新高一衔接班讲义(数学)
高一数学暑期预科-初高衔接课讲义
新高一数学必备知识一、乘法公式1、完全平方公式和平方差公式()2222b ab a b a +±=± ()()22b a b a b a -=-+2、和立方与差立方公式()3223333b ab b a a b a +++=+ ()3223333b ab b a a b a -+-=-3、立方和与立方差公式()()3322b a b ab a b a +=+-+ ()()3322b a b ab a b a -=++-二、一元二次方程1、韦达定理一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：若ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．也被称为韦达定理．以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=．【例题精讲】例1. 已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根． (1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．例3. 已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【巩固练习】1. 1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．2. 关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．3. 已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．2、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例题精讲】例1. 设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值例2. 0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值．【巩固练习】1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求baa b +的值2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值．3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．3、根的分布定理 （1）0分布一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.0∆>⎧0∆>⎧【例题精讲】例1. 已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．例2. 若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．【巩固练习】已知一元二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．（2）k分布【知识梳理】kk k【例题精讲】例1. 若关于x 的方程02=++a x x 的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．例2. 若关于x 的方程02=++a x x 的两根均小于1，求实数a 的取值范围．例3.已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1. 关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ）12121||11>-<<<-><<-a a D a Ca B a A 或2. 实数k 为何值时，方程022=-+-k kx x 的两根都大于21 ．3. （1）已知：,αβ是方程()221420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求m 的取值范围；（2）若220x ax ++=的两根都小于1-，求a 的取值范围．（3）m、n分布()0⎧>f m()0⎧<f m【例题精讲】例1. 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0，（1）若方程有两根，其中一根满足011<<-x ，另一根满足212<<x ，求m 的范围； （2）若方程两根满足1021<≤<x x ，求m 的范围．例 2. 关于x 的二次方程()2271320x p x p p -++--=的两根βα,满足012αβ<<<<，求实数p 的取值范围．例3. 二次函数6)1(2522-++-=m x m x y 的图像与x 轴的两个交点满足1121≤<≤-x x ，且分居y 轴的两侧，求实数m 的取值范围．例4. 若二次函数y =的图象与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值范围．21x mx -+-【巩固练习】1. 关于x 的方程0532=+-a x x 的两根分别满足021<<-x ，312<<x ，求a 的取值范围．2. 二次方程2210x kx k ++-=的两个根1x 与2x ，当121x -<<-且212x <<时，实数k 的取值范围是 ．总结：一元二方程根的分布只需考虑三个方面：（1）a 和△的符号（2）对称轴相对于区间的位置（3）所给区间端点函数值符号【例题精讲】例1.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程x 2-ax+a -7=0的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程ax 2+3x+4=0的根都小于1；（3）方程x 2-2(a+4)x+2a 2+5a +3=0的两个根都在31-≤≤x 内；（4）方程7x 2-（a+13）x+2a -1=0的一个根在10<<x 内，另一个根在21<<x 内．例2.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．【巩固练习】已知方程03)3(24=+--m x m mx 有一个根小于1-，其余三个根都大于1-，求m 的取值范围．三、不等式1、一元二次不等式例1. 解下列不等式（1）()()x x x 2531-<--； （2）()()21311+>+x x x ；（3）()()()233122+>-+x x x ； （4）2223133x x x ->+-； （5）()13112->+-x x x x（6）x 2＋2x －3≤0； （7）x －x 2＋6＜0； （8）4x 2＋4x ＋1≥0； （9）x 2－6x ＋9≤0； （10）－4＋x －x 2＜0．