最新沪科版初中数学九年级上册二次函数及其应用复习专题训练
二次函数及其应用复习专题训练
一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、抛物线 y ＝a －2＋1 的开口向＿＿＿＿。
２、抛物线 y ＝22 的对称轴是＿＿＿＿。
３、函数 y ＝2 (－1)2 图象的顶点坐标为＿＿＿＿。
４、将抛物线 y ＝22 向下平移 2
＿＿＿＿＿。
５、函数 y
＝2
＋b ＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b ６、二次函数 y ＝(－1)2＋2，当 ＝＿＿＿＿时，y 有最小值。
７、函数 y ＝12 (－1)2
＋3，当 ＿＿＿＿时，函数值 y 随８、将 y ＝2－2＋3 化成 y ＝a (－h)2＋ 的形式，则９、若点 A ( 2, ) 在函数 y ＝2－1 的图像上，则 A 10、抛物线 y ＝22＋3－4 与 y 轴的交点坐标是＿＿＿＿。
11、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
12、已知二次函数 y ＝a 2＋b ＋c 的图像如图所示：则这个二次函数的解析式是 y ＝＿＿＿。
二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）
１、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）
A 、一次函数关系
B 、正比例函数关系 、反比例函数关系 D 、二次函数关系
２、已知函数 y ＝(＋2)
是二次函数，则 等于（ ）
A 、±2
B 、2 、－2 D 、±2
３、已知 y ＝a 2＋b ＋c 的图像如图所示，则 a 、b 、c 满足（ ） A 、a ＜0，b ＜0，c ＜0 B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0
、a ＜0，b ＞0，c ＞0 D 、a ＜0，b ＜0，c ＞0
４、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝1
2gt 2（g ＝98），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）
A B
D
５、抛物线 y ＝－2 不具有的性质是（ ） A 、开口向下 B 、对称轴是 y 轴 、与 y 轴不相交
D 、最高点是原点
６、抛物线 y ＝2－4＋c 的顶点在 轴，则 c 的值是（ ） A 、0
B 、4
、－4
D 、2
三、解答题：（每题 9 分，共 45 分）
１、如图，矩形的长是 4c ，宽是 3c ，如果将长和宽都增加 c ，那么面积增加 yc 2， ① 求 y 与 之间的函数关系式。
② 求当边长增加多少时，面积增加 8c
2。
t
t
t
t
２、已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2），求抛物线的解析式。
３、已知二次函数的图像经过（0，1），（2，1）和（3，4），求该二次函数的解析式。
４、用 6 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？
５、某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系。
观察图像，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？（至少写出四条）
四、（10分）校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y () 与水平距离 () 之间的函数关系式为 y ＝－1122＋23＋5
3，求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度。
五、（10分）某企业投资100万元引进一条农产品生产线，预计投产后每年可创收33万元，设生产线投产后，从第一年到第 年维修、保养费累．
计．
为 y （万元），且 y ＝a 2
＋b ，若第一年的维修、保养费为 2 万元，第二年的为 4 万元。
求：y 的解析式。
六、（12分）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4，
跨度为 10，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中。
3.5 0.5
2
7
月份 千克销售价(元)
①求这条抛物线所对应的函数关系式。
②如图，在对称轴右边 1 处，桥洞离水面的高是多少？
七、（13分）商场销售一批衬衫，每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出 2 件。
①设每件降价元，每天盈利 y 元，列出 y 与之间的函数关系式；
②若商场每天要盈利 1200 元，每件应降价多少元？
③每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
答案：
（八）
一、1、下2、y 轴3、(1, 0) 4、y＝22－2 5、4 6、1 7、＞1 8、(－1)2＋2
9、(2, 3) 10、(0, －4) 11、y＝(－2)2＋3 12、(－1)2－1
二、1、D 2、B 3、D 4、B 5、6、B
三、1、① y＝(4＋) (3＋)－12 ＝7＋2②8＝7＋2
1＝1，
2
＝－8
2、解：y＝a (＋2)2＋1 －2＝a (1＋2)2＋1 a＝－1
3
∴y＝－
1
3
(＋2)2＋1
3、解：设 y＝a2＋b＋c，则：1＝c
1＝4a＋2b＋c
4＝9a＋3b＋c
，解得
a＝1
b＝－2
c＝1
∴y＝2－2
＋1
4、解：设宽为、，则长为 (3－3
2) S＝3－3
2
2＝－3
2
(2－2) ＝
－3
2 (－1)2＋3
2
当＝1时，透光面积最大为3
2
2。
5、①2月份每千克35元②7月份每千克05克③7月份的售价最低④2～7月份售价下跌
四、解：成绩10米，出手高度5
3
米
五、①解：2＝a＋b
6＝4a＋2b 解得a＝1
b＝1
∴y＝2＋
六、解：①设y＝a (－5)2＋4 0＝a (－5)2＋4 a＝－4
25∴y＝－4
25
(－5)2＋4
②当＝6时，y＝－4
25
＋4＝34()
七、解：①y＝(40－) (20＋2) ＝－22＋60＋800 ②1200＝－22＋60＋800
1＝20，
2
＝10 ∵要扩大销售∴取20元
③y＝－2 (2－30)＋800 ＝－2 (－15)2＋1250 ∴当每件降价
15元时，盈利最大为1250元。
沪科版九上数学初三数学二次函数和反比例函数专项训练
沪科版九上数学二次函数和反比例函数专项训练1.二次函数2(1)2y x=-+的最小值是（）A．2-B．2C．1-D．12.如图，抛物线)0(2>++=acbxaxy的对称轴是直线1=x，且经过点P（3，0），则cba+-的值为A. 0B. －1C. 1D. 23.二次函数22(1)3y x=-+的图象的顶点坐标是（）A．(13)，B．(13)-，C．(13)-，D．(13)--，4.函数2y ax b y ax bx c=+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（）5.将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时,长方体的体积最大A. 7B. 6C. 5D. 46.下列命题：①若0a b c++=，则240b ac-≥；②若b a c>+，则一元二次方程20ax bx c++=有两个不相等的实数根；③若23b a c=+，则一元二次方程20ax bx c++=有两个不相等的实数根；④若240b ac->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）．Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②③④．7.如图所示是二次函数2122y x=-+的图象在x轴上方的一部分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最．接近的值是（）A．4 B．163C．2πD．88.在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是A．y＝2(x－2)2 + 2 B．y＝2(x + 2)2－2C．y＝2(x－2)2－2 D．y＝2(x + 2)2 + 29.如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数kyx=过点A，则k的值是（）Ｏxyy–1 33O xP1A ．2B ．2-C ．4D ．4-10.一个函数的图象如图，给出以下结论： ①当0x =时，函数值最大；②当02x <<时，函数y 随x 的增大而减小； ③存在001x <<，当0x x =时，函数值为0．其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③11.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是 m ． 12.初三数学课本上，用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时， x … 2-1- 0 1 2 … y…162- 4-122- 2-122- …根据表格上的信息回答问题：该二次函数2y ax bx c =++在3x =时，y =13. 已知函数22y x x c =-++的部分图象如图所示,则c=______,当x______时,y 随x 的增大而减小. 14.如图，在反比例函数2y x=（0x >）的图象上，有点1234P P P P ，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为123S S S ，，，则123S S S ++=．15.如图，在平面直角坐标系中，函数ky x =（0x >，常数0k >）的图象经过点(12)A ，，()B m n ，，（1m >），过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．若ABC △的面积为2，则点B 的坐标为 ．16.已知一次函数y =ax ＋b 的图像与反比例函数4y x=的图像交于A （2，2），B (－1，m )，求一次函数的解析式．yOxC A (1，2) B (m ，n )（第10ox1317.已知二次函数y=x 2-2x-1。
21.4 二次函数的应用 沪科版数学九年级上册课后练习(含答案解析)
二次函数的应用一、单选题1．如图，小明以抛物线y=x2-2x+4为灵感设计了一款杯子，若AB=4，DE=2，则杯子的高CE为（）A．4B．5C．6D．72．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（）A．18m2B．12 m2C．16 m2D．22 m23．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB距离为（）A．180m B．200m C．220m D．240m4．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为（）．A．B．C．D．5．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．A．60B．65C．70D．756．将进货价为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价为元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（）A．B．C．D．7．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）A．米B．8米C．10米D．2米8．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）A．球不会过网B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界D．无法确定9．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（ ）A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1B．水流喷射的最远水平距离是40米C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌10．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，若第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么与的函数关系是（）A．B．C．D．11．汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）的关系大致如下：S甲，S乙．由此可以推测（ ）A．甲车超速B．乙车超速C．两车都超速D．两车都未超速12．如图，菱形的边长是，，动点P从点A出发，以的速度沿运动至点C，动点Q从点A出发，以的速度沿运动至点C．若P，Q同时出发，设运动时间为，的面积为（当B，P，Q三点共线时，不妨设），则下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）A．B．B．C．D．二、填空题13．如图，要在夹角为30°的两条小路与形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边和上取点和点，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若和两段篱笆的总长为8米，则当______米时，该花坛的面积最大．14．如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等．小强骑自行车从桥的一端0沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需_____________秒．15．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．16．为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩是___．17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD 绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于____________．三、解答题18．用规格长为6m，宽为0.1m的铝合金型材，恰好制作成一个“日”字型窗子的边框（如图1，不计耗损），中间装长x m，宽y m完全一样的两张玻璃．这个窗子要装入最大边长为1.5m的正方形墙洞（如图2）中．（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围．（2）这个窗子的采光面积（两张玻璃面积之和）存在最大值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．19．一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个高为9米的柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如果抛物线的最高点M离柱形喷水装置1米，离地面12米，若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少米时，才能使喷出的水流不落在池外？