2-1控制系统的时域数学模型
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自动控制原理课程授课计划教案1
自动控制原理授课计划教案本课程主要教学内容安排表采用教材及教学大纲情况表备注：教学手段主要是、自动控制的基本概念（0.5学时）自动控制技术（人工控制和自动控制）2、自动控制系统的分类（0.7学时）自动控制系统的分类（1）分类方法（2）分类控制系统的几个概念线性、非线性、连续、离散、定常、时变等3、自动控制系统的发展简史（0.5学时）1．控制理论胚胎与萌芽期2．经典控制理论的孕期与形成时期(Classical Control)3．现代控制时期(Modern Control)4．智能控制时期4、对自动控制系统的基本要求（0.2学时）1．基本要求的提法（1）稳定性（2）快速性（3）准确性●教学小结与拓展：自动控制的基本原理和方式●布置作业或思考题：简述自动控制原理教案●新课导入：通过案例，导入本课内容●教学过程和教学内容设计：§2-1控制系统的时域数学模型（0.4学时）一、数学模型（0.2学时）1．数学模型的概念2．数学模型的形式3．数学模型的建立二、列写微分方程的一般方法（0.2学时）举例说明列写微分方程的一般方法§2-2控制系统的复数域数学模型（1.6学时）一、传递函数的定义（0.2学时）二、传递函数的局限性（0.2学时）三、传递函数的性质（0.3学时）四、传递函数的表达形式（0.3学时）1．零—极点表达形式2．时间常数表达形式五、典型环节及其传递函数（0.6学时）1．比例环节 2．惯性环节 3．一阶微分环节 4．积分环节5．理想微分环节 6．振荡（二阶振荡）环节 7．二阶微分环节8．延迟环节●教学小结与拓展：传递函数的概念、定义和性质；传递函数的求取方法。
●布置作业或思考题：课后习题教案首页-学年第一学期顺序号：（ 3 ）●新课导入：通过案例，导入本课内容●教学过程和教学内容设计：一、结构图的等效变换及简化举例讲解等效变换的应用二、信号流图及梅森增益公式1．信号流图的组成及性质（1）信号流图（2）信号流图使用的术语（3）信号流图的性质（4）信号流图的绘制（5）信号流图的等效变换2．梅森增益公式（1）梅森增益公式（2）举例（案例分析）●教学小结与拓展：结构图的等效变换；梅森增益公式。
自控第2章(1)
例1 试列写如图所示RLC无源网络的微分方程 试列写如图所示RLC RLC无源网络的微分方程
解: (1) 确定电路的输入量和输出量 ＋ (2) 列出原始微分方程式 (3) 消去中间变量，把微分方程 ur(t) 消去中间变量， 整理成标准形式 －
L R i C － ＋ uc(t)
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC + RC + uc ( t ) = ur ( t ) 2 dt dt
Kg =
K1K2 K3 Km
(i + K1K2 K3 KmKt )
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′ = KC KC
(i + K1K2 K3 Km Kt )
2.2 控制系统的复数域数学模型
2.2.1传递函数 2.2.1传递函数 传递函数：是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变 传递函数：是在零初始条件下， 换与输入量的拉氏变换之比。 换与输入量的拉氏变换之比。 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统， 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统，则在 t≥0时才作用于系统 t=0时 系统输入量r(t)以及其各阶导数均为零； r(t)以及其各阶导数均为零 t=0时，系统输入量r(t)以及其各阶导数均为零； 二是指输入量加于系统之前， 二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的 工作状态，即输出量c(t)及其各阶导数在t=0 c(t)及其各阶导数在t=0时的 工作状态，即输出量c(t)及其各阶导数在t=0时的 值也为零。 值也为零。
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自动控制理论
制作人：范 娟 制作人：
课堂练习
如图a和 所示均为自动调压系统 设空载时， 所示均为自动调压系统。 与图b 如图 和b所示均为自动调压系统。设空载时，图a与图 与图 发电机端电压均为110V。试问 带上负载后，图a与图 所示系 带上负载后， 与图b所示系 发电机端电压均为 。 与图 统哪个能保持110V电压不变？哪个系统的电压会稍低于 电压不变？ 统哪个能保持 电压不变 哪个系统的电压会稍低于110V？ ？ 为什么？ 为什么？
2-1控制系统的时域数学模型
(2)消去中间变量 i(t) (2) (t)
duo (t ) ui (t ) = RC + uo (t ) dt
(3)标准化
duo (t ) RC + uo (t ) = ui (t ) dt
例2 对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入 量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
由基尔霍夫电压定律
机械力学系统的数学模型： 机械力学系统的数学模型：
d 2 y (t ) dy (t ) m + f + ky (t ) = F (t ) 2 dt dt
相似系统 相似系统便于用一个简单的系统去研究与其相似的 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。
小结
取一次近似， 取一次近似，且令
∆y( x) = y( x) − y( x0 ) ≈ −E0 sin x0 ⋅ ( x − x0 )
既有
∆y = −E0 sin x0 ⋅ ∆x
例：单摆系统的运动方程为
试列写其线性化方程。 试列写其线性化方程。 解：运动方程中的非线性项为
预定工作点为 [θ0 ,ϕ0 ]
Class is over. ByeBye-bye!
