拓扑学基础试题及解答

“拓扑学基础”试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共20分）1、设{1,2,3}X =，则下列是X 的拓扑的是【 A 】A 、{,,{1}}X φB 、{,,{1,2},{2,3}}X φC 、{,,{2},{3}}X φD 、{,,{1},{2},{3}}X φ2、下列有关连续映射:f X Y →正确的是【 B 】A 、对X 中的任意开集U ，有()f U 是Y 中的一个开集B 、Y 中的任何一个闭集B ，有1()f B -是X 中的一个闭集C 、Y 中的任何一个子集A ，有11()()f A f A --⊂D 、若f 还是一一映射，则f 是一个同胚映射3、设X 和Y 是两个拓扑空间，A 是X 的一个子集，则下列错误的是【 C 】A 、若:f X Y →是连续的，则|:A f A X →也是连续的B 、若:f X Y →是一个同胚，则|:()A f A f A →也是一个同胚。

C 、:()f X f X →是一个连续映射，则:f X Y →不一定是一个连续映射D 、若X 可嵌入Y ，则X 的任何一个子空间也可嵌入Y4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，则()A ∂=【 D 】A 、A A -'⋂B 、00A A ''⋃C 、0()A ∂D 、()X A ∂-5、下列有关连通性的命题正确的是【 C 】A 、若A 和B 是拓扑空间X 中的两个隔离子集，且X A B =⋃，则X 是不连通的。

B 、有理数集Q 作为实数空间子空间是一个连通空间C 、若12,Y Y 均为X 的连通子集，且12Y Y φ⋂≠，则12Y Y ⋃也是X 的一个连通子集D 、设Y 是X 的一个连通子集，Z X ⊂，若Y Z ⊂，则Z 也是X 的一个连通子集6、下列拓扑性质中，没有继承性的是【 D 】A 、1T 空间B 、2T 空间C 、3T 空间D 、4T 空间7、下列有关命题，正确的是【 B 】A 、若拓扑空间X 是连通的，则X 一定是局部连通的B 、若拓扑空间X 是道路连通的，则X 一定是连通的C 、若拓扑空间X 是局部连通的，则X 一定是道路连通的D 、若拓扑空间X 是连通的，则X 一定是道路连通的8、下列有关实数空间，不正确的是【 D 】A 、它满足第一可数性公理B 、它满足第二可数性公理C 、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理D 、它的任何一个子空间都是连通的9、下列有关Lindel öff 空间的描述正确的是【 A 】A 、任何一个满足第二可数性公理的空间都是Linde öff 空间B 、任何一个Lindel öff 空间都是第二可数性空间C 、Lindel öff 空间的子空间还是Linde öff 空间D 、满足第一可数性公理的空间的每一个子空间都是Linde öff 空间10、设A 是度量空间（,X ρ）中的一个非空子集，则下列命题错误的是【 C 】A 、()x d A ∈当且仅当(,{})0x A x ρ-=B 、()x d A ∈当且仅当(,)0x A ρ=C 、对x A ∀∈，且有(,)B x A εφ⋂≠，则A 为X 中的一个开集D 、x A ∈当且仅当(,)0x A ρ=二、填空题（每空2分，共20分）请将答案写在横线上。

1、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称 是一个 可分空间 。

2、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映下的象所具有，则称这个性质是一个 在连续映射下保持不变的性质 。

3、设E 是实数空间的一个子集，E 是一个连通子集当且仅当E 是一个 区间 。

4、实数空间中的有理数集Q ，则()d Q =。

5、设Y 是拓扑空间(,)X J 的一个子空间，则Y 的拓扑为 |Y J 。

6、实数空间的一个基是 {(,)|,a b a b ∈且}a b < 。

7、集合X 的两个度量1ρ和2ρ是等价的，若A 是1(,)X ρ中的一个闭集，则A 是2(,)X ρ中的一个 闭 集。

8、恰含2个点的拓扑空间一共有 3 个同胚等价类。

9、设X 是一个拓扑空间，D X ⊂，若D 是X 的一个稠密子集，则D = X 。

10、设X 是一个拓扑空间，C 是X 的一个连通分支，则C = C 。

三、名词解释（每小题3分，共12分）1、紧致空间答：设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间。

2、同胚映射答：设X 与Y 是两个拓扑空间，如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 与1:f Y X -→都是连续的，则称f 是一个同胚映射。

3、不连通空间答：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的有两个非空的隔离子集A 和B ，使得X AB =，则称拓扑空间X 是一个不连通空间。