20．某商场将一种每件成本价为10元的商品连续加价两次后，以每件24元作为定价售出．已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多．（1）求第一次加价的增长率；（2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出100个．如果销售单价每降低1元，销售量就可以增加10件．那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？21．在“学习一项体育技能”活动中，小明作为学生代表去观看“青岛黄海足球队”的训练．他看到队员们在做掷界外球训练，甲球员要将足球掷给离他7.5米远的乙球员，掷出足球的运行轨还是一条抛物线，足球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系如图所示，足球出手时离地面的高度为2米，在距离甲球员4米处达到最大高度3.6米．若不计其他因素，身高1.85米的乙球员要能触到足球，他垂直起跳的高度至少要达到多少米？22．如图，是等腰直角三角形，，，点P是边上一动点，沿的路径移动，过点P作于点D，设，的面积为y．（1）当时，求y的值；（2）在这一变化过程中，写出y关于x的函数解析式及x的取值范围；（3）当x取何范围时，（直接写出结果即可）．参考答案1．C解：∵=（x-1）2+3，∴抛物线的顶点D的坐标为（1，3），∵AB=4，∴BC=2，点B的横坐标为x =3，把x =3代入得y=7，∴CD=7-3=4，∴CE=CE+DE=4+2=6，故选：C.2．A解：设与墙垂直的矩形的边长为xm，则这个花园的面积是：S=x（12-2x）=，∴当x=3时，S取得最大值，此时S=18，故选：A．3．B解：以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：，，，设抛物线的解析式为，将代入，得：，解得：，，抛物线顶端的坐标为，此抛物线顶端到连桥距离为．故选：B．4．D解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2），设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得：0=a×4+2，解得：a=-．∴抛物线的解析式为y=-x2+2，∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=-x2+2，解得：x=±．∵-（-）=2，∴水面宽度为2m．故选：D．5．C解：每顶头盔降价x元，利润为w元，由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，故选：C．6．B解：设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，根据题意可得：即y=（x-35）（400-5x），故选：B．7．B解：当y＝0时，即＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，故选：B．8．C解：根据题意,将点A(0,2)代入得：36a+2.6=2，解得：∴y与x的关系式为当x=9时,∴球能过球网，当x=18时,∴球会出界.故选C.9．D解：A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，把（0，1）代入解析式得：400a+11=1，解得：，∴解析式为；故A不符合题意；B、当y=0时，；解得x=2+20，∴水流喷射的最远水平距离是2+20米；故B不符合题意；C、当x=20时，y=11，∴11-2=9∴喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9米故C不符合题意；D、向后平移后的解析式为，当x=37时，y=8.58.5-3=5.5＞2.3，∴可以避开对这棵石榴树的喷灌；故选：D10．A解：第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，第三个月的增长率为第一个月投放辆单车，第二个月投放辆第三个月投放量故选：A．11．B解：由，先求出，x的解也就是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标：从图象可得，x是在A点的左侧以及B点的右侧，即或．由，先求出，x的解也就是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标：从图象可得，x是在C点的左侧以及D点的右侧，即或．由于，从而可得：，．经比较：乙车超过限速．故选：B．12．B解：当0≤t≤2时，BQ=4﹣2t，AP= t,点P到AB的距离为t，S＝（4﹣2t）×t＝﹣（t﹣1）2+，∴该函数图象开口向下，当2＜t≤4时，BQ=4﹣2t，点P在AD上，到BC的距离为×4，S＝×（2t﹣4）××4＝2t﹣4，∴该函数图象是线段，且y随x的增大而增大，当4＜t≤8时，S＝×4××（8﹣t）＝8﹣t，∴该函数图象是线段，且y随x的增大而减小．故选：B．13．4解：设OP=x，则OQ=8-x，过点P作PM⊥OQ,交OQ于点M，如图，∵∴∴∵∴函数图象开口向下，有最大值，为4，故当OP=4时，花坛的面积最大．故答案为：4．14．46解：∵主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，且小强骑行18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，∴MN的对称轴为直线x==23，∴他通过整个桥面OA共需23×2=46（秒）．故答案为：46．15．1264解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．据题意：∴∵∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：126416．7m解：由题意，得当y＝0时，，化简，得：，解得：（舍去），故答案为：7m．17．解：如图，△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，∴△BDC≌△AEC，∴∠B=∠CAE，∵BC=AC=，△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠CAE=∠BAC=45°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理AB=，设BD=AE=x，则AD=（2-x），∴，∵，函数开口向下，函数有最大值，当x=1时，．故答案为：．18．（1）y＝﹣0.75x+1.35，1≤x≤1.3；（2）这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2，见解析．解：（1）由题意，得3x+2（2y+0.1×3）＝6，整理，得3x+4y＝5.4，∴y＝﹣0.75x+1.35，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.75x+1.35，由题意，得，解得1≤x≤1.3，即x的取值范围是1≤x≤1.3；（2）设这个窗子的采光面积为Sm2，由题意，得S＝2xy＝2x（﹣0.75x+1.35）＝﹣1.5x2+2.7x，配方，得S＝﹣1.5（x﹣0.9）2+1.215，∵a＝﹣1.5＜0，对称轴为x＝0.9，∴当x＞0.9时，y随x的增大而减小，∵1≤x≤1.3，∴当x＝1时，S有最大值，S最大＝1.2，答：这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2．19．3米解：由题意可得：抛物线顶点坐标为（1，12），A点坐标为（0，9），故设抛物线解析式为：，则，解得：a＝﹣3，故抛物线解析式为：，当y＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝3，则水池的半径OB至少为3米时，才能使喷出的水流不落在池外．20．（1）50%；（2）当销售单价为22元/个时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1440元解：（1）解：设第一次加价的增长率为x，由题意得解得：（不合题意，舍去）答：第一次加价的增长率为．（2）解：当销售单价为m元/个时，获得的利润为y元，由题意得∵∴当时，y可取得最大值为1440答：当销售单价为22元/个时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1440元．21．他垂直起跳的高度至少要达到米解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为，与抛出点的坐标为，设抛物线的解析式为：，顶点坐标代入得：，抛出点坐标代入得：，解得：，∴抛物线得解析式为：，当时，，米，故他垂直起跳的高度至少要达到米．22．（1）；（2）；（3）x的取值范围为：或解：（Ⅰ）是等腰直角三角形，则，因为PD⊥BC ，则为等腰直角三角形，故，则，当时，；（Ⅱ）当点在上运动时，由（1）知，，当点在上运动时，同理可得为等腰直角三角形，则，则，故；（Ⅲ）①当时，则，当时，即，解得（舍去负值），当时，即，解得（舍去负值），故；②当时，则，当时，即=，解得：，当时，即，解得：，故；综上，x的取值范围为：或．。
沪科版初三数学二次函数基础复习题
沪科版初三数学二次函数基础练习题【对称轴】1、抛物线对称轴是直线（）A．B．C．D．【顶点】1、抛物线顶点坐标是（）A．（2，3）B．（－2，3）C．（2，－3）D．（－2，－3）【顶点】2、抛物线（是常数）顶点坐标是（）A．B．C．D．【顶点】3、二次函数图象顶点坐标是（）A．B．C．D．【顶点】4、抛物线顶点坐标为（A）（-2，7）（B）（-2，-25）（C）（2，7）（D）（2，-9）【平移】1、在平面直角坐标系中，将二次函数图象向上平移2个单位，所得图象解析式为A．B．C．D．【平移】2、将抛物线向下平移1个单位，得到抛物线是（）A．B．C．D．【平移】3、将函数图象向右平移a个单位，得到函数图象，则a值为A．1 B．2 C．3 D．4【平移】4、把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线解析式为A．B．C．D．【平移】5、把二次函数图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到图象对应二次函数关系式是（）（A）（B）（C）（D）【最值】1、向上发射一枚炮弹，经x秒后高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2 bx。
若此炮弹在第7秒与第14秒时高度相等，则再下列哪一个时间高度是最高？(A) 第8秒(B) 第10秒(C) 第12秒(D) 第15秒。
【最值】2、二次函数最小值是（）A．2 B．1 C．－3 D．【最值】3、已知二次函数，为常数，当y达到最小值时，x值为（）（A）（B）（C）（D）【对称轴、最值】如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同对称轴，下列关系不正确．．．是（）A．B．C．D．【符号】1、已知二次函数（）图象如图4所示，有下列四个结论：④，其中正确个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【符号】2、二次函数图象如图所示，则下列关系式中错误．．是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．＞0D ．＞0【符号】3、已知=次函数y ＝ax +bx+c 图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ，2a －b 中，其值大于0个数为（ ）A ．1B 2C 、3D 、41图4O y3yxO1 －1【符号】4、不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)值恒大于0条件是( )A.a>0,△>0B.a>0, △<0C.a<0, △<0D.a<0, △<0【符号】5、二次函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内图象大致为（ ）【图像】1、(3)已知抛物线y=ax 2+bx,当a>0,b<0时,它图象经过()A.一、二、三象限B.一、二、四象限 C ．一、三、四象限 D.一、二、三、四象限【图像】2、(2009年陕西省)根据下表中二次函数自变量x 与函数y 对应值，可判断二次函数图像与xx … －1 0 1 2… y … －1－2…A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点【图像】3、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）图象可能是（ ）1 O x y y x Oy xO y x O yxO【图像】4、抛物线图象如图所示，根据图象可知，抛物线解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2-x-2 B 、y=C 、y=D 、y=【图像】5、二次函数图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上两点，则y 1与y 2大小关系是（）A ．B ．C ．D ．不能确定【图像】6、（2009丽水市）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0.②该函数图象关于直线对称.③当时，函数y 值都等于0.其中正确结论个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0B ．C ．D ．1111xo yyo x yo xxoyO【应用】1、（1）是一个横断面为抛物线形状拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞最高点）离水面2m，水面宽4m。
沪科版九年级上册数学 小专题(二) 二次函数的应用练习
