第二章 正弦交流电路
电工学-正弦交流电路
O
f 而对直流所呈现的容抗趋于无穷大，故
XL 与 f 的关系 可视为开路。
2.3.3 电容元件的交流电路
1. 电压电流关系 i
+
u
C
–
i
u Um sint i Im sin( t 90 )
+j •
u
I
波 形O 图
电流超前电压 90 电压与电流大小关系 电压与电流相量式
t
U XCI U jXC I
2.1 正弦电压与电流 I, U
直流电路在稳定状态下电流、电压的大
小和方向是不随时间变化的，如图所示。
正弦电压和电流是按正弦规律周期性
变化的，其波形如图示。
O u, i
t
电路图上所标的方向是指它们的参考
方向，即代表正半周的方向。
负半周时，由于的参考方向与实际方
+
向相反，所以为负值。
实
i
O i
t
际 方
第 2 章 正弦交流电路
在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三相电路应 用更为广泛。
正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所 产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。
本章将介绍交流电路的一些基本概念、基本理论和基本分 析方法，为后面学习交流电机、电器及电子技术打下基础。
本章还将讨论三相交流电路和非正弦周期电压和电流。 交流电路具有用直流电路的概念无法理解和无法分析的物 理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以免引起错误。
•
UL
为正
时电路 中电压 电流相 量图
•
• UL UC
•
U
•
UR
•
UC
的大小和正负由
电工电子技术-第2章 正弦交流电路
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
电工学 正弦交流电
相量
复数表示法 复数运算
相量的复数表示—相量式
将复数 A 放到复平面上，可如下表示：
j
•
A
A a2 b2
bU
tan 1 b
+1
a
a
A a jb A c o s jA sin
•
A
b A
a
欧 拉
cos
e j e j 2
公 式
sin
e j
e j
2j
A a jb A(cos jsin )
t
i i 领先于
1
2
相 位
i1
落 后
2 1
i2
120 t i i1 落后于 2
三相交流电路：三种电压初相位各差120。
uA uB uC
t
可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。
如： u1 2U 1sin t1 u2 2U 2sin t2
uu1u2
2U1sin t1 2U2sin t2 2Usin t 幅度、相位变化
复数
瞬时值
正误判断
已知： i1s0i n t4 ()5
？ I 10 45 2
j45
有效值
？ Im10e45
正误判断
已知： u2 1s0i(n t 1)5
则：
U10？15
？ U 1 0ej15
正误判断
已知： I10 5 00
则： i 1
Im 2I102 0
代数式
A e j
指数式
A
极坐标形式
相量的复数运算
1. 加 、减运算 • 设： A 1 a 1 j b1 • A 2 a 2 jb2
则：
•• •
电工第2章 正弦交流电路
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
第二章正弦交流电的表示方法讲述案例
电工电子技术
参数 见书32页
2、电容
（1）电容是表征电容器容纳电荷本领的物 理量，用字母C表示，单位是F（法拉）。
1F=106μF=1012pF （2）电容的大小与极板间的介电常数ε，电 容极板的正对面积S，电容极板的距离d有关。
即： C S （k为静电力常量） 4 kd
电工电子技术
（3）电容器极板上储存的电量q与外加电压 u和电容C成正比。
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量图
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
U
RRR
I
电工电子技术
（2）电阻元件上的功率关系