式中：
T1 = R1C1
T2 = R2C2
T3 = R1C2
牛顿定律约束
机械系统
例3 一个由弹簧、质量、 阻尼器组成的做直线运动的 力学系统。图中，m为物体 的质量，k为弹簧系数，f为 粘性摩擦系数，F(t)为物体受 到的外作用力，y(t)为物体的 位移。试列写质量m在外力 F(t)作用下，位移y(t)的运动 方程。
元件约束
d 2uo (t ) duo (t ) R1C1 R2C2 + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 ) + uo (t ) = ui (t ) 2 dt dt dt
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
自动控制原理ch2
第二章 控制系统的数学模型
2-1 控制系统的时域数学模型 二 非线性微分方程的线性化 1 非线性问题的提出 这种将非线性微分方程在一定条件下近似转化为 线性微分方程的方法，称为非线性微分方程线性化。 尽管经过线性化得到的线性微分方程只是有条件、 近似的描述系统的动态特性，但却能使系统动态特性 的分析工作大为简化。
数值亦增大同样的倍数。因此可以采用单位典型外作用(例如 1-单位阶跃函数2-单位脉冲函数)对系统进行分析研究，既简 化了问题又不影响结果的正确性。
第二章 控制系统的数学模型
2-1 控制系统的时域数学模型 二 非线性微分方程的线性化
1 2
非线性问题的提出 非线性线性化方法
第二章 控制系统的数学模型
平衡点附近展开泰勒级数。
2 dy 1d y ( x − x0 ) +L y = f ( x ) = y0 + x0 ( x − x0 )+ 2 x0 dx 2! dx 2
忽略二次以上的各项，上式可写成：
dy y = f ( x ) = y0 + x0 ( x − x0 ) dx
Δy
y
y0
y
Δy
A
Δx
第二章 控制系统的数学模型 2-0 引言
输入量
θr
输出量
工作机械
ur
uc
放 大
θc
Ri
Li
θm
us
器
ur
ia
自动控制系统加上输入信号以后，输出量的运动 方程可以用联系输入量和输出量的微分方程加以描 述。因为它既能定性又能定量地描述整个系统的运 动方程，所以微分方程是系统的一种数学模型。
第二章 控制系统的数学模型 2-0 引言
自动控制原理第2章(2)
(3) 按信号流向将各框图连起来
Ur(s) + _ I1(s) 1/R1
Uc(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
方框图等效变换 基本连接方式：串联、并联、反馈 基本连接方式：串联、并联、
1.串联方框的等效变换 1.串联方框的等效变换
R(s) C(s) G1(s) G2(s) R(s) C(s) G1(s) G2(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
例3 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s) 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)
H2(s) R(s)
_ _
G1(s)
G2(s)
_
G3(s) H3(s)
G4(s)
C(s)
H1(s)
解：①将G3(s)输出端的分支点后移得： (s)输出端的分支点后移得： 输出端的分支点后移得
x1 = xr gxc x2 = ax1 fx4 x3 = bx2 exc x4 = cx3 xc = dx4
xr x1
a x2 b -f
x3 c
-g
x4 d
-e
xc
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
2、由系统结构图绘制信号流图 在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号， ①在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，得到节点 用标有传递函数的线段代替结构图中的方框， ②用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，得到支路
G(s) H(s)
R(s)
C(s) G(s) 1m G(s)H(s)
化简一般方法：移动分支点或相加点 化简一般方法： 交换相加点 合并
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
自动控制原理(胡寿松)第六版-第二章-控制系统的数学模型--2
if=常数
dia La Ra ia Ea ua dt
ua
ia
Ra Ea La
M
电动机轴上机械运动方程：
d J MD ML dt
J — 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD — 电枢电流产生的电磁转矩; ML — 合到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke
