第二个重要极限使用条件
2.6 两个重要极限
).
解
因为
n 1 1 n , < +⋯+ < 2 2 2 2 n +n n +1 n +n n +1
n 1 又 lim 2 = lim = 1, n→ ∞ n + n n→ ∞ 1 1+ n n 1 lim 2 = lim = 1, 由夹逼准则得 n→ ∞ n + 1 n→ ∞ 1 1+ 2 n 1 1 1 lim ( 2 ) = 1. + +⋯+ 2 2 n→ ∞ n +1 n +2 n +n
显然 f ( n + 1) > f ( n), 所以 f ( n ) 是单调递增的 ;
1 1 1 1 f ( n) < 1 + 1 + + ⋯ + < 1 + 1 + + ⋯ + n −1 2! n! 2 2
所以 f ( n )是有界的 ; 1n 所以 lim xn 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828⋯ ) n→ ∞ n→∞ n
这个重要极限, 可写成 这个重要极限
lim u u→0
sinu
= 1 其中, u可以为函数.
例2.
sin kx 求 lim x →0 x
sin kx sin kx 解:lim = lim k ⋅ x →0 x →0 x kx
sin kx = k ⋅ lim x → 0 kx
= k·1= k
例3.
∵ f ( x ) g( x ) = f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x )
∴ − M f ( x ) ≤ f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x )
1.5极限的运算法则、两个重要极限
又 Q x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k < 3 + 3 < 3,
∴ lim x n 存在.
n→∞
2 lim x n + 1 = lim ( 3 + x n ), n→ ∞ n→∞
2 Q x n+1 = 3 + x n , x n+1 = 3 + x n ,
存在如果推论2limlimlimlimlimlim分母的极限都是零分子1后再求极限因子先约去不为零的无穷小分母的极限都是无穷大分子再求极限分出无穷小去除分子分母先用无穷小因子分出法小结
1.5 极限的运算法则、两个重要极限 极限的运算法则、
• 一、极限的运算法则 • 二、两个重要极限 • 三、无穷小量的比较
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
例7
3 1 lim( − ) 3 x →1 1 − x 1− x
1-6极限准则两重要极限
例8 求极限 解 令
arcsin x lim x 0 x
则
arcsin x t
x sin t
t 1 原式= lim t 0 sin t
思考
arctan x lim ? x 0 x arccos x lim ? x 0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x
1 1 1 1 1 1 n 1 xn 1 1 2! n! 2 2 1 xn 是有界的; 3 n 1 3, 2 1 n lim x n 存在. 记为 lim (1 ) e (e 2.71828) n n n
0 ( )型 0
tan x sin x 例4 求极限 lim 3 x 0 x
0 ( )型 0
tan x sin x 解 lim 3 x 0 x 1 1 sin x cos x lim x 0 x x2
sin x 1 cos x 1 lim 2 x 0 x x cos x
2
sin x 即 cos x 1, x
2
lim cos x 1,
x 0
又 lim 1 1,
x 0
sin x lim 1. x 0 x
0 ( )型 0
例2 求极限 解
tan x lim x 0 x
0 ( )型 0
tan x lim x 0 x
sin x 1 lim x 0 x cos x
1 2
cos x cos 3 x 例5 求极限 lim x 0 x2 cos x cos 3 x 解 lim x 0 x2
2 sin(2 x ) sin x lim 2 x 0 x
浅析第二个重要的极限
浅析第二个重要的极限作者：张春红来源：《知识文库》2017年第04期高等数学是从函数及其极限为基础展开研究的。
第二个重要极限跟第一个重要极限一样是极限中特殊的极限形式。
理解第二个重要极限的本质形式，是学好第二个重要极限的前提。
文章先分析第二个重要极限本质表现形式，然后分析其应用。
