圆与方程基础练习题
高二圆与方程基础练习题
高二圆与方程基础练习题1. 已知圆心坐标为O(2, 3)，半径为r = 5。
求圆的方程。
解答:设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
代入已知数据，得到方程为(x-2)²+(y-3)²=5²。
2. 已知圆心坐标为M(-2, 4)，圆上一点的坐标为A(3, -1)。
求圆的方程。
解答:设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
代入已知数据，得到方程为(x+2)²+(y-4)²=6²。
3. 已知圆心坐标为N(0, -5)，半径为r = 7。
求圆的方程。
解答:设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
代入已知数据，得到方程为(x-0)²+(y+5)²=7²。
4. 已知圆心坐标为P(-3, 2)，过点Q(4, 5)的直线交圆于两点。
求交点坐标。
解答:设直线方程为y=mx+c，其中m为斜率，c为截距。
将直线方程代入圆的方程，得到(x+3)²+(mx-2m+c)²=5²。
代入点Q的坐标，得到(4+3)²+(4m-2m+c)²=25。
化简为49+25m²-20m+c²=25。
化简后得到25m²-20m+c²=-24。
由于过点Q的直线交圆于两点，可以设两个交点的坐标为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)。
根据交点的性质，有以下方程组：(x₁+3)²+(mx₁-2m+c)²=5²,(x₂+3)²+(mx₂-2m+c)²=5².解方程组得到交点坐标为(x₁, y₁)≈(-1.26, 6.37)和(x₂, y₂)≈(-5.42, -2.37)。
圆的方程练习题
圆的⽅程练习题圆的⽅程【基础练习】A 组1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB 为直径的圆的⽅程为2.过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆⼼在直线x ＋y －2＝0上的圆的⽅程是3.已知圆C 的半径为2，圆⼼在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的⽅程4.圆22420x y x y c +-++=与y 轴交于A 、B 两点，圆⼼为P ，若∠APB=120°，则实数c 值为_ _5.如果⽅程220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->所表⽰的曲线关于直线y x =对称，那么必有__ _6．设⽅程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该⽅程表⽰⼀个圆，求m 的取值范围及这时圆⼼的轨迹⽅程。
7．⽅程224(1)40ax ay a x y +--+=表⽰圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最⼩的圆的⽅程。
8．求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的⽅程．9．设圆满⾜:①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的⽐为3:1,在满⾜条件①、②的所有圆中,求圆⼼到直线l :x -2y =0的距离最⼩的圆的⽅程.10．在平⾯直⾓坐标系xoy 中，已知圆⼼在第⼆象限、半径为C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的⼀个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (1)求圆C 的⽅程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【基础练习】B 组1.关于x,y 的⽅程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表⽰⼀个圆的充要条件是2.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆⼼坐标是3.若两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 在圆x 2+y 2=4的内部，则k 的范围是4.已知圆⼼为点（2，-3），⼀条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的⽅程是5.直线y=3x+1与曲线x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标是6.⽅程1x -=表⽰的曲线是_7.圆2)4()3(22=++-y x 关于直线0=+y x 的对称圆的⽅程是8.如果实数x 、y 满⾜等式()2223x y -+=，那么y x的最⼤值是 9.已知点)1,1(-A 和圆4)7()5(:22=-+-y x C ，求⼀束光线从点A 经x 轴反射到圆周C 的最短路程为______10．求经过点A(5,2),B(3,2),圆⼼在直线2x─y─3=0上的圆的⽅程;11. ⼀圆与y 轴相切，圆⼼在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的⽅程直线与圆的位置关系【基础练习】A 组1.若直线4x -3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax +4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是2.直线x -y +4=0被圆x 2+y 2+4x -4y +6=0截得的弦长等于3.过点P(2，1)且与圆x 2+y 2-2x +2y +1=0相切的直线的⽅程为 .4..设集合(){}22,|25=+≤M x y x y ,()(){}22,|9=-+≤N x y x a y ,若M ∪N=M ，则实数a 的取值范围是5.M （2,-3,8）关于坐标平⾯x O y 对称点的坐标为6．已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C 截得的弦长最⼩时l 的⽅程.7.已知圆O : 122=+y x ，圆C : 1)4()2(22=-+-y x ，由两圆外⼀点),(b a P 引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，满⾜|PA|=|PB|.(1)求实数a 、b 间满⾜的等量关系；(2)是否存在以P 为圆⼼的圆，使它与圆O 相内切并且与圆C 相外切？若存在，求出圆P 的⽅程；若不存在，说明理由.8.已知圆C 与两坐标轴都相切，圆⼼C 到直线y x =-（1）求圆C 的⽅程.（2）若直线:1x y l m n +=(2,2)m n >>与圆C相切，求证：6mn ≥＋9.如图，在平⾯直⾓坐标系x O y 中，平⾏于x 轴且过点A(33，2)的⼊射光线l 1被直线l ：y =33x 反射．反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1, l 2都相切.(1)求l 2所在直线的⽅程和圆C 的⽅程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB+PQ 的最⼩值及此时点P 的坐标．【基础练习】B 组1.圆x 2+y 2-4x=0在点P(1,3)处的切线⽅程为2.直线3x +y －23=0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆⼼⾓为3.已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是4.设m>0,则直线2(x+y)+1+m=0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为5.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为6.点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针⽅向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为 7.若圆04122=-++mx y x 与直线1-=y 相切，且其圆⼼在y 轴的左侧，则m 的值为 8.已知P(3，0)是圆x 2+y 2-8x-2y+12=0内⼀点则过点P 的最短弦所在直线⽅程是，过点P 的最长弦所在直线⽅程是9.设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最⼩值为 .10. 已知与曲线C ：x 2+y 2-2x-2y+1=0相切的直线L 交x 轴、 y 轴于A 、B 两点, O 为原点, 且|OA|=a, |OB|=b (a>2,b>2)（1）求证曲线C 与直线L 相切的条件是(a-2)(b-2)=2 (2)求ΔAOB ⾯积的最⼩值..11.已知平⾯区域00240x y x y ≥??≥??+-≤?恰好被⾯积最⼩的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内部所覆盖．(1)试求圆C 的⽅程.(2)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,.A B 满⾜CA CB ⊥,求直线l 的⽅程.12、已知⊙O ：221x y +=和定点(2,1)A ，由⊙O 外⼀点(,)P a b 向⊙O 引切线PQ ，切点为Q ，且满⾜||||PQ PA =．(1) 求实数a b 、间满⾜的等量关系；(2) 求线段PQ 长的最⼩值；(3) 若以P 为圆⼼所作的⊙P 与⊙O 有公共点，试求半径取最⼩值时的⊙P ⽅程．。
圆与方程练习
