C 12A 22C 13A 22C a ===35log 3335log 32715c =2=log 3log 33215<27153215a <c b =0.1>0.2=1log 0.2log 0.21<c =2<3=1log 3log 3log 3a <c <b AC【考点】函数模型的选择与应用指数函数的实际应用【解析】此题暂无解析【解答】解：将，代入，得 ①，将 代入 ，得 ②．由②①得，即，解得．故选．7.【答案】C【考点】条件概率与独立事件【解析】根据题意，利用古典概型概率公式求出事件，发生的概率；利用条件概率公式求出【解答】解：，由条件概率公式得故选．8.【答案】Ax =110G =17.5G =2.004e 0.0197x 17.5=2.004e 0.0197×110G =35G =2.004e 0.0197x 35=2.004e 0.0197x ÷2=e 0.0197x−0.0197×1100.0197(x −110)=ln 2x ≈145C A AB P(A |B)P(B)==n(B)n(S)56P(AB)===n(AB)n(S)2613P(A |B)===P(AB)P(B)135625C利用导数研究函数的极值【解析】先求导，再根据导数和函数的极值的关系即可求出的范围，再构造函数，，利用导数求出函数的最值即可．【解答】解：函数的定义域为，∴，令，，其对称轴为，∵函数有两个极值点，∴有两个正根，∴解得.∵函数有两个极值点，，∴，∴，∴∴设，，∴，令，解得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，∴，，.∵，，∴，∴的取值范围为，故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,D【考点】等差数列的性质m g(x)=−+2x 3x 2x >1f (x)=x −−2ln x m x (0,+∞)(x)=1+−f ′m x 22x =−2x +m x 2x 2y =−2x +m x 2x >0x =1f (x)=x −−2ln x m x −2x +m =0x 2{Δ=4−4m >0,m >0,0<m <1f (x)=x −−2ln x m x x 1(<)x 2x 1x 2∈(1,2)x 2−2+m =0x 22x 2m =−+2x 22x 2m =−+2x 2x 32x 22g(x)=−+2x 3x 2x ∈(1,2)(x)=−3+4x g ′x 2(x)=0g ′x =431<x <43(x)>0g ′g(x)<x <243(x)<0g ′g(x)g =g()=(x)max 433227g(1)=1g(2)=−40<m <1∈(1,2)x 2m >0x 2mx 2(0,]3227A等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得.又∵ ，．且，，则，即，故正确；∵，，，均为的 最大值，故正确；，故错误；当 时， ，则 ，∴，故正确．故选．10.【答案】A,C,D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：若任意选择三门课程，选法总数为，故正确；若物理和化学中选一门，选法总数为；若物理和化学同时选中，选法总数为，则物理和化学至少选一门选法总数为，故错误；任选门的选法总数为，排除物理和历史同时选中的选法总数为，则物理和历史不能同时选的选法总数为，故正确；结合可知若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为，故正确．故选．11.d <0>a 5a 11||=||a 5a 11∴≠a 5a 11∴=−a 5a 11>0a 5∴+4d =−(+10d)a 1a 1+7d =0a 1=0a 8A =0a 8d <0∴S 7S 8S n B =(+)S 16162a 1a 16=8(+)=8<0a 8a 9a 9C d =−2+7d =0a 1=14a 1=++⋯+−T 12a 1a 2a 8−−−a 9a 10a 11a 12=(+)−82a 1a 8(+++)a 9a 10a 11a 12=4(14+0)+(2+4+6+8)=56+20=76D ABD C 37A C 12C 25C 22C 15+C 12C 25C 22C 15B 3C 37C 22C 15−C 37C 22C 15C BC +−=20C 12C 25C 22C 15C 15D ACD【答案】A,B【考点】二项式系数的性质二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】因为.=所以正确．因为=所以正确．因为当且仅当时取等号，所以不正确．因为当时， 所以不正确．12.【答案】B,C【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点奇函数正弦函数的单调性【解析】结合导数的运算法则和辅助角公式可得，由为奇函数，可推出，从而判断；由可知，导函数解析式，根据正弦函数的图象与性质，可确定在上与的大小关系，从而得的单调性与极值情况，由此判断；令，求出的值后即可判断极大值点；根据正=,=(,=(a n 2n b n 23)n c n 43)n=a n b n 2n (23)n (=43)n c n A +b n c na n+()23n()43n2n =+≤⋅=1()13n()23n1323B +=+≥+2=b n c n c n b n ()12n2n 1252n =1c =b n ()23nn ≥3+2+3+b 1b 2b 3+n ≥2b n D F (x)=2cos(2x +φ+)π3F (x)φ=π6f (x)(0,)π20f (x)f (x)=0x ,)3π弦函数的单调性确定在上单调情况，由此判断单调性．【解答】解：对于， ，，∴，∵为奇函数，∴，即，∴，，又，∴，，故错误；对于，由可知，,当时，，单调递减；当时，, 单调递增，∴在上有一个极小值点，没有极大值点，故错误；对于，令，得 ,，若在上存在零点，则且的最小值为，故正确；对于，，在上单调递增，故正确.