例2.设R m ∈，解关于x 的不等式0322<-+m mx mx ．2、分式不等式及高次不等式（1）简单分式不等式的解法：已知f (x )与g (x )是关于x 的多项式，不等式()0()f x g x >，()0()f x g x <，()0()f x g x ≥，()0()f xg x ≤称为分式不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式不等式．将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解．具体如下：()0()f x g x >①，即()0()0f x g x >⎧⎨>⎩或()0()0f xg x <⎧⎨<⎩，即()()0f x g x ⋅>；()0()f x g x <②，即()0()0f x g x >⎧⎨<⎩或()0()0f x g x <⎧⎨>⎩，即()()0f x g x ⋅<； ()0()f x g x ≥③，即()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅>或()0f x =； ()0()f x g x ≤④，即()()0()0f x g x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅<或()0f x =．（2）简单高次不等式的解法：不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究高次不等式．解高次不等式的方法有两种：方法1：将高次不等式f (x )＞0(＜0)中的多项式f (x )分解成若干个不可约因式的乘积，根据符号法则等价转化为两个或多个不等式（组）即可求解．但应注意：原不等式的解集是各不等式（组）解集的并集，且次数较大时，此种方法比较烦琐．方法2：穿针引线法：①将不等式化为标准形式，右端为0，左端为一次因式（因式中x 的系数为正）或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（奇过偶不过）；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号即可写出解集．例题解析（1）求不等式032≥-+x x 的解集 （2）求不等式3223x x -≥+的解集（3）求不等式221x x 的解集（4）求不等式()()0236522≤++--x x x x 的解集3、恒成立与有解问题一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数()x f y =的图象与x 轴的位置关系问题，若是不等式()0>x f 恒成立，即函数图象恒在x 轴上方，且与x 轴无交点，同理可以得到其他类似情形。
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第1讲数与式910+⨯2(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念对于集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就 说这两个集合是包含关系，集合A 为集合B 的子集。
记作()A B B A ⊆⊇或 读作A 含于B例2.用符号“⊆”、“⊇”、“∈”或“∉”填空：(1){},,,a b c d {},a b ； (2) ∅{}1,2,3； (3) N Q ；(4) 0R ； (5) d {},,a b c ； (6) {}|35x x <<{}|06x x <． 例3.写出集合｛a ，b ｝的所有子集，例4.说出下列每对集合之间的关系．（1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝． （2）P ＝｛x ｜x 2＝1｝，Q ＝｛-1，1｝． （3）N ，N*．例5.设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ） .2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤变式：若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为______【典型例题—2】韦恩图：【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。
例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B=∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }；(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集：【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果AB ，BC ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集变式：已知集}{2230A x x x =--=，}{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．【典型例题—5】空集【内容概述】1、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅2、空集是任何集合的子集。
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第1讲数与式910+⨯2(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念｝，Q＝｛-1，例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B=∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }；(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集：【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果AB ，BC ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集变式：已知集}{2230A x x x =--=，}{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．