圆与方程一．解答题（共34小题）1．已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．2．已知平面区域被圆C及其内部所覆盖．（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．3．已知圆C的圆心C在直线y=x﹣1，且圆C经过曲线y=﹣x2+6x﹣8与x轴的交点．（1）求圆C的方程；（2）已知过坐标原点O的直线l与圆C交M，N两点，若=2，求直线l的方程．4．已知直线l1：4x+y=0，直线l2：x+y﹣1=0以及l2上一点P（3，﹣2）．求圆心C在l1上且与直线l2相切于点P的圆的方程．5．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线l与圆C交于A、B两点，若|AB|=，求m的值．6．已知直线l1：x﹣y+1=0，l2：x+y﹣1=0相交于点P，直线l3：ax+y﹣a+1=0（1）若点P在直线l3上，求a的值；（2）若直线l3交直线l1，l2分别为点A和点B，且点B的坐标为（3，﹣2），求△PAB的外接圆的标准方程．7．已知圆c过点A（1，2）和B（1，10），圆心C在第一象限，且与直线x﹣2y ﹣1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设P为圆C上的任意一点，定点Q（﹣3，﹣6），当点P在圆C上运动时，求线段PQ中点M的轨迹方程．8．已知动点E到点A（2，0）与点B（﹣2，0）的直线斜率之积为，点E的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）过点D（1，0）作直线l与曲线C交于P，Q两点，求的最大值．9．已知圆C经过点A（6，0），B（1，5），且圆心在直线l：2x﹣7y+8=0上．（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，2）的直线与圆C交于A，B两点，问在直线y=2上是否存在定点N，使得K AN+K BN=0恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若点P的坐标为（1，），求切线PA，PB方程；（2）求四边形PAMB面积的最小值；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标．11．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x=﹣1的距离相等，记点P的轨迹为C．（Ⅰ）求C得方程；（Ⅱ）设点A在曲线C上，x轴上一点B（在点F右侧）满足|AF|=|FB|．平行于AB的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．12．已知经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点的圆C半径小于5，且在y轴上截得的线段长为，（I）求圆C的方程；（II）已知直线l∥PQ，若l与圆C交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．13．在平面直角坐标系xOy中，圆C经过P（3+2，0），Q（3﹣2，0），R （0，1）三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．14．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|=，求直线l的方程．15．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2（a＞0）的面积为π．且与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y=k（x+2）与线段AB相交，求实数k的取值范围；（3）试讨论直线l：y=k（x+2）与圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2（a＞0）的交点个数．16．在直角坐标系xOy中，F（1，0），动点P满足：以PF为直径的圆与y轴相切．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为曲线Г，直线l过点M（4，0）且与Г交于A，B两点，当△ABF与△AOF的面积之和取得最小值时，求直线l的方程．17．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，且，求m的值．18．已知以点（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交点为O、A，与y轴交于点O、B，其中O为坐标原点．（1）试写出圆C的标准方程，并证明△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的标准方程．19．已知圆C的圆心为点C（0，3），点D（﹣，2）在圆C上，直线l过点A （﹣1，0）且与圆C相交P，Q两点，点M是线段PQ的中点．（1）求圆C的方程：（2）若|AM|=3，求直线l的方程．20．已知点M 在圆x2+y2=4 上运动，N （4，0），点P 为线段MN 的中点（1）求点P 的轨迹方程；（2）求点P 到直线3x+4y﹣26=0 的距离的最大值和最小值．21．已知直线l过点P（0，1），圆C：x2+y2﹣6x+8=0，直线l与圆C交于A，B 两点．（I）求直线PC的方程；（I I）求直线l的斜率k的取值范围；（Ⅲ）是否存在过点Q（6，4）且垂直平分弦AB的直线l1？若存在，求直线l1斜率k1的值，若不存在，请说明理由．22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．23．已知圆C的圆心为（t∈R，t≠0），过定点A（0，a）（a＞0），且与x轴交于点B，D．（1）求证：弦长BD为定值；（2）设，t为整数，若点C到直线2x+y﹣6=0的距离为，求圆C的方程．24．已知动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与M到直线l：x=4的距离之比为．①求点M的轨迹C的方程；②过点N（﹣1，1）的直线与曲线C交于P，Q两点，且N为线段PQ中点，求直线PQ的方程．25．已知圆C与y轴相切于点A（0，1），且被x轴所截得的弦长为，圆心C 在第一象限．（1）求圆C的方程；（2）若点P是直线l：3x+4y+5=0上的动点，过点P作圆C的切线，切点为B，求△PBC面积的最小值．26．在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）若⊥，求k的值．27．已知点M（3，1），直线ax﹣y+4=0及圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．（1）求过点M的圆的切线方程；（2）若直线ax﹣y+4=0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值．28．已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，其中m∈R．（Ⅰ）如果圆C与圆x2+y2=1相外切，求m的值；（Ⅱ）如果直线x+y﹣3=0与圆C相交所得的弦长为，求m的值．29．已知直线x﹣y+1=0与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+m=0交于A，B两点；（1）求线段AB的垂直平分线的方程；（2）若|AB|=2，求m的值；（3）在（2）的条件下，求过点P（4，4）的圆C的切线方程．30．已知曲线方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此曲线是圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．31．已知圆C经过A（﹣2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x上．（1）求圆C的方程；（2）动直线l：（m+2）x+（2m+1）y﹣7m﹣8=0过定点M，斜率为1的直线m 过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．32．已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点P满足|PA|+|PB|=，记动点P的轨迹为曲线T，（1）求动点P的轨迹T的方程；（2）直线y=kx+1与曲线T交于不同的两点C，D，若存在点M（m，0），使得|CM|=|DM|成立，求实数m的取值范围．33．已知动圆P过点并且与圆相外切，动圆圆心P的轨迹为W，轨迹W与x轴的交点为D．（Ⅰ）求轨迹W的方程；（Ⅱ）设直线l过点（m，0）（m＞2）且与轨迹W有两个不同的交点A，B，求直线l斜率k的取值范围．34．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M，N两点．（1）求k的取值范围；（2）请问是否存在实数k使得（其中O为坐标原点），如果存在请求出k的值，并求|MN|；如果不存在，请说明理由．圆与方程参考答案与试题解析一．解答题（共34小题）1．已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为（，0）；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．【分析】（1）直接把圆的一般式转化为标准式．（2）利用直线和圆的位置关系求出结果．【解答】解：（1）圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．转化为：．则圆M的圆心坐标为：（）．（2）直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．则：设直线的方程为：y=kx+2．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．且△OAB与△OCD的面积相等，则：AB=CD．即：AM=DM．设点A（x，0）则：，整理得：x2﹣3x﹣4=0，解得：x=4或﹣1（负值舍去）．则：A（4，0）由于点A在直线y=kx+2上，解得：k=﹣故直线的斜率为﹣．故答案为：（，0）；直线的斜率为﹣．【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的转化，直线与圆的位置关系的应用．2．已知平面区域被圆C及其内部所覆盖．（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．