故选三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】数列递推式等比数列的通项公式【解析】F (x)=−2sin 2x (,)π43π4A ∵f (x)=cos(2x +φ)(x)=−2sin(2x +φ)f ′F (x)=f (x)+(x)3–√2f ′=cos(2x +φ)−sin(2x +φ)3–√=2cos(2x +φ+)π3F (x)F (0)=0cos(φ+)=0π3φ=+kππ6k ∈Z |φ|<π2φ=π6tan φ=tan =π63–√3A D A (x)=−2sin(2x +)f ′π6x ∈(0,)5π12(x)<0f ′f (x)x ∈(,)5π12π2(x)>0f ′f (x)f (x)(0,)π2D B f (x)=cos(2x +)=0π6x =+kπ2π6k ∈Z f (x)[−a,a]a >0a π6B C F (x)=−2sin 2x F (x)(,)π43π4C BC.=2⋅−1a n 3n−1+1=3(+1)+1由已知得，又，由此能证明数列为首项为，公比为的等比数列．【解答】解：∵，，∴，∴.又，，∴数列为首项为，公比为的等比数列，∴，则.故答案为：.14.【答案】【考点】已知函数的单调性求参数问题利用导数研究函数的单调性【解析】由，知，由函数在上单调递增，知的解集是，由此能求出的取值范围．【解答】解：∵，∴，∵函数在上不是单调函数，∴有两个实数根，∴，解得．故答案为：．15.【答案】【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】先选再排，由于“丝”特殊，应分类讨论．+1=3(+1)a n+1a n =1a 123=3+2a n+1a n n ∈N ∗+1=3(+1)a n+1a n =3+1a n+1+1a n =1a 1+1=2a 1{+1}a n 23+1=2⋅a n 3n−1=2⋅−1a n 3n−1=2⋅−1a n 3n−1(−∞,−1)∪(1,+∞)f(x)=−3+ax −5x 3x 2f'(x)=3−6x +a x 2f(x)=−3+ax −5x 3x 2(−∞,+∞)f'(x)=3−6x +a ≥0x 2R a f(x)=−a +x 13x 3x 2f'(x)=−2ax +1x 2f(x)=−a +x 13x 3x 2(−∞,+∞)f'(x)=−2ax +1=0x 2Δ=4−4>0a 2a <−1或a >1(−∞,−1)∪(1,+∞)1296【解答】解：“土”和“匏”相邻有种，从剩余门课中选门有种，如果不考虑土、匏是否与竹相邻，则有种，若“土”“匏”和“竹”相邻，有种，再排其余课有种，“丝”排第一节课有种，“丝”排第一节课且“土”“匏”和“竹”相邻有种，一共有种.故答案为：．16.【答案】【考点】函数的求值【解析】根据函数表达式之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵，∴，则；故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】..【考点】A 2253C 35⋅⋅=2400A 22C 35A 55⋅=4A 22A 22⋅⋅⋅=960A 22A 22C 35A 44⋅⋅=288A 22C 24A 44⋅⋅⋅=144A 22A 22C 24A 332400−960−288+144=12961296+−12k +112k +21k +1f(k)=+++⋯+(k ∈)1k +11k +21k +312k N ∗f(k +1)=++⋯1k +21k +3+++12k 12k +112k +2(k ∈)N ∗f(k +1)−f(k)=++⋯+++1k +21k +312k 12k +112k +2−(+++...+)1k +11k +21k +312k =+−12k +112k +21k +1+−12k +112k +21k +1利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值导数的几何意义利用导数研究不等式恒成立问题【解析】..【解答】看不清，无法录入.18.【答案】解：（1）在中，令，得．令，得．所以．（2）等式两边对求导，得．在中，令，整理，得．【考点】二项式定理的应用简单复合函数的导数二项式系数的性质【解析】（1）通过求出，然后通过求出，即可求解．（2）利用二项式定理展开表达式，通过函数的导数且推出所求表达式的值，【解答】解：（1）在中，令，得．令，得．(+2x +2=+(x +1)+(x +1+...+(x +1+(x +1x 2)5a 1a 1a 2)2a 9)9a 10)10x =−1=1a 1x =0+++...++==32a 1a 1a 2a 9a 1025=++...+=31∑n=110a n a 1a 2a 10(+2x +2=+(x +1)+(x +1+...+(x +1+(x +1x 2)5a 1a 1a 2)2a 9)9a 10)10x 5(+2x +2⋅(2x +2)=+2(x +1)+...+9(x +1+10(x +1x 2)4a 1a 2a 9)9a 10)55(+2x +2⋅(2x +2)=+2(x +1)+...+9(x +1+10(x +1x 2)4a 1a 2a 9)9a 10)5x =0n =+2+...+9+10=5⋅=160∑n=110a n a 1a 2a 5a 1025x =−1a 1x =0+++...++a 1a 1a 2a 5a 10∑n=110a n x =0(+2x +2=+(x +1)+(x +1+...+(x +1+(x +1x 2)5a 1a 1a 2)2a 9)9a 10)10x =−1=1a 1x =0+++...++==32a 1a 1a 2a 9a 1025++...+=3110所以．（2）等式两边对求导，得．在中，令，整理，得．19.【答案】种种种【考点】排列、组合及简单计数问题排列、组合的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：小球全部放入盒子中有种不同的放法，恰有一个盒子没放球有种不同的放法，恰有两个盒子没放球有种不同的放法．20.【答案】解：当时，，解得；当时，，∴.∵是正项数列，∴，∴，∴数列是以为首项为公差的等差数列．∴．由可知，=++...+=31∑n=110a n a 1a 2a 10(+2x +2=+(x +1)+(x +1+...+(x +1+(x +1x 2)5a 1a 1a 2)2a 9)9a 10)10x 5(+2x +2⋅(2x +2)=+2(x +1)+...