第6讲集合的基本运算知识点二、交集【内容概述】1、交集的定义：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫做A 与B 的交集.数学语言表述为B A ，},|{B x A x x B A ∈∈=且 .2、交集的运算必须掌握的几条性质：（1）A B B A =；（2）B B A A B A ⊆⊆ ,；（3）∅=∅=∅=A A A A A ,；（4）A B A B A =⇔⊆ ；（5）)()(C B A C B A =.【典型例题】例3.设}6,5,3,1{},4,3,1{},3,2,1{===C B A ,求)(,)(C B A C B A .变式1：已知集合},019|{22为常数a a ax x x A =-+-=，}065|{2=+-=x x x B ， }082|{2=-+=x x x C ，求当a 为何值时，∅≠B A 与∅=C A 同时成立.变式2：已知集合}9,1,5{},,12,0{2a a B a a A --=-=分别符合下列条件的a 的值.（1）B A ∈9； （2）{}B A =9.例4.设集合}|{},1,0,1{2x x x N M ≤=-=，则N M =_______________________.变式1：图中阴影部分用集合表示为_______________.变式2：已知集合}3|{},42|{a x a x B x x A <<=<<=.（1）若∅=B A ，求a 的取值范围；（2）若}4|{<<=x a x B A ，求a 的取值范围.知识点三、补集【内容概述】1.全集：在研究集合与集合之间的关系时，有时这些集合都是某一个给定集合的子集，这个给定集合可以看成一个全集，用符号“U ”表示，也就是说，全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素.2.补集：如果集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集.3.对补集定义的理解要注意以下几点：（1）补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R 当做全集.(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，当然也是一种数学思想.（3）从符号角度来看，若U x ∈，U A ⊂，则A x ∈和A C x U ∈二者必居其一.4.集合图形，理解补集的如下性质：（1）∅====∅∅=)(,)(,)(,,A C A U A C A A A C C U C U C U U U U U U(2)若B A ⊆，则)()(B C A C U U ⊇；反之，若)()(B C A C U U ⊇，则B A ⊆（3）若A=B ，则B C A C U U =；反之，若B C A C U U =，则A=B【典型例题】例 5.设全集U 是实数集R ，}4|{2>=x x A ，}13|{<≥=x x x B 或都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是__________________.变式1：已知集合}012|{2=++=b ax x x A 和}0|{2=+-=b ax x x B满足R U B C A B A C U U ===},4{)(},2{)( ,求实数a 、b 的值.变式2：设集合}123|),{(},,|),{(=--=∈=x y y x M R y x y x U ，}1|),{(+≠=x y y x N ， 则)()(N C M C U U =__________________.例 6.已知全集R U =，}12|{},523|{≤≤-=+<<=x x P a x a x M ，若P C M U ⊂，求实数a 的取值范围.变式1：已知集合},0624|{2R x m mx x x A ∈=++-=，},0|{R x x x B ∈<=，若∅≠B A ，求实数m 的取值范围.变式2：已知集合}50|{≤-<=a x x A ，}62|{≤<-=x a x B . （1）若A B A = ，求a 的取值范围；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.例7.学校50名学生调查对A 、B 两个事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A ，B 都不赞成的学生数比对A ，B 都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A ，B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？例8.设集合}3,2,1{=I ，A 是集合I 的子集，如果把满足I A M = 的集合M 叫做集合A 的“配集”，则当}2,1{=A 时，A 的配集的个数是_________________.课后作业第7讲集合的综合复习第8讲函数的概念与定义域考点及考试要求1.了解函数的概念；2.理解函数的三种表示方法；3.了解简单的分段函数教学内容知识点一、区间的概念【内容概述】设baRba<∈且,,区间是集合的另一种形式.对于区间的理解应注意：2、区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b-a成为区间的长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{}a；3、注意开区间),(ba与点),(ba在具体情景中的区别.若表示点),(ba的集合应为{}),(ba；4、用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；5、对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可用区间形式来表示；6、要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆.【典型例题】例1.把下列数集用区间表示：（1）}1|{-≥xx；（2）}0|{<xx；（3）}11|{<<-xx；（4）}4210|{≤≤<<xxx或知识点二、函数的定义【内容概述】一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称BAf→:为从集合A到集合B的一个函数，记作)(xfy=，Ax∈.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合}|)({Axxf∈叫做函数的值域.显然：BAxxf⊆∈}|)({【典型例题】例5.