【分析】（1）由约束条件得出其可行域是直角三角形及其内部，被圆C及其内部所覆盖，覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，求出即可；（2）设出直线l的方程，直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，则圆心C到直线l的距离是，利用点到直线的距离公式即可求出．【解答】解：（1）由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，由于覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，∴圆心是Rt△OPQ的斜边PQ的中点C（2，1），半径r=|OC|==，∴圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）设直线l的方程是：y=x+b．∵CA⊥CB，∴圆心C到直线l的距离是=，即，解之得，b=﹣1±．∴直线l的方程是：y=x﹣1±．【点评】正确由约束条件得出其可行域是直角三角形及其内部，覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而即可得出其圆的方程．熟练掌握直线与圆相交问题的解题模式及点到直线的公式是解题的关键．3．已知圆C的圆心C在直线y=x﹣1，且圆C经过曲线y=﹣x2+6x﹣8与x轴的交点．（1）求圆C的方程；（2）已知过坐标原点O的直线l与圆C交M，N两点，若=2，求直线l的方程．【分析】（1）直接利用已知条件求出圆的方程．（2）利用直线和曲线的位置关系，整理成一元二次方程，进一步利用向量的坐标运算建立等量，最后求出直线的方程．【解答】解：（1）因为圆C经过曲线y=﹣x2+6x﹣8与x轴的交点．则令y=0，解得：x=2或4．故与x轴的交点坐标为：（2，0）、（4，0）．设圆C的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则依题意得：，解得：a=3，b=2，r=．所以：圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=5．（2）直线l的斜率显然存在，故设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx，联立，整理得：（1+k2）x2﹣（6﹣4k）x+8=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则：，．已知，则：x2=2x1，所以：，，整理得：，解得：k=0或，故直线的方程为：y=0或12x﹣5y=0．【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的求法，向量的坐标运算，直线和曲线的位置关系的应用．一元二次方程根与系数的关系的应用．4．已知直线l1：4x+y=0，直线l2：x+y﹣1=0以及l2上一点P（3，﹣2）．求圆心C在l1上且与直线l2相切于点P的圆的方程．【分析】设圆心为C（a，b），半径为r，依题意，得b=﹣4a．由PC⊥l2，直线l2的斜率k2=﹣1，从而过P，C两点的直线的斜率k PC==1，由此能出圆的方程．【解答】解：设圆心为C（a，b），半径为r，依题意，得b=﹣4a．又PC⊥l2，直线l2的斜率k2=﹣1，∴过P，C两点的直线的斜率k PC==1，解得a=1，b=﹣4，r=|PC|=2．故所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8．【点评】本题考查圆的方程式的求法，考查圆、直线方程、直线与直线垂直、直线的斜率等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．5．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线l与圆C交于A、B两点，若|AB|=，求m的值．【分析】（1）直线l解析式变形后得到直线l恒过（1，1）点，而（1，1）点在圆C内，即可确定出直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）由圆的半径及弦长．利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线的距离d，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．（1）∵直线l：y﹣1=m（x﹣1）过定点P（1，1），且|PC|=【解答】解：=1＜，即P点在圆C内，∴直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）∵圆半径r=，|AB|=，∴圆心（0，1）到l的距离d==，即=，解得：m=±．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．6．已知直线l1：x﹣y+1=0，l2：x+y﹣1=0相交于点P，直线l3：ax+y﹣a+1=0（1）若点P在直线l3上，求a的值；（2）若直线l3交直线l1，l2分别为点A和点B，且点B的坐标为（3，﹣2），求△PAB的外接圆的标准方程．【分析】（1）联立方程组求得P的坐标，代入直线l3：ax+y﹣a+1=0即可求得a 值；（2）把B的坐标代入l3：ax+y﹣a+1=0，求得a值，可得l3，进一步求得A的坐标，设出圆的一般方程，利用待定系数法求得D、E、F的值，则圆的一般方程可求，利用配方法化为标准方程．【解答】解：（1）联立，解得P（0，1），∵点P在直线l3上，∴1﹣a+1=0，即a=2；（2）如图，∵直线l3：ax+y﹣a+1=0过B（3，﹣2），∴3a﹣2﹣a+1=0，即a=，可得直线l3：x+2y+1=0．∴A（﹣1，0），又P（0，1），设△PAB的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．则，解得D=﹣2，E=2，F=﹣3．∴△PAB的外接圆的方程为x2+y2﹣2x+2y﹣3=0，化为标准方程：（x﹣1）2+（y+1）2=5．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的标准方程的求法，是中档题．7．已知圆c过点A（1，2）和B（1，10），圆心C在第一象限，且与直线x﹣2y ﹣1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设P为圆C上的任意一点，定点Q（﹣3，﹣6），当点P在圆C上运动时，求线段PQ中点M的轨迹方程．【分析】（1）圆心在线段AB的垂直平分线y=6上，设圆心为（a，6），半径为r，则圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣6）2=r2，点B在圆上，圆C与直线x﹣2y ﹣1=0相切，求解即可．（2）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），利用中点坐标公式，转化求解即可．【解答】解：（1）圆心显然在线段AB的垂直平分线y=6上，设圆心为（a，6），半径为r，则圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣6）2=r2，由点B在圆上得（1﹣a）2+（10﹣6）2=r2，又圆C与直线x﹣2y﹣1=0相切，则r=．于是（a﹣1）2+16=，解得a=3或a=﹣7（舍），则r=2所以圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣6）2=20（2）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），由M为PQ的中点，则，即，又点P（x0，y0）在圆C上，有（x0﹣3）2+（y0﹣6）2=20，则（2x+3﹣3）2+（2y+6﹣6）2=20，整理得x2+y2=5，得点M的轨迹方程为：x2+y2=5．【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．8．已知动点E到点A（2，0）与点B（﹣2，0）的直线斜率之积为，点E的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）过点D（1，0）作直线l与曲线C交于P，Q两点，求的最大值．【分析】（1）设P（x，y），由题意知利用斜率计算公式即可得到，（x≠±2），化简即可求出曲线C的方程．（2）当l垂直于轴时，l的方程为x=1，求出点P，Q的坐标，根据向量的数量积即可求出，当l不垂直于x轴时，依题意可设y=k（x﹣1）（k≠0），代入+y2=1得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，根据韦达定理和向量的数量积即可求出【解答】解：（1）设E（x，y），则x≠±2．因为E到点A（2，0），与点B（﹣2，0）的斜率之积为，所以，整理得C的方程为．（2）当l垂直于轴时，l的方程为x=1，代入得P（1，），Q（1，﹣），所以=（1，）•（1，﹣）=，当l不垂直于x轴时，依题意可设y=k（x﹣1）（k≠0），代入+y2=1得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．因为△=16（1+3k2）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，===综上，当l垂直于x轴时等号成立，故的最大值是．【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系，向量的数量积公式，考查了推理能力和计算能力．9．已知圆C经过点A（6，0），B（1，5），且圆心在直线l：2x﹣7y+8=0上．（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，2）的直线与圆C交于A，B两点，问在直线y=2上是否存在定点N，使得K AN+K BN=0恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知求出直线m的方程，联立直线l与直线m，求得圆心坐标，再由两点间的距离公式求得半径，则圆的方程可求；（2）假设存在点N（t，2）符合题意，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y﹣2=k（x﹣1），联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系结合K AN+K BN=0求得t值，已知AB斜率不存在时成立，可得在直线y=2上存在定点N（，0），使得K AN+K BN=0恒成立．