沪科版九年级上册数学小专题(二) 二次函数的应用练习类型1二次函数与代数的结合1.抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点坐标是(C)A.(0,-1)B.(1,0)C.(1+√2,0),(1-√2,0)D.(-1+√2,0),(-1-√2,0)2.已知抛物线y=x2-5x-6.(1)若该抛物线与y轴交于点C,求点C的坐标;(2)若该抛物线与x轴交于点A和点B(点A在点B左侧),求点A、点B的坐标.解:(1)当x=0时,y=-6,所以点C坐标为(0,-6).(2)当y=0时,x2-5x-6=0,解得x1=-1,x2=6,因为点A 在点B左侧,所以点A坐标为(-1,0),点B坐标为(6,0).3.(绵阳中考)将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是(D)A.b>8B.b>-8C.b≥8D.b≥-84.求证:函数y=mx2-(3m-1)x+2m-2的图象与x轴必有交点.证明:①当m=0时,函数为一次函数y=x-2,其图象与x轴有交点(2,0);②当m≠0,函数为二次函数,∵Δ=(3m-1)2-4m(2m-2)=m2+2m+1=(m+1)2≥0,∴抛物线y=mx2-(3m-1)x+2m-2与x轴必有交点.5.如图,抛物线y=-2x2+nx-6与x轴交于点A(m,0),B(3,0).(1)求m,n的值;(2)点D是该抛物线在第一象限部分上的一动点,△ABD的面积是否能等于6?若能,求出点D的坐标;若不能,请说明理由.解:(1)抛物线y=-2x2+nx-6经过点B(3,0),所以0=-18+3n-6,n=8;抛物线为y=-2x2+8x-6,当y=0时,即-2x2+8x-6=0,解得x=1或x=3,所以点A坐标为(1,0),m=1.(2)不能.理由:设点D 的横坐标为m ,则点D 的纵坐标为-2m 2+8m-6,由(1)得点A 坐标为(1,0),点B 坐标为(3,0),所以AB=2,又点D 在第一象限,结合三角形面积公式有12×2·(-2m 2+8m-6)=6,整理为m 2-4m+6=0,由于Δ=(-4)2-24=-8<0,此方程无实数解,所以△ABD 的面积不能等于6.类型2 二次函数与三角形的结合6.如图,二次函数y=-35x 2+bx+c 的图象经过点A (5,0)与B (0,3).(1)试确定该二次函数;(2)若点C 是该二次函数图象的顶点,试确定点C 的坐标;(3)点P 是该二次函数对称轴上一动点,若以点P ,点O ,点B 为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出点P 的坐标(不用说理).解:(1)根据题意,得{c =3,-35×52+5b +3=0,解得{b =125,c =3,所以二次函数表达式为y=-35x 2+125x+3.(2)y=-35x 2+125x+3=-35(x 2-4x )+3=-35(x-2)2+275,所以顶点C 的坐标为(2,275). (3)点P 坐标为(2,32)或(2,√5)或(2,-√5)或(2,3-√5)或(2,3+√5).类型3 二次函数与四边形的结合7.(湖南岳阳)如图,抛物线y=23x 2+bx+c 经过点B (3,0),C (0,-2),直线l :y=-23x-23交y 轴于点E ,且与抛物线交于A ,D 两点.P 为抛物线上一动点(不与A ,D 重合).(1)求抛物线的表达式;(2)当点P 在直线l 下方时,过点P 作PM ∥x 轴交l 于点M ,PN ∥y 轴交l 于点N.求PM+PN 的最大值;(3)设F 为直线l 上的点,以E ,C ,P ,F 为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能,求出点F 的坐标;若不能,请说明理由.解:(1)将B (3,0),C (0,-2)代入y=23x 2+bx+c ,得{6+3b +c =0,c =-2,解得(b =-43,c =-2, ∴抛物线的表达式为y=23x 2-43x-2. (2)设P (a ,23a 2-43a -2)(-1<a<2),则N (a ,-23a -23), ∴PN=-23a 2+23a+43=-23(a -12)2+32≤32,∵M ,N 在直线l :y=-23x-23上,PM ∥x ,PN ∥y ,∴PN PM =23,∴PM+PN=52PN ≤154. 即PM+PN 的最大值为154. (3)能.F 点的坐标为(1,-43),(-1,0),(1+√172,-3+√173),(1-√172,3-√173).类型4 最值问题8.如图,直线y=kx+b (k ,b 为常数)分别与x 轴、y轴交于点C (-3,0),D (0,3),抛物线y=-23x 2+43x+2与x 轴交于点A 和点B (点A 在点B 的左侧).(1)求直线y=kx+b 的表达式;(2)求点A 和点B 的坐标;(3)若直线l 与x 轴垂直,在点A 与点B 之间移动,且与直线y=kx+b (k ,b 为常数)交于点E ,与抛物线y=-23x 2+43x+2交于点F ,求EF 的最小值. 解:(1)∵直线y=kx+b 经过点C (-3,0),D (0,3), ∴{-3k +b =0,b =3,解得{k =1,b =3,∴直线的表达式是y=x+3.(2)当y=0时,即-23x 2+43x+2=0,解得x 1=-1,x 2=3,又点A 在点B 的左侧,所以点A 坐标为(-1,0),点B 坐标为(3,0).(3)令点E ,F 的横坐标为a ,EF=s ,点F 的纵坐标为-23a 2+43a+2,点E 的纵坐标为a+3,所以s=(a+3)-(-23a 2+43a +2)=23a 2-13a+1(-1<a<3), 又s=23a 2-13a+1=23(a 2-12a )+1=23(a-14)2+2324,由于23>0,所以抛物线的开口向上,又-1<a<3,所以当a=14时,s 有最小值2324,且最小值为2324,即EF 的最小值为2324. 类型5 利润问题9.已知老王一个月销售某种服装x (件)与获得利润y (元)满足表达式:y=-x 2+1200x-120190,则当一个月卖出600件衣服时,获得最大利润240000元.10.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:w=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元).(1)求y与x之间的函数表达式;(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?解:(1)y=(x-20)(-2x+80)=-2x2+120x-1600.(2)y=-2x2+120x-1600=-2(x-30)2+200,∴当x=30时,y有最大值200,即当销售价定为30元/千克时,每天可获最大销售利润200元.(3)当y=150时,可得方程-2(x-30)2+200=150,解得x1=25,x2=35,根据题意,x2=35不合题意,应舍去,∴当销售价定为25元/千克时,该农户每天可获得销售利润150元.类型6几何图形面积问题11.用长为6 m的铝合金条制成“日”字型矩形窗户,使窗户的透光面积最大(如图),那么这个窗户的最大透光面积是(C) m2 B.1 m2A.23m2 D.3 m2C.3212.如图,用长20 m的篱笆,一面靠墙(墙足够长)围成一个长方形的园子,园子的最大面积是50 m2.13.如图所示,某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛.矩形的四个顶点分别在菱形的四条边上,菱形的边长AB=4米,∠ABC=60°.设AE=x米(0<x<4),矩形的面积为S平方米.(1)求S与x的函数表达式;(2)学校准备在矩形内种植红色花草,四个三角形内种植黄色花草,已知红色花草的价格为20元/平方米,黄色花草的价格为40元/平方米.当x为何值时,购买花草所需的总费用最低,最低总费用是多少?(结果保留根号)解:(1)连接AC,BD,AC与EH交于点M.∵花坛为菱形,∠ABC=60°,∴△ABC,△BEF是等边三角形,AC⊥EH.∴EF=BE=AB-AE=4-x.x,在Rt△AEM中,∠AEM=30°,易得EM=√32∴EH=2EM=√3x.∴S=EH·EF=√3x·(4-x),即S=-√3x2+4√3x. (2)∵红色花草价格比黄色花草便宜,∴当矩形面积最大时,购买花草的总费用最低.又∵S=-√3x2+4√3x=-√3(x-2)2+4√3,∴当x=2时,S最大=4√3.易得S=8√3,菱形ABCD此时四个三角形的面积为8√3-4√3=4√3.∴最低总费用为20×4√3+40×4√3=240√3(元).类型7 分段函数问题14.(达州中考)宏兴企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在14天内完成.已知每件产品的出厂价为60元.工人甲第x 天生产的产品数量为y 件,y 与x 满足如下关系:y={7.5x (0≤x ≤4),5x +10(4<x ≤14),(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件?(2)设第x 天生产的产品成本为P 元/件,P 与x 的函数图象如图.工人甲第x 天创造的利润为W 元,求W 与x 的函数表达式,并求出第几天时,利润最大,最大利润是多少?解:(1)当0≤x ≤4,当x=4时,7.5×4=30<70,当4<x ≤14时,70=5x+10,解得x=12,∴工人甲第12天生产的产品数量为70件.(2)当0≤x ≤4时,W=(60-40)×7.5x=150x ,当x=4时,w 有最大值为600元;当4<x ≤14,设成本与x 之间的函数表达式为P=kx+b ,代入点(4,40),(14,50)得{4k +b =40,14k +b =50,解得k=1,b=36,∴P=x+36. ∴W=[60-(x+36)](5x+10)=-5(x-11)2+845, ∴当x=11时,W 有最大值为845.∴第11天时,利润为最大,最大值为845元.15.某超市以每件20元的价格新进一批商品,经市场调研发现:该商品每天的销售量y (件)与销售价格x (元/件)(20≤x ≤60)的关系如下图所示.(1)试确定y 与x 之间的函数表达式(写出自变量的取值范围);(2)若超市一天销售该商品的利润为w (元),写出w 与商品的售价x (元/件)之间的函数表达式;(3)求(2)中当销售价格x 定为多少时,一天的利润w 最大,最大利润是多少?解:(1)分两种情况:①当20≤x ≤30时,设y=ax+b ,根据题意得{20+b =200,30a +b =400,解得{a =20,b =-200,∴y=20x-200;②当30<x ≤60时,设y=mx+n ,根据题意得{30m +n =400,60m +n =100,解得{m =-10,n =700,∴y=-10x+700,故y 与x 之间的函数表达式是y={20x -200(20≤x ≤30),-10x +700(30<x ≤60).(2)当20≤x ≤30时,w=(x-20)(20x-200)=20x 2-600x+4000; 当30<x ≤60时,w=(x-20)(-10x+700)=-10x 2+900x-14000.w={20x 2-600x +4000(20≤x ≤30),-10x 2+900x -14000(30<x ≤60).(3)当20≤x ≤30时,w=20x 2-600x+4000=20(x 2-30x )+4000=20(x-15)2-500,抛物线开口向上,x>15时,y 随x 的增大而增大,又20≤x ≤30,所以当x=30时,w 最大值=20(30-15)2-500=4000;当30<x ≤60时,w=-10x 2+900x-14000=-10(x 2-90x )-14000=-10(x-45)2+6250,抛物线开口向下,当x=45时,w 最大值=6250.综上所述,当定价为45元/件时,一天的利润w 最大,最大值为6250元.类型8建立函数模型问题16.(恩施中考)宜万铁路开通后,给恩施州带来了很大方便.恩施某工厂拟用一节容积是90立方米、最大载重量为50吨的火车皮运输购进的A,B 两种材料共50箱.已知A种材料一箱的体积是1.8立方米、重量是0.4吨;B种材料一箱的体积是1立方米、重量是1.2吨.不计箱子之间的空隙,设A种材料进了x箱.(1)求厂家共有多少种进货方案?(不要求列举方案)(2)若工厂用这两种材料生产出来的产品的总利润y(万元)与x(箱)的函数关系大致如下表,请先根据下表画出简图,猜想函数类型,求出函数表达式(求函数表达式不取近似值),确定采用哪种进货方案能让厂家获得最大利润,并求出最大利润.x1520253038404550y10约27.5840约48.20约49.10约47.1240约26.99解:(1)38.(2)图略,该函数为二次函数,y=-0.1x2+7x-72.5,A种材料购进35箱,B种材料购进15箱时,能让厂家获得最大利润,最大利润为50万元.。
沪科版-数学-九年级上册-九上22.5二次函数的应用同步练习及答案
22.5二次函数的应用同步练习第1题. 用8m 长木条，做成如图的窗框（包括中间棱），若不计损耗，窗户的最大面积为2m ．答案：43第2题. 在底边长20cm BC =，高12cm AM =的三角形铁板ABC 上，要截一块矩形铁板EFGH ，如图所示．当矩形的边EF =cm 时，矩形铁板的面积最大，其最大面积为2cm ．答案：6 60ＡＥＭ ＣＨＮ第3题. 如图，用20m 长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积为（）2m Ａ．45 Ｂ．50Ｃ．60Ｄ．65答案：Ｂ第4题. 用长8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，为了使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）Ａ．264m 25 Ｂ．24m 3Ｃ．28m 3Ｄ．24m答案：Ｃ第5题. 用长8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，为了使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ） Ａ．264m 25Ｂ．24m 3 Ｃ．28m 3Ｄ．24m答案：Ｃ第6题. 如图，用长10m 的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框（包括窗棱CD ），若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为（）2mＡ．50πＢ．504+π Ｃ．508+πＤ．5016+π答案：Ｃ第7题. 图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横截面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD '部分为一段抛物线，顶点G 的高度为8m ，AD 和A D ''是两侧高为5.5m 的支柱，OA 和OA '为两个方向的汽车通行区，宽都为15m ，线段CD 和C D ''为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1:4（即:1:4DA AC =）．（1）求桥拱DGD '所在抛物线的函数表达式．（2）BE 和B E ''为支撑斜坡的立柱，其高都为4m ，为相应的AB 和A B ''两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A B ''的宽．（3）按规定，汽车通过桥下时，载货最高处和桥拱间的距离不得小于0.4m ，今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m ，设备的顶部与地面距离为7m ，它能否从OA （或OA '）区域安全通过，请说明理由．Ｄ ＣＢD 'E ''B ' A 'ＯＡ ＢＣxyＧ Ｄ Ｅ答案：（1）设DGD '所在抛物线为2(0)y ax c a =+<，(08)G ，，(15)D ，5.5，8225 5.5c a c =⎧∴⎨+=⎩，，190a =-，8c =，21890y x ∴=-+． （2）14EB BC =，4BE =，16BC =，22166AB AC BC =-=-=，AB ∴和A B ''宽都为6m ． （3）在21890y x =-+中，当4x =时，137********y =-⨯+=．37197(70.4)04545∴-+=>，∴该货车可以从OA （或OA '）区域安全通过．第8题. 如图所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，O 恰在水面中心， 1.25m OA =，由A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m ．（1）以O 为坐标轴原点，OA 为y 轴建立直角坐标系，求抛物线ACB 的函数表达式； （2）水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（3）若水池的半径为3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流高度应达多少米（精确到0.1m ）？