非欧几何学解析
非欧几里得几何学（non-Euclidean
⾮欧⼏⾥得⼏何学（non-Euclidean geometry）⾮欧⼏⾥得⼏何学（non-Euclidean geometry）不同于欧⼏⾥得⼏何学的⼏何体系。
简称为⾮欧⼏何。
⼀般是指罗巴切夫斯基⼏何（双曲⼏何）和黎曼的椭圆⼏何。
它们与欧⽒⼏何最主要的区别在于公理体系中采⽤了不同的平⾏公理。
⾮欧⼏何起源于对欧⼏⾥得平⾏公设的讨论。
公元前3世纪初，欧⼏⾥得《⼏何原本》问世，开篇列出定义、公理和公设，其中第五公设是：同⼀平⾯内⼀条直线与另外两条直线相交，若在某⼀侧的两个内⾓之和⼩于⼆直⾓，则这⼆直线经过⽆限延长后在这⼀侧相交。
它不像其他公设那样显然，因此很快就引起⼈们的争议，认为欧⼏⾥得把它放在公理（公设）之列，不是因为它不能证明，⽽是找不到证明，这是欧⼏⾥得⼏何体系的唯⼀“污点”。
2000多年来，许多⼏何学家⽤不同的⽅法试图证明第五公设，可是都失败了，因为在他们的每⼀个所谓“证明”中都引进⼀个新的假定，⽽这个假定等价于第五公设。
公元2世纪，古希腊数学家托勒密试图从欧⼏⾥得其他9个公理、公设以及与平⾏公设⽆关的欧⼏⾥得命题1～28来证明平⾏公设，但假设了两直线平⾏后，另⼀与之相交直线⼀侧内⾓成⽴的东西也必在另⼀侧同样成⽴。
公元5世纪的普罗克洛斯基于亚⾥⼠多德⽤于证明宇宙有限的公理来证明平⾏公设，实际上是把⼀个有问题的公理⽤另⼀个来代替09世纪阿拉伯数学家塔⽐·伊本·库拉在《欧⼏⾥得著名的公设证明》中假设：如果两条直线与第三条直线相交，并且它们在（第三条直线的）某⼀侧靠近或相离，则它的（在第三条直线的）另⼀侧就相离或靠近。
13世纪的纳西尔丁在《平⾏线问题释疑》中也应⽤了这样的假设：同⼀平⾯上的若⼲直线，若在⼀个⽅向上是分离的，则它们在这个⽅向上就不会靠近。
他在此基础上证明了垂线与斜线⼀定相交，⾃⾓内任⼀点必可作⼀直线与⾓的两边都相交等命题，这些都与第五公设等价。
纳西尔丁的⼯作于1663年由英国数学家沃利斯重新阐发，引起欧洲⼈的重视。
浅谈欧氏几何与非欧几何在建筑中的应用
浅谈欧氏几何与非欧几何在建筑中的应用首先简单说说我对欧氏几何与非欧氏几何的陋见，欧氏几何与非欧氏几何都是数学几何学中的一块，做一个不是十分恰当的比喻，欧氏几何与非欧氏几何之间的关系就像是牛顿基本力学与后来爱因斯坦创立的相对论之间的关系。
那么接下来我将从学术上简单谈谈欧氏几何与非欧氏几何，欧氏几何是由以欧几里得几何学为基础的经典集合理论，它包括五条基本定理，整个欧氏几何的大厦都建立在这五条基本理论上，也就是说欧氏几何的一切定理、推论就是通过这些定义五个公设和数量公理的演绎、推理证明而得到的。
非欧氏几何即是区别于传统平面几何学的三维几何，它是建立在三维的现实生活中的，相较于二维几何它更加复杂更加具有动态的美，它的主要发展是在计算机的发明之后，人们开始利用计算机辅助技术来建立三维模型并寻找其中的数学规律，非欧氏几何的代表有拓扑几何、凸体几何等。
那么我们为什么要选择在建筑数字技术概论这门课上讲欧氏几何与非欧几何在建筑中的应用呢？计算机辅助技术看起来和我们的课题并无直接联系，建筑数字技术是指一些服务设计的软件比如CAD、Rhino、Revit、Sketchup等软件，它们大都是一些辅助人们建立模型的软件，我们这门课也是简要介绍这些软件，让同学们心里对这些软件有一定的认识，这好像与欧氏几何与非欧几何并无联系。
其实并不然，正如我之前所说，非欧氏几何的快速发展正是借助计算机强大的建模能力，而想要把它们都运用到我们的建筑设计中光靠传统的手绘是远远不够的，也无法表达清楚我们想要的效果，这只是其一。
其二，就算我们通过手绘解决出了非欧几何造型的难题，这只是完成了建筑设计中的一小部分——造型设计，还有设备设计，结构设计等方面内容，试想一下，想要在复杂的非欧几何建筑里不借助计算机辅助就做好结构、设备等处理设计这几乎是不可能实现的，由此可见，通过对欧氏几何非欧氏几何对我们建筑设计的影响就可以看出，计算机辅助技术对我们设计帮助之大，对我们建筑设计进步推动之大。
数学中的非欧几何与应用知识点
数学中的非欧几何与应用知识点数学作为一门学科，其中的几何学一直以来都是研究空间、形状和变换的重要分支。
而欧几里得几何作为传统几何学的基础，主要研究了平面和空间中的几何关系和性质。