【解答】解：（1）∵直线AB的斜率为﹣1，∴AB的垂直平分线m的斜率为1，AB的中点坐标为（），因此直线m的方程为x﹣y﹣1=0，又圆心在直线l上，∴圆心是直线m与直线l的交点．联立方程租，得圆心坐标为C（3，2），又半径r=，∴圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=13；（2）假设存在点N（t，2）符合题意，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y﹣2=k（x﹣1），联立方程组，消去y，得到方程（1+k2）x2﹣（2k2+6）x+k2﹣4=0．则由根与系数的关系得，．∵K AN+K BN=0，∴，即．∴2x1x2﹣（1+t）（x1+x2）+2t=0，∴．解得t=，即N点坐标为（，0）；②当直线AB斜率不存在时，点N显然满足题意．综上，在直线y=2上存在定点N（，0），使得K AN+K BN=0恒成立．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．10．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若点P的坐标为（1，），求切线PA，PB方程；（2）求四边形PAMB面积的最小值；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标．【分析】（1）当切线斜率不存在时，切线方程为x=1，当切线斜率存在时，设直线方程为，由直线和圆相切，求出，由此能求出切线PA，PB 方程．（2），当PM最小时，四边形面积最小．由此能求出四边形PAMB面积的最小值．（3）设点P（），M（0，2），过P，A，M三点的圆即以PM为直径的圆，由此能求出定点坐标．【解答】解：（1）当切线斜率不存在时，切线方程为x=1…（2分）当切线斜率存在时，设直线方程为，因为直线和圆相切，所以，解得，此时直线方程为y=﹣（x﹣1）+，即5x+12y﹣11=0，所以切线PA，PB方程x=1，5x+12y﹣11=0．…（4分）（2）…（6分）故当PM最小时，四边形面积最小．而所以四边形PAMB面积的最小值…（10分）证明：（3）设点P（），M（0，2），过P，A，M三点的圆即以PM为直径的圆即（）2+（）2=（）2，…（12分）所以，从而，解得定点坐标为（0，2）或（，）．…（16分）【点评】本题考查圆的切线方程、直线方程、四边形面积的求法，涉及到圆、直线方程、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．11．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x=﹣1的距离相等，记点P的轨迹为C．（Ⅰ）求C得方程；（Ⅱ）设点A在曲线C上，x轴上一点B（在点F右侧）满足|AF|=|FB|．平行于AB的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x=﹣1的距离相等，可得动点P的轨迹是以点F（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线，由已知求得p，则抛物线方程可求；（Ⅱ）设A（），则B（，0），可得直线AB的斜率为k=．则与AB 平行，且与抛物线C相切的直线为y=﹣，联立直线方程与抛物线方程，利用判别式等于0可得b与m的关系，求得D的坐标，分和两类分析得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x=﹣1的距离相等，∴动点P的轨迹是以点F（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线．设C的方程为y2=2px，则，即p=2．∴C的轨迹方程为y2=4x；（Ⅱ）设A（），则B（，0），∴直线AB的斜率为k=．设与AB平行，且与抛物线C相切的直线为y=﹣，由，得my2+8y﹣8b=0，由△=64﹣32mb=0，得b=﹣，∴y=﹣，则点D（）．当，即m≠±2时，直线AD的方程为：，整理得，∴直线AD过点（1，0）．当，即m=±2时，直线AD的方程为x=1，过点（1，0），综上所述，直线AD过定点（1，0）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．12．已知经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点的圆C半径小于5，且在y轴上截得的线段长为，（I）求圆C的方程；（II）已知直线l∥PQ，若l与圆C交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，根据经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点的圆C半径小于5，且在y轴上截得的线段长为，求出D，E，F，即可求圆C的方程；（Ⅱ）利用直线的平行关系设出直线的方程，利用设而不求的思想得到关于所求直线方程中未知数的方程，通过方程思想确定出所求的方程，注意对所求的结果进行验证和取舍．【解答】解：（Ⅰ）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令x=0⇒y2+Ey+F=0，∴y1+y2=﹣E，y1•y2=F，∴，∴E2﹣4F=48①…（2分）又圆过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点，∴⇒2E+F=﹣12…②由①②得：或…（4分）∵圆的半径小于5，∴圆的方程为x2+y2﹣2x﹣12=0…（6分）（Ⅱ），∴设l的方程为：x+y+m=0…（7分）由⇒2x2+（2m﹣2）x+m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则…（9分）∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，…（10分）∴x1•x2+y1•y2=x1•x2+（﹣x1﹣m）•（﹣x2﹣m）=0整理得：m2+m﹣12=0⇒m=3或m=﹣4，…（11分）且m=3或m=﹣4均满足△＞0…（12分）∴l的方程为x+y+3=0或x+y﹣4=0…（13分）【点评】本题考查直线与圆的综合问题，考查直线方程的求解方法和圆方程的求解方法，注意待定系数法的运用，考查学生对直线与圆相交弦长有关问题的处理方法，考查设而不求思想的运用，考查方程思想和转化与化归的思想，是中档题．13．在平面直角坐标系xOy中，圆C经过P（3+2，0），Q（3﹣2，0），R （0，1）三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【分析】（1）利用已知条件求出圆的一般式方程．（2）首先求出弦AB的值，进一步利用点到直线的距离公式求出结果．【解答】解（1）设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆C经过P（3+2，0），Q（3﹣2，0），R（0，1）三点．则：1+E+F=0，令y=0，则：圆的方程转化为：x2+Dx+F=0，则：，解得：D=﹣6．利用：，解得：F=1．故：E=﹣2．所以圆的方程为：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0．（2）圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0，转化为标准式为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．由于圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，则：|AB|=，所以：圆心（3，1）到直线x﹣y+a=0的距离d=，解得：a=1或﹣5．【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的求法，直线和圆的位置关系的应用．点到直线的距离公式的应用．14．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|=，求直线l的方程．【分析】（1）直线l经过定点（1，1），定点（1，1）在圆C内，由此能证明对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点．（2）由圆心（0，1）到直线mx﹣y+1﹣m=0的距离d=，圆的弦长|AB|=2=，由此能求出直线方程．【解答】证明：（1）直线l：mx﹣y+1﹣m=0转化为m（x﹣1）﹣y+1=0，∴直线l经过定点（1，1），∵12+（1﹣1）2＜5，∴定点（1，1）在圆C内，∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点．解：（2）由圆心（0，1）到直线mx﹣y+1﹣m=0的距离d==，而圆的弦长|AB|=2=，即2=，17=4（4+），m2=3，解得m=，故所求的直线方程为或﹣．【点评】本题考查直线与圆总有两个交点的证明，考查直线方程的求法，考查直线过定点、圆、点到直线的距离公式、弦长等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2（a＞0）的面积为π．且与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y=k（x+2）与线段AB相交，求实数k的取值范围；（3）试讨论直线l：y=k（x+2）与圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2（a＞0）的交点个数．【分析】（1）圆C的半径r=a，从而πa2=π，求出a=1，由此能求出圆C的方程．（2）由圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得点A（1，0），B（0，1）．由直线l：y=k（x+2）与线段AB相交，得到•≤0，由此能求出实数k的取值范围．（3）圆心C（1，1）到直线l：kx﹣y+2k=0的距离d=，根据d＞1，d=1，d＜1三种情况，能判断直线l与圆C的交点个数．