高为h ，底面半径为R 的圆柱形容器内，以单位时间内体积为a 的速度灌水.试求水面高y 用时间t 表示的函数式，并求其定义域. 例6.已知函数32341++-=ax ax ax y 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.例7.设}20|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M ，下图中的四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）知识点四、抽象函数的定义域【拓展】 【内容概述】（1）函数)(x f 的定义域是指x 的取值范围；（2）函数))((x g f 的定义域是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围；（3）已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中x 的取值范围为B ，求出)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域. 【典型例题】例8.已知函数)(x f 的定义域为]9,0[，求)12(+x f 的定义域.变式1：已知函数)(x f 的定义域为]13,5[，求)(2x f 的定义域.变式2：已知函数)(x f 的定义域为]3,3[-，求)12(2+x f 的定义域.例9.已知函数)(x f 的定义域为]5,21[，)1()1()(++-=x f x f x g 求)(x g 的定义域.变式1：已知函数)(x f 的定义域为]4,31[，)1()()(xf x f xg +=求)(x g 的定义域.变式2：已知函数)(x f 的定义域为]4,1[，)()()(2x f x f x g +=求)(x g 的定义域.知识点五、检验图形是否为函数图像的方法 【内容概述】要判断一个图形是否是函数图象，首先要看图形对应的x 轴部分上的任意一个x 是否都有唯一的y 与之对应.若是，则该图形是函数的图象；若至少有一个x 值，存在两个或两个以上的y 与之对应，则此图形一定不是函数的图象.或者过图形上任一点，作x 轴的垂线，若该垂线与图形无任何其他的公共点，则此图形是函数的图象，否则该图形一定不是函数的图象.除上述之外，还要关注函数的定义域、值域与图象中所示的定义域（图形正对着x 轴上的所有实数）、值域（图形正对y 轴上的所有实数）是否一致. 【典型例题】第9讲 求函数的值域例10.设}20|{},22|{≤≤=≤≤-=y y N x x M ，函数)(x f 的定义域为M ，值域为N ，则)(x f 的图象可以是（ ）A B C D 课下作业1.下列各组函数表示相等函数的是（ ）4、⎩⎨⎧<->=0,,0,)(x x x x f 与||)(x x g =5、12)(+=x x f 与xxx x g +=22)(6、|1|)(2-=x x f 与22)1()(-=t t g7、2)(x x f =与x x g =)(2.函数xx y 1+=的定义域为_______________. 3.函数12)(22-+-=a ax x x f 的定义域为A ，若A ∉2，则a 的取值范围是____.4.已知函数)(x f y =的定义域为]4,1[，求函数)(2x f y =的定义域.5.已知)(x f 的定义域为]2,0(，求函数)()12(2x f x f +-的定义域.教学目标1。
高一数学(衔接班专用)
【知识梳理】
知识点一 常用的乘法公式 (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3. (3)立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3. (4)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. (5)三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. (6)完全立方公式：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3. 知识点二 因式分解的常用方法 (1)十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数， 即运用乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab 的逆运算进行因式分解. (2)提取公因式法：当多项式的各项有公因式时，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积 形式的方法. (3)求根法：若关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是 x1，x2，则二次三项式 ax2＋bx＋c(a≠0)就 可分解为 a(x－x1)(x－x2). (4)试根法：对于简单的高次因式，可以通过先试根再分解的方法分解因式. 如 2x3－x－1，试根知 x＝1 为 2x3－x－1＝0 的根，通过拆项，2x3－x－1＝2x3－2x2＋2x2－2x＋x－1 提取公 因式后分解因式.
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【典例精析】
题型一 对集合含义的理解
例 1 考察下列每组对象能否构成一个集合. (1)不超过 20 的非负数； (2)方程 x2－9＝0 在实数范围内的解； (3)某班的所有高个子同学； (4) 3的近似值的全体； (5)中国著名科学家； (6)小于 8 的所有素数； (7)平面直角坐标系内第一象限的一些点； (8)所有小的正数.
D.x1＝－1，x2＝7
高中数学 暑假新高一数学衔接讲义含初中高中部分
第1讲数与式1910+⨯的正整数n ，有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念}6x<．N*．例5.设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ） .2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤变式：若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为___ ___【典型例题—2】韦恩图：【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。