+9(x +1+10(x +1x 2)4a 1a 2a 9)9a 10)55(+2x +2⋅(2x +2)=+2(x +1)+...+9(x +1+10(x +1x 2)4a 1a 2a 9)9a 10)5x =0n =+2+...+9+10=5⋅=160∑n=110a n a 1a 2a 5a 102525614484=25644=144C 24A 34(+)=84C 34C 24C 22A 22C 24A 22(1)n =12=2=+a 1S 1a 21a 1=1a 1n ≥22=2−2a n S n S n−1=+−(+)a 2n a n a 2n−1a n−1−−(+)=(−)−a 2n a n a 2n−1a n−1a 2n a 2n−1(+)a n a n−1=(+)(−−1)=0a n a n−1a n a n−1{}a n +>0a n a n−1−=1a n a n−1{}a n 11=n a n (2)(1)==b n (−1)n+1a 2n+1⋅a n a n+1(−1)n+12n +1n (n +1)==(−1(+)(−1)n+1(n +1)+n n (n +1))n+11n 1n +1(1+)−(+)+⋯+111因此，．当为奇数时，单调递减，此时；当为偶数时，单调递增，此时，∴．【考点】数列递推式等差数列的通项公式数列与不等式的综合数列的求和【解析】无无【解答】解：当时，，解得；当时，，∴.∵是正项数列，∴，∴，∴数列是以为首项为公差的等差数列．∴．由可知，因此，．=(1+)−(+)+⋯+T n 121213(+)=1+(−1)n+11n 1n +1(−1)n+1n +1n =1+=1+T n (−1)n+1n +11n +1=1+∈(1,]T n 1n +132n =1+=1−T n (−1)n+1n +11n +1=1−∈[,1)T n 1n +123≤≤23T n 32(1)n =12=2=+a 1S 1a 21a 1=1a 1n ≥22=2−2a n S n S n−1=+−(+)a 2n a n a 2n−1a n−1−−(+)=(−)−a 2n a n a 2n−1a n−1a 2n a 2n−1(+)a n a n−1=(+)(−−1)=0a n a n−1a n a n−1{}a n +>0a n a n−1−=1a n a n−1{}a n 11=n a n (2)(1)==b n (−1)n+1a 2n+1⋅a n a n+1(−1)n+12n +1n (n +1)==(−1(+)(−1)n+1(n +1)+n n (n +1))n+11n 1n +1=(1+)−(+)+⋯+T n 121213(+)=1+(−1)n+11n 1n +1(−1)n+1n +11+=1+n+1当为奇数时，单调递减，此时；当为偶数时，单调递增，此时，∴．21.【答案】解：列联表如下：因为，所以有的把握认为员工的工作积极性与“是否积极支持企业改革”是有关的.由茎叶图可知，各组数据的频数分别为则.所以.因为与的误差值在以内，所以可以由代替.由可知，分以上的员工共有名，设分数超过分的员工数为，则的可能取值为.则，，，由此得到如下列表：所以所选员工的分数超过分的人数的数学期望是.【考点】n =1+=1+T n (−1)n+1n +11n +1=1+∈(1,]T n 1n +132n =1+=1−T n (−1)n+1n +11n +1=1−∈[,1)T n 1n +123≤≤23T n 32(1)2×2==10>6.635K 230×(128−8)218×12×20×1099%(2)3，7，7，8，5，=55×+65×+75×+x^33073073085×+95×=8305302303−=−=0.4<0.5x ^x ¯¯¯2303228830x ^x¯¯¯0.5x ^x¯¯¯(3)(2)90592ξξ1，2，3P(ξ=1)==C 13C 35310P(ξ=2)==C 23C 12C 35610P(ξ=3)==C 33C 3511092E(ξ)=1×+2×+3×=1.8310610110众数、中位数、平均数、百分位数离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列独立性检验【解析】此题暂无解析【解答】解：列联表如下：因为，所以有的把握认为员工的工作积极性与“是否积极支持企业改革”是有关的.由茎叶图可知，各组数据的频数分别为则.所以.因为与的误差值在以内，所以可以由代替.由可知，分以上的员工共有名，设分数超过分的员工数为，则的可能取值为.则，，，由此得到如下列表：所以所选员工的分数超过分的人数的数学期望是.22.【答案】(1)2×2==10>6.635K 230×(128−8)218×12×20×1099%(2)3，7，7，8，5，=55×+65×+75×+x^33073073085×+95×=8305302303−=−=0.4<0.5x ^x ¯¯¯2303228830x ^x¯¯¯0.5x ^x¯¯¯(3)(2)90592ξξ1，2，3P(ξ=1)==C 13C 35310P(ξ=2)==C 23C 12C 35610P(ξ=3)==C 33C 3511092E(ξ)=1×+2×+3×=1.8310610110(1)解：若，则().又，令，解得（舍去）或.当时，，所以在上为减函数；当时，，所以在上为增函数.故在处取得极小值为，无极大值..①当时，令得到；令得到.此时在上为减函数，在上为增函数.②当时，令得到；令得到或.此时在上为减函数，在或上为增函数.③当时，显然恒成立.此时在上为增函数.④当时，令得到；令得到或.此时在上为减函数，在或上为增函数.【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：若，则().又，令，解得（舍去）或.当时，，所以在上为减函数；当时，，所以在上为增函数.故在处取得极小值为，无极大值.