【解答】（本题满分（14分），第1小题满分（4分），第2小题满分（4分），第3小题满分6分）解：（1）因为圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2（a＞0），则圆的半径r=a，所以，πa2=π，即a=1，…（3分）所以，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．…（1分）（2）因为圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，所以，点A（1，0），B（0，1）．由题意，直线l：y=k（x+2）与线段AB相交，所以d1•d2=•≤0，…（2分）整理，得3k（2k﹣1）≤0，解得0，所以实数k的取值范围为[0，]．…（2分）（3）因为圆心C（1，1）到直线l：kx﹣y+2k=0的距离d=，当d＞1时，8k2﹣6k＞0，即k＜0或k＞时，直线l与圆C没有交点；…（2分）当d=1，即k=0或k=，直线l与圆C有一个交点；…（2分）当d＜1，即0＜k＜时，直线l与圆C有两个交点．…（2分）【点评】本题考查圆的方程的求法，考查实数的范围的求法，考查直线与圆的交点个数的判断，考查直线、圆、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．16．在直角坐标系xOy中，F（1，0），动点P满足：以PF为直径的圆与y轴相切．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为曲线Г，直线l过点M（4，0）且与Г交于A，B两点，当△ABF与△AOF的面积之和取得最小值时，求直线l的方程．【分析】（1）设点P（x，y），圆心N（x0，y0），由圆与y轴相切于点C，得|PF|=2|NC|，结合两点间的距离公式整理可得点P的轨迹方程为：y2=4x；（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，方程为：x=4，可得S△ABF +S△AOF=14．（ⅱ）当直线l的斜率存在时，设方程为：y=k（x﹣4），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与抛物线方程，可得关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得，y1y2=﹣16，再由S△ABF+S△AOF=S△AOM+S△BFM=，结合等号成立的条件求得y1，y2的值，进一步得到k值，则△ABF与△AOF的面积之和取得最小值时，直线l的方程可求．【解答】解：（1）设点P（x，y），圆心N（x0，y0），圆与y轴相切于点C，则|PF|=2|NC|，∴，又点N为PF的中点，∴，∴，整理得：y2=4x．∴点P的轨迹方程为：y2=4x；（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，方程为：x=4，可得S△ABF +S△AOF=14．（ⅱ）当直线l的斜率存在时，设方程为：y=k（x﹣4），A（x1，y1），B（x2，y2），由消去x并整理得：ky2﹣4y﹣16k=0，∴，y1y2=﹣16，S△ABF+S△AOF=S△AOM+S△BFM=，当且仅当4|y1|=3|y2|时等号成立，又|y1||y2|=16，∴，或，，∴，解得：k=．∵，∴当两个三角形的面积和最小时，直线l的方程为：y=（x﹣4）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．17．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，且，求m的值．【分析】（1）圆心C（0，1）到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离d=≤1（m∈R），即d＜r=，由此推导出直线l与圆C相交．（2）由r=，d=，|AB|=，根据垂径定理及勾股定理得：=，由此能求出m．【解答】解：（1）直线l与圆C相交，理由如下：∵圆C：x2+（y﹣1）2=5的圆心坐标为C（0，1），半径为r=，∴圆心C到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离：d==≤1（m∈R），即d＜r=，∴直线l与圆C相交．（2）∵r=，d=，|AB|=，∴根据垂径定理及勾股定理得：=，即，整理得：m2=3，解得：m=±．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查实数值的求法，考查直线、圆、点到直线距离公式、垂径定理及勾股定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．已知以点（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交点为O、A，与y轴交于点O、B，其中O为坐标原点．（1）试写出圆C的标准方程，并证明△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的标准方程．【分析】（1）由已知求出圆的半径，得到圆的方程，求出A，B的坐标，代入三角形面积公式得答案；（2）由|OM|=|ON|，可得OC垂直平分线段MN，求出直线OC的方程，得到OC的斜率，利用斜率的关系求得t值，可得圆C的标准方程．【解答】解：（1）∵圆C过原点O，∴，即圆C标准方程为．令x=0，得y1=0，；令y=0，得x1=0，x2=2t．∴，即△OAB的面积为定值4；（2）∵|OM|=|ON|，∴OC垂直平分线段MN，直线OC的方程为，即，得t=2或t=﹣2．当t=2时，满足题意；当t=﹣2时，直线y=﹣2x+4与圆C不相交，舍去．∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题．19．已知圆C的圆心为点C（0，3），点D（﹣，2）在圆C上，直线l过点A （﹣1，0）且与圆C相交P，Q两点，点M是线段PQ的中点．（1）求圆C的方程：（2）若|AM|=3，求直线l的方程．【分析】（1）可得圆的半径R=．即可得圆C的方程为：x2+（y﹣3）2=4，（2）设点M（x，y），由|AM|=3，（x+1）2+y2=9，点M是线段PQ的中点，即=﹣1，y2﹣3y+x2+x=0，由①②得x+3y﹣8=0，从而可得答案．【解答】解：（1）∵圆C的圆心为点C（0，3），点D（﹣，2）在圆C上，∴圆的半径R=．∴圆C的方程为：x2+（y﹣3）2=4，（2）∵点M是线段PQ的中点，∴AM⊥CM，可得AM2+d2=R2，当直线l的斜率为k时，设方程为kx﹣y+k=0d=解得k=，即直线l的方程为：4x﹣3y+4=0，当直线l的斜率不存在时，直线x=﹣1符合题意．综上所述：直线l的方程为：4x﹣3y+4=0或x=﹣1．【点评】本题考查了圆的方程、直线与圆的位置关系，属于中档题．20．已知点M 在圆x2+y2=4 上运动，N （4，0），点P 为线段MN 的中点（1）求点P 的轨迹方程；（2）求点P 到直线3x+4y﹣26=0 的距离的最大值和最小值．【分析】（1）用x和y表示出M的坐标代入圆的方程即可求得P的轨迹方程．（2）利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用圆心到直线的距离加或减半径即可求得最大和最小值．【解答】解：（1）∵点P（x，y）是MN的中点，∴x0=2x﹣4，y0=2y，将用x，y表示的x0，y0代入到x02+y02=4中得（x﹣2）2+y2=1．此式即为所求轨迹方程．（2）由（Ⅰ）知点P的轨迹是以Q（2，0）为圆心，以1为半径的圆．点Q到直线3x+4y﹣26=0的距离d==4．故点P到直线3x+4y﹣26=0的距离的最大值为4+1=5，最小值为4﹣1=3．。
圆的方程 习题含答案
圆的方程习题（含答案）一、单选题1．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4D．(x－2)2＋(y＋3)2＝92．当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（）A．B．C．D．3．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为( )A．9πB．πC．2πD．由m的值而定4．圆的半径是（）A．B．2C．D．45．已知圆与圆相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为A．B．C．D．6．若点为圆上的一个动点，点，为两个定点，则的最大值为（）A．B．C．D．7．已知直线：是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（）A．2B．C．6D．8．若直线l：ax+by+1=0经过圆M：的圆心则的最小值为A．B．5C．D．109．若均为任意实数，且，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题10．如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．11．已知x,y满足－4－4＋＝0, 则的最大值为____12．若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆截得的弦长为4，则为坐标原点的最小值为______．13．设直线与圆相交于两点，若，则圆的面积为________.14．已知圆的圆心在曲线上，且与直线相切，当圆的面积最小时，其标准方程为_______．15．在平面直角坐标系xOy中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆C的标准方程为______．16．已知圆的圆心在直线上，且经过，两点，则圆的标准方程是__________．17．在平面直角坐标系中，三点,，，则三角形的外接圆方程是__________．18．如图，O是坐标原点，圆O的半径为1，点A（-1，0），B（1，0），点P，Q分别从点A ，B 同时出发，圆O 上按逆时针方向运动.若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，的最大值是_______.三、解答题 19．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 20．已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点.（1）求圆的圆心坐标和面积； （2）若直线的斜率为，求弦的长；（3）若圆上恰有三点到直线的距离等于，求直线的方程．21．已知点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点.（1）求点的轨迹的方程； （2）过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点，是否存在实数使得，并说明理由.22．已知圆经过()()2,5,2,1-两点，并且圆心在直线12y x =上。