Ｃ ＡＯy答案：（1）依题意可知(01.25)A ，，(12.25)C ，．抛物线开口向下，∴表达式为22(1) 2.252 1.25y x x x =--+=-++（2）令2(1) 2.250x --+=，得10.5x =-（舍去），2 2.5x =，∴水池半径至少2.5m ． （3）由于抛物线形状与上面相同，即二次项系数为1-，故可设此抛物线为2()y x h k =--+，求得117h =，1413 3.7(m)196k =≈，水流的最大高度为3.7m ．第9题. 如图，在△ABC 中，6AC =，12AB =，3cos 5A =，点M 在AB 上运动，MP AC ∥交BC 于P ，MQ AC ⊥于Q ，设AM x =，梯形MPCQ 的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围； （2）当梯形MPCQ 的面积为4时，求x 的值；（3）梯形MPCQ 的面积是否有最大值，如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．答案：（1）由MP AC ∥，得△MBP ∽△ABC ，MP MB AC AB =，162MP x =-．在Rt AQM △中，3cos 5A =，35AQ x =，365CQ x =-，45MQ x =．1()2y MP CQ MQ =+1134662255x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， ＰＢＱ21124255y x x ∴=-+，06x <<． （2）当1011x =时，4y =．（3）当6011x =时，梯形面积最大，为14411．第10题. 某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系．观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？ 答题要求：（1）请提供四条信息； （2）不必求函数的表达式．答案：（1）2月份每千克销售价是3.5元 （2）7月份每千克销售价是0.5元（3）1月到7月的销售价逐月下降（4）7月到12月的销售价逐月上升（5）2月与7月的销售差价是3元／kg （6）7月份销售价最低，1月份销售价最高（7）6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月、2月与12月的销售价相同（答案不唯一）第11题. 用12m 长的木条，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，则窗子的横档长为 m ．1 2 3 4 5 6 7 8 9 11112 3 45月份每千克销售价/元答案：2第12题. 如图，用12m 长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，应选择窗子的长、宽各为 m ．答案：3、2第13题. 如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，12cm BC =，点P 从A 出发沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边以2cm/s 的速度移动，分别到达B ，C 两点后就停止运动．（1）设运动开始后第s t 时，五边形APQCD 的面积为2cm S ，试写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围．（2）第几秒五边形APQCD 的面积最小？是多少？答案：（1）第s t 时，AP t =，6PB t =-，2BQ t =， 故21(6)262PBQSt t t t =⨯-=-+． 61272ABCD S =⨯=矩形，272672(06)PBQS St t t ∴=-=-+≤≤．ＤＣＱＢＡ（2）2(3)63S t =-+，故当3t =时，S 有最小值63，即第3s 时，五边形APQCD 的面积最小，为263cm ．第14题. 如图，有长为24m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为cm x ，面积为2m S ． （1）求S 与x 的函数关系式．（2）要围成面积为245m 的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比245m 还大的花圃吗？如果能，求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．答案：（1）243BC x =-，故214(243)32483S x x x x x ⎛⎫=-=-+<⎪⎝⎭≤． （2）由已知得232445x x -+=，即28150x x -+=，解得13x =，25x =，当3x =时，24331510BC =-⨯=>，不合题意，故5x =，即5m AB =． （3）2223243(8)3(4)48S x x x x x =-+=--=--+．1483x <≤，1443>，S ∴随着x 的增大而减小． 故当143x =时，S 有最大值22142483446(m )33⎛⎫--= ⎪⎝⎭．∴能围成面积比245m 还大的花圃．围法：42431031-⨯=，花圃的长BC 为10m ，宽为4m 32．这时花圃面积最大，为2246m 3．第15题. 如图，在Rt△ABC 中，90C ∠=，4BC =，8AC =，点D 在斜边AB 上，分别作DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，设DE x =，DF y =． （1）求y 与x 之间的函数关系，并求出x 的取值范围． （2）设四边形DECF 的面积为S ，试求S 的最大值．答案：（1）由已知得DECF 是矩形，故EC DF y ==，88AE EC y =-=-．由DE BC ∥得△ADE ∽△ABC ，DE AE BC AC ∴=，即848x y-=，82(04)y x x ∴=-<<． （2）2(82)2(2)8S xy x x x ==-=--+． 当2x =时，S 有最大值8．第16题. 某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品． 已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支 （不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单位x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利＝年销售额－年销售产品总进价－年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？ＡＣＤ答案：解：（1）设y kx b =+，它过点(605)(804)，，，560480k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：1208k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩1820y x =-+∴． （2）21140120(8)(40)120104402020z yx y x x x x =--=-+--=-+- ∴当100x =元时，最大年获利为60万元．（3）令40z =，得21401044020x x =-+-， 整理得：220096000x x -+= 解得：180x =，2120x =由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．第17题. 如图9，在平行四边形ABCD 中，AD =4 cm ，∠A =60°，BD ⊥AD . 一动点P 从A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD .(1) 当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；0 20 4060 8012 3 4 5 6 y (万件)x (元4060 080 100 120x (元)z (万元)(2) 当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →C 的路线运动，且在AB 上以每秒1 cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2 cm 的速度匀速运动. 过Q 作直线QN ，使QN ∥PM . 设点Q 运动的时间为t 秒(0≤t ≤10)，直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S cm 2 .① 求S 关于t 的函数关系式；② (附加题) 求S 的最大值.答案：(1) 当点P 运动2秒时，AP =2 cm ，由∠A =60°，知AE =1，PE =3.∴ S ΔAPE =23. (2) ① 当0≤t ≤6时，点P 与点Q 都在AB 上运动，设PM 与AD 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则AQ =t ，AF =2t ，QF =t 23，AP =t +2，AG =1+2t ，PG =t 233+. ∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =2323+t . 当6≤t ≤8时，点P 在BC 上运动，点Q 仍在AB 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则AQ =t ，AF =2t，DF =4-2t ，QF =t 23，BP =t-6，CP =10-t ，PG =3)10(t -， 而BD =34，故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =3343108352-+-t t . 当8≤t ≤10时，点P 和点Q 都在BC 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与DC 交于点F ，则CQ =20-2t ，QF =(20-2t )3，CP =10-t ，PG =3)10(t -.∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =31503302332+-t t .故S 关于t 的函数关系式为2233(06)53103343(68)33303150 3.(810)t t S t t t t t t ⎧+⎪⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+⎪⎪⎩，≤≤，≤≤≤≤ ②(附加题)当0≤t ≤6时，S 的最大值为237； 当6≤t ≤8时，S 的最大值为36；当8≤t ≤10时，S 的最大值为36；所以当t =8时，S 有最大值为36第18题. 在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成（如图所示）．若设花园的BC x 边长为（m ），花园的面积为y （m 2）．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200 m 2吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由；（3）根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？解：（1）（2）A BCD（3）答案：解：（1）根据题意得：(40)2x y x-= 2120(015)2y x x x =-+<∴≤ （2）当200y =时，即21202002x x -+= ∴2404000x x -+=解得：2015x =>015x <∵≤∴此花园的面积不能达到200m 2（3）21202y x x =-+的图像是开口向下的抛物线，对称轴为20x =． ∴当015x <≤时，y x 随的增大而增大∴当15x y =时，有最大值21152015187.52y =-⨯+⨯=最大值（m 2） 即：当15x =时，花园面积最大，最大面积为187.5m 2第19题. 市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB 高出地面1.5m ，在B 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45的角，水流的最高点C 离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出2m ，水流的落地点为D ．在建立如图所示的直角坐标系中：（１） 求抛物线的函数解析式；（２） 求水流的落地点D 到A 点的距离是多少m ？答案： 解：在如图所建立的直角坐标系中， 由题意知，B 点的坐标为(01.5)，， 45CBE BEC ∠=∴，△为等腰直角三角形， 2BE ∴=，C ∴点坐标为(23.5)，（1）设抛物线的函数解析式为2(0)y ax bx c a =++≠， 则抛物线过点(01.5)，顶点为(23.5)，，∴当0x =时， 1.5y c ==由22ba -=，得4b a =-， 由24 3.54ac b a -=，得2616 3.54a a a -=解之，得0a =（舍去），1422a b a =-∴=-=，．所以抛物线的解析式为213222y x x =-++．（２）D 点为抛物线213222y x x =-++的图象与x 轴的交点，∴当0y =时，即：2132022x x -++=，解得27x =±，27x =-不合题意，舍去，取27x =+． D ∴点坐标为()(2727AD ∴=+，，（m ）． 答：水流的落地点D 到A 点的距离是(27+m ．Ｅ ＣＦＡ(Ｏ)x D 1.5m45 B。
沪科版九年级上册数学 21.4 二次函数应用题
沪科版九年级上册数学二次函数应用题要点提示1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式：2. 顶点式的几种特殊形式.⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） .3．二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得224()24b ac b y a x a a-=++，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）. ⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点,当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点,当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ． 典例分析1. 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP ，柱子顶端P 处装上喷头，由P 处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP ＝3米，喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米，离柱子OP 的距离为1米.（1）求这条抛物线的解析式；（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？2.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）⑴ 分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式；⑵ 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？（1） （2）3.某广告公司设计一幅长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元。