例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等， 即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B= ∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z } ；(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集：【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果AB ，BC ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集变式：已知集}{2230A x x x =--=，}{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．【典型例题—5】空集【内容概述】1、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅2、空集是任何集合的子集。
新高一数学衔接讲义讲义系列一之欧阳道创编
第1讲数与式910+⨯2(1)n n +⨯+第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念(4) 0R ； (5) d {},,a b c ； (6) {}|35x x <<{}|06x x <．例3.写出集合｛a ，b ｝的所有子集，例4.说出下列每对集合之间的关系． （1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝． （2）P ＝｛x ｜x 2＝1｝，Q ＝｛-1，1｝． （3）N ，N*．例5.设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ） .2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤变式：若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为______【典型例题—2】韦恩图：【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。
例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B=∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }；(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集：【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果AB ，BC ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集变式：已知集}{2230A x x x =--=，}{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．【典型例题—5】空集【内容概述】1、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅2、空集是任何集合的子集。
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第1讲数与式910+⨯2(1)n n ++一元二次函数与二次不等式第2讲第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念对于集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就 说这两个集合是包含关系，集合A 为集合B 的子集。
记作()A B B A ⊆⊇或 读作A 含于B例2.用符号“⊆”、“⊇”、“∈”或“∉”填空：(1){},,,a b c d {},a b ； (2) ∅{}1,2,3； (3) N Q ；(4) 0R ； (5) d {},,a b c ； (6) {}|35x x <<{}|06x x <． 例3.写出集合｛a ，b ｝的所有子集，例4.说出下列每对集合之间的关系．（1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝． （2）P ＝｛x ｜x 2＝1｝，Q ＝｛-1，1｝． （3）N ，N*．例5.设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ） .2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤变式：若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为______【典型例题—2】韦恩图：【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。
例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B=∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }；(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集：【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果AB ，BC ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集变式：已知集}{2230A x x x =--=，}{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．【典型例题—5】空集【内容概述】1、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅2、空集是任何集合的子集。
新高一数学衔接讲义讲义系列一(完整资料)
例14.设 ，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
变式1：对任意的正整数n， ______________-
变式2:选择题：若 ，则 =（ ）
（A）１ （B） （C） （D）
变式3:计算 ．
知识点四、因式分解
【内容概述】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。
②分母中有根式(如 )，或被开方数有分母(如 )．这时可将其化为 形式(如 可化为 ) ，转化为 “分母中有根式”的情况．
化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如 化为 ，其中 与 叫做互为有理化因式)．