圆的标准方程练习题
圆的标准方程练习题圆的标准方程练习题圆是数学中的一个基本几何形状，它在我们的生活中随处可见。
在解决与圆相关的问题时，掌握圆的标准方程是非常重要的。
本文将通过一些练习题来帮助读者加深对圆的标准方程的理解和应用。
练习题一：求圆的标准方程1. 已知圆心为(2, -3)，半径为5，求圆的标准方程。
解析：圆的标准方程为$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中(h, k)为圆心坐标，r 为半径。
代入已知条件，得到$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$。
2. 已知圆心为(-1, 4)，过点(3, 2)，求圆的标准方程。
解析：首先求得半径，半径的长度等于圆心到过点的距离。
利用距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，代入已知条件，得到$d = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
然后代入圆心和半径，得到$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 20$。
练习题二：判断给定方程是否为圆的标准方程1. $x^2 + y^2 + 2x - 4y = 0$解析：这个方程可以通过将其进行配方来判断是否为圆的标准方程。
将方程进行配方，得到$(x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 = 0$，化简后得到$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$。
因此，这个方程是圆的标准方程。
2. $x^2 + y^2 + 3x - 2y + 4 = 0$解析：同样地，将方程进行配方，得到$(x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + (y - 1)^2 - 1 = 0$，化简后得到$(x + \frac{3}{2})^2 + (y - 1)^2 = \frac{9}{4} + 1$。
因此，这个方程不是圆的标准方程。
圆的方程基础练习题
圆的方程基础练习题一、选择题1、对任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是（ ）A. 相离B. 相切C. 相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心2、圆4)2(22=++y x 与圆9)1()2(22=-+-y x 的位置关系为（ ）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离3、圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )A 4)2(22=++y xB ．22(2)5x y +-=C ．22(2)(2)5x y +++=D ．22(2)5x y ++=4、若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y xD. 052=--y x5、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x二、填空题6、已知圆经过)3,2(A 和)5,2(--B 两点，若圆心在直线032=--y x 上，则圆的方程为________________7、若圆C 经过坐标原点和点)0,4(，且与直线1=y 相切，则圆C 的方程是______________8、直线32+=x y 被圆08622=--+y x y x 所截得的弦长等于_______________9、若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则=a _______10、过点)1,3(作圆4)2()2(22=-+-y x 的弦，其中最短的弦长为___________11、圆0208622=++-+y x y x 关于原点对称的圆的标准方程_________________三、解答题12、圆064:22:1=+-+y x y x C 和圆06:222=-+x y x C 交于,A B 两点，求AB 的垂直平分线的方程。
(完整版)圆的一般方程练习题
(限时：10分钟)1 .若圆x2 + y 2— 2x — 4y = 0的圆心到直线x — y + a = 0的距离为 誓，则a 的值为()1 3A . — 2 或 2 B.2或2C . 2 或 0D . — 2 或 0解析：圆的标准方程为(x — 1)2 + (y — 2)2 = 5,圆心为(1,2)，圆心2. 若圆x 2+ y 2 — 2ax + 3by = 0的圆心位于第三象限，那么直线x + ay + b = 0 一定不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析：圆心为a ,— 2b ，则有a<0, b>0.直线x +ay + b = 0变为1 b 1 by = — ?—二由于斜率—a>0,在y 轴上截距—b >0,故直线不经过第 a a aa四象限.答案：D3. 直线y = 2x + b 恰好平分圆x 2 + y 2 + 2x —4y = 0,则b 的值为()A . 0B . 2C . 4D . 1解析：由题意可知，直线y = 2x + b 过圆心(—1,2),••• 2=2X (— 1)+ b , b = 4.答案：C4. M(3,0)是圆x 2+ y 2 — 8x — 2y + 10=0内一点，过M 点最长的弦到直线的距离 答案：C解得a = 0或2.课时作业23圆的一般方程所在的直线方程为 ________ ,最短的弦所在的直线方程是 ________ .解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦.易求出圆心为C(4,1),1 — 0k cM = = 1,二最短的弦所在的直线的斜率为—1,由点斜式，分 4-3别得到方程：y = x — 3 和 y = — (x — 3)，即 x —y — 3= 0 和 x + y —3= 0.答案：x — y — 3= 0 x + y — 3= 05. 求经过两点A(4,7), B(— 3,6),且圆心在直线2x + y — 5= 0上 的圆的方程.解析：设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,其圆心为D E-2，- 2，42+ 72 + 4D +7E + F = 0,由题意得—3 2 + 62 — 3D + 6E + F = 0，D E2 • — 2 + —㊁—5 = 0.4D + 7E + F = —65,即 3D — 6E — F = 45,2D + E =— 10,D = — 2, 解得E = — 6,F =— 15.x 2 + y 2— 2x — 6y —课后练|小和沖课时作婕曰日洁KEHOULI^ I(限时：30分钟)1. 圆x2+ y2+ 4x—6y—3 = 0的圆心和半径分别为()A . (2, —3); 16 B. (—2,3); 4C. (4, —6); 16D. (2, —3); 4解析：配方，得(x+ 2)2+ (y—3)2= 16,所以，圆心为(—2,3), 半径为4.答案：B2. 方程x2+ y2+ 4x—2y+ 5m= 0表示圆的条件是()1A. 4<m<1B. m>11C. m<4D. m<1解析：由42+ (—2)2—4X5m>0解得m<1.答案：D3. 过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的 方程为()A . x 2+ y 2 — 2x — 3y = 0B . x 2 + y 2 + 2x — 3y = 0C . x 2 + y 2 — 2x + 3y = 0D . x 2+ y 2 + 2x + 3y = 0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3)，分别把A , B 两点坐标代入四个选项，只有 A 完全符合，故 选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,F = 0,则 2D + F = — 4,3E + F = — 9, 故方程为 x 2 + y 2 — 2x — 3y = 0.解法三(几何法):由题意知，直线过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3),由弦AB 所对的圆心角为90 °知线段AB 为圆的直径，即所求的 圆是以AB 中点1, 2为圆心，2|AB 匸乎为半径的圆，其方程为(x —1)2 + y — |2 =于2，化为一般式得 x 2 + y 2— 2x — 3y = 0.答案：A4. 设圆的方程是 x 2*? + 2ax + 2y +(a — 1)2 = 0,若 0<a<1,则原 点()A .在圆上B. 在圆外C. 在圆内D .与圆的位置关系不确定解析：圆的标准方程是(x + a)2 + (y +1)2= 2a ,因为0<a<1，所以 (0 + a)2 + (0+ 1)2— 2a = (a — 1)2>0，即 0+a 2+ 0+ 1 2> 2a ,所以D = — 2, 解得E = — 3,F = 0,原点在圆外.答案：B5. 已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍, 那么点M的轨迹方程是()A . x2+ y2= 32B . x2+ y2= 16C. (x- 1)2+ y2= 16D. x2+ (y-1)2= 16解析：设M(x, y)，贝S M 满足：x—8 2+ y2= 2 x —22+ y2，整理得x2+ y2= 16.