设矩形的一边长为x 米，面积为s 平方米.(1)求出s 与x 之间的函数关系式；(2)请你设计一个方案，使获得的设计费用最多，并求出这个费用；(3)为使广告牌美观大方，要求做成黄金矩形.请你按要求设计，并计算出可获得的设计费是多少（精确到元）？基础强化1.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.2.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？3.益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a 元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？4.国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?5.一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？6.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。
沪科版九年级数学上册 第21章二次函数专题(一)二次函数及图像性质 (基础知识测试题)
第21章二次函数专题（一）二次函数及图像性质(基础知识测试题）选择题（每题5分，共100分）1、下列函数不属于二次函数的是（）A.y＝(x－1)(x＋2)B.y＝12(x＋1)2C. x2+y-3=0D. y＝2(x＋1)2－2x2 2．下列函数中，是二次函数的是( )A. y＝3x2B. y=3x-2C. y=2x2D. y=3x2＋23.在函数y = x＋x＋2x2－9中，自变量x的取值范围是( )A. x≥-2且x≠±3B. x≥-2且x≠3C. x>-2且x≠-3D. x>-2且x≠34.下列抛物线中,过原点的抛物线是( )A. y=2x2－3B. y=2x2＋xC. y=2(x+1)2D.y=2x2＋1 5．抛物线y=(x-2)2的顶点坐标是（）A. （2，－1）B.（2，1）C.（－2，0）D.（2，0）6、函数y＝－x2＋4x－3图象顶点坐标是（）A.（2，－1）B.（2，1）C.（－2，－1）D.（－2， 1）7. 下列四个函数中，y的值随着x值的增大而减小的是（）A．y=2x B．y =1x(x>0) C．y=x+2 D．y=2x2 (x>0)8．若（-1，5）、（5，5）是抛物线上y=ax2+bx+c的两个点，则它的对称轴是（）A. x=5B. x=1C. x=2D. x=39．抛物线y＝x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（）A. y＝x2＋4x＋5B. y＝x2＋4x＋3C. y＝x2－4x＋3D.y=x2－4x－510、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2－2x+5，则有（）A．b=3，c=7 B．b=－9，c=－15 C．b=3，c=3 D．b=4，c=1011、已知a<－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（）A．y1<y2<y3B．y1<y3<y2C．y3<y2<y1D．y2<y1<y312若二次函数y＝2x2－2mx＋2m2－2的图象的顶点在y轴上，则m 的值是（）A.0B.±1C.±2D.±213、函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．K ≤3 D．K ≤3且k≠014．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x…-1 0 1 2 …y…-5 1 3 1 …则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上； B．抛物线与y轴交于负半轴；C．当x＝3时，y<0； D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根．15、函数y=ax2+bx+c的图象如右图所示，那么关于一元二次方程ax2+bx+c-1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D．没有实数根16. 二次函数y=x2-(12-k)+12，当x>1时，y随着x的增大而增大，当x<1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（）A．12 B．11 C．10 D．917.无论a为何实数，二次函数y=x2-(2＋a)x－a的图象总是过定点 ( )A.(-1，3)B.(2，0)C.(1，3)D.(-1，0)18、在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能．．是（）19.在同一坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( )A B C D20．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c<0；②a-b+c>1；③abc>0；④4a-2b+c<0；⑤c-a>1。
初中数学沪科版九年级上册第二十一章《二次函数的应用》练习题(解析版)
初中数学沪科版九年级上册第二十一章21.4二次函数的应用练习题一、选择题1.如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是()A. 25min～50min，王阿姨步行的路程为800mB. 线段CD的函数解析式为s=32t+400(25≤t≤50)C. 5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快D. 曲线段AB的函数解析式为s=−3(t−20)2+1200(5≤t≤20)2.二次函数y=x2−8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于1的点P共有()2A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读数节活动”，决定降价促销，经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本，设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系式为()A. y=(30−x)(200+40x)B. y=(30−x)(200+20x)C. y=(30−x)(200−40x)D. y=(30−x)(200−20x)4.某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为()A. y=(x−40)(500−10x)B. y=(x−40)(10x−500)C. y=(x−40)[500−10(x−50)]D. y=(x−40)[500−10(50−x)]5.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为()A. y=2a(x−1)B. y=2a(1−x)C. y=a(1−x2)D. y=a(1−x)26.为解决药价虚高给老百姓带来的求医难问题，国家决定对药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是18元/盒，降价后的价格为y元/盒，则y与x之间的函数关系式是()A. y=36(1−x)B. y=36(1+x)C. y=18(1−x)2D. y=18(1+x2)7.在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x(0<x<2)的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是()A. y=x2B. y=4−x2C. y=x2−4D. y=4−2x8.矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围均正确的是()A. y=−x2+6x(3<x<6)B. y=−x2+6x(0<x<6)C. y=−x2+12x(6<x<12)D. y=−x2+12x(0<x<12)9.长方形的周长为24cm，其中一边为xcm(其中x>0)，面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为()A. y=x2B. y=(12−x)2C. y=(12−x)xD. y=2(12−x)10.广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y(x2+6x(0≤x≤4)，米)关于水珠和喷头的水平距离x(米)的函数解析式是y=−32那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是()A. 1米B. 2米C. 5米D. 6米二、填空题11.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=________．12.据权威部门发布的消息，2021年第一季度安徽省城镇居民人均可支配收入约为0.75万元，若第三季度安徽省城镇居民人均可支配收人为y万元，平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，则y与x之间的函数表达式是____．13.如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，墙长为18m，设AD的长为x m，菜园ABCD的面积为y m2，则y关于自变量x的函数关系式是___________________________．14.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，商品进价为每件40元，若设涨价x(x>0)元，总利润为y元，则y与x的函数关系式为______．15.某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量万件与x之间的关系应表示为______．三、解答题16.已知抛物线y=−x2+bx+c的对称轴为直线x=1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C(0,3)．(1)求b，c的值；(2)直线1与x轴相交于点P．①如图1，若l//y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x=1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．17.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−5与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，CE//x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；(3)若点K为抛物线的顶点，点M(4,m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．18.在平面直角坐标系中，函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象与y轴交于点A．(1)求点A的坐标．(2)当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．(3)当x≤0时，若函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象的最低点到直线y=2a的距离为2，求a的值．(4)设a<0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E(−1,−1)、F(−1,a−1)、G(0,a−1).当函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P.过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′(P′与P不重合)，过点A 作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′.若AA′=2PP′，直接写出a的值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，正确的识别图象、数形结合是解题的关键.根据函数图象中的信息，利用数形结合求相关线段的解析式解答即可．【解答】解：A.25min ～50min ，王阿姨步行的路程为2000−1200=800m ，故A 正确；B .设线段CD 的函数解析式为s =kt +b ，把(25,1200)，(50,2000)代入得，{1200=25k +b 2000=50k +b， 解得：{k =32b =400， ∴线段CD 的函数解析式为s =32t +400(25≤t ≤50)，故B 正确；C .在A 点的速度为5255=105m/min ，在B 点的速度为1200−52520−5=67515=45m/min ，速度从快变慢，故C 错误；D .当t =5，20时，由图象可得s =525，1200m ，将t =5，20分别代入s =−3(t −20)2+1200(5≤t ≤20)得s =525，s =1200，故D 正确．故选C ．2.【答案】D【解析】【分析】本题结合图象的性质考查二次函数的综合应用，难度中等．要注意函数求出的各个解是否符合实际．由题可求出MN 的长，即△MNP 的底边已知，要求面积为12，那么根据面积即可求出高，只要把相应的y 值代入即可解答．【解答】解：y =x 2−8x +15的图象与x 轴交点(3,0)和(5,0)，|MN|=2，设p 点(x,y)，y =x 2−8x +15，面积=12=12|MN|⋅|y|，可得y 1=12，或者y 2=−12，当y =12时，x =8±√62； 当y =−12时，x =8±√22， 所以共有四个点．故选：D ．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．根据降价x 元，则售价为(30−x)元，销售量为(200+20x)本，由题意可得等量关系：总销售额为y =销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．【解答】解：设每本降价x 元，则售价为(30−x)元，销售量为(200+20x)本，根据题意得，y =(30−x)(200+20x)，故选B ．4.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，正确表示出销量是解题关键．直接利用每千克利润×销量=总利润，进而得出关系式．【解答】解：设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为：y =(x −40)[500−10(x −50)]．故选：C ．5.【答案】D【解析】解：由题意得第二次降价后的价格是a(1−x)2．则函数解析式是y=a(1−x)2．故选D．原价为a，第一次降价后的价格是a×(1−x)，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a×(1−x)×(1−x)=a(1−x)2．