然而，19世纪的数学家们通过对平行公设的思考和推翻，引入了非欧几何的概念，开辟了几何学的新篇章。
本文将介绍非欧几何的概念、基本理论和应用知识点。
一、非欧几何的概念和分类非欧几何是与欧几里得几何相对应的一个几何学分支，它不满足欧几里得几何中的平行公设。
根据非欧几何的不同特性，可以将其分为以下两种类型：1. 椭圆几何椭圆几何是一种非欧几何，其中的平行公设被取否定，即不存在平行线。
相反，任意两条直线在某一点处相交。
椭圆几何主要研究了曲率为正的几何空间，如球面。
2. 双曲几何双曲几何也是一种非欧几何，其中的平行公设被替换为双曲公设，即通过一点外一直线的平行线可以有无数条。
相比于椭圆几何，双曲几何研究的是曲率为负的几何空间。
二、非欧几何的基础理论非欧几何的基础理论包括非欧空间、非欧几何公设和非欧运动等。
1. 非欧空间非欧空间，也称为开平面，是非欧几何的基础。
它是一个无穷大的平面空间，没有边界和界限。
在非欧空间中，平行线不再存在，给几何学带来了全新的视角。
2. 非欧几何公设非欧几何的公设与欧几里得几何不同。
非欧几何中的公设包括反证法、证明方法和平行公设的改变等。
其中最为重要的是改变平行公设，也是区分椭圆几何和双曲几何的关键因素。
3. 非欧运动非欧运动是指在非欧几何中的刚体运动。
在椭圆几何和双曲几何中，刚体在空间中的平移、旋转和翻转等运动被重新定义，不再满足欧几里得几何中的性质。
三、非欧几何的应用知识点非欧几何在现实生活中有着广泛的应用，特别是在相对论、地理学和计算机图形学等领域。
1. 相对论相对论是物理学中的一项重要理论，其中的时空观念受到了非欧几何的影响。
爱因斯坦的相对论通过引入非欧几何的概念，重新定义了时空的结构，改变了传统的欧几里得空间观念，从而对现代物理学产生了深远影响。
不可思议的几何──非欧几何
不可思议的几何──非欧几何非欧几何的来源非欧几何学是一门大的数学分支，一样来讲，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。
所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，确实是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。
欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发觉第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。
也确实是说，在《几何原本》中能够不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这确实是几何进展史上最闻名的，争辩了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐步怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。
他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。
他认为假如那个系统为基础的推理中显现矛盾，就等于证明了第五公设。
我们明白，这事实上确实是数学中的反证法。
然而，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。
最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。
那个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。
这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，能够得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
高中数学大纲非欧
