层析反演中的正则化方法研究

李辉，王华忠，张兵．层析反演中的正则化方法研究［Ｊ］．石油物探，２０１５，５４（５）：５６９　－５８１Ｌｉ　Ｈｕｉ，Ｗａｎｇ　Ｈｕａｚｈｏｎｇ，Ｚｈａｎｇ　Ｂｉｎｇ．Ｔｈｅ　ｓｔｕｄｙ　ｏｆ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ［Ｊ］．Ｇｅｏｐｈｙｓｉｃａｌ　Ｐｒｏｓｐｅｃｔｉｎｇ　ｆｏｒ　Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ，２０１５，５４（５）：５６９　－５８１收稿日期：２０１４－１１－２４；改回日期：２０１５－０２－２６。

作者简介：李辉（１９８５—），男，博士，现从事射线类偏移与反演的研究工作。

基金项目：国家自然科学基金（４１３７４１１７）、国家重点基础研究发展计划（９７３计划）项目（２０１１ＣＢ２０１００２）、国家科技重大专项项目（２０１１ＺＸ０５００３－００３，２０１１ＺＸ０５００５－００５－００８ＨＺ，２０１１ＺＸ０５００６－００２）和中国石化地球物理重点实验室开放基金项目（３３５５０００６－１４－ＦＷ２０９９－００２６）共同资助。

层析反演中的正则化方法研究李　辉１，２，王华忠１，张　兵１，３（１．同济大学海洋与地球科学学院波现象与反演成像研究组，上海２０００９２；２．青凤致远应用地球物理研究所，上海２０００９３；３．中国石油化工股份有限公司石油物探技术研究院，江苏南京２１１１０３）摘要：正则化可显著降低层析反演解的非唯一性，提高层析反演结果的质量。

主要研究了模型参数正则化和数据正则化。

地下介质参数之间的关联性如何加入模型正则化是讨论的问题之一；观测数据之间的关联性加入数据正则化的方法则是另一个主要议题。

此外，讨论了Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化和预条件两种模型正则化实现策略，指出前者理论比较直观，后者计算效率更高，并证明了两者在理论上的等价性。