用事實说明第二个重要极限在高等数学和经济上的重要性第二个重要极限是型的极限类型，为导数的学习奠定了基础，在经济上用于复利的计算。
1 结构第二个重要的极限： .当时，底数趋向于1，指数趋向于无穷大，属于型的极限类型。
利用单调有界数列必有极限，可以求得极限为。
在极限中只要是无穷小就有①型的极限类型②表达式中，只要是无穷小即这说明：当及时，函数的值会无限地趋近于。
常数就是这个极限值，即.如果令公式还可以写成. （1.5.5）这两个极限式可以统一为“1加无穷小的无穷大次方的极限为”。
如：；；用求极限时，函数的特点是型幂指函数，只要中是无穷小，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数就符合第二个重要极限的类型。
2 应用2.1公式的直接应用应用第二个重要极限求极限：例1 求解这道题属于求幂指函数的极限，先变形化简后整理成第二个重要极限的形式，然后应用第二个重要极限求出结果。
应用第二个重要极限推导指数和对数函数的求导公式：例2 求函数的导数解例3 求函数的导数解即特殊地运用导数的定义表达出指数函数和对数函数的导数形式，结合第二个重要极限，推导得出求导公式，为导数的进一步学习铺砖引路。
第二个重要的极限在推导求指数函数和对数函数的求导公式过程中，起到了举足轻重的作用。
第二个重要极限是基本初等函数求导公式得出的奠基石。
第二个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的桥梁纽带作用。
2.2公式的间接应用经济上连续复利计算就是以第二个重要极限为依据的：设初始本金为p （元），年利率为r，按复利付息，若一年分m次付息，则第n年末的本利和为89如果利息按连续复利计算，即计算复利的次数m趋于无穷大时， t年末的本利和可按如下公式计算若要t年末的本利和为s，则初始本金。
高数同济§1.6 极限存在准则两个重要极限
从而有
= lim ( t +
t +
-1 t (t +1) t +1
)
1) t +1 = lim (1 + t t +
= lim [(1 + 1)t (1 + 1)] = e t t
故
1) x lim (1 + x x
n1 = 1 + 1! n
xn+1 = 1 + 1 +
1 (1 - 1 ) + 1 (1 - 1 )(1 - 2 ) + 2! n+1 3! n+1 n+1
大 大
1 + ( n+1)! (1 - n1 1)(1 - n2 1)(1 - nn 1) + + +
正
比较可知
首页
xn xn+1 ( n = 1, 2 , )
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn = a
由条件(2) e 0 N 0 当nN 时 有 |yn-a|e 及|zn-a|e 即有 a-eyna+e a-ezna+e 由条件(1) 有 a-eynxnzna+e 即 |xn-a|e 这就证明了 lim xn =a 简要证明
6.lim(1 + x ) =
x 0 1 x
1 x 5.lim(1 - ) = x x
1 x x 0
e
-1
;
e;
7.lim(1 - x ) = e -1 .
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高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限
则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x
极限存在准则与两个重要极限资料
1
(1
1 )(1
2 )(1
n1 )
2! n
n! n n
n
xn
11
1 2!
1 n!
11
1 2
1 2n1
3
1 2n1
3,
{xn}是有界的; 单调上升有上界必有极限
lim n
xn
存在.
记为 lim(1 1)n e
n
n
(e 2.718281828459045) 无理数
12 23
n1 n
2 1 2, n
{ xn}是有上界的;
因此, 利用单调有界数列必收敛准则即得结论.
15
2.5 极限存在准则 两个重要极限
例 证明数列 xn 3 3 3
(n重根式)的极限存在.
证 (1) 显然 xn1 xn ,
{xn}是单调增加的; (2) x1 3 3, 假定 xk 3,
1.
8
2.5 极限存在准则 两个重要极限
0
例 lim x 0 lim
x
lim sin x 1 lim x 1
x0 x
x0 sin x
cos x 1.
x0 tan x x0 sin x
例
sin3 3 lim x0 3x
x
0
0
1 3
lxim0
sin
3
3
x
x
3
n
an
bn
cn ,求 lim n
xn .