本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．6.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．原价为18，第一次降价后的价格是18(1−x)，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18(1−x)×(1−x)=18(1−x)2，则函数关系式即可求得．【解答】解：原价为18，第一次降价后的价格是18(1−x)；第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18(1−x)×(1−x)=18(1−x)2．则函数解析式是：y=18(1−x)2．故选C．7.【答案】B【解析】解：设剩下部分的面积为y，则：y=−x2+4(0<x<2)，故选：B．根据剩下部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积得出是解题关键．8.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是用x表示出矩形的另一边，此题难度一般．已知一边长为xcm，则另一边长为(6−x)cm，根据矩形的面积公式即可解答．【解答】解：已知一边长为xcm，则另一边长为(6−x)．则y=x(6−x)化简可得y=−x2+6x，(0<x<6)，故选：B．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查列二次函数关系式，得到长方形的另一边长是解决本题的关键点．先得到长方形的另一边长，那么面积=一边长×另一边长．【解答】解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x(其中x>0)，∴长方形的另一边长为12−x，∴y=(12−x)⋅x．故选C．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的顶点式．根据二次函数的顶点式即可求解．【解答】解：方法一：根据题意，得y=−32x2+6x(0≤x≤4)，=−32(x−2)2+6所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．方法二：因为对称轴x=−62×(−32)=2，所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．故选：B．11.【答案】a(1+x)2【解析】【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，关键是由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×(1+x)，而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．【解答】解：∵一月份新产品的研发资金为a元，二月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴二月份新产品的研发资金为a(1+x)元，∴三月份新产品的研发资金为a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元，即y=a(1+x)2．12.【答案】y=0.75(1+x)2【解析】【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，属于中考常考题型．第一季度安徽省城镇居民人均可支配收入约为0.75万元，第二季度安徽省城镇居民人均可支配收入是0.75(1+x)元，第三季度安徽省城镇居民人均可支配收人为0.75(1+x)2元，则函数解析式即可求得．【解答】解：平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，根据题意可得：y与x之间的函数关系为：y=0.75(1+x)2．故答案为y=0.75(1+x)2．13.【答案】y=−2x2+40x(11≤x<20)【解析】【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式、矩形的面积公式的运用，利用篱笆的总长用含x的代数式表示出平行于墙的边长是解题的关键．先用含x的代数式表示出平行于墙的边长，再由矩形的面积公式就可以得出结论；【解答】解：根据题意，AD边的长为x米，则AB边的长为(40−2x)米，∴y=x(40−2x)，即y与x之间的函数关系式为y=−2x2+40x；0<40−2x≤18，11≤x<20，故答案为y=−2x2+40x(11≤x<20)．14.【答案】y=10x2−500x+6000【解析】解：设涨价x(x>0)元，总利润为y元，则y与x的函数关系式为：y=(60−40−x)(300−10x)=10x2−500x+6000．故答案为：y=10x2−500x+6000．直接利用销量×每件利润=总利润，进而得出函数关系式．此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出销量和每件利润是解题关键．15.【答案】y=20+20(x+1)+20(x+1)2【解析】解：y与x之间的关系应表示为：y=20+20(x+1)+20(x+1)2．故答案为：y=20+20(x+1)+20(x+1)2．根据平均增长问题，可得答案．本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键． 16.【答案】解：(1)由题意得：{b2=1c =3， ∴b =2，c =3，(2)①如图1，∵点C 关于直线x =1的对称点为点D ，∴CD//OA ，∴3=−x 2+2x +3，解得：x 1=0，x 2=2，∴D(2,3)，∵抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3，∴令y =0，解得x 1=−1，x 2=3，∴B(−1,0)，A(3,0)， 设直线AC 的解析式为y =kx +b ，∴{3k +b =0b =3，解得：{k =−1b =3， ∴直线AC 的解析式为y =−x +3，设F(a,−a 2+2a +3)，E(a,−a +3)，∴EF =−a 2+2a +3+a −3=−a 2+3a ，四边形CEDF 的面积=S △EFC +S △EFD =12EF ⋅CD =12×(−a 2+3a)×2=−a 2+3a =−(a −32)2+94， ∴当a =32时，四边形CEDF 的面积有最大值，最大值为94．②当△PCQ∽△CAP 时，∴∠PCA =∠CPQ ，∠PAC =∠PCQ ，∴PQ//AC ，∵C(0,3)，A(3,0)，∴OA =OC ，∴∠OCA=∠OAC=∠PCQ=45°，∴∠BCO=∠PCA，如图2，过点P作PM⊥AC交AC于点M，∴tan∠PCA=tan∠BCO=OBOC =13，设PM=b，则CM=3b，AM=b，∵AC=√OC2+OA2=3√2，∴b+3b=3√2，∴b=34√2，∴PA=34√2×√2=32，∴OP=OA−PA=3−32=32，∴P(32,0)，设直线l的解析式为y=−x+n，∴−32+n=0，∴n=32．∴直线l的解析式为y=−x+32．【解析】(1)根据抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标可求出b、c的值；(2)由题意先求出D点坐标为(2,3)，求出直线AC的解析式，设F(a,−a2+2a+3)，E(a,−a+3)，则EF=−a2+3a，四边形CEDF的面积可表示为12EF⋅CD，利用二次函数的性质可求出面积的最大值；(3)当△PCQ∽△CAP时，可得∠PCA=∠CPQ，∠PAC=∠PCQ=∠OCA=45°，则PQ//AC，∠BCO=∠PCA，过点P作PM⊥AC交AC于点M，可求出PM、PA、OP的长，用待定系数法可求出函数解析式．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似三角形的性质解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．17.【答案】解：(1)∵点A(−1,0)，B(5,0)在抛物线y =ax 2+bx −5上，∴{a −b −5=025a +5b −5=0，解得{a =1b =−4，∴抛物线的表达式为y =x 2−4x −5，(2)设H(t,t 2−4t −5)，∵CE//x 轴，∴点E 的纵坐标为−5，∵E 在抛物线上，∴x 2−4x −5=−5，∴x =0(舍)或x =4，∴E(4,−5)，∴CE =4，∵B(5,0)，C(0,−5)，∴直线BC 的解析式为y =x −5，∴F(t,t −5)，∴HF =t −5−(t 2−4t −5)=−(t −52)2+254，∵CE//x 轴，HF//y 轴，∴CE ⊥HF ，∴S 四边形CHEF =12CE ⋅HF =−2(t −52)2+252，∴H(52,−354)；(3)如图2，∵K 为抛物线的顶点，∴K(2,−9)，∴K 关于y 轴的对称点K′(−2,−9)，∵M(4,m)在抛物线上，∴M(4,−5)，∴点M关于x轴的对称点M′(4,5)，∴直线K′M′的解析式为y=73x−133，∴P(137,0)，Q(0,−133).【解析】(1)根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；(2)先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出；(3)利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，四边形的面积的计算方法，对称性，解的关键是利用对称性找出点P，Q的位置，是一道中等难度的题目．18.【答案】解：(1)当x=0时，y=x2−2ax−1=−1，∴点A的坐标为：(0,−1)；(2)将点(1,2)代入y=x2−2ax−1，得：2=1−2a−1，解得：a=−1，∴函数的表达式为：y=x2+2x−1，∵y=x2+2x−1=(x+1)2−2，∴抛物线的开口向上，对称轴为x=−1，如图1所示：∴当x>−1时，y随x的增大而增大；(3)抛物线y=x2−2ax−1=(x−a)2−a2−1的对称轴为：x=a，顶点坐标为：(a,−a2−1)，当a>0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：∵x≤0，∴最低点就是A(0,−1)，∵图象的最低点到直线y=2a的距离为2，∴2a−(−1)=2，解得：a=12；当a<0，对称轴在y轴左侧，顶点(a,−a2−1)就是最低点，如图3所示：∴2a −(−a 2−1)=2，整理得：(a +1)2=2，解得：a 1=−1−√2，a 2=−1+√2(不合题意舍去)；综上所述，a 的值为12或−1−√2；(4)∵a <0，Rt △EFG 三个顶点的坐标分别为E(−1,−1)、F(−1,a −1)、G(0,a −1)， ∴直角边为EF 与FG ，∵抛物线y =x 2−2ax −1=(x −a)2−a 2−1的对称轴为：x =a ，A(0,−1)， ∴AA′=−2a ，当点P 在EF 边上时，如图4所示：则x p =−1，∵EA =OA =1，∴点P 在对称轴x =a 的左侧，∴PP′=2(a +1)，∵AA′=2PP′，∴−2a =2×2(a +1)，解得：a =−23；当点P 在FG 边上时，如图5所示：则y p =a −1，∴x 2−2ax −1=a −1，解得：x 1=a +√a 2+a ，x 2=a −√a 2+a ，∴PP′=a +√a 2+a −(a −√a 2+a)=2√a 2+a ，∵AA′=2PP′，∴−2a =4√a 2+a ，解得：a 1=−43，a 2=0(不合题意舍去)；综上所述，a 的值为−23或−43．【解析】(1)当x =0时，代入y =x 2−2ax −1，即可得出结果；(2)将点(1,2)代入y =x 2−2ax −1，得a =−1，则函数的表达式为y =x 2+2x −1，由y =x 2+2x −1=(x +1)2−2，得出抛物线的开口向上，对称轴为x =−1，则当x >−1时，y 随x 的增大而增大；(3)抛物线y =x 2−2ax −1=(x −a)2−a 2−1的对称轴为x =a ，顶点坐标为(a,−a 2−1)，当a >0时，对称轴在y 轴右侧，最低点就是A(0,−1)，则2a −(−1)=2，即可得出结果；当a <0，对称轴在y 轴左侧，顶点(a,−a 2−1)就是最低点，则2a −(−a 2−1)=2，即可得出结果；(4)易证直角边为EF 与FG ，由抛物线的对称轴为x =a ，A(0,−1)，则AA′=−2a ，当点P 在EF 边上时，PP′=2(a +1)，则−2a =2×2(a +1)，即可得出结果；当点P 在FG 边上时，求出PP′=2√a 2+a ，则−2a =4√a 2+a ，即可得出结果．本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质、待定系数法求解析式、直角三角形的性质、解一元二次方程、分类讨论等知识；熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．1、最困难的事就是认识自己。
2022-2023学年沪科版九年级数学上册《第21章二次函数与反比例函数》期末综合复习题(附答案)
2022-2023学年沪科版九年级数学上册《第21章二次函数与反比例函数》期末综合复习题（附答案）一、选择题1．下列函数是二次函数的是（）A．y＝2x2﹣3B．y＝ax2C．y＝2（x+3）2﹣2x2D．2．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）3．已知二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（）A．0或2B．0C．2D．无法确定4．函数y＝2x2﹣3x+4经过的象限是（）A．一，二，三象限B．一，二象限C．三，四象限D．一，二，四象限5．如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数的图象过点A，则k的值是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣46．如图，正△AOB顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点B的坐标为（）A．（2，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（）A．0B．﹣1C．1D．28．函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．9．如图△OAP，△ABQ均是等腰直角三角形，点P，Q在函数y＝（x＞0）的图象上，直角顶点A，B均在x轴上，则点B的坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（3，0）D．（，0）10．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题11．抛物线y＝x2﹣（b﹣2）x+3b的顶点在y轴上，则b的值为．12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上的图象上，顶点B在反比例函数y＝的图象上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是．13．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t 为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．14．二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当m﹣2≤x≤m时函数有最大值5，则m的值可能为．