1)瞬时功率 p
瞬时功率用小写！
i Im sin ( t) 则 p u i Um sin t • Im sin t
成正比，与感抗成反比 I U U U
X L L 2 fL
电工电子技术
2 电路的功率
p
i
p ui
ωt
u
说明：（1） p>0，电感线圈吸取电能，并以磁能的方式 储存起来 （2） p<0，电感线圈把储存的磁能转换为电能， 还给电路
电工电子技术
2）平均功率 P
P 0 电感元件不耗能！
3）无功功率 Q
+ 负极，使电容器带电的过程称为
US －
充电。
结果：把从电源获得的电能储存 在电容器中，两极板之间有电压
电工电子技术
b 放电
+q E -q
第2章_正弦交流电路
ψ
+
90
°
- jA
- jA = 1 - 90° × r ψ = r ψ − 90°
三. 正弦量的相量表示法 相量：表示正弦量的复数。 相量：表示正弦量的复数。
相量表示方法: 相量表示方法: 设正弦量: 设正弦量: i = I msin( ω t + ψi )
大写字母上打点， 大写字母上打点，表示相量 模 =正弦量的最大值 & 最大值相量 Im = Imejψi = Im ψi 辐角= 辐角=正弦量的初相角 有效值相量
i1 i3 i2
i2 =
2 I 2 sin ( ω t + ψ 2 ), 求 i3 = i1 + i2
结论： 同频正弦量运算后仍得到同频的正弦量。 结论：●同频正弦量运算后仍得到同频的正弦量。 直接进行正弦量的运算很繁琐。 ●直接进行正弦量的运算很繁琐。 解决办法：把正弦量用相量（复数）表示， 解决办法：把正弦量用相量（复数）表示，先进行复数 运算，求出相量解， 运算，求出相量解，再根据相量解写出正弦量瞬时值表 达式。这种分析方法称为相量法。 达式。这种分析方法称为相量法 相量法。
正弦量的波形
i
Im
ψ
ωt
i = I m sin(ω t + ψ )
幅值（最大值） I m ： 幅值（最大值） 角频率（弧度/ ω ： 角频率（弧度/秒）
特征量: 特征量:
ψ ： 初相角
2.1.1 正弦量的三要素
1. 幅度(最大值)： 幅度(最大值) 最大的瞬时值，对确定的正弦量而言是一个常 最大的瞬时值， 量。最大值必须用带下标m的大写字母表示。 最大值必须用带下标m的大写字母表示。 如：Um、Im。
超前i （1）ϕ >0， u超前 ， 超前 滞后u 或i滞后 滞后
正弦交流电路介绍
（3） 把相量再表示为正弦量 ）
I& = 65 . 5 10 . 37 0
i = 65 . 5 2 s in( 314 t+ 10 . 37 0 ) A
注意： 注意： 1. 只有对同频率的正弦周期量，才能应用对应 只有对同频率的正弦周期量， 同频率的正弦周期量 的相量来进行代数运算。 的相量来进行代数运算。 同频率的正弦量才能画在同一相量图上 2. 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 3. 正弦量与相量是对应关系，而不是相等关系 正弦量与相量是对应关系 是对应关系， 不是相等关系 正弦交流电是时间的函数） （正弦交流电是时间的函数）。 4. 可推广到多个同频率的正弦量运算。 可推广到多个同频率的正弦量运算。
相位差： 相位差：同频率正弦量的相位 角之差或是初相角之 称为相位差， 表示。 差，称为相位差，用ϕ表示。 设正弦量： 设正弦量： i = I sin(ω t + ψ ) u = U sin(ω t + ψ )
m i
i和u的相位差为：ϕ = (ω t + ψ i ) − (ω t + ψ u ) 和 的相位差为 的相位差为：
i = 10 2 s in( ω t+ 45 0 ) A
最大值相量） I& m = I m ψ （最大值相量） 有效值相量） & I = I ψ （有效值相量）
I& = 10 45 0 A
相量和复数一样，可以在复平面上用矢量来表示， 相量和复数一样，可以在复平面上用矢量来表示，表示 相量的图称为相量图 相量图。 相量的图称为相量图。 j 例： i = 20 2 s in( ω t+ 30 0 ) A
第二章正弦交流电路
第2章 正弦交流电路判断题正弦交流电的基本概念1．若电路的电压为)30sin(︒+=t U u m ω，电流为)45sin(︒-=t I i m ω， 则u 超前i的相位角为75°。