4、稠密子集 答：设X 是一个拓扑空间，D X ⊂，如果D 的闭包等于整个拓扑空间X ，即D X =，则称D 是拓扑空间X 的一个稠密子集。

四、证明题（第1小题8分，其余每小题10分，共48分）1、（8分）设(,)X ρ是一个离散的度量空间，证明：（1）（4分）X 的每一个子集都是开集（2）（4分）若Y 也是一个度量空间，则任何映射:f X Y →都是连续的证明：（1）对X 中的任意一个子集Ux U ∀∈，令11(,){|(,)}22B x y X x y ρ=∈< 又 X 是一个离散的度量空间∴ 当x y ≠时 (,)1x y ρ=1(,){}2B x x ∴= 1(,)2x B x ∴∈⊂⋃ 从而U 是X 中的开集 （2）（4分）对Y 中的任意一个开集V ，1()f V -是X 中的一个子集 X 是一个离散的度量空间。

由（1）知：1()f V -是X 中的开集f ∴是一个连续映射2、（10分）设{,,}X a b c =，{,,{,},{}}J X a b b φ=（1）（3分）验证J 是X 的一个拓扑（2）（7分）若{,}A b c =，求()d A证明：（1）,X J φ∈{,}{}{}a b b b J ⋂=∈{,}{}{,}a b b a b J ⋃=∈J ∴是X 的一个拓扑（2）对点a ，对点a 的任意邻域U ，都有{,}a a b U ∈⊂，而({}){,}({})U A a a b A a φ⋂-⊃⋂-≠()a d A ∴∈对点b {}b J ∈ {}b ∴为点b 的一个开邻域且{}({})b A b φ⋂-= ()b d A ∴∉对于点c ，其只有一个邻域X ，且({})x A c φ⋂-≠()c d A ∴∈(){,}d A a c ∴=3、（10分）设X 和Y 是两个拓扑空间，:f X Y →，证明以下两个条件等价（1）f 连续； （2）对于Y 的每一个子集B ，有1010()(())fB f B --⊂证明：（1）⇒（2） 0B B -''=101111()()()()f B f B f Y B X f B -------'''∴==-=-又 f 连续∴对于Y 中的任何一个子集C ，有11()()f C f C --⊃10111()()()()f B X f B X f B X X f B -----''∴=-⊂-=--110(())(())f B f B ---''==即 1010()(())f B f B --⊂成立（2）⇒（1），对Y 的任何一个子集B ，1010()(())f B f B --⊂成立11()(())f B f B ----''''∴⊂11()(())X f B X f B ----''∴-⊂-111()(())(())f B f B f B ------'''∴⊃=令A B '=，则A 是Y 中的一个子集，且11()()f A f A ---⊃由B 的任意性可知A 的任意性f ∴是连续的4、（10分）设Y 是拓扑空间X 的一个子集，证明：Y 是X 的一个不连通子集，当且仅当X 中存在两个非空集合A 和B ，使得,,Y A B A B Y A φφ⊂⋃⋂=⋂≠和Y B φ⋂≠成立。

证明：充分性：Y A B ⊂⋃ Y A B A B ∴⊂⋃=⋃ 令1A Y A =⋂，2A Y B =⋂则 12Y A A =⋃ A B φ⋂=12A A Y A Y B A B Y φ∴⋂=⋂⋂⋂=⋂⋂=同理有12A A φ⋂= ,Y A Y B φφ⋂≠⋂≠,Y A Y A Y B Y B φφ∴⋂⊃⋂≠⋂⊃⋂≠即12,A A 为Y 的非空隔离子集Y ∴是不连通子集必要性：Y 是X 的一个不连通子集则存在Y 中的两个非空隔离子集1,A B ，使得：11Y A B =⋃且11,A B 为Y 中的两个闭子集从而11,A B 为X 中的两个闭子集1111,,A B Y A Y B φφφ∴⋂=⋂≠⋂≠5、（10分）设X 和Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个连续映射，证明：如果X 是一个Lindel öff 空间，则()f X 也是一个Lindel öff 空间。

证明：:f X Y →是一个连续映射:()f X f X ∴→也是一个连续映射设A 为()f X 的任意一个开覆盖，即()A f X U A ∈⊂A11()()A A X f U A U f A --∈∈∴⊂=A A ∵ f 连续 A ∴∀∈A ，1()fA -是X 中的开集 1()A U f A -∈∴A 是X 的一个开覆盖又X 是Lindel öff 空间∴ 存在一个可数子覆盖1⊂A A 使得： 11()A U f A X -∈⊃A从而11(())()A f U f A f X -∈⊃A即1()A U A f X ∈⊃A ()f X ∴也是Lindel öff 空间。