解 法一 由于 a xn a n 3
1
以及 lima a, lim a n 3 lim a 3n a 1
第二重要极限
第二重要极限
第二个重要极限是：n趋近于无穷大时，（1+1/n）的n次方的极限为e。
数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中。
逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而永远不能够重合到A （永远不能够等于A，但是取等于A已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为永远靠近而不停止，其有一个不断地极为靠近A点的趋势。
第二个重要极限公式是：lim（1+（1/x））^x=e（x→∞）。
第二个重要极限在极限计算中占有很重要的地位，它对初等函数极限的推导至关重要，是解决未定型极限的一个重要工具。
但它形式变化多样，在学习和使用中不易把握是学生学习的难点。
第二个重要极限，它的结构独特、复杂，形式多样，计算灵活，许多实际问题都依赖于这种极限的应用，因此掌握第二个重要极限，也有利于解决生产和生活中的实际问题，在经济学中尤为重要。
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第二个重要极限使用条件
随着科技的日益发展，人类在探索自然界中的极限问题方面取得了许多重要进展。
极限使用条件是指在极限运算过程中，使用某一定理、规则或条件使得问题的解得以简化或者得到更加准确的结果。
在数学领域中，极限使用条件是解决各类极限问题的基础。
本文将详细探讨第二个重要极限使用条件，带您深入了解这一重要的数学概念。
一、定义与背景 1.1 极限的定义 极限是数学中重要的概念之一，它描述了函数或者数列在一点或者无穷远处的表现。
对于一个函数f (x )来说，当自变量x 无限接近某个值c 时，如果对应的函数值f (x )有一个确定的有限值A ，那么我们就说函数在x 趋近于c 时的极限为A ，记作lim x→c f (x )=A 。
1.2 极限使用条件 在许多极限问题中，需要借助一些特定的定理和条件来简化计算或者得到更加准确的结果。
这些条件被称为极限使用条件。
其中，第一个重要极限使用条件是中值定理，它在解决一些特殊的函数极限问题时发挥了重要作用。
在本文中，我们将探讨第二个重要极限使用条件。
二、第二个重要极限使用条件 第二个重要极限使用条件是指在计算某些复杂的极限时，考虑使用等价无穷小替代原问题以简化计算。
等价无穷小是指当自变量趋于某个值时，与之相差无穷小的另外一个函数。
当两个函数在某个点附近的变化趋势非常相似时，可以认为它们是等价的，从而可以用一个较为简单的函数来近似原问题的极限。
2.1 等价无穷小的概念 在讨论等价无穷小之前，我们先来回顾一下无穷小的定义。
对于函数f (x )来说，如果x 趋近于某个值c 时，函数的变化趋势和差值|f (x )−A |之比趋于0，那么我们称f (x )是c 处的无穷小。
而等价无穷小是指与某个无穷小具有相同变化趋势的无穷小。
具体来说，如果两个函数f (x )和g (x )满足lim x→c f (x )g (x )=1，那么我们称f (x )和g (x )是等价无穷小。
2.2 等价无穷小替代原问题 在计算一些复杂的极限时，我们可以将原问题中的函数替换为一个与之等价的函数，从而简化计算。
具体来说，我们可以将原函数f (x )替换为一个与之等价的函数g (x )，然后计算等价函数g (x )在x =c 处的极限。
如果等价函数g (x )的极限存在，并且与原问题的极限相等，那么可以认为等价函数g (x )能够较好地近似原问题的极限。
三、等价无穷小的应用 等价无穷小的应用领域广泛，它在求解各类复杂极限问题时发挥了重要作用。
下面我们将从几个具体的例子来说明等价无穷小的应用。
3.1 泰勒级数展开与等价无穷小 泰勒级数是一种将函数展开为无穷项的幂级数的方法。
在一些极限计算中，我们可以利用泰勒级数展开将原问题转化为等价无穷小
的极限。
例如，lim x→01−cosx x 2可以通过将cosx 在x =0处展开为泰勒级数来计算，得
到等价无穷小的极限lim x→0x 22−x 424。
3.2 分子分母等价无穷小的计算在一些分式的极限计算中，我们常常可以通过将分子和分母都进行等价无穷小的替代来简化计算。
例如，lim x→0sinx
x
可以通过将分子sinx和分母x都替换为等价无穷小来计算，得到等价无穷小的极限lim x→01。
3.3 函数复合与等价无穷小在一些复合函数的极限计算中，我们可以利用等价无
穷小来简化计算。
例如，lim x→0e x−1
x
可以通过将e x−1替换为等价无穷小来计算，
得到等价无穷小的极限lim x→01。
总结与展望极限使用条件是解决各类极限问题的重要工具，其中等价无穷小是其中一种重要的使用条件。
通过将函数替换为与之等价的函数，我们可以简化复杂的极限计算，得到更加准确的结果。
在今后的研究中，我们可以继续探索极限使用条件的应用，进一步拓展数学的边界。