圆的标准方程(经典练习及答案详解)

2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程
1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P (3,2)
( )
A.是圆心
B.在圆上
C.在圆内
D.在圆外
(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P 在圆内.
2.已知点A (-4,-5),B (6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x+1)2+(y-3)2=116 C.(x-1)2+(y+3)2=29
D.(x-1)2+(y+3)2=116
A (-4,-5),
B (6,-1),所以线段AB 的中点为
C (1,-3),所求圆的半径r=1
2|AB|=1
2√102+42=√29,所以以线段AB 为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C .
3.方程x=√1-y 2表示的图形是( ) A.两个半圆 B.两个圆 C.圆
D.半圆
x ≥0,方程两边同时平方并整理得x 2+y 2=1,由此确定图形为半圆,故选D .
4.一个动点在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点A (3,0)的连线中点的轨迹方程是( ) A.(x+3)2+y 2=4 B.(x-3)2+y 2=1 C.(2x-3)2+4y 2=1
D.x+
322+y 2=1
2
M (x 0,y 0)为圆上的动点,则有x 02+y 02
=1,设线段MA 的中点为P (x ,y ),
则x=
x 0+32
,y=
y 0+02
,
则x 0=2x-3,y 0=2y ,代入x 02+y 02
=1,得(2x-3)2+(2y )2=1,即(2x-3)2+4y 2=1.
5.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是 ,半径是 .
-3) √2
6.圆(x+1)2+y 2=5关于直线y=x 对称的圆的标准方程为 .
(x+1)2+y 2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x 的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x 2+(y+1)2=5.
2+(y+1)2=5
7.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的方程是 .
解析由题意得A (0,3),B (-4,0),AB 的中点-2,3
2
为圆的圆心,直径AB=5,以线
段AB 为直径的圆的标准方程为(x+2)2+y-322=25
4
. 答案(x+2)2+y-322=25
4
8.已知圆M 过A (1,-1),B (-1,1)两点,且圆心M 在直线x+y-2=0上. (1)求圆M 的方程;
(2)若圆M 上存在点P ,使|OP|=m (m>0),其中O 为坐标原点,求实数m 的取值范围.
设圆M 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),根据题意得{a +b -2=0,
(1-a )2+(-1-b )2
=r 2,(-1-a )2+(1-b )2=r 2,
解得{a =1,b =1,r =2,
所以圆M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)如图,m=|OP|∈[2-√2,2+√2].
关键能力提升练
9.若直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k ,b 的值分别为( ) A.1
2,-4
B.-1
2
,4
C.1
2
,4
D.-1
2
,-4
y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,
直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=1
2
,并且直线2x+y+b=0经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A.
10.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是()
A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.-∞,-4√3
3∪4√3
3
,+∞
D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
方法1)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.
过A,B两点的直线方程为y=a
4x+a
2
,
即ax-4y+2a=0,
令d=
√a2+16
=1,
化简后,得3a2=16,解得a=±4√3
3
.再进一步判断便可得到正确答案为C.
(方法2)(数形结合法)
如图,设直线AB切圆O于点C在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可求
出∠CAO=30°.在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=4√3
3
,再由图直观判断,故选C.
11.(2020四川成都石室中学高二上期中)已知实数x,y满足x2+y2=1,则
√3x+y的取值范围是()
A.(-2,2)
B.(-∞,2]
C.[-2,2]
D.(-2,+∞)
解析因为x2+y2=1,所以设x=sin α,y=cos α,则√3x+y=√3sin α+cos α=2sin
α+π
6
,所以√3x+y的取值范围是[-2,2].故选C.
12.(多选题)若经过点P(5m+1,12m)可以作出圆(x-1)2+y2=1的两条切线,则实数m的取值可能是()
A.1
10B.1
13
C.-1
13D.-1
2
P 可作圆的两条切线,说明点P 在圆的外部,所以(5m+1-1)2
+(12m )2
>1,解得m>113
或m<-1
13
,对照选项知AD 可能.
13.(多选题)设有一组圆C k :(x-k )2+(y-k )2=4(k ∈R ),下列命题正确的是( ) A.不论k 如何变化,圆心C 始终在一条直线上 B.所有圆C k 均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π
(k ,k ),在直线y=x 上,故A 正确;令(3-k )2+(0-k )2=4,化简得2k 2-6k+5=0,
∵Δ=36-40=-4<0,
∴2k 2-6k+5=0无实数根,故B 正确;
由(2-k )2+(2-k )2=4,化简得k 2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆C k 有两个,故C 错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D 正确.故选ABD .
14.已知点A (8,-6)与圆C :x 2+y 2=25,P 是圆C 上任意一点,则|AP|的最小值是 .
82+(-6)2=100>25,故点A 在圆外,从而|AP|的最小值为√82+(-6)2-5=10-5=5.
15.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,且圆心到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C 的标准方程为 .
(a ,0),且a>0,则点(a ,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即
√32+42
=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-14
3
(舍去),则圆C 的标准方程
为(x-2)2+y 2=4.
x-2)2+y 2=4
16.矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,1),AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T (-1,0)在AD 边所在直线上. (1)求AD 边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD 外接圆的方程.
因为AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD 与AB 垂直,所以直线AD 的斜率为-2.又因为点
T (-1,0)在直线AD 上,所以AD 边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.
(2)由{x -2y -4=0,2x +y +2=0,解得{x =0,y =-2,所以点A 的坐标为(0,-2),因为矩形
ABCD 两条对角线的交点为M (2,1),所以M 为矩形外接圆的圆心.
又|AM|=√(2-0)2+(1+2)2=√13,
从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.
学科素养创新练
17.设A(x A,y A),B(x B,y B)为平面直角坐标系内的两点,其中x A,y A,x B,y B∈Z.令
Δx=x B-x A,Δy=y B-y A,若|Δx|+|Δy|=3,且|Δx|·|Δy|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作B=τ(A).
(1)求点(0,0)的“相关点”的个数.
(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上?若在,写出圆的方程;若不在,请说明理由.
因为|Δx|+|Δy|=3(Δx,Δy为非零整数),所以|Δx|=1,|Δy|=2或
|Δx|=2,|Δy|=1,
所以点(0,0)的“相关点”有8个.
(2)是.设点(0,0)的“相关点”的坐标为(x,y).由(1)知|Δx|2+|Δy|2=5,即(x-0)2+(y-0)2=5,所以所有“相关点”都在以(0,0)为圆心,√5为半径的圆上,所求圆的方程为x2+y2=5.。