【典型例题—2】：有理化因式和分母有理化
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。如 与 ； 与 互为有理化因式。
例24.(x2-5x+2)(x2-5x+4)-8
课后练习
1．填空：
（1） （ ）；
（2） ；
(3) ．
（4）若 ，则 的值为________
（5）若 ，则 ______________
（6） ， ，则 ________________
（7）若 ，则 _______________
（8）若 ，则（ ）
分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。
例9.计算：（1） (2)
例10.设 ，求 的值
知识点三、分式
【典型例题—1】：分式的化简
例11.化简 例12.化简
【典型例题—2】：分式的证明
7.31新高一数学(衔接班)
§1.2.2 函数的表示法（1）1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； .1921复习1：（1）函数的三要素是 、 、 .（2）已知函数21()1f x x =-，则(0)f = ，1()f x = ，()f x 的定义域为 .（3）分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式.复习2：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.二、新课导学※ 学习探究探究任务：函数的三种表示方法讨论：结合具体实例，如：二次函数解析式、股市走势图、银行利率表等，说明三种表示法及优缺点.小结：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值. ※ 典型例题例1 某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种表示法表示函数()y f x =.变式：作业本每本0.3元，买x 个作业本的钱数y （元）. 试用三种方法表示此实例中的函数.反思：例1及变式的函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？例2 邮局寄信，不超过20g 重时付邮资0.5元，超过20g 重而不超过40g 重付邮资1元. 每封x 克（0<x ≤40）重的信应付邮资数y （元）. 试写出y 关于x 的函数解析式，并画出函数的图象.变式： 某水果批发店，100 kg 内单价1元／kg ，500 kg 内、100 kg 及以上0.8元／kg ，500 kg 及以上0.6元／kg ，试写出批发x 千克应付的钱数y （元）的函数解析式.试试：画出函数f (x )=|x －1|＋|x ＋2|的图象.小结：分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）. 在生活实例有哪些分段函数的实例？※ 动手试试练1. 已知223,(,0)()21,[0,)x x f x x x +∈-∞⎧=⎨+∈+∞⎩，求(0)f 、[(1)]f f -的值.练2. 如图，把截面半径为10 cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的边长为x ，面积为y ，把y 表示成x 的函数. 三、总结提升※ 学习小结1. 函数的三种表示方法及优点；2. 分段函数概念；3. 函数图象可以是一些点或线段.※ 知识拓展任意画一个函数y =f (x )的图象，然后作出y =|f (x )| 和 y =f (|x |) 的图象，并尝试简要说明三.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 如下图可作为函数()y f x =的图象的是（ ）.A. B.C. D.2. 函数|1|y x =-的图象是（ ）. A. B. C. D.3. 设22, (1)(), (12)2, (2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥，若()3f x =，则x =（）A. 1B.C. 32D. 4. 设函数f （x ）＝22(2)2(2)x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩≥＋＜，则(1)f -＝ . 5. 已知二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，且图象在y 轴上的截距为0，最小值为－1，则函数()f x 的解析式为.1. 动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始运动一周，设沿正方形ABCD 的运动路程为自变量x ，写出P 点与A 点距离y 与x 的函数关系式，并画出函数的图象.2. 根据下列条件分别求出函数()f x 的解析式.（1）2211()f x x x x +=+；（2）1()2()3f x f x x+=.§1.2.2 函数的表示法（2）1. 了解映射的概念及表示方法；2. 结合简单的对应图示，了解一一映射的概念； .2223复习：举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：① 对于任何一个 ，数轴上都有唯一的点P 和它对应；② 对于坐标平面内任何一个点A ，都有唯一的和它对应；③ 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；④ 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应.你还能说出一些对应的例子吗？讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？二、新课导学※ 学习探究探究任务：映射概念探究 先看几个例子，两个集合A 、B 的元素之间的一些对应关系，并用图示意. ① {1,4,9}A =, {3,2,1,1,2,3}B =---，对应法则：开平方；② {3,2,1,1,2,3}A =---，{1,4,9}B =，对应法则：平方；③ {30,45,60}A =︒︒︒, 1{}2B =, 对应法则：求正弦.新知：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .试试：分析例1 ①～③是否映射？举例日常生活中的映射实例？反思：① 映射的对应情况有 、 ，一对多是映射吗？② 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射. ※ 典型例题例1 探究从集合A 到集合B 一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？