(1)a =−1f(x)=−ln x 12x 2x >0(x)=x −f ′1x (x)=0f ′x =−1x =10<x <1(x)<0f ′f(x)(0,1)x >1(x)>0f ′f(x)(1,+∞)f(x)x =112(2)(x)=x −(a +1)+=f ′a x −(a +1)x +a x 2x =(x −1)(x −a)x a ≤0(x)<0f ′0<x <1(x)>0f ′x >1f(x)(0,1)(1,+∞)0<a <1(x)<0f ′a <x <1(x)>0f ′0<x <a x >1f(x)(a,1)(0,a)(1,+∞)a =1(x)≥0f ′f(x)(0,+∞)a >1(x)<0f ′1<x <a (x)>0f ′0<x <1x >a f(x)(1,a)(0,1)(a,+∞)(1)a =−1f(x)=−ln x 12x 2x >0(x)=x −f ′1x (x)=0f ′x =−1x =10<x <1(x)<0f ′f(x)(0,1)x >1(x)>0f ′f(x)(1,+∞)f(x)x =112(2)(x)=x −(a +1)+=f ′a x −(a +1)x +a x 2x(x −1)(x −a).①当时，令得到；令得到.此时在上为减函数，在上为增函数.②当时，令得到；令得到或.此时在上为减函数，在或上为增函数.③当时，显然恒成立.此时在上为增函数.④当时，令得到；令得到或.此时在上为减函数，在或上为增函数.=(x −1)(x −a)x a ≤0(x)<0f ′0<x <1(x)>0f ′x >1f(x)(0,1)(1,+∞)0<a <1(x)<0f ′a <x <1(x)>0f ′0<x <a x >1f(x)(a,1)(0,a)(1,+∞)a =1(x)≥0f ′f(x)(0,+∞)a >1(x)<0f ′1<x <a (x)>0f ′0<x <1x >a f(x)(1,a)(0,1)(a,+∞)。
2022-2023学年人教A版高二下数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合，，则（ ）A.B.C.D.2. 函数的最小正周期是( )A.B.C.D.3. 执行如图所示的程序框图，表示不超过的最大整数，若输出的的值为，则图中判断框内应该填入( )U ={−1,0,1}A ={x |x =,m ∈U}m 2A =∁U {0,1}{−1,0,1}∅{−1}y =3sin(x +)12π42ππ24ππ4[x]x S 7A.？B.C.？D.4. 若，满足约束条件则的最大值为( )A.B.C.D.5. 从某个角度观察篮球（如图），可以得到一个对称的平面图形，如图所示，篮球的外轮廓为圆，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为( )A.B.i >4i >6i >8i >10x y 3x +y −6≤0,x +y ≥2,y ≤2,y −3x −1−32−3412O O O AB =BC =CD 2–√3–√3–√C.D.6. 投篮测试中，每人投次，至少投中次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A.B.C.D.7. 已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若，平行于平面，则与平行C.若，不平行，则与不可能垂直于同一平面D.若，不平行，则在内不存在与平行的直线8. 已知抛物线的焦点为，过点作倾斜角为的直线交于，两点，的中点为，且，则（ ）A.B.C.D.9. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则( )A.B.C.D.10. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是，，，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面35–√547–√7320.50.6480.6250.3750.5a b αβαβαβa b αa b a b a b αβαβC :=2px (p >0)y 2F F 45∘l C A B AB D D (,2)x D p =121252f (x)R x >0f (x)=x +log 24x f (−)=121−12−23458积是（ ）A.B.C.D.都不对11. 设，，， 则有 A.B.C.D.12. 已知锐角三角形的三边长分别为，，，则的取值范围( )A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13. （5分） 若复数满足 （其中为虚数单位），则的模为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 14. 共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，年该市共享单车用户年龄等级分布如图所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（岁岁）和“非年轻人”（岁及以下或者岁及以上）两类，将使用的次数为次或次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为次或不足次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”．25π50π125π=0.8y 1log 0.7=0.9y 2log 1.1=y 3 1.10.9()>>y 3y 1y 2>>y 2y 1y 3>>y 1y 2y 3>>y 1y 3y 213a a (8,10)(2,)2–√10−−√(2,10)2–√(,8)10−−√z z ⋅i =1+i i z 20161220∼391940665556(1)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，请你根据题目中的数据，补全下列列联表：请根据中的列联表独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？(参考数据：其中，， 15. 已知正项数列是等比数列，且，，成等差数列．求的通项公式；求数列的前项和. 16. 如图，菱形的边长为，对角线交于点， ，将沿折起得到三棱锥 .求证：平面平面；若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 17. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.椭圆过点，离心率；在轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为.18. 