答案：B6. 已知圆C: x2+ y2+2x+ ay—3= 0(a为实数)上任意一点关于直线I: x—y+ 2 = 0的对称点都在圆C上，贝S a= _______a解析：由题意可得圆C的圆心一1,—2在直线x—y+ 2= 0上, aa将—1,—2代入直线方程得—1——2+ 2 = 0,解得a= —2.答案：—2 ____7. 若实数x, y满足x2+ y2+ 4x—2y—4= 0,则寸x2+ y2的最大值是 ________ .关键是搞清式子寸x2+ y2的意义.实数x, y满足方程x2+ y2+ 4x —2y— 4 = 0,所以(x, y)为方程所表示的曲线上的动点，x2+ y2=.x—02+ y —02,表示动点(x, y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方，得(x+ 2)2+ (y—1)2= 9,它表示以C( —2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内.连接CO交圆于点M, N,由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值.|CO|= — 2 2+ 12= . 5, |MO|=, 5 + 3.答案：5 + 38. _____________________ 设圆x2+ y2—4x + 2y—11 = 0的圆心为A,点P在圆上，则FA 的中心M的轨迹方程是.解析：设M的坐标为(x, y),由题意可知圆心A为(2,—1), P(2x—2,2y+1)在圆上，故(2x —2)2+ (2y + 1)2—4(2x—2) + 2(2 y + 1)—11 = 0,即x2+ y2—4x+2y+ 1 = 0.答案：x2+ y2—4x + 2y + 1 = 09. 设圆的方程为x2+ y2—4x—5= 0,(1)求该圆的圆心坐标及半径；⑵若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.解析：(1)将x2+ y2—4x— 5 = 0 配方得：(x—2)2+ y2= 9.二圆心坐标为C(2,0),半径为r = 3.⑵设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知，CP丄AB,二k cp •=—1.1 —0二k cp= = 1,3—2二k=— 1.直线AB的方程为y— 1 = —(x—3),即x+y —4= 0.10. 已知定点0(0,0), A(3,0),动点P到定点O的距离与到定点1A的距离的比值是入,求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线.解析：设动点P的坐标为(x, y),则由.?|PO| = |PA|,得X x2+ y2) = (x—3)2+ y2,整理得：(X- 1)x2+ ( —1)y2+ 6x—9= 0.•/ X0,•••当后1时，方程可化为2x —3= 0,故方程表示的曲线是线段当X1时，方程可化为即方程表示的曲线是以3—X_ 1, 0为圆X—：i为半径的圆. OA的垂直平分线;x+ 2。
圆的标准方程-练习题
一、选择题1. 圆心是(4, -1),且过点(5.2)的圆的标准方程是( )Λ. α-4)2+(y+l)2=10 B. (A ^+4)2+(y-l)2=10 C. (χ-4)2+(y÷l)2=100D. (%-4)2÷ (y+1)2=√W2. 已知圆的方程是(χ-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足() A.是圆心B.在圆上C.在圆内3. 圆(A -+1)2+(7-2)2=4的圆心坐标和半径分别为() Λ. (-1,2), 2B. (1, -2), 2C. (-1,2), 44. (2016 •锦州高一检测)若圆C 与圆(x+2)2÷(y-l)2= 1关于原点对称，则圆C 的方程是()Λ. α-2)2+(y+l)2=l B. (χ-2)2+(y-l)2=l C. U-l)2+(y+2)2=lD. (A ÷1)2÷(7+2)2=15. (2016 •全国卷II)圆√+∕-2χ-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1 =0的距离为1,则日=()6. 若Pa 一1)为圆(χ-l)2+y=25的弦/矽的中点，则直线/矽的方程是(Λ )二、 填空题7. 以点(2, — 1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是8. 圆心既在直线x —y=0上，又在直线x+y —4=0上，且经过原点的圆的方程是三、 解答题9. 圆过点 Atl 9 一2)、B(-l,4).求 (1) 周长最小的圆的方程；⑵圆心在直线2x —y —4 = 0上的圆的方程.10. 已知圆川的标准方程为(%-5)2+(y-6)2=a 2(a>0).Λ.B.C. √3D. 2 D.在圆外D. (h -2), 4A. X —y —3=0B ・ 2x+ y — 3 = 0C ・ x+ y — 1 =0D. 2%—y —5=0(1)若点M6.9)在圆上，求。
的值；(2)已知点A3,3)和点0(5.3),线段図(不含端点)与圆再有且只有一个公共点，求臼的取值范围.B级素养提升一、选择题1. (2016〜2017-宁波高一检测)点与圆√+∕=j的位置关系是Λ.在圆上 B.在圆内 C.在圆外 D.不能确定2.若点(2o, a-l)在圆√÷(y+l)2=5的内部，则&的取值范围是( )Λ. (一8, 1] B. (一1・1) C. (2.5) D・(1, +∞)3.若点P(l, 1)为圆α-3)2+72=9的弦的中点，则弦聽V所在直线方程为( )Λ. 2x+y—3=0 B・X—2y+l=0 C. x+2y—3=0 D・(IX—y—1=04.点"在圆(Λ--5)2+(7-3)2=9上，则点J/到直线3x+4y-2=0的最短距离为( )Λ. 9B・8 C・5 D・2二、填空题5.已知圆C经过力(5∙1). 0(1∙3)两点，圆心在才轴上，则C的方程为6.以玄线2x+y-4 = 0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为C级能力拔高1・如图，矩形力仇0的两条对角线相交于点M2,0), /矽边所在直线的方程为χ-3y-6=0, 边所在的直线上•求力〃边所在直线的方程・2.求圆心在直线4x+y=0上，且与直线才+y—l =0切于点Λ3, 一2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径.一、选择题1・圆z÷√-4x+6y= O的圆心坐标是( )Λ. (2.3) B. (-2,3) C. (一2, -3) D. (2, -3)2・(2016〜2017 •曲靖高一检测)方程√+∕÷2^r-Λy÷c= 0表示圆心为67(2,2),半径为2的圆，则血b、C 的值依次为( )Λ. —2,4.4 B. —2, —4,4 C. 2, —4,4 D. 2, —4, —43.(2016〜2017 •长沙高一检测)已知圆C过点J∕(l,l), A r(5,1),且圆心在直线y=x~2上，则圆C的方程为 ( )A・ X ÷y-6A r-2y÷6 = 0 B. x ÷y÷6%-2y÷6=0[C・ x'÷y ÷6x÷2y÷6=0 D・ A r÷y —2χ-6y÷6=04.设圆的方程是Y÷y2+2ax÷2y+(a-l)2=0,若O<X1,则原点与圆的位置关系是( )Λ.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不确定5・若圆√+∕-2χ-4y= 0的圆心到直线AT-y÷5= 0的距离为专，则日的值为( )1 3A. —2 或2B. §或O C・ 2 或0 D. —2 或06.圆Z÷∕-2y-l =O关于直线y=x对称的圆的方程是( )Λ. (X—1)^+y =2 B. (x+l)'+y i=2C. (A-I)2+y =4D. (^+l)2+y=4二、填空题7.圆心是(-3,4),经过点.f∕(5,l)的圆的一般方程为______________________ .8.设圆√+y-4,r+2y-ll= 0的圆心为儿点P在圆上，则刊的中点〃的轨迹方程是一三、解答题9.判断方程X + y -4^+ 2my+ 20/»-20=0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.10.求过点J(-l,0). g(3∙0)和C(0.1)的圆的方程.B级素养提升一、选择题1.若圆x2+y2-2ax÷36y= 0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b =0—定不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2•在圆√+y2-2-γ-6y =0内，过点F(OJ)的最长弦和最短弦分别为和加,则四边形/处9的面只为( )Λ. 5√2 B. 10√5 C. 15√2D・20√23.若点(2o, a— 1)在圆x2÷y2—(Iy-5a'=0的内部，则日的取值范围是( )4 4 4 Q QΛ. ( — 8, -] B. (―-, ξ) C. (―[, +∞) D. (丁，+∞)4.若直线7：乩γ+by+l=O始终平分圆J/： z+y+4x÷2y÷l=0的周长，则(a-2)2+(Z,-2)2的最小值为)二、填空题5.已知圆C: √+∕+2,γ+ay-3 = 0U为实数)上任意一点关于直线/：χ-y+2=0的对称点都在圆C上，则。
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C．(x+3)2+(y－1)2=4
D．(x+1)2+(y+1)2=4
3．方程 x a2 ( y b)2 0 表示的图形是（
）
A、以(a,b)为圆心的圆
B、点(a,b)
C、(－a,－b)为圆心的圆
D、点(－a,－b)
4．两圆 x2+y2－4x+6y=0 和 x2+y2－6x=0 的连心线方程为
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证明二：∵ AB 8 32 6 12 5 2
BC 5 32 7 12 8 2 AC 5 82 7 62 13 2
∵ AB BC AC ∴A，B，C 三点共线.