[ ]答案:V2．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90100sin(282︒+=t i Ａ，则电流相量分别是︒=0/61I &Ａ，︒=90/82I &Ａ。
所以二者的电流相量和为：21I I I &&&+= [ ] 答案:V3．若电路的电压为u ＝I m sin(ωt+30°)，电流为i =I m sin(ωt-45°)，则u 超前i 的相位角为15°。
[ ]答案:X4．正弦量的三要素是指其最大值、角频率和相位。
[ ]答案:X5．正弦量可以用相量表示，因此可以说，相量等于正弦量。
[ ]答案:X6．任何交流电流的最大值都是有效值的2倍。
[ ]答案:X7．正弦电路中，相量不仅表示正弦量，而且等于正弦量。
[ ]答案:X正弦量的相量表示法1．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90200sin(282︒+=t i Ａ，则电流相量分别是︒=0/61I &Ａ，︒=90/82I &Ａ。
所以二者的电流相量和为：21I I I &&&+= 。
[ ] 答案:X单一参数的正弦交流电路1．电容元件的容抗是电容电压与电流的瞬时值之比。
[ ]答案:X2．在电感元件的电路中，电压相位超前于电流90º，所以电路中总是先有电压后有电流。
[ ]答案:X3．电感元件的感抗是电感电压与电流的瞬时值之比。
[ ]答案:X4．电感元件的感抗是电感电压与电流的有效值之比。
[ ]答案:V5．直流电路中，电容元件的容抗为零，相当于短路。
[ ]答案:X6．直流电路中，电感元件的感抗为无限大，相当于开路。
[ ]答案:X7．直流电路中，电容元件的容抗为无限大，相当于开路。
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第2章 正弦交流电路判断题2.1 正弦交流电的基本概念1．若电路的电压为)30sin(︒+=t U u m ω，电流为)45sin(︒-=t I i m ω， 则u 超前i 的相位角为75°。
[ ]答案:V2．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90100sin(282︒+=t i Ａ，则电流相量分别是︒=0/61I &Ａ，︒=90/82I &Ａ。
所以二者的电流相量和为：21I I I &&&+= [ ] 答案:V3．若电路的电压为u ＝I m sin(ωt+30°)，电流为i =I m sin(ωt-45°)，则u 超前i 的相位角为15°。
[ ]答案:X4．正弦量的三要素是指其最大值、角频率和相位。
[ ] 答案:X5．正弦量可以用相量表示，因此可以说，相量等于正弦量。
[ ] 答案:X6．任何交流电流的最大值都是有效值的2倍。
[ ] 答案:X7．正弦电路中，相量不仅表示正弦量，而且等于正弦量。
[ ] 答案:X2.2 正弦量的相量表示法1．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90200sin(282︒+=t i Ａ，则电流相量分别是︒=0/61I &Ａ，︒=90/82I &Ａ。
所以二者的电流相量和为：21I I I &&&+= 。
[ ] 答案:X2.3 单一参数的正弦交流电路1．电容元件的容抗是电容电压与电流的瞬时值之比。
[ ] 答案:X2．在电感元件的电路中，电压相位超前于电流90º，所以电路中总是先有电压后有电流。
[ ]答案:X3．电感元件的感抗是电感电压与电流的瞬时值之比。
[ ]答案:X4．电感元件的感抗是电感电压与电流的有效值之比。
[ ]答案:V5．直流电路中，电容元件的容抗为零，相当于短路。
[ ]答案:X6．直流电路中，电感元件的感抗为无限大，相当于开路。
[ ]答案:X7．直流电路中，电容元件的容抗为无限大，相当于开路。
[ ]答案:V8．直流电路中，电感元件的感抗为零，相当于短路。
[ ]答案:V9．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当X L＞X C时电路呈电容性，则电流与电压同相。
[ ]答案:X10．电感元件电压相位超前于电流π/2 (rad)，所以电路中总是先有电压后有电流。
[ ]答案:X11．正弦交流电路中，电源频率越高，电路中的感抗越大，而电路中的容抗越小。