模型正则化通过构造各向异性光滑算子加入地质构造特征，数据正则化则通过在层析矩阵中加入预先构造的数据预条件矩阵来实现。

通过层析偏移速度分析给出了模型正则化和数据正则化的具体实现策略。

理论分析和层析偏移速度分析的数值实验说明本文的模型正则化和数据正则化可显著提高层析反演的质量。

关键词：层析偏移速度分析；模型正则化；数据正则化；预条件；地质构造约束中图分类号：Ｐ６３１文献标识码：Ａ文章编号：１０００－１４４１（２０１５）０５－０５６９－１３　ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１０００－１４４１．２０１５．０５．０１０Ｔｈｅ　ｓｔｕｄｙ　ｏｆ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙＬｉ　Ｈｕｉ　１，Ｗａｎｇ　Ｈｕａｚｈｏｎｇ１，Ｚｈａｎｇ　Ｂｉｎｇ１，２（１．Ｗａｖｅ　Ｐｈｅｎｏｍｅｎａ　ａｎｄ　Ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ　Ｉｍａｇｉｎｇ　Ｇｒｏｕｐ（ＷＰＩ），Ｔｏｎｇｊｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　２０００９２，Ｃｈｉｎａ；２．Ｑｉｎｇｆｅｎｇ－ｚｈｉｙｕａｎ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｇｅｏｐｈｙｓｉｃｓ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　２０００９３，Ｃｈｉｎａ；３．Ｓｉｎｏｐｅｃ　Ｇｅｏｐｈｙｓｉｃａｌ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｎａｎｊｉｎｇ２１１１０３，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ　ｉｓ　ａｂｌｅ　ｔｏ　ｗｅａｋｅｎ　ｔｈｅ　ｎｏｎ－ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ　ｔｏ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔ－Ｔｈｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｉｎｃｌｕｄｅｓ　ｍｏｄｅｌ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｄａｔａ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎＭｏｄｅｌ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ａｒｅ　ｎｏｔ　ｉ－ｓｏｌａｔｅｄ，ｈｏｗ　ｔｏ　ａｄｄ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｏｆ　ｔｈｅｓｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｉｎｔｏ　ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ　ｉｓ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｉｓｓｉｏｎｓ　ｈｅｒｅＳｉｍｉｌａｒｌｙ，ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ　ｄａ－ｔｕｍ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｉｎ　ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ　ｉｓ　ａｎｏｔｈｅｒ　ｐｒｏｂｌｅｍＴｈｅ　ｓｏ－ｃａｌｌｅｄ“ｓｔｒａｉｇｈｔｆｏｒｗａｒｄ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ”ａｎｄ　ｔｈｅ“ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｒｅｇｕ－ｌａｒｉｚａｔｉｏｎ”ａｒｅ　ｆｏｃｕｓｅｄ，ａｎｄ　ｗｅ　ａｃｈｉｅｖｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍｅｒ　ｉｓ　ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｌａｔｔｅｒ　ｉｓ　ｍｏｒｅ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙＡｌｓｏ，ｗｅ　ｐｏｉｎｔ　ｏｕｔ　ｔｈａｔｔｈｅ　ａｂｏｖｅ　ｔｗｏ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ａｒｅ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ｔｏ　ｅａｃｈ　ｏｔｈｅｒ，ａｎｄ　ｔｈｉｓ　ｗｉｌｌ　ｂｅ　ｓｈｏｗｎ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒＴｈｅ　ｇｅｏｌｏｇｉｃａｌ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒ－ｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｅｄｉｕｍ　ｃａｎ　ｂｅ　ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ　ｉｎｔｏ　ｔｈｅ　ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍｏｄｅｌ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ　ｓｍｏｏｔｈ　ｍａｔｒｉｘ．Ｔｈｅ　ｄａｔａ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｒｅａｌｉｚｅｄ　ｗｉｔｈ　ａｎｏｔｈｅｒ　ｓｍｏｏｔｈ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｗｈｉｃｈ　ｗｉｌｌ　ｂｅ　ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ　ｉｎｔｏ　ｔｈｅ　ｔｏｍｏｇｒａｐｈｉｃ　ｍａｔｒｉｘ．Ｔｈｅｍｏｄｅｌ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｄａｔａ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｔｅｓｔｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｏｍｏｇｒａｐｈｉｃ　ｍｉｇｒａｔｉｏｎ　ｖｅｌｏｃｉｔｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ（ＭＶＡ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ　ｗｉｔｈ　ｔｏｍｏｇｒａｐｈｉｃ　ＭＶＡ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｍｏｄｅｌ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｄａ－ｔａ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｂｏｔｈ　ａｂｌｅ　ｔｏ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｑｕａｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ　ｏｂｖｉｏｕｓｌｙ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｏｍｏｇｒａｐｈｉｃ　ＭＶＡ，ｍｏｄｅｌ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ，ｄａｔａ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ，ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｇｅｏｌｏｇｉｃａｌ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ 随着勘探地震技术的发展以及石油工业需求的提高，叠前深度偏移逐渐成为工业应用中偏移技９６５第５４卷第５期２０１５年９月石　油　物　探ＧＥＯＰＨＹＳＩＣＡＬ　ＰＲＯＳＰＥＣＴＩＮＧ　ＦＯＲ　ＰＥＴＲＯＬＥＵＭＶｏｌ．５４，Ｎｏ．５Ｓｅｐ．，２０１５术的主流。

在观测数据品质有保障的前提下，叠前深度偏移在实际应用中成功与否最重要的前提是速度模型的准确程度。

深度域速度建模的方法包括分析类方法（如扫描速度分析、剩余曲率分析）、层析方法、波动方程类反演（如全波形反演）方法等。

其中，分析类方法存在较强的理论假设，导致估计的速度精度及分辨率非常低；波动方程类反演方法的效率非常低，且严重依赖于初始速度模型；基于射线理论的层析方法是目前工业界应用最广泛的深度域速度估计方法［１－３］，但存在明显的缺点，如：只能反演光滑的背景速度、建立的反问题病态性较明显等，所幸的是，正则化可显著解决射线层析中的上述问题［４－５］。