已知函数.讨论的单调性；若有两个零点，求的范围．19. 在直角坐标系中，直线的参数方程为 （为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)2002×2(2)(1)=K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)n =a +b +c +d){}a n =a 1121a 2+21a 31a 4(1){}a n (2){n }a n n S n ABCD 4E ∠ABC =2π3△ADC AC D −ABC (1)DBE ⊥ABC (2)CD ABC 3–√4D −BC −E (1)(3,0)e =6–√3(2)x 4f (x)=(x −1)+a e x 12x 2(1)f (x)(2)f (x)a xOy l x =1+t,2–√2y =2−t,2–√2t O x C ρ=4cos θ(1)l C写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；求直线被曲线截得的弦长．(1)l C (2)l C参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】D【考点】补集及其运算【解析】本题考查集合的概念与运算.【解答】解：∵，∴．故选．2.【答案】C【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：由三角函数的周期公式：，故选.3.【答案】B A ={x |x ＝,m ∈U}m 2={0,1}A =∁U {−1}D T ===4π2πω2π12C【考点】循环结构的应用程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：因为时输出，此时，结合选项.故选．4.【答案】D【考点】求解非线性目标函数的最值-有关斜率简单线性规划【解析】作出不等式组所表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求解即可.【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：目标函数代表可行域内点与连线的斜率，设为，由图可知，当直线经过时斜率取得最大值，由题可得解得所以，S =[]+[]+[]+[]+[]=70–√2–√4–√6–√8–√i =8B y −3x P(0,3)k A {3x +y −6=0，y =2，{x =，43y =2，A(,2)43(,2)4=y −3=−2−33将代入可得.故选.5.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】设出双曲线方程，把双曲线上的点的坐标表示出来并代入到方程中，找到、的关系即可求解．【解答】解：设双曲线的方程为，则，因为，所以，所以，因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，所以点在双曲线上，代入双曲线方程得，解得，所以双曲线的离心率为.故选．6.【答案】D【考点】相互独立事件的概率乘法公式互斥事件的概率加法公式【解析】由条件利用相互独立事件的概率乘法公式，求得投中次的概率、投中次的概率，相加，即得所求．【解答】解：该同学通过测试的概率为，故选：．A(,2)43k =y −3x ==−k max 2−34334D a b −=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2OC =a AB =BC =CD CD =2OC OD =3OC =3a O O (a,a)32–√32–√−=1929a 22b 2=b 2a 297e ====c a 1+b 2a 2−−−−−−√1+97−−−−−√47–√7D 23⋅⋅0.5+⋅=C 230.52C 330.5312D7.【答案】C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】若垂直于同一平面，则与不一定平行，所以排除；若，平行于平面，则与不一定平行，所以排除；若不平行，则在内存在与平行的直线，所以排除，故选．【解答】解：，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，所以排除；，若，平行于平面，则与不一定平行，所以排除；，若，不平行，则在内存在与平行的直线，所以排除．故选．8.【答案】C【考点】直线与抛物线的位置关系抛物线的性质【解析】无【解答】解：由得，所以直线的方程为．联立方程组整理得．设，，则，所以，所以．故选．9.A α,βαβA B a b αa b B D ααβD C A αβαβA B a b αa b B D αβαβD C =2px (p >0)y 2F (,0)p 2l y =x −p 2{y =x −,p 2=2px,y 2−2py −=0y 2p 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2+=2p y 1y 2==p y D +y 1y 22p =2C【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】先利用奇函数的性质判断当时的函数方程，然后代入数值求解.【解答】解：∵是定义在上的奇函数，当时，，∴，∴.故选.10.【答案】B【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是，，，且它的个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：，所以这个球的表面积是：．故选．11.x <0f (x)R x >0f (x)=x +log 24xf (−x)=−f (x)=−x −log 24x f (−)=−f ()1212=−−=−−=1−2=−1log 212412log 22−1()2212B 3458=5++324252−−−−−−−−−−√2–√52–√24π(=50π52–√2)2B【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】解：，，，可得．故选．12.