[ ]答案:V12．正弦电流通过电感或电容元件时，当电流为零时，则电压的绝对值为最大，当电流为最大值时，则电压为零。
[ ]答案:V13．正弦电流通过电感或电容元件时，当电流为零时，则电压的绝对值为最小。
[ ]答案:X14．电容元件的容抗是电容电压与电流的瞬时值之比。
[ ]答案:X15．电容元件的容抗是电容电压与电流的有效值之比。
[ ]答案:V16．单一电感元件的正弦交流电路中，消耗的有功功率比较小。
[ ]答案:X17．电容元件的交流电路中，电压比电流超前90°。
[ ]答案:X18．电容元件的交流电路中，电流比电压超前90°。
[ ]答案:V19．电感元件的有功功率为零。
[ ]答案:V20．电容元件的有功功率为零。
[ ]答案:V21．电压、电流的相量式，既能反映电压与电流间的大小关系，又能反映相互间的相位关系。
[ ]答案:V2.4 R 、L 、C 串联的正弦交流电路1．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＵL ＞ＵC 时电路呈电感性，即电流滞后于总电压。
[ ] 答案:V2．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＸL ＞ＸC 时电路呈电感性，即电流滞后于总电压。
[ ] 答案:V3．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当X L ＜X C 时电路呈电感性，则电流与电压同相。
[ ] 答案:X 4．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＵL ＜ＵC 时电路呈电容性，即电流超前于总电压。
[ ] 答案:V5．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＸL ＜ＸC 时电路呈电容性，即电流超前于总电压。
[ ] 答案:V 6．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＵL ＜ＵC 时电路呈电感性，即电流滞后于总电压。
[ ] 答案:X7．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＸL ＜ＸC 时电路呈电感性，即电流滞后于总电压。
[ ] 答案:X 8．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＵL ＞ＵC 时电路呈电容性，即电流超前于总电压。
[ ] 答案:X9．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＸL ＞ＸC 时电路呈电容性，即电流超前于总电压。
[ ] 答案:X10．在Ｒ、C 并联电路中，支路电流均为４Ａ，则电路总电流Ｉ＝8Ａ。
[ ] 答案:X11．若电路的电流)30sin(︒+=t I i m ω，电压)50sin(︒+=t U u m ω，则该电路呈电感性。
[ ]答案:V12．若电路的电流)30sin(︒+=t I i m ω，电压)60sin(︒+=t U u m ω，则该电路呈电容性。
[ ]答案:X13．若电路的电流)60sin(︒+=t I i m ω，电压)30sin(︒+=t U u m ω，则该电路呈电感性。
答案:X14．若电路的电流)60sin(︒+=t I i m ω，电压)30sin(︒+=t U u m ω，则该电路呈电容性。
[ ]答案:V15．若电路的电流)30sin(︒+=t I i m ω，电压)60sin(︒-=t U u m ω，则该电路为纯电容性。
[ ]答案:V16．若电路的电流)30sin(︒-=t I i m ω，电压)60sin(︒+=t U u m ω，则该电路为纯电感性。
[ ]答案:V17．正弦交流电路的视在功率等于有功功率和无功功率之和。
[ ] 答案:X18．电压三角形、阻抗三角形和功率三角形都是相量图。
[ ] 答案:X19．功率表应串接在正弦交流电路中，用来测量电路的视在功率。
[ ] 答案:X2.5 阻抗的串联与并联1．R 、L 并联电路中，支路电流均为4A ，则电路总电流Ｉ＝8A 。
[ ] 答案:X2．两个电感相串联，端电压分别为8Ｖ和4Ｖ，则总电压为12Ｖ。