尽管正则化的本质思想十分明确，但具体实现方法及种类繁多，本文针对模型参数之间的关联性和数据之间的关联性讨论层析反演中加入正则化的策略。

正则化是地球物理反问题中非常重要的环节，可以显著降低层析反演解的非唯一性，提高层析反演结果的质量。

地震层析反演中的模型参数是地下介质参数（通常是地震波速度），数据是观测到的波场信息（通常是旅行时）。

地下不同空间区域的介质参数之间有一定关联性；同样，不同观测点的数据也相互关联。

此外，测量的地震波数据良莠不齐，可靠性存在明显差异。

如何把这些信息加入层析过程以提高反演质量是一个值得研究的课题。

在地震层析反演中，利用地下构造信息约束模型参数的空间分布特征，把模型参数在空间中的相关特征通过构造信息提取出来，结合Ｔｉｋｈｏｎｏｖ模型正则化或预条件思想把此信息加入层析反演中，可显著改善估计的模型参数，这里称之为模型正则化。

Ｚｈｏｕ等［６］、Ｚｈｏｕ［７］和Ｚｄｒａｖｅｖａ等［８］把光滑算子加入灵敏度核函数中对反演的模型直接进行正则化约束；Ｃｌａｐｐ［９］和Ｃｌａｐｐ等［１０］利用预条件思想实现对反演模型的预条件约束。

事实上，Ｔｉｋ－ｈｏｎｏｖ模型正则化和预条件模型正则化等价，虽然两者有不同的表达形式及理论基础。

类似于模型参数，利用协方差矩阵可提取出观测数据之间的相关性，将数据相关性作为数据先验信息加入反演过程是贝叶斯反演思想［４］的一个关键环节。

此外，测量的数据有优劣之分，反演中如何通过正则化突出质量较高的数据也是本文的研究内容。

层析中加入数据关联性和突出高质量的数据称为数据正则化。

１　模型正则化理论及实现策略层析反演中针对模型施加正则化是把我们对模型参数的认识加入层析反演中。

地下介质的模型参数化后，不同参数之间存在一定的关联性，因为所有参数组成的地下介质遵循一定的地质规律。

这里研究的模型正则化试图在层析过程中加入地质构造约束，我们通过在层析矩阵中加入光滑矩阵来实现。

光滑矩阵可约束模型中不同方向的突变成分，令垂直于反射界面与平行于反射界面的方向光滑强度不同来实现对模型的各向异性光滑约束。

模型正则化的具体实现策略包括Ｔｉｋｈｏｎｏｖ模型正则化和预条件模型正则化两种。

无论是Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化还是预条件模型正则化，光滑矩阵的构建是重要的一环。

１．１　Ｔｉｋｈｏｎｏｖ模型正则化贝叶斯框架下层析反演等价于优化如下的目标泛函［４］：Ｊ（ｍ）＝１２｛［Ａ（ｍ）－ｄ］ＴＣ－１Ｄ［Ａ（ｍ）－ｄ］＋ε（ｍ－ｍ０）ＴＣ－１Ｍ（ｍ－ｍ０）｝（１）式中：ｍ和ｄ是模型参数与观测数据；ｍ０是参考模型；Ａ（ｍ）是模拟数据；Ｃ－１Ｄ和Ｃ－１Ｍ分别是数据协方差矩阵和模型协方差矩阵的逆矩阵；ε是阻尼因子。

层析反演通过线性化的迭代实现对上述目标函数的优化，一次迭代的线性方程为：（ＡＴＣ－１ＤＡ＋εＣ－１Ｍ）Δｍ＝ＡＴＣ－１ＤΔｄ（２）式中：矩阵Ａ是Ａ（ｍ）的线性化算子；Δｍ＝ｍ－ｍ０是当前迭代中模型的更新量；ｍ０是参考模型；Δｄ＝Ａｍ０－ｄ是当前迭代中的数据残差。

目标泛函（（１）式）和方程（２）中的协方差矩阵及阻尼因子实现了对层析反演施加正则化。

不考虑正则化，仅用数据残差进行层析反演，即协方差矩阵为单位矩阵且ε＝０时，层析方程（２）退化成一般的层析方程，即：ＡΔｍ＝Δｄ（３） 令方程（２）中的数据协方差矩阵为单位矩阵，只考虑模型正则化时的层析方程为：ＡＴＡΔｍ＋εＣ－１ＭΔｍ＝ＡＴΔｄ（４） 模型协方差矩阵的逆矩阵不能直接构造，一般利用其它矩阵代替，从而实现对模型的正则化约束。