（1）A ={P | P 是数轴上的点}，B =R ；（2）A ={三角形}，B ={圆}；（3）A ={ P | P 是平面直角体系中的点}，{(,)|,}B x y x R y R =∈∈；（4） A ={高一学生}，B = {高一班级}.变式：如果是从B 到A 呢？试试：下列对应是否是集合A 到集合B 的映射（1）}}{{1,2,3,4,2,4,6,8A B ==，对应法则是“乘以2”；（2）A = R *，B =R ，对应法则是“求算术平方根”；（3）{}|0,A x x B =≠=R ，对应法则是“求倒数”. ※ 动手试试练1. 下列对应是否是集合A 到集合B 的映射？（1）A ={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则:21f x x →+；（2）*,{0,1}A N B ==，对应法则:f x x →除以2得的余数；（3）A N =，{0,1,2}B =，:f x x →被3除所得的余数；（4）设111{1,2,3,4},{1,,,}234X Y ==1:f x x →； （5）{|2,},A x x x N B N =>∈=，:f x →小于x 的最大质数.练2. 已知集合}{}{,,1,0,1,A a b B ==-从集合A 到集合B 的映射，试问能构造出多少映射？三、总结提升※ 学习小结1. 映射的概念；2. 判定是否是映射主要看两条：一条是A 集合中的元素都要有对应，但B 中元素未必要有对应；二条是A 中元素与B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式． ※ 知识拓展在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v （千米／小时）的平方与车身长s （米）的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里／小时时，车距恰好等于车身上，试写出d 关于v 的函数关系式（其中※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在映射:f A B →中，{(,)|,}A B x y x y R ==∈，且:(,)(,)f x y x y x y →-+，则与A 中的元素(1,2)-对应的B 中的元素为（ ）.A.(3,1)-B.(1,3)C.(1,3)--D.(3,1)2.下列对应:f A B →：① {},0,:;A R B x R x f x x ==∈>→②*,,:1;A N B N f x x ==→-③{}20,,:.A x R x B R f x x =∈>=→不是从集合A 到B 映射的有（ ）.A. ①②③B. ①②C. ②③D. ①③3. 已知0(0)()(0)1(0)x f x x x x π<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则{[(1)]}f f f -=（ ）A. 0B. πC. 1π+D.无法求4. 若1()1x f x x=-， 则)(x f = . 2. 中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x 分钟，两种通讯方式费用分别为12,y y （元）.（1）写出12,y y与x 之间的函数关系式？（2）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？（3）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？21则f [g (x )] = .1. 若函数()y f x =的定义域为[-1，1]，求函数11()()44y f x f x =+- 的定义域.。
新高一数学衔接课第一讲因式分解
初高中数学衔接课讲义前言同学们好！恭喜你们开始进入高中阶段的学习，开启人生新的征程！高中数学是建立在小学及初中数学基础之上的，在思维方式与难度以及知识量上会有所加大。
有些章节之间互相联系较为紧密，且有少部分知识，初中与高中数学教材中可能都未涉及到，但默认要求一般高中生必须掌握。
为了更好的让步入高中的初中毕业生们学好高中数学，提前学习初高中数学衔接课是有必要的。
为了让你们更好地学习高中数学，提一点个人的建议，仅供参考：1、高中数学更加注重数学思想方法的领悟与运用。
从大方面来说，一般有：数形结合思想，分类讨论思想，函数与方程思想，转化与化归思想，极限思想。
尤其要注重数形结合思想，需要同学们经常要画图，联想量的几何意义；2、高中数学题目的运算量普遍加大，需大幅提升运算能力，在运算方面做到既准又快；3、加强考虑问题的周全性；4、知道知识的来龙去脉，例如三角函数章节的公式较多，但原理性的公式并不多，好多公式都是由基本的几个公式推导得来。
重在理解与活用。
最后，预祝同学们在高中学习的征程中一切顺利！第一讲因式分解与一元二次不等式知识要点：1、十字相乘法分解因式：2()()()+++=++；x p q x pq x p x q2()()()+++=++；abx ad bc x cd ax c bx d注意：对角线相乘再相加，配成中间的一次项。
2、立方和与立方差公式：3322()()x y x y x xy y +=+-+；3322()()x y x y x xy y -=-++ .证明：Q 322322223()()(2)(2)(2)x y x y x xy y x x y xy x y xy y +=+++=+++++ 332233x y xy xy =+++，22()()x y x xy y =+-+ .同理可证3322()()x y x y x xy y -=-++ .因式分解的常见方法有：①提取公因式法（活用乘法分配律）；②运用公式法（平方差公式、完全平方公式、立方和与立方差公式等）； ③分组分解法；④十字相乘法；⑤求根公式法；还有其它一些方法，如换元法、待定系数法、拆项添项法等。
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A.Error!
{ }1
B. － 3
C.Error!
D．R
4.m 为 何值时，抛物线 y 2xm2 4m3 x m 1的顶点在 x 轴下方（ ）
A.m=5
B.m=－1
C.m=5,或 m=－1
D.m=1
5.在 R 上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足 x⊙(x－2)＜0 的实数 x 的取值范围为( )．
（1） x 2 5x 6
2.解不等式
（1） 3x2 7x 2 0
（3） x2 2x 3 0 .