D．－ 1 < a <1 5
10．点 P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1 的内部，则 a 的取值范围是
A.｜a｜＜1
B.a＜ 1 C.｜a｜＜ 1 D.｜a｜＜ 1
13
5
13
试卷第 2 页，总 3 页
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
(1)2 (4 b)2 r2
∴
32 (2 b)2 r2
解得
r
b
2
1 10
所以所求圆的方程为 x2+(y－1)2=10
17． (x 1)2 ( y 2)2 10
【解析】 试题分析：解：
y x- 2 y- 3= 0
O
x
A
B
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2
2
4
12． x 3y 14 0 ， x 2y 10 0 ， y 4
【解析】∵线段 AB 的中点为 (1，5) ，线段 BC 的中点为 (3，4) ，线段 AC 的中点为 (4，3) ，
∴三角形各边上中线所在的直线方程分别是 y 5 x 1 ， y 3 x 4 ， y 4 ， 2 5 8 1 6 3 2 4
A．x+y+3=0
B．2x－y－5=0
C．3x－y－9=0 D．4x－3y+7=0
5．方程 x2 y 2 4mx 2 y 5m 0 表示圆的充要条件是
A． 1 m 1 B． m 1 或m 1
4
4
x y 1 6．直线 3 2 的斜率是（ ）
C． m 1 4
D． m 1
2
2 3
3
（D2＋E2－4F＞0）
4 2D F 0 D 8 36 6D F 0 E 12 ∴ 4 2E F 0 F 8
∴圆的方程为 x2＋y2－8x＋8y＋12＝0 16．所求圆的方程为 x2+(y－1)2=10 【解析】设圆的方程为 x2+(y－b)2=r2 ∵圆经过 A、B 两点，
(4)经过点 N(-1, 3)且在 x 轴的截距与它在 y 轴上的截距的和为零.
15．求过点 A（2，0）、B（6，0）和 C（0，－2）的圆的方程。 16．求经过点 A（－1，4）、B（3，2）且圆心在 y 轴上的圆的方程
17．（12 分）已知一圆经过点 A（2，－3）和 B（－2，－5），且圆心 C 在直线 l：x 2 y 3 0
试题分析：因为点( 2a, a 1 )在圆 x 2 +y 2 －2y－4=0 的内部，所以将点( 2a, a 1 )的坐标代
入圆的方程左边应小于 0，即 (2a)2 (a 1)2 2 (a 1) 0 ，解得－ 1 < a <1，故选 D。 5
考点：本题主要考查点与圆的位置关系。
点评：点在圆的内部、外部，最终转化成解不等式问题。
1．圆的方程是(x－1)(x+2)+(y－2)(y+4)=0，则圆心的坐标是(
)
A、(1,－1)
B、( 1 ,－1) 2
C、(－1,2)
D、(－ 1 ,－1) 2
2．过点 A(1,－1)与 B(－1，1)且圆心在直线 x+y－2=0 上的圆的方程为
A．(x－3)2+(y+1)2=4
B．(x－1)2+(y－1)2=4
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
A、ac>0,bc>0 B、ac>0,bc<0 C、ac<0,bc>0 D、ac<0,bc<0
9．点( 2a, a 1)在圆 x 2 +y 2 －2y－4=0 的内部，则 a 的取值范围是
A．－1< a <1 B． 0< a <1 C．–1< a < 1 5
考点：本题主要考查直线方程、斜率公式、两点间距离公式的应用。
点评：多种方法证明三点共线，一题多解的典型例题。
14．(1)2x+3y-1=0
(2)2x-y+5=0
(3)4x+y-6=0 或 3x+2y-7=0（4） 3x y 0 或 x y 4 0 .
【解析】略 15． 圆的方程为 x2＋y2－8x＋8y＋12＝0 【解析】 解：由题意可设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 ∵圆过点 A（2，0）、B（6，0）、C（0，－2）
评卷人 得分
三、解答题（题型注释）
12． △ABC 的三个顶点 A(0，4) ， B(2，6) ， C(8，2) ，求此三角形各边上中线所在直
线的方程． 13．（12 分）已知：A（－8，－6），B（－3，－1）和 C（5，7），求证：A，B，C 三点 共线． 14．（本大题９分） 求满足下列条件的直线方程： (1)经过点 P(2，-1)且与直线 2x+3y+12=0 平行； (2)经过点 Q(-1，3)且与直线 x+2y-1=0 垂直； (3)经过点 M(1，2)且与点 A(2,3)、B(4,-5)距离相等；
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
第 II 卷（非选择题）
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评卷人 得分
二、填空题（题型注释）
11．若方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4 为半径的圆，则 F=_____
19．如果实数 x、y 满足 x 2 +y 2 -4x+1=0，求 y 的最大值与最小值。 x
20．（12 分）已知△ABC 的三个项点坐标分别是 A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）， 求△ABC 外接圆的方程．
21． ABC 的三个顶点分别为 A(－1,5)，(－2,－2),(5,5),求其外接圆方程
绝密★启用前
2012-2013 学年度???学校 4 月月考卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100 分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
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评卷人 得分
一、选择题（题型注释）
6．A 【解析】考查直线斜率和倾斜角的关系。 7．A 【解析】
试题分析： x2 y2 2x 2 y 0 半径为 2 ，所以周长为 2 2 ，故选 A。
考点：本题主要考查圆的一般方程与标准方程的转化。 点评：简单题，明确半径，计算周长。 8．D 【解析】直线斜率为负数，纵截距为正数，选 D 9．D 【解析】
即 x 3y 14 0 ， x 2y 10 0 ， y 4 ．
13．见解析 【解析】
试题分析：证明一：由 A，B 两点确定的直线方程为： x 8 y 6 即：x y 2 0 83 61
①
把 C（5，7）代入方程①的左边：左边 5 7 2 0 右边
∴C 点坐标满足方程①∴C 在直线 AB 上∴A，B，C 三点共线
2
4
2
2．B
【解析】
试题分析：设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，根据已知条件可得
（1-a）2+（－1－b）2=r2，①
（－1－a）2+（1－b）2=r2，②
a+b-2=0，③
联立①，②，③，解得 a=1，b=1，r=2．
所以所求圆的标准方程为（x－1）2+（y－1）2=4．故选 B。
10．D
【解析】点 P 在圆（x－1）2+y2=1 内部
（5a+1－1）2+（12a）2＜1 11． 4
｜a｜＜ 1 . 13
【 解 析 】 方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 配方得 (x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F . 根据条件
2
2
4
得： D 2, E 4, D2 E2 4F 42; 解得 F 4.
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
即 (4m)2 (2)2 4 5m 0 ，解得 m 1 或m 1，故选 B。 4
考点：本题主要考查圆的一般方程。