【答案】B【考点】余弦定理【解析】由已知中三边长分别为、、，根据余弦定理的推论得到为锐角三角形时，由两边长和求出的范围，但与边均有可能为最大边，分类讨论即可求解．【解答】解：∵三边长分别为、、，又∵为锐角三角形，当为最大边时，设所对的角为，则根据余弦定理得：，∵，∴，解得；当为最大边时，设所对的角为，则根据余弦定理得：，∴，解得：，综上，实数的取值范围为．故选.二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13.=0.8∈(0,1)y 1log 0.7=0.9<0y 2log 1.1=>1y 3 1.10.9>>y 3y 1y 2A △ABC 13a △ABC 13a 3a △ABC 13a △ABC 33≥a 3αcos α=>0+1−a 2322aa >0−8>0a 23≥a >22–√a a >3a βcos β=>01+9−a 2610−>0a 23<a <10−−√a (2,)2–√10−−√B【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】（1）.本题考查对于复数以及模的计算.【解答】解：已知，则，根据.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14.【答案】解：如表即为补全的列联表.年轻人 非年轻人合计经常使用共享单车用户不常使用共享单车用户合计由可知，，，， ，∴，即有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．【考点】独立性检验【解析】此题暂无解析【解答】解：如表即为补全的列联表.年轻人 非年轻人合计经常使用共享单车用户2–√z ⋅i =1+i z ===1−i 1+i i i(1+i)−1|z|==+12(−1)2−−−−−−−−−√2–√2–√(1)2×21002012060208016040200(2)(1)a =100b =20c =60d =20=≈2.083>2.072K 2200×(100×20−60×20)2120×80×160×4085%(1)2×210020120不常使用共享单车用户合计由可知，，，， ，∴，即有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．15.【答案】解：设数列的公比为．且，，成等差数列，，整理得，即，解得 . 的通项公式为 . ， , ，两式相减得 ， . 【考点】等比数列的通项公式等差数列的性质数列的求和【解析】（1）设数列的公比为．由且成等差数列，得60208016040200(2)(1)a =100b =20c =60d =20=≈2.083>2.072K 2200×(100×20−60×20)2120×80×160×4085%(1){}a n q ∵=a 1121a 2+21a 31a 4∴+1q 12=2(+2)112q 3112q 22−+2q −1=0q 3q 2(2q −1)(+1)=0q 2q =12∴{}a n =a n ()12n(2)∵n =n a n ()12n∴=1×+2×+⋯+n S n 12()122()12n∴=1×+2×+⋯+(n −1)12S n ()122()123()12n +n()12n+1=+++⋯12S n 12()122()123+−()12n n()12n+1=−[1−]12()12n 1−12n()12n+1=1−−()12n n()12n+1=1−(n +2)()12n+1∴=2−(n +2)S n ()12n{}a n q =a 112,+2,1a 21a n 1a 4，整理得，解得 .的通项公式为 .【解答】解：设数列的公比为．且，，成等差数列，，整理得，即，解得 .的通项公式为 .，,，两式相减得，.16.【答案】证明：因为折叠前，所以，，因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面，解：由知，平面平面，过点作 ，则平面，所以为与平面所成角.+1q 12=2+2112q 3 112q 22−+2q −1=0,(2q −1)(+1)=0q 3q 2q 2q =12{}a n =a n ()12n (1){}a n q ∵=a 1121a 2+21a 31a 4∴+1q12=2(+2)112q 3112q 22−+2q −1=0q 3q 2(2q −1)(+1)=0q 2q =12∴{}a n =a n ()12n(2)∵n =n a n ()12n∴=1×+2×+⋯+n S n 12()122()12n∴=1×+2×+⋯+(n −1)12S n ()122()123()12n+n()12n+1=+++⋯12S n 12()122()123+−()12nn()12n+1=−[1−]12()12n1−12n()12n+1=1−−()12n n()12n+1=1−(n +2)()12n+1∴=2−(n +2)S n ()12n(1)BD ⊥AC AC ⊥BE AC ⊥DE DE ∩BE =E AC ⊥BDE AC ⊂ABC DBE ⊥ABC (2)(1)DBE ⊥ABC D DO ⊥BE DO ⊥ABC ∠OCD CD ABC所以，所以 ，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，设平面的法向量为，则则，因为平面的法向量为，所以，即二面角的余弦值为.【考点】平面与平面垂直的判定二面角的平面角及求法用空间向量求平面间的夹角【解析】【解答】证明：因为折叠前，所以，，因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面，解：由知，平面平面，过点作 ，则平面，所以为与平面所成角.OD =3–√BO =OE =1B (1,0,0)D (0,0,)3–√C (−1,2,0)3–√E (−1,0,0)=(1,−2,)CD −→−3–√3–√=(−2,2,0)BC −→−3–√BCD =(x,y,z)n 1−→{−2x +2y =0，3–√x −2y +z =0，3–√3–√=(,1,1)n 1−→3–√BCE =(0,0,1)n 2−→cos θ==⋅n 1−→n 2−→⋅∣∣n 1−→∣∣∣∣n 2−→∣∣5–√5D −BC −E 5–√5(1)BD ⊥AC AC ⊥BE AC ⊥DE DE ∩BE =E AC ⊥BDE AC ⊂ABC DBE ⊥ABC (2)(1)DBE ⊥ABC D DO ⊥BE DO ⊥ABC ∠OCD CD ABC所以，所以 ，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，设平面的法向量为，则则，因为平面的法向量为，所以，即二面角的余弦值为.17.