高中数学大纲非欧（最新版）目录1.引言：介绍高中数学大纲非欧几何的相关背景知识2.非欧几何的概念：解释非欧几何的定义和特点3.非欧几何的发展历程：概述非欧几何从发现到被广泛接受的历史过程4.非欧几何的应用领域：介绍非欧几何在实际问题中的应用和价值5.结论：总结非欧几何的重要性以及对高中数学教育的意义正文数学是一门研究数量、结构、变化和空间的学科，它在人类历史发展中扮演着重要角色。
高中数学作为基础教育的重要组成部分，其大纲涵盖了各种基本数学知识。
其中，非欧几何作为高中数学大纲的一部分，对于培养学生的数学思维和认知能力具有重要意义。
非欧几何，又称为非欧几里得几何，是指不遵循欧几里得几何公理的几何体系。
它与欧几里得几何的最大不同在于，欧几里得几何基于平行线和三角形内角和为 180 度的假设，而非欧几何则放弃了这些限制。
非欧几何的概念最早可以追溯到古希腊时期，当时的数学家已经注意到了一些与欧几里得几何不符的现象。
然而，直到 19 世纪初，非欧几何才被广泛接受和研究。
非欧几何的发展历程可谓曲折。
早在公元前 3 世纪，古希腊数学家欧几里得就提出了欧几里得几何，奠定了欧式几何的基础。
直到 18 世纪末，德国数学家高斯在对曲面的研究中，提出了非欧几何的概念，并证明了其合理性。
随着研究的深入，19 世纪初，匈牙利数学家波利亚伊和俄国数学家罗巴切夫斯基分别独立发现了非欧几何的两个重要分支：双曲几何和球面几何。
从此，非欧几何开始被广泛接受，并逐渐发展成为现代数学的一个重要领域。
非欧几何在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学、工程学、计算机科学等领域，双曲几何和球面几何在描述某些现象时具有优越性。
此外，非欧几何在广义相对论和高能物理等领域也发挥着重要作用。
因此，对于高中生来说，学习非欧几何能够拓宽他们的视野，提高他们的数学思维能力，激发他们对数学的兴趣。
总之，非欧几何作为高中数学大纲的一部分，对于培养学生的数学思维和认知能力具有重要意义。
欧氏几何 非欧几何 罗曼几何2007
欧氏几何非欧几何罗曼几何2007/05/20 11:06欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。
后两种几何就称为非欧几何。
三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。
因此这三种几何都是正确的。
欧氏几何与非欧几何最显著的区别：在于对几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论的解释。
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。
欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。
罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。
那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。
在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
欧氏距离：在二维和三维空间中的欧式距离的就是两点之间的距离，二维的公式是d = sqrt((x1-x2)^+(y1-y2)^)三维的公式是d=sqrt(x1-x2)^+(y1-y2)^+z1-z2)^)推广到n维空间，欧式距离的公式是d=sqrt( ∑(xi1-xi2)^ ) 这里i=1,2..nxi1表示第一个点的第i维坐标,xi2表示第二个点的第i维坐标黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826－1866德国汉诺威）黎曼1826年出生于汉诺威一个小村庄，父亲是路德派的牧师。
由于家庭生活困难，黎曼的六个兄弟姐妹中多数夭亡。
黎曼本人身体也很虚弱。
19岁时，黎曼依父亲意愿进入哥廷根大学学习哲学和神学，以便将来成为一名牧师。
当时的哥廷根大学由于有高斯而成为世界数学的中心之一，受这里数学研究气氛的感染，从小就在数学上显露才华的黎曼决定放弃神学，专攻数学。
于是转到柏林大学，从雅可比、狄利克雷、史坦纳那里受教，而进入新的数学领域。
非欧几何的基本特点