B．(1，＋∞)
( )1
D. －∞，－ ∪(1，＋∞) 2
（2） x 4 2x 2 8
（2） 3x 2 2x2 . （4） (x 4)(x 1) 0
3.不等式 9x2＋6x＋1≤0 的解集是( )．
A．(0,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－1,2)
6.不等式 x2＋ax＋4＜0 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是( )．
A．－4≤a≤4
B．－4＜a＜4
C．a≥4 或 a≤－4
D．a＜－4 或 a＞4
7.已知函数 y＝x2+2x－3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，
（B） x 3y
（C） x 3y
（2）x2－2x－1；
（
）
（D） x 5y
3.解方程： (1).x2－14x+13=0
(3).x2－(4+ )x+3+ =0
(2)1949x2－1999x+50=0 (4).x2－2000x+1999=0
2 / 49
4.求函数 y=-3x2-6x+2 的顶点坐标，对称轴，最值
例 4.设不等式 ax2 bx 1 0 的解集为{x | 1 x 13} ，求 ab
训练
4.已知二次不等式
ax2
bx
c
0
的解集为 {x
|
x
1 3
或x
12}
，求关于
x
的不等式
cx2 bx a 0
【过关检测】
1.多项式 2x2 xy 15 y2 的一个因式为
（A） 2x 5y
2.分解因式 （1）x2＋6x＋8；
1.二次函数与一元二次方程的性质如下表：
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
2.(1)集合表示法： x | x a或x b,x | a x b等。
（2）区间表示法：设 a、b 是两个实数，且 a<b，则： {x | a x b} [a,b] 叫 区间；
A．80≤a＜125
B．80＜a＜125
C．a＜80
D．a＞125
8.已知函数 y＝x2+2x－3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，
并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值：
（1）x≤－2；
（2）x≤2；
（3）－3≤x≤－1；
[ ] 1 1
9. 已 知 不 等 式 ax2 － bx － 1≥0 的 解 集 是 － ，－ ， 则 不 等 式 x2 － bx － a ＜ 0 的 解 集 是 23
5.解不等式
（1） 4x2 12x 9 0
（2） x2 4x 4 0
（3） 3 5x 2x2 0
（4） 2x2 x 1 0
6.函数 y x2 6x m 的值恒小于 0，那么实数 m 的值满足（ ）
A.m>9
9
B.m=
2
C.m<9
9
D.m>
2
7.如果关于 x 的不等式 5x2－a≤0 的正整数解是 1,2,3,4，那么实数 a 的取值范围是( )．
（2） y x2 2x 3 的图像；
训练 2.函数 y＝2x2＋4x－5 中，当－3≤x＜2 时，则 y 值的取值范围是
（A）－3≤y≤1
（B）－7≤y≤1
（C）－7≤y≤11
（D）－7≤y＜11
例 3. 解不等式： x 2 8x 12 0
（）
训练 3.（2012.湖南）不等式 x2-5x+6≤0 的解集为____
（要求：本次课在学生学有余力的情况下，教师可以补充以下内容： 1.可以将解一元二次不等式与解分式不等式合起来讲，并补充根式不等式、高次不
等式、含一个绝对值符号的不等式的解法； 2.一定要讲授立方和、立方差的分解公式； 3.二次根式的化简。）
【学习目标】
1.复习因式分解（十字交差法，公式法）、解一元二次方程、画二次函数的图像 2 通过图象,理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系 3 学会解一元二次不等式、学会不等式解集的表示方法 【知识要点】
的实数 的集合分别表示为
____________、____________、____________、____________。
【合作交流】 例 1.分解因式：（1）x2－3x＋2=
(2) x2 5x 3 =
训练 1.．分解因式：（1）x2＋4x－12=
(2) x2 2x 1
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例 2.作出二次函数（1） y (x 1)2
( )．
A．(2,3)
B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
( ) 1 1
C. ， 32
( ) ( ) 1 1
D. －∞， ∪ ，＋∞ 32
【高考精典】 (2011·广东)不等式 2x2－x－1＞0 的解集是( )．
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( )1
A. － ，1 2
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) 【家庭作业】 1.分解因式
{x | a x b} (a,b) 叫
区间； {x | a x b} [a,b) ，{x | a x b} (a,b] 都叫半开半
闭区间．实数集 R 用区间 (, ) 表示，其中“∞”读“
”；“－∞”读“负无穷大”；
“+∞” 读 “ 正 无 穷 大 ”. 我 们 可 以 把 满 足
（A） 1
（B） 2
（C） 1
（D） 2
第二讲《1.1.1 集合的含义与表示》
并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值：
(1)－3≤x≤0；
(2)-3≤x≤1；
(3)-3≤x≤2
8.不等式 ax2＋(ab＋1)x＋b＞0 的解集为{x|1＜x＜2}，则 a＋b＝________. 4 / 49
9.已知 x 4 x3 x 2 2 (x 2 mx 1)(x 2 nx 2) ，那么 m n 的值为（ ）