【答案】解：若焦点在轴上，则，∵，∴，∴．∴椭圆的方程为；若焦点在轴上，则，∵，，，，，∴椭圆方程为，∴所求椭圆的方程为或．设椭圆方程为．如图所示，为等腰直角三角形，OD =3–√BO =OE =1B (1,0,0)D (0,0,)3–√C (−1,2,0)3–√E (−1,0,0)=(1,−2,)CD −→−3–√3–√=(−2,2,0)BC −→−3–√BCD =(x,y,z)n 1−→{−2x +2y =0，3–√x −2y +z =0，3–√3–√=(,1,1)n 1−→3–√BCE =(0,0,1)n 2−→cos θ==⋅n 1−→n 2−→⋅∣∣n 1−→∣∣∣∣n 2−→∣∣5–√5D −BC −E 5–√5(1)x a =3e =6–√3c =6–√=−=9−6=3b 2a 2c 2+=1x 29y 23y b =3e ==c a 6–√3=c 2a 223=−a 2b 2a 223=b 2a 213∴=27a 2+=1y 227x 29+=1x 29y 23+=1y 227x 29(2)+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2△F A 1A 2为斜边的中线（高），且，，∴，∴，故所求椭圆的方程为．【考点】椭圆的离心率椭圆的标准方程【解析】无无【解答】解：若焦点在轴上，则，∵，∴，∴．∴椭圆的方程为；若焦点在轴上，则，∵，，，，，∴椭圆方程为，∴所求椭圆的方程为或．设椭圆方程为．如图所示，为等腰直角三角形，OF A 1A 2|OF|=c ||=2b A 1A 2c =b =2=+=8a 2b 2c 2+=1x 28y 24(1)x a =3e =6–√3c =6–√=−=9−6=3b 2a 2c 2+=1x 29y 23y b =3e ==c a 6–√3=c 2a 223=−a 2b 2a 223=b 2a 213∴=27a 2+=1y 227x 29+=1x 29y 23+=1y 227x 29(2)+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2△F A 1A 2为斜边的中线（高），且，，∴，∴，故所求椭圆的方程为．18.【答案】解： ，（）若，由得，当时， ，当时， ，∴在上单调递减， 在上单调递增.（）当时，若由得或 .①若，则，当时，，当时，，∴在上单调递减，在，上单调递增 .②若，当时，，∴在上单调递增．③若，则，当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增．综上可知，若， 在上单调递减， 在上单调递增，若， 在上单调递增，若， 在上单调递减，在，上单调递增，若，在上单调递减，在上单调递增 .（）若，，当时，，由函数的单调性可知，不可能有两个零点；（）若，，只有一个零点；（）若，在上单调递减，在上单调递增，，，∴在有一个零点．取且，.又，∴，∴.又，∴，即，∴，由此可知在有一个零点.综上，的取值范围为 .【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题OF A 1A 2|OF|=c ||=2b A 1A 2c =b =2=+=8a 2b 2c 2+=1x 28y 24(1)(x)=x (+a)f ′e x i a ≥0(x)=0f ′x =0x ∈(−∞,0)(x)<0f ′x ∈(0,+∞)(x)>0f ′f (x)(−∞,0)f (x)(0,+∞)ii a <0(x)=0f ′x =0x =ln(−a)−1<a <0ln(−a)<0x ∈(−∞,ln(−a))∪(0,+∞)(x)>0f ′x ∈(ln(−a),0)(x)<0f ′f (x)(ln(−a),0)f (x)(−∞,ln(−a))(0,+∞)a =−1x ∈(−∞,+∞)(x)≥0f ′f (x)(−∞,+∞)a <−1ln(−a)>0x ∈(−∞,0)∪(ln(−a),+∞)(x)>0f ′x ∈(0,ln(−a))(x)<0f ′f (x)(0,ln(−a))f (x)(−∞,0),(ln(−a),+∞)a <−1f (x)(0,ln(−a))f (x)(−∞,0),(ln(−a),+∞)a =−1f (x)(−∞,+∞)−1<a <0f (x)(ln(−a),0)f (x)(−∞,ln(−a))(0,+∞)a ≥0f (x)(−∞,0)f (x)(0,+∞)(2)i a <0f (0)=−1<0x ≤0f (x)<0f (x)f (x)ii a =0f (x)=(x −1)e x f (x)iii a >0f (x)(−∞,0)f (x)(0,+∞)f (0)=−1<0f (2)=+2a >0e 2f (x)(0,+∞)<−2x 0<ln x 0a 2<e x 0a 2−1<−3x 0(−1)>(−1)x 0e x 0a 2x 0f ()=(−1)+a x 0x 0e x 012x 20>(−1)+a a 2x 012x 20=(+−1)a 2x 20x 0<−2x 0+−1>1>0x 20x 0(+−1)>0a 2x 20x 0f ()>0x 0f (x)(−∞,0)a (0,+∞)利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解： ，（）若，由得，当时， ，当时， ，∴在上单调递减， 在上单调递增.（）当时，若由得或 .①若，则，当时，，当时，，∴在上单调递减，在，上单调递增 .②若，当时，，∴在上单调递增．③若，则，当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增．综上可知，若， 在上单调递减， 在上单调递增，若， 在上单调递增，若， 在上单调递减，在，上单调递增，若，在上单调递减，在上单调递增 .（）若，，当时，，由函数的单调性可知，不可能有两个零点；（）若，，只有一个零点；（）若，在上单调递减，在上单调递增，，，∴在有一个零点．取且，.又，∴，∴.又，∴，即，∴，由此可知在有一个零点.综上，的取值范围为 .19.