第二个重要极限使用条件
高数 夹逼准则与两个重要极限
对于形如$sum_{n=1}^{infty}frac{sin n}{n}$和$sum_{n=1}^{infty}(1 + frac{1}{n})^{n}$的级数，可以利 用两个重要极限的结论判断其收敛性。
综合应用夹逼准则和两个重要极限
在判断一些复杂级数的收敛性时，可以将夹逼准则和两个重要极限结合起来使用，通过巧妙的放缩和变换， 找到夹逼的级数或函数，从而判断原级数的收敛性。
解答
首先找到与原数列相关的不等式关系， 即∑(ξi1)^2Δxi≤∑f(ξi)Δxi≤∑(ξi)^2Δxi。然 后验证不等式两侧的数列极限是否存 在且相等。对于左侧数列和右侧数列， 当n趋向于无穷大时，其极限均为1/3 （可以通过定积分的几何意义或定积 分计算公式进行验证）。因此根据夹 逼准则，原数列的极限存在且为1/3， 即函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积 分为1/3。
利用(1+1/x)^x在x→∞时的极限为e，可以对一些涉及指数函数的 复杂表达式进行逼近处理。
在求解某些微分方程时，可以利用这两个重要极限简化方程形 式或求解过程。
在概率论与数理统计中，这两个重要极限也经常出现，例如在 求解某些概率分布或统计量的极限性质时。
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02
利用第二个重要极限求解幂函数、指数函数相关问题，如求
(1+x)^(1/x)在x=0处的极限值。
结合洛必达法则等其他求极限方法，可以求解更复杂的极限问
03
题。
拓展：其他常见极限形式及求解方法
∞/∞型极限
通过分子分母同除以某个趋于 无穷的变量来转化为0/0型极 限求解。
1^∞型极限
2.6 两个重要极限
).
解
因为
n 1 1 n , < +⋯+ < 2 2 2 2 n +n n +1 n +n n +1
n 1 又 lim 2 = lim = 1, n→ ∞ n + n n→ ∞ 1 1+ n n 1 lim 2 = lim = 1, 由夹逼准则得 n→ ∞ n + 1 n→ ∞ 1 1+ 2 n 1 1 1 lim ( 2 ) = 1. + +⋯+ 2 2 n→ ∞ n +1 n +2 n +n
显然 f ( n + 1) > f ( n), 所以 f ( n ) 是单调递增的 ;
1 1 1 1 f ( n) < 1 + 1 + + ⋯ + < 1 + 1 + + ⋯ + n −1 2! n! 2 2
所以 f ( n )是有界的 ; 1n 所以 lim xn 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828⋯ ) n→ ∞ n→∞ n
这个重要极限, 可写成 这个重要极限
lim u u→0
sinu
= 1 其中, u可以为函数.
例2.
sin kx 求 lim x →0 x
sin kx sin kx 解:lim = lim k ⋅ x →0 x →0 x kx
sin kx = k ⋅ lim x → 0 kx
= k·1= k
例3.
∵ f ( x ) g( x ) = f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x )
∴ − M f ( x ) ≤ f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x )
第五部分两个重要极限教学课件
三．初等函数的连续性
定理： 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
则 f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
f (x) g( x)
(g( x0 ) 0)
在点 x0处也连续.
即由连续函数经过四则运算所得到的函数仍然是连续 的（分母为零的点除外）。
例如, x2 , e x ,sin x,cos x在(, )内连续,
22
(5) lim
x2
5x
6
lim
(x
2)( x
3)
lim
( x 2)
( x 3)
x2 sin( x 2) x2 sin( x 2) x2 sin( x 2)
1(1) 1
(6)lim x sin x
2 x
sin 2 lim x x 1
sin 2 lim x
x 2
2
2
x
x
二．第二个重要极限 lim(1 1 )x e " 1 "
f
x
f
x0 ，则称f ( x)在点x0处左连续
如果 lim x x0
f
x
f
x0 ，则称f ( x)在点x0处右连续
1
x
1
例如：函数 y 1 x2 在点x 1右连续，在点 x 1 左连续．
例4: 当a取何值时,
函数
f (x)
cos x, a x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
4
2x
x 2
这里u x 4 ,v x 2x lim u x v x lim 4 2x 8
x2
x
x x 2
lim
x
1.5极限的运算法则、两个重要极限
又 Q x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k < 3 + 3 < 3,
∴ lim x n 存在.
n→∞
2 lim x n + 1 = lim ( 3 + x n ), n→ ∞ n→∞
2 Q x n+1 = 3 + x n , x n+1 = 3 + x n ,
存在如果推论2limlimlimlimlimlim分母的极限都是零分子1后再求极限因子先约去不为零的无穷小分母的极限都是无穷大分子再求极限分出无穷小去除分子分母先用无穷小因子分出法小结
1.5 极限的运算法则、两个重要极限 极限的运算法则、
• 一、极限的运算法则 • 二、两个重要极限 • 三、无穷小量的比较
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
例7
3 1 lim( − ) 3 x →1 1 − x 1− x
极限存在准则 两个重要极限
∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + L + < 1 + 1 + + L + n −1 2! n! 2 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1n ) ∴ lim x n 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828L n→∞ n→∞ n
x → +∞
)
= lim (9
x → +∞
x
1 x x
)
1 x + 1 3
0
1 x
3 1 = 9 ⋅ lim 1 + x x → +∞ 3
1 3x ⋅x
= 9⋅e = 9
∴ lim cos x = 1,
x→0
∴ lim(1 − cos x ) = 0,
x→0
又 Q lim 1 = 1,
x→0
sin x ∴lim = 1. x→0 x
例3
1 − cosx . 求 lim 2 x→0 x
x 2sin2 2 lim 2 x→0
解: 原式 =
x
1 sin = lim x 2 x→0 2
1 令t= , x
x→0
1t lim(1 + x) = lim(1 + ) = e. x→0 t →∞ t
1 x
1 x
lim(1 + x) = e
例.