Ra J Tm 令机电时间常数Tm : ke k m 二阶系统 La 令电磁时间常数Ta : Ta Ra 2 Tm TaTm dML d d 1 TaTm 2 Tm ua ML dt dt ke J J dt
1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：
Ta 0
第二章 控制系统的数学模型
前言 数学模型基础
2.1 控制系统的时域数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图与信号流图
2.4 控制系统建模实例
End
前言 数学模型基础
2.2 2.3 2.4 2.5
1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态 关系的表达式。 2.建立数学模型的目的
d nc d n1c dc d mr d m 1r dr a0 n a1 n1 an1 an c b0 m b1 m 1 bm 1 bm r dt dt dt dt dt dt
式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：
统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合 理
3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数
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ui
(t)
RC
duo (t) dt
uo
(t)
(3)标准化
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
例2 对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入 量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
解：对L1，由KVL得 ui (t) uR1(t) uC1(t) 0
对L2，由KVL得 uC1(t) uR2 (t) uo (t) 0
➢ 数学模型建立（建模）的方法
❖ 分析法 ❖ 试验法
二 时域数学模型-微分方程
➢微分方程的一般形式
单输入单输出线性定常集中参数连续系统微分方程 的一般形式为：
dn
d n1
d
a0 dt n c(t) a1 dt n1 c(t) an1 dt c(t) anc(t)
b0
dm dt m
r(t) b1
第二章 控制系统的数学模型
第一节 时域数学模型 —微分方程
第一节 控制系统的时域数学模型
项目
内容
教学目的
如何从实际的物理系统过渡到数学系统，理解物 理系统、控制系统、数学系统三者的统一；如何
建立控制系统的时域数学模型。
教 学 重 点 如何建立控制系统的时域数学模型。
教 学 难 点 关于数学模型的一些基本概念。从简单到复杂， 及 其 处 理 逐步分层次讲解。
一 引言
➢ 数学模型的基本概念
中学时的函数概念：
研
y f (x) x 自变量，y 因变量
究 对
在电路的学习中对函数概念的理解：
象 的
复
激励x 电路系统 响应y
自动控制系统对函数概念的理解：
杂 程 度
加
控制量x 控制系统 被控制量y
深
同样的x和y，在不同的课程学习中，思维方式 发生了变化：中学时的函数是一个纯数学的概 念；在电路和控制系统中增加了人的因素。可 以用数学的方法来解决工程中遇到的实际问题， 可以通过自动控制原理课程把数学、工程、控 制三者联系统一起来。
位移y(t)的运动过程如何变化？
作业： 2-2 2-3 2-4
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r (t )
bm r (t )
式中，c(t)是输出量；r(t)是输入量。为了所表示系统
的可实现性，一般限定m n。
➢建立系统(或元件)的微分方程的一般步骤
1、根据系统(或元件)的工作原理，确定其输入量 和输出量；
2、按照系统中元件所遵循的科学规律(物理或化 学定律等)，围绕输入量、输出量及有关中间量，列 写原始方程式，构成微分方程组；
小结
建立系统(或元件)的微分方程的一般步骤
1、根据系统(或元件)的工作原理，确定其输入量 和输出量；
2、按照系统中元件所遵循的科学规律(物理或化 学定律等)，围绕输入量、输出量及有关中间量，列 写原始方程式，构成微分方程组；
3、消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及 其各阶导数的微分方程；
4、标准化。
列出各元件的输入变量和输出变量的关系式
R1：uR1(t) R1i1(t)
R2：uR2 (t) R2i2 (t)
C1：uC1 (t )
1 C1
[i1(t) i2 (t)]dt
C2：uo
(t )