[ ] 答案:V3．两个电容相并联，支路电流分别为2Ａ和3Ａ，则电路总电流为5Ａ。
[ ] 答案:V4．两个无源元件串联在正弦电流电路中，若总电压小于其中一个元件的电压值，则其中必有一个为电感性元件，另一个为电容性元件。
[ ]答案:V5．在正弦电流电路中，两元件串联后的总电压必大于分电压，两元件并联后的总电流必大于分电流。
[ ]答案:X6．正弦交流电路的频率越高，阻抗就越大；频率越低，阻抗越小。
[ ] 答案:X7．电抗和电阻由于概念相同，所以它们的单位也相同。
[ ] 答案:X8．交流电路中的视在功率与有功功率和无功功率一定呈直角三角形关系。
[ ]答案:V9．R 、L 并联电路中，支路电流均为5A ，则电路总电流I =10A 。
[ ] 答案:X10．R 、L 并联电路中，支路电流均为5A ，则电路总电流I =52A 。
[ ]2．6 功率因数的提高1．根据cos φ=Ｐ／[ＵＩ]可知，当电压Ｕ升高时负载的功率因数降低。
[ ] 答案:X 2．与电感性负载并联电容器可以提高负载的功率因数，因而可以减小负载的电流。
[ ] 答案:X 3．电感性负载并联电容后，总电流一定比原来小，因此电网功率因数一定会提高。
[ ] 答案:X4．电感性负载并联电阻后也可以提高电网功率因数，但总电流和总功率都将增大。
[ ]答案:V 5．在感性负载两端并联任意大小的电容器都可以提高电路的功率因数。
[ ] 答案:X 6．正弦电路中，电源电压和负载一定时，功率因数越高，无功功率越小。
[ ] 答案:V7．交流电路中的功率因数高，反映电源设备的利用率就高。
[ ] 答案:V选择题2.1 正弦交流电的基本概念 1、有“220V 、100W ”“220V 、25W ”白炽灯两盏，串联后接入220V 交流电源，其亮度情况是 。
A.100W 灯泡最亮B.25W 灯泡最亮C.两只灯泡一样亮D.都不亮 答案:B2、已知工频正弦电压有效值和初始值均为380V ，则该电压的瞬时值表达式为 。
A.t u 314sin 380=VB.)45314sin(537︒+=t u VC.)90314sin(380︒+=t u VD.)45314sin(380︒+=t u V 答案:B3、一个电热器，接在10V 的直流电源上，产生的功率为P 。
把它改接在正弦交流电源上，使其产生的功率为P /2，则正弦交流电源电压的有效值为 。
A.7.07VB.5VC.14VD.10V4、已知)90314sin(101︒+=t i A ，︒+=30628sin(102t i ）A ，则 。
A.i 1超前i 260°；B.i 1滞后i 260°；C.相位差无法比较D.同相 。
答案:C5、从相量中可直接读取交流电的有效值（或最大值）和 。
A.相位B.频率C.初相位答案:C6、正弦交流电的初相角反映了交流电变化的 。
A.起始位置B.快慢C.大小关系D.频率特性 答案:A 7、若i 1＝10sin(ωt+30º)A ，i 2＝20sin(ωt －10º)A ，则i 1的相位比i 2超前 。
A. 40ºB. －20ºC. 20ºD. －40º答案:A8、若)30sin(101︒+=t u ωV, )10sin(202︒-=t u ωV ，则1u 比2u 超前__ _。
A.20°B.-20°C.40°D.-40°答案:C9、若i 1=10 sin(ωt+30°)A ，i 2=20 sin(ωt+50°)A ，则i 1的相位比i 2超前__ _。
A.20°B.-20°C.40°D.-40°答案:B10、若u 1=10 sin(ωt+20°)A,u 2=20 sin(ωt-20°)A,则u 1的相位比u 2超前_ __。
A.20°B.-20°C.40°D.-40°答案:C2.2 正弦量的相量表示法2.3 单一参数的正弦交流电路1、正弦交流电路中，采用相量分析时，电容器的容抗为 。
A.C XB.C jX -C.C jXD.L jX -答案:B2、正弦交流电路中，采用相量分析法时，电感的感抗为 。
A.L XB.C jX -C.L jXD.L jX -答案:C3、纯电感交流电路中，正确的表达式是 。
A.LLL X u i = B.L X I j U&&= C.C X I j U &&-= D.不确定 答案:B4、纯电容正弦交流电路中，电压有效值不变，当频率增大时，电路中电流将 。