【答案】解：由直线的参数方程（为参数），可得其普通方程为.由曲线的极坐标方程得，所以曲线的直角坐标方程为.由得曲线，直线为，(1)(x)=x (+a)f ′e x i a ≥0(x)=0f ′x =0x ∈(−∞,0)(x)<0f ′x ∈(0,+∞)(x)>0f ′f (x)(−∞,0)f (x)(0,+∞)ii a <0(x)=0f ′x =0x =ln(−a)−1<a <0ln(−a)<0x ∈(−∞,ln(−a))∪(0,+∞)(x)>0f ′x ∈(ln(−a),0)(x)<0f ′f (x)(ln(−a),0)f (x)(−∞,ln(−a))(0,+∞)a =−1x ∈(−∞,+∞)(x)≥0f ′f (x)(−∞,+∞)a <−1ln(−a)>0x ∈(−∞,0)∪(ln(−a),+∞)(x)>0f ′x ∈(0,ln(−a))(x)<0f ′f (x)(0,ln(−a))f (x)(−∞,0),(ln(−a),+∞)a <−1f (x)(0,ln(−a))f (x)(−∞,0),(ln(−a),+∞)a =−1f (x)(−∞,+∞)−1<a <0f (x)(ln(−a),0)f (x)(−∞,ln(−a))(0,+∞)a ≥0f (x)(−∞,0)f (x)(0,+∞)(2)i a <0f (0)=−1<0x ≤0f (x)<0f (x)f (x)ii a =0f (x)=(x −1)e x f (x)iii a >0f (x)(−∞,0)f (x)(0,+∞)f (0)=−1<0f (2)=+2a >0e 2f (x)(0,+∞)<−2x 0<ln x 0a 2<e x 0a 2−1<−3x 0(−1)>(−1)x 0e x 0a 2x 0f ()=(−1)+a x 0x 0e x 012x 20>(−1)+a a 2x 012x 20=(+−1)a 2x 20x 0<−2x 0+−1>1>0x 20x 0(+−1)>0a 2x 20x 0f ()>0x 0f (x)(−∞,0)a (0,+∞)(1)l x =1+t,2–√2y =2−t,2–√2t x +y −3=0C ρ=4cosθ=4ρcos θρ2C +−4x =0x 2y 2(2)(1)C :+=4(x −2)2y 2l x +y −3=0所以圆心到直线的距离为，所以直线被曲线截得的弦长为.【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：由直线的参数方程（为参数），可得其普通方程为.由曲线的极坐标方程得，所以曲线的直角坐标方程为.由得曲线，直线为，所以圆心到直线的距离为，所以直线被曲线截得的弦长为.(2,0)l d ==|2−3|2–√2–√2l C 2=−22()2–√22−−−−−−−−−−−√14−−√(1)l x =1+t,2–√2y =2−t,2–√2t x +y −3=0C ρ=4cosθ=4ρcos θρ2C +−4x =0x 2y 2(2)(1)C :+=4(x −2)2y 2l x +y −3=0(2,0)l d ==|2−3|2–√2–√2l C 2=−22()2–√22−−−−−−−−−−−√14−−√。
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2022-2023学年天津市求真高级中学高二下学期3月月考数学试题
1.若，则等于（）
A．B．
C．D．
2.函数从到的平均变化率为（）
A．－1 B．C．－D．2
3.已知，则的值为（）
A．B．–C．D．–
4.函数的导数为（）
A．
B．
C．
D．
5.本不同的书分给甲乙丙三人，每人本，不同的分法种数为
A．B．C．D．
6.数列在时有（）
A．不存在极值B．既有极大值也有极小值
C．极小值D．极大值
7.有件产品，件正品，件次品，从中任抽件，恰有件是次品，则有多少种抽法？下
列式子中正确的是（）
A．B．C．D．
8.在区间上的最大值是（）
A．B．C．D．
9.位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有
A．种B．种C．种D．种
10.若的展开式中的二项式系数和为，各项系数和为，则（）
A．33 B．31 C．-33 D．-31
11.已知二项式的展开式中含的项的系数为，则实数（）
A．B．C．D．
12.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，
则不同的抽取方法数为
A．224 B．112 C．56 D．28
13.某一天的课程要排入政治、语文、数学、物理、体育、生物共六门课，若数学不排第一
节，则排法总数为（）
A．720 B．600 C．120 D．240
14.在的展开式中，含项的系数为（）
A．60 B．C．12 D．
15.已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（）
A．B．
C．D．
16.若函数f(x)＝x sin x＋cos x，则f′＝________．
17.在的展开式中，的系数是__________．
18.函数f（x）=2x + 2sin x的单调增区间是_______
19.已知函数在处的切线与直线垂直，则实数_______.
20.已知，是函数的一个极值点，则值为________
21.若直线与曲线相切，则_________.
22.设函数，（作答需列表格）
(1)求函数的极值；
(2)求函数的单调递增区间.
23.已知
(1)求函数的单调区间（作答需列表格）；
(2)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围
24.有2名男生和3名女生，按下列要求各有多少种排法或选法，依题意列式作答：
(1)若选出3人当主持人，要求至少有1名男生，则有多少种不同的选法；
(2)若2名男同学必须相邻，共有多少种不同的排法；
(3)若2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法；
(4)若2名男同学不站两端，共有多少种不同的排法；
(5)若2名男同学中间必须有1人，共有多少种不同的排法.
25.若函数，在处切线方程为：.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最大值、最小值.。