三、解答题15．已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且其图象经过点（﹣2，﹣5），求此二次函数的解析式．16．抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6．（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；（2）x取何值时，y随x的增大而减小？（3）x取何值时，y＝0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0．17．用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？18．已知：函数y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝﹣1；当x ＝3时，y＝5．求y关于x的函数关系式．19．关于x的函数y＝（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．20．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，连接AC，P A，PC，若S△P AC＝，求点P的坐标．21．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y1＝k1x+b的图象和反比例函数的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线与x轴的交点的坐标及△AOB的面积；（3）当x取何值时，y1＝y2；当x取何值时，y1＞y2．22．如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）23．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．参考答案一、选择题1．解：A、y＝2x2﹣3，是二次函数，故此选项符合题意；B、当a＝0时，y＝ax2不是二次函数，故此选项不符合题意；C、y＝2（x+3）2﹣2x2，是一次函数，故此选项不符合题意；D、y＝+2，不是二次函数，故此选项不符合题意；故选：A．2．解：∵y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4+3）＝﹣（x+2）2+1∴顶点坐标为（﹣2，1）；故选：B．3．解：根据题意得：m（m﹣2）＝0，∴m＝0或m＝2，∵二次函数的二次项系数不为零，所以m＝2．故选：C．4．解：∵y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），∴y＝2x2﹣3x+4的顶点坐标为（，），而a＝2＞0，所以抛物线过第一，二象限．故选：B．5．解：因为图象在第二象限，所以k＜0，根据反比例函数系数k的几何意义可知|k|＝2×2＝4，所以k＝﹣4．故选：D．6．解：如图，过点A作AC⊥y轴于C，∵△OAB是正三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠AOC＝30°，∴设AC＝a，则OC＝a，∴点A的坐标是（a，a），把这点代入反比例函数的解析式就得到a＝，∴a＝±1，∵x＞0，∴a＝1，则OA＝2，∴OB＝2，则点B的坐标为（2，0）．故选：A．7．解：因为对称轴是直线x＝1且经过点P（3，0）所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c中，得a﹣b+c＝0．故选：A．8．解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x＝﹣＞0，且a＞0，则b＜0，但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．故选：C．9．解：∵△OAP是等腰直角三角形∴P A＝OA∴设P点的坐标是（a，a）把（a，a）代入解析式得到a＝2∴P的坐标是（2，2）则OA＝2∵△ABQ是等腰直角三角形∴BQ＝AB∴设Q的纵坐标是b∴横坐标是b+2把Q的坐标代入解析式y＝∴b＝∴b＝﹣1b+2＝﹣1+2＝+1∴点B的坐标为（+1，0）．故选：B．10．解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GH＝EJ＝x，∴y＝EJ•GH＝x2．当x＝2时，y＝，且抛物线的开口向上．如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．y＝FJ•GH＝（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A．二、填空题11．解：根据题意，把解析式转化为顶点形式为：y＝x2﹣（b﹣2）x+3b＝（x﹣）2+3b﹣（）2，顶点坐标为（，3b﹣（）2），∵顶点在y轴上，∴＝0，∴b＝2．12．解：延长BA交y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，则四边形ODBE是矩形，∠ADO＝∠CEB＝90°，∴S△ADO＝＝，S矩形ODBE＝|5|＝5，∵AB∥OC，OA∥BC，∴∠DAO＝∠DBC＝∠ECB，又∵AO＝BC，∴△DAO≌△ECB（AAS），∴S△ADO＝S△ECB＝，∴S▱ABCO＝S矩形ODBE﹣S△ADO﹣S△ECB＝5﹣﹣＝．故答案为：．13．解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，得b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是2≤y＜11，当y＝t时，t＝x2﹣2x+3，即x2+bx+3﹣t＝0，∵关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，∴t的取值范围是2≤t＜11，故答案为：2≤t＜11．14．解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴该函数的对称轴是直线x＝1，∵当m﹣2≤x≤m时函数有最大值5，∴当m＝2时，m﹣2，m距离对称轴的距离相等，即当m＝2时取得最大值，此时y＝（2﹣1）2﹣4＝﹣3≠5；当m＞2时，在x＝m处取得最大值，即m2﹣2m﹣3＝5，解得m＝4或m＝﹣2（舍去）；当m＜2时，在x＝m﹣2处取得最大值，即（m﹣2）2﹣2（m﹣2）﹣3＝5，解得m＝0或m＝6（舍去）；由上可得，m的值可能是0或4，故答案为：0或4．三、解答题15．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把（﹣2，﹣5）代入得a（﹣2﹣1）2+4＝﹣5，解得a＝﹣1，所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4．16．解：（1）∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，∴顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x＝2；（2）∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，∴当x＞2时，y随x的增大而减小；（3）令y＝0，即﹣2x2+8x﹣6＝0，解得x＝1或3，抛物线开口向下，∴当x＝1或x＝3时，y＝0；当1＜x＜3时，y＞0；当x＜1或x＞3时，y＜0．17．解：（1）已知一边长为xcm，则另一边长为（10﹣x）cm．则y＝x（10﹣x）化简可得y＝﹣x2+10x（2）y＝10x﹣x2＝﹣（x2﹣10x）＝﹣（x﹣5）2+25，所以当x＝5时，矩形的面积最大，最大为25cm2．18．解：∵y1与x成正比例，y2与x成反比例，∴设y1＝k1x，y2＝，∴y＝k1x+，∵x＝1时，y＝﹣1；当x＝3时，y＝5．∴，解得：，∴y关于x的函数关系式为：y＝2x﹣．19．解：①当m2﹣1＝0，且2m+2≠0，即m＝1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；②当m2﹣1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则△＝（2m+2）2﹣8（m2﹣1）＝0，解得m＝3，m＝﹣1（舍去）．综上所述，m的值是1或3．20．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴该二次函数的解析式为y＝（x+2）（x﹣4），即y＝x2﹣x﹣4．（2）如图，连接OP，设P（m，m2﹣m﹣4），由题意可知：A（﹣2，0）、C（0，﹣4）；∵S△P AC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，∴×2×4+×4×m﹣×2×（﹣m2+m+4）＝；整理得：m2+2m﹣15＝0，解得m＝3或m＝﹣5（舍弃），∴P（3，﹣）．21．解：（1）∵B（2，﹣4）在反比例函数的图象上，∴k2＝﹣8．∴反比例函数的解析式为y2＝﹣．∵点A（﹣4，n）在y2＝﹣上，∴n＝2．∴A（﹣4，2）．∵y1＝k1x+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），∴．解得．∴一次函数的解析式为y1＝﹣x﹣2．（2）∴C是直线AB与x轴的交点，∴当y＝0时，x＝﹣2．∴点C（﹣2，0）．∴OC＝2．∴S△AOB＝S△ACO+S△BCO＝×2×4+×2×2＝6．（3）由图象，得，当x＝﹣4或x＝2时，y1＝y2；当x＜﹣4或0＜x＜2时，y1＞y2．22．解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+2.88；当x＝9时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，当x＝18时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0，故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，当y＝0时，﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝6≈8.4，∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．23．解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：∵直线y＝x+m经过点A（1，2），∴2＝1+m，解得m＝1，∴直线为y＝x+1，把x＝2代入y＝x+1得y＝3，∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；（2）∵直线y＝x+1经过点B（2，3），直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点，∵B（2，3），C（2，1）两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A、C两点，把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得，解得a＝﹣1，b＝2；（3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，+q），∵顶点仍在直线y＝x+1上，∴+q＝+1，∴q＝﹣++1，∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，∴q＝﹣++1＝﹣（p﹣1）2+，∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．（3）另解∵平移抛物线y＝﹣x2+2x+1，其顶点仍在直线为y＝x+1上，设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+h+1，∴y＝﹣x2+2hx﹣h2+h+1，设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为c，则c＝﹣h2+h+1＝﹣（h﹣）2+∴当h＝时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．。
沪科版九年级数学上册第21章二次函数及反比例函数单元总结复习测试含含解析
- 让每一个人同等地提高自我《第 21 章二次函数和反比率函数》一、选择题1．已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的分析式是（）A．y=2x2+x+2 B．y=x2+3x+2 C．y=x2﹣2x+3 D．y=x2﹣3x+22．抛物线的图象以下图，依据图象可知，抛物线的分析式可能是（）A．y=x 2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2+x+23．一抛物线的形状、张口方向与y=x2﹣4x+3 同样，极点在（﹣2，1），则此抛物线的分析式为（）A．y= （x﹣2）2+1 B．y= （x+2）2﹣1 C．y= （x+2）2+1 D．y= （x+2）2+14．把抛物线先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，获得的抛物线的分析式为（）A．B．C．D．5．已知某二次函数的图象以下图，则这个二次函数的分析式为（）A．y=2（x+1）2+8 B．y=18（x+1）2﹣8 C．y= （x﹣1）2+8 D．y=2（x﹣1）2﹣8二、填空题-让每一个人同等地提高自我过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c= ．y=ax2+bx+c（a≠0）经6．抛物线应值以下表：量x 和函数值y的部分对7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中自变1﹣0 1 ⋯x ⋯﹣y ⋯﹣2﹣2﹣0⋯二次函数的分析式为．则该6，则这个为﹣交点的纵有两个交点（﹣1，0），（3， 0），而且与y轴8．已知抛物线与x轴坐标．二次函数的分析式为三、解答题8；当x=2时， y=1；求这个二次， y=﹣1时9．已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=4时， y=3；当x=﹣函数的分析式．原点，与x轴标4，0）．交于点A（﹣过坐10．如图，二次函数y=ax2﹣4x+c 的图象经（1）求二次函数的分析式；．（2）在抛物线上存在点P，知足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标交于点C（0，﹣3），设1，0）、 B（ 3，0）两点，与y轴抛物11．如图，抛物线交于A（﹣与x轴点D．为极线的；（1）求该抛物线的分析式和极点D的坐标何？极点的三角形是直角三角形吗？为（2）以B、C、D为称轴x=2，求其分析式．是直线两点A（1，0）、 B（0，3），且对12．已知抛物线经过为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．象的极点13．在直角坐标平面内，二次函数图2（1）求该二次函数的分析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．14．以下图，已知抛物线y=﹣2x2﹣4x 的图象 E，将其向右平移两个单位后获得图象F．求图象 F所表示的抛物线的分析式．15．已知二次函数y=ax2+bx﹣3 的图象经过点A（2，3），B（﹣1，0）．