非欧几何的基本特点在数学领域中，欧几里德几何是最为熟知和广泛应用的几何学分支，但除了欧几里德几何之外，还存在着非欧几何。
非欧几何是一种与欧几里德几何不同的几何学体系，其基本特点包括曲率非零、平行线性质不同等方面。
本文将从非欧几何的基本特点入手，探讨其独特之处。
一、曲率非零欧几里德几何中的空间被认为是平坦的，即其曲率为零。
而在非欧几何中，空间的曲率可以是正的、负的或零。
这意味着在非欧几何中，直线可能是曲线，平行线可能会相交，空间的性质与我们在日常生活中所熟悉的直觉有所不同。
例如，在双曲几何中，空间的曲率是负的，直线是呈现为弯曲的状态，这与我们在平面几何中所理解的直线是完全不同的。
二、平行线性质在欧几里德几何中，通过一点可以作出唯一一条与已知直线平行的直线。
然而，在非欧几何中，平行线的性质有所不同。
在双曲几何中，通过一点可以作出无数条与已知直线平行的直线，这与我们在欧几里德几何中的认知形成了鲜明对比。
而在椭圆几何中，不存在平行线，任意两条直线都会相交。
这种与欧几里德几何不同的平行线性质是非欧几何的一个显著特点。
三、三角形性质在欧几里德几何中，三角形的内角和为180度是一个基本定理。
而在非欧几何中，三角形的内角和可能大于、小于或等于180度，取决于所处的几何体系。
在双曲几何中，三角形的内角和小于180度，而在椭圆几何中，三角形的内角和大于180度。
这种三角形性质的差异也是非欧几何的一个显著特点。
四、拓扑性质除了几何性质的差异外，非欧几何还具有独特的拓扑性质。
在欧几里德几何中，空间是连续、无缝的。
而在非欧几何中，空间可能是非连续的、有界的或无限的。
例如，在双曲几何中，空间是无限的且有界的，这与我们在欧几里德几何中的认知形成了鲜明对比。
非欧几何的拓扑性质为我们提供了一种全新的空间观念。
总结起来，非欧几何与欧几里德几何相比，具有曲率非零、平行线性质不同、三角形性质差异和独特的拓扑性质等基本特点。
非欧几何的独特性质为我们提供了一种不同于传统几何学的视角，拓展了我们对空间和形态的理解。
非欧几何(Non-Euclidean.
非欧几何（Non-Euclidean geometry）简介福州大学林鸿仁非欧几何就是非欧几里得几何，是针对欧几里得几何而言的，非欧几何通常指的是罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。
众所周知，素有“几何之父”之称的古希腊的数学家欧几里得( Euclid，希腊文：Ευκλειδης，约公元前330年-前275年）有一本传世之作叫《几何原本》，已经传了两千多年了。
其中的基本内容，至今还是我们孩子们学习的课程，包括《平面几何》和《立体几何》。
西方的几何学大概兴于公元前7世纪的古埃及，对古代埃及人来说，几何学就是“测地术”，几何是在测量地块中获得的，是一种经验的几何知识，所以大都十分零散杂乱，缺乏系统。
古希腊的欧几里得首先觉察到，很有必要对这些“上帝的杰作”进行整理，于是特地到古埃及的亚历山大，收集整理并于公元前3世纪写成《几何原本》这一巨著，开创了数学理论的系统化逻辑化的先河，除了使几何成为一门独立学科之外，也成为西方科学研究方法的典范。
欧几里得的《几何原本》全书共分13卷，包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。
在每一卷中，欧几里得都采用了完全不同的叙述方式，先提出公理、公设和定义，再将命题进行逻辑推理和证明。
他先后对直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何等进行系统的论述。
在这里，作为定义的基本概念，如点、线、面、直角等，已不是具体的图形或图像，而是抽象的一般概念；推演定理的方法，也尽量避开直观，而采用“三段论式”的逻辑方法。
欧几里得的成功之处在于，从一些被认为是不证自明的事实出发，通过逻辑演绎，用很少的几个公理公设，令人信服地推出了很多的定理，而且它们与现实世界又是一致的。
欧几里得建立的这一个几何学公理体系一直受到后世数学家的普遍称颂，被公认为数学严格性的典范。
因此，在相当长的历史时期里，人们一直把几何称为“欧几里得几何”简称“欧氏几何”，并把它奉为金科玉律。
但由于时代的局限，他的5条公设中的第5条一直被质疑。