解: 令 t = −x, 则
t →∞
lim(1+ 1)−t t
1
= lim
1-6极限准则两重要极限
例8 求极限 解 令
arcsin x lim x 0 x
则
arcsin x t
x sin t
t 1 原式= lim t 0 sin t
思考
arctan x lim ? x 0 x arccos x lim ? x 0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x
1 1 1 1 1 1 n 1 xn 1 1 2! n! 2 2 1 xn 是有界的; 3 n 1 3, 2 1 n lim x n 存在. 记为 lim (1 ) e (e 2.71828) n n n
0 ( )型 0
tan x sin x 例4 求极限 lim 3 x 0 x
0 ( )型 0
tan x sin x 解 lim 3 x 0 x 1 1 sin x cos x lim x 0 x x2
sin x 1 cos x 1 lim 2 x 0 x x cos x
2
sin x 即 cos x 1, x
2
lim cos x 1,
x 0
又 lim 1 1,
x 0
sin x lim 1. x 0 x
0 ( )型 0
例2 求极限 解
tan x lim x 0 x
0 ( )型 0
tan x lim x 0 x
sin x 1 lim x 0 x cos x
1 2
cos x cos 3 x 例5 求极限 lim x 0 x2 cos x cos 3 x 解 lim x 0 x2
2 sin(2 x ) sin x lim 2 x 0 x
两个重要极限公式
两个重要极限公式
两个重要极限公式：极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。
1、第一个重要极限的公式：
lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1。
特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。
2、第二个重要极限的公式：
lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x →∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x →0 时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。
极限的求法
连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。
利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）
利用无穷大与无穷小的关系求极限。
利用无穷小的性质求极限。
利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。
利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。
高数同济§1.6 极限存在准则两个重要极限
从而有
= lim ( t +
t +
-1 t (t +1) t +1
)
1) t +1 = lim (1 + t t +
= lim [(1 + 1)t (1 + 1)] = e t t
故
1) x lim (1 + x x
n1 = 1 + 1! n
xn+1 = 1 + 1 +
1 (1 - 1 ) + 1 (1 - 1 )(1 - 2 ) + 2! n+1 3! n+1 n+1
大 大
1 + ( n+1)! (1 - n1 1)(1 - n2 1)(1 - nn 1) + + +
正
比较可知
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xn xn+1 ( n = 1, 2 , )
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn = a
由条件(2) e 0 N 0 当nN 时 有 |yn-a|e 及|zn-a|e 即有 a-eyna+e a-ezna+e 由条件(1) 有 a-eynxnzna+e 即 |xn-a|e 这就证明了 lim xn =a 简要证明
6.lim(1 + x ) =
x 0 1 x
1 x 5.lim(1 - ) = x x
1 x x 0
e
-1
;
e;
7.lim(1 - x ) = e -1 .
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第二个重要极限使用条件
第二个重要极限使用条件是指在使用某种技术或方法时，必须注意其
使用条件和限制，以避免出现意外和危险。
这种重要极限使用条件在
很多领域都有应用，如航空、化工、医疗等领域。
在这些领域中，失
误和意外往往会造成严重的后果，因此必须非常严格地遵守这些使用
条件。
对于航空领域来说，第二个重要极限使用条件特别重要。
航空器在高
空飞行时，受到重力、空气阻力、温度、气压等多种因素的影响，因
此必须保证飞行时使用的材料和设备必须符合特定的使用条件。
例如，飞机的机翼和发动机必须能够耐受巨大的气压和温度变化，而飞行员
则必须在极端的高压和低温环境下进行飞行。
因此，航空器制造商和
维修人员必须严谨地考虑第二个重要极限使用条件，以保证飞机的安
全性和可靠性。
在化工领域中，第二个重要极限使用条件同样至关重要。
化工生产中
涉及到的材料和化学品往往具有较强的腐蚀性和毒性，一旦使用不当，就会对人员和环境造成严重的危害。
因此，化工生产企业必须要求员
工必须具有良好的职业素养，严格遵守第二个重要极限使用条件，并
加强安全培训和监管，以降低事故发生的概率。
在医疗领域中，临床医生和医疗保健专家也必须遵循第二个重要极限
使用条件。
医疗设备和药品对人体的影响非常大，必须精确地控制使
用量和使用时间。
例如，化疗药物的使用时间和用量必须经过仔细计
算和监控，否则可能导致患者细胞功能异常、免疫力下降等严重后果。
临床医生必须仔细考虑患者的病情和身体状况，并根据第二个重要极
限使用条件选择合适的医疗方案，以确保患者的安全和舒适度。
总之，第二个重要极限使用条件在工业生产和人类生活的多个领域中
起着至关重要的作用。
在面对高风险、高技术和高负荷的工作场所中，必须严格遵守第二个重要极限使用条件，以保护人们的生命和财产安全。