（1）求二次函数的分析式；（2）填空：要使二次函数的图象与x 轴只有一个交点，应把图象沿y 轴向上平移个单位．《第 21 章二次函数和反比率函数》参照答案与试题分析一、选择题1．已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的分析式是（）A．y=2x2+x+2 B．y=x2+3x+2 C．y=x2﹣2x+3 D．y=x2﹣3x+2【考点】待定系数法求二次函数分析式．【剖析】本题已知了抛物线上三点的坐标，可直接用待定系数法求解．【解答】解：设这个二次函数的分析式是y=ax 2+bx+c，把（1，0）、（2，0）和（0，2）代入得：，解之得；所以该函数的分析式是y=x 2﹣3x+2．故本题选D．【评论】主要考察了用待定系数法求二次函数的分析式．一般步骤是先设y=ax2+bx+c，再把对应的三个点的坐标代入解出a、b、c 的值即可获得分析式．2．抛物线的图象以下图，依据图象可知，抛物线的分析式可能是（）A．y=x 2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2+x+2【考点】待定系数法求二次函数分析式．【专题】压轴题．【剖析】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要依据题目给定的条件，选择适合的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．当已知抛物线的极点或对称轴时，常设其分析式为极点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其分析式为交点式来求解．【解答】解：A、由图象可知张口向下，故a＜0，此选项错误；B、抛物线过点（﹣1，0），（ 2，0），依据抛物线的对称性，极点的横坐标是，而 y=﹣x2﹣x+2 的极点横坐标是﹣=﹣，故此选项错误；C、y=﹣x2﹣x+1 的极点横坐标是﹣，故此选项错误；D、y=﹣x2+x+2 的极点横坐标是，而且抛物线过点（﹣1，0），（ 2，0），故此选项正确．应选 D．【评论】本题考察抛物线与系数的关系与及极点横坐标的计算公式，是开放性题目．一般式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c 是常数， a≠0）．3．一抛物线的形状、张口方向与y=x2﹣4x+3 同样，极点在（﹣2，1），则此抛物线的分析式为（）A．y= （x﹣2）2+1 B．y= （x+2）2﹣1 C．y= （x+2）2+1 D．y= （x+2）2+1【考点】待定系数法求二次函数分析式．【剖析】第一确立 a 的值，再利用极点式即可解决问题．【解答】解：∵抛物线的形状、张口方向与y=x 2﹣4x+3 同样，∴a=1，∵极点为（﹣2，1），∴抛物线分析式为y=（x+2）2+1．应选 C．【评论】本题考察二次函数相关知识、极点式等知识，解题的重点是理解抛物线形状、张口方向与y=x2﹣4x+3 同样，则 a 同样，属于中考常考题型．4．把抛物线先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，获得的抛物线的分析式为（）A．B．C．D．【考点】二次函数图象与几何变换．【剖析】确立出平移前的抛物线的极点坐标，而后依据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的极点坐标，而后利用极点式形式写出抛物线分析式即可．【解答】解：抛物线y= x2﹣1 的极点坐标为（0，﹣1），∵向右平移一个单位，再向下平移 2 个单位，∴平移后的抛物线的极点坐标为（1，﹣3），∴获得的抛物线的分析式为y= （x﹣1）2﹣3．应选 B．【评论】本题考察了二次函数图象与几何变换，娴熟掌握平移的规律：左加右减，上加下减，利用极点的变化确立函数分析式能够使计算更为简易．5．已知某二次函数的图象以下图，则这个二次函数的分析式为（）A．y=2（x+1）2+8 B．y=18（x+1）2﹣8 C．y= （x﹣1）2+8 D．y=2（x﹣1）2﹣8【考点】待定系数法求二次函数分析式．【专题】压轴题．【剖析】极点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k 是常数， a≠0），此中（h，k）为极点坐标．【解答】解：由图知道，抛物线的极点坐标是（1，﹣8）故二次函数的分析式为y=2（x﹣1）2﹣8应选 D．【评论】本题考察由极点坐标式看出抛物线的极点坐标，y=a（x﹣h）2+k 的极点坐标是（h，k）．每一个人同等地提高自我-让二、填空题2．6）两点，则a+c=﹣6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣【考点】待定系数法求二次函数分析式．【剖析】把两点的坐标4，即可得出a+c 的值．代入二次函数的分析式，经过①+②，得出2a+2c=﹣代入y=ax 2+bx+c（a≠0）得：6）分别1，﹣【解答】解：把点（1，2）和（﹣，4，①+②得：2a+2c=﹣则a+c=﹣2；2．：﹣故答案为【评论】本题考察了待定系数法求二次函数的分析式，解题的重点是经过①+②，获得2a+2c 的值，自去求a，c 的值．一个整体出现，不要独再作为应值以下表：量x 和函数值y的部分对7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中自变1﹣0 1 ⋯x ⋯﹣y ⋯﹣2﹣2﹣0⋯2．y=x 2+x﹣二次函数的分析式为则该【考点】待定系数法求二次函数分析式．表型．图题】【专数据，用待定系数法求出抛物线的分析式．三组【剖析】可任选2）、（ 0，﹣2）、（ 1，0），则有：1，﹣（﹣【解答】解：因为二次函数经过，解得；2．二次函数的分析式为∴该y=x 2+x﹣的解法等知识，难度了方程组考察【评论】本题考察了用待定系数法求函数分析式的方法，同时还不大．- 让每一个人同等地提高自我8．已知抛物线与x 轴有两个交点（﹣1，0），（ 3，0），而且与y 轴交点的纵坐标为﹣6，则这个二次函数的分析式为y=2x2﹣4x﹣6 ．【考点】抛物线与x 轴的交点；待定系数法求二次函数分析式．【剖析】因为已知抛物线与x 的交点坐标，则可设交点式y=a（x+1）（x﹣3），而后把（0，﹣6）代入求出 a 的值即可．【解答】解：设抛物线分析式为y=a（x+1）（x﹣3），把（0，﹣6）代入得a?（﹣3）=﹣6，解得 a=2．所以抛物线分析式为y=2（x+1）（x﹣3），即y=2x2﹣4x﹣6．故答案为y=2x2﹣4x﹣6【评论】本题考察了待定系数法求二次函数的分析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要依据题目给定的条件，选择适合的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的极点或对称轴时，常设其分析式为极点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其分析式为交点式来求解．三、解答题9．已知二次函数y=ax2+bx+c，当 x=4 时，y=3；当 x=﹣1 时，y=﹣8；当 x=2 时，y=1；求这个二次函数的分析式．【考点】待定系数法求二次函数分析式．【剖析】把三组对应值分别代入y=ax2+bx+c 获得对于a、b、c 的方程组，而后解方程组求出a、b、c 的值，从而获得二次函数分析式．【解答】解：依据题意，将x=4，y=3；x=﹣1，y=﹣8；x=2，y=1 代入 y=ax 2+bx+c，得：，解得：，8- 让每一个人同等地提高自我故二次函数的分析式为：y=﹣x2+ x﹣．【评论】本题考察了待定系数法求二次函数的分析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要依据题目给定的条件，选择适合的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的极点或对称轴时，常设其分析式为极点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其分析式为交点式来求解10．（2012?绥化）如图，二次函数y=ax 2﹣4x+c 的图象经过坐标原点，与x 轴交于点A（﹣4，0）．（1）求二次函数的分析式；（2）在抛物线上存在点P，知足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．【考点】待定系数法求二次函数分析式；二次函数图象上点的坐标特色．【剖析】（1）把点A原点的坐标代入函数分析式，利用待定系数法求二次函数分析式解答；（2）依据三角形的面积公式求出点P 到 AO的距离，而后分点P 在 x 轴的上方与下方两种状况解答即可．【解答】解：（1）由已知条件得，解得，所以，此二次函数的分析式为y=﹣x2﹣4x；（2）∵点A的坐标为（﹣4，0），∴AO=4，设点 P 到 x 轴的距离为h，则 S△AOP= ×4h=8，解得 h=4，- 让每一个人同等地提高自我①当点P 在 x 轴上方时，﹣x2﹣4x=4，解得 x=﹣2，所以，点P 的坐标为（﹣2，4），2②当点P 在 x 轴下方时，﹣x ﹣4x=﹣4，解得 x1=﹣2+2 ，x2=﹣2﹣2 ，所以，点P 的坐标为（﹣2+2 ，﹣4）或（﹣ 2﹣2 ，﹣4），综上所述，点P 的坐标是：（﹣2，4）、（﹣ 2+2 ，﹣4）、（﹣ 2﹣2 ，﹣4）．【评论】本题考察了待定系数法求二次函数分析式，二次函数图象上的点的坐标特色，（2）要注意分点 P 在 x 轴的上方与下方两种状况议论求解．11．（2013 秋?锦江区校级期中）如图，抛物线与x 轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点C（0，﹣3），设抛物线的极点为D．（1）求该抛物线的分析式和极点D的坐标；（2）以 B、C、D为极点的三角形是直角三角形吗？为何？【考点】抛物线与x 轴的交点．【剖析】（1）依据条件可设两点式，把C的坐标代入可求得分析式，可求得极点坐标；（2）由勾股定理可分别求得BC2、BD2、DC2，再依据勾股定理的逆定理可判断△BCD为直角三角形．【解答】解：（1）∵抛物线与x 轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴设抛物线为y=a（x+1）（x﹣3），又过点C（0，﹣3），∴﹣3=﹣3a，解得a=1，∴y=x2﹣2x﹣3，其对称轴为x=1，当 x=1 时，y=﹣4，∴D点坐标为（1，﹣4）；10- 让每一个人同等地提高自我（2）是直角三角，原因以下：由题意可知OB=3，OC=3，∴BC2=18，DC2=12+12=2，BD2=42+（3﹣1）2=20，∴BC2+CD2=BD2，∴△BCD为直角三角形．【评论】本题主要考察待定系数法求函数分析式及勾股定理及逆定理的应用，掌握二次函数的三种表达式是解题的重点，即①一般式，②两点式，③极点式，在解题时注意灵巧选择．12．（2014?西安模拟）已知抛物线经过两点A（1，0）、B（0，3），且对称轴是直线x=2，求其解析式．【考点】待定系数法求二次函数分析式．【剖析】因为对称轴是直线x=2，所以获得点A（1，0）的对称点是（3，0），所以利用交点式y=a （x﹣x1）（x﹣x2），求出分析式．【解答】解：∵抛物线对称轴是直线x=2 且经过点A（1，0）由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（3，0）设抛物线的分析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）即：y=a（x﹣1）（x﹣3）把 B（0，3）代入得： 3=3a∴a=12∴抛物线的分析式为：y=x ﹣4x+3．【评论】本题考察了用待定系数法求函数分析式的方法，注意选择若知道与x 轴的交点坐标，采纳交点式比较简单．13．（2007 ?上海）在直角坐标平面内，二次函数图象的极点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的分析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．11- 让每一个人同等地提高自我【考点】待定系数法求二次函数分析式；二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【剖析】（1）有极点就用极点式来求二次函数的分析式；（2）因为是向右平移，可让二次函数的y 的值为0，获得相应的两个x 值，算出负值相对于原点的距离，尔后让较大的值也加上距离即可．【解答】解：（1）∵二次函数图象的极点为A（1，﹣4），∴设二次函数分析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把点 B（3，0）代入二次函数分析式，得：0=4a﹣4，解得a=1，∴二次函数分析式为y=（x﹣1）2﹣4，即 y=x2﹣2x﹣3；（2）令 y=0，得 x 1=3，x2=﹣1．2﹣2x﹣3=0，解方程，得x∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（﹣ 1，0），∴二次函数图象上的点（﹣1，0）向右平移 1 个单位后经过坐标原点．故平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为（4，0）．【评论】考察用待定系数法来求函数分析式、坐标系里点的平移的特色．214．以下图，已知抛物线y=﹣2x ﹣4x 的图象 E，将其向右平移两个单位后获得图象F．求图象 F 所表示的抛物线的分析式．【考点】二次函数图象与几何变换．【剖析】将原抛物线的分析式变形为极点式，再依据平移的性质即可得出平移后的抛物线的分析式．【解答】解：图象 E 所表示的抛物线的分析式为y=﹣2x2﹣4x=﹣2（x+1）2+2，12- 让每一个人同等地提高自我2+2=﹣2x2+4x．依据平移的性质可得出图象 F 所表示的抛物线的分析式为y=﹣2[ （x﹣2）+1]【评论】本题考察了二次函数图象与几何变换，娴熟掌握图象平移是x、y 值的变化是解题的重点．15．（2011 秋?舒城县校级月考）已知二次函数y=ax2+bx﹣3 的图象经过点A（2，3），B（﹣1，0）．（1）求二次函数的分析式；（2）填空：要使二次函数的图象与x 轴只有一个交点，应把图象沿y 轴向上平移个单位．【考点】待定系数法求二次函数分析式；二次函数图象与几何变换．【专题】计算题．【剖析】（1）由二次函数y=ax2+bx﹣3 的图象经过点A（2，3），B（﹣1，0），分别将点A，B的坐标代入分析式获得两个对于a，b 的方程，联立构成方程组，解出方程组的解即可获得a，b 的值，从而获得二次函数的分析式；（2）将二次函数的分析式化为极点式，设出向上平移m个单位表示出平移后的分析式，依据写出的分析式，找出极点坐标，而后依据二次函数的图象与x 轴只有一个交点，获得极点纵坐标为0，求出 m的值即可获得向上平移的单位个数．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣3 的图象经过点A（2，3），B（﹣1，0），∴把 A（2，3），B（﹣1，0）分别代入分析式，得：，①+②×2，得 4a+2b﹣3+2a﹣2b﹣6=3，即 6a=12，a=2，则 b=﹣1，∴，则二次函数的分析式为：y=2x 2﹣x﹣3；（2）∵y=2x2﹣x﹣3=2（x﹣）2﹣，∴设应把图象沿y 轴向上平移m个单位，则平移后的分析式为：y=2（x﹣）2﹣+m，此时二次函数的极点坐标为（，﹣+m）要使二次函数的图象与x 轴只有一个交点，则此交点必为抛物线的极点，13∴﹣+m=0，即 m= ．则应把图象沿y 轴向上平移个单位．故答案为：．【评论】本题考察了利用待定系数法求二次函数的分析式，以及二次函数图象与几何变换，运用待定系数法求函数的分析式是数学中一种特别重要的数学方法，同时要修业生能把我们学习的函数图象与几何中的图形变换联系起来，灵巧运用．1415。