1 C2
i2 (t)dt
R1C1R2C2
d
2uo (t) dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2 )
duo (t) dt
Ff
(t
)
m
d
2 y(t dt 2
)
由虎克定律：
Fk (t) k[ y(t) y0 ]
摩擦力和速度成正比：
其中ky0 mg
Ff (t) f v f dy(t) dt
2、消去中间变量Fk(t)和Ff(t)，并整理得： f
m
d
2 y(t) dt 2
f
dy(t) ky(t) F (t) dt
❖提醒注意 两级滤波电路网络的数学模型：
R1C1R2C2
d
2uo (t) dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2 )
duo (t) dt
uo (t)
ui
(t )
机械力学系统的数学模型：
d 2 y(t) dy(t)
m
dt 2
f
dt
ky(t) F (t)
相似系统
相似系统便于用一个简单的系统去研究与其相似的 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。
ui (t)
机械系统
例4 一个由弹簧、质量、
阻尼器组成的做直线运动的力
学系统。图中，m为物体的质
量，k为弹簧系数，f为粘性摩
擦(阻尼)系数，F(t)为物体受
到的外作用力，y(t)为物体的
f
位移。试列写质量m在外力F(t)
作用下，位移y(t)的运动方程。
1、由牛顿第二定律：
F
(t
)
mg
Fk
(t
)
数学模型的定义：能够描述控制系统输出 量和输入量数量关系的表达形式。
实际物理系统 理想化 物理模型 数学化 数学模型 线性化
线性数学模型无量纲化 可用数学模型 标准化 标准数学模型
➢ 数学模型的分类
按输入输出的表达形式 微分方程（时间域） 传递函数（复数域） 动态结构图（各元件传函的连接关系） 响应曲线（step、pulse） 频率特性（bode图、nyquist图、nichols图）
解：1、由KCL： i0 (t) i1(t) 0
由KVL： R0i0 (t) ui (t)
R1i1
(t
)
1 C
i1(t)dt uo (t)
2、消去中间变量 i0 (t)、i1(t) 并标准化，得：
R0C
duo (t) dt
R1C
dui (t) dt
ui
(t)
或
duo (t) dt
T
dui (t) dt
机械系统
m
d
2 y(t dt 2
)
f
dy(t) ky(t) F (t) dt
例4 一个由弹簧、质量、 阻尼器组成的做直线运动的 力学系统。图中，m为物体 的质量，k为弹簧系数，f为 粘性摩擦系数，F(t)为物体 受到的外作用力，y(t)为物 体的位移。试列写质量m在 外力F(t)作用下，位移y(t)的 运动方程。
uo
(t )
ui (t)
或
T1T2
d
2uo (t) dt 2
(T1
T2
T3 )
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
式中： T1 R1C1 T2 R2C2 T3 R1C2
❖提醒注意
上题中如果把第一级电路的输出看作是第二级电路的 输入，直接利用例1的结论，可列方程如下：
R1C1
duc1 (t ) dt
3、消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及 其各阶导数的微分方程；
4、标准化。
电气系统
例1 对下图RC无源网络，列写以ui(t)为输入 量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
解：(1)由KVL，得
ui (t) Ri(t) uo (t)
又因为
i(t) C duo (t) dt
(2)消去中间变量 i(t)
uc1 (t )
ui
(t)
R2C2
duo (t) dt
uo (t)
uc1 (t )
消去中间变量uc1(t)，得：
R1C1R2C2
d
2uo (t) dt 2
(R1C1
R2C2 )
duo (t) dt
uo (t)
ui
(t )
原因：后级电路的电流i2影响前级电路的输出电压uc1(t)。
负载效应
例3 由理想运算放大器组成的有源网络如图，列写以ui(t) 为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
非线性数学模型线性化
实际的物理元件都存在一定的非线性，例如：
弹簧系数 是位移的函数 电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关 电动机本身的摩擦、死区
思考
电气系统
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
例1 对下图RC无源网络，列写以ui(t)为输入
量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
uo(t)输出量的变化过程是什么？