二次函数解析式的几种求法PPT课件
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2.3 二次函数表达式的三种形式 课件(共21张PPT)
3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x
轴（交其点中的x1横, 坐x2标是）抛，物选线交与点x式轴：交y 点 (的x 横x坐1)(标x ）x2 )
但不论何种形式，最后都化为一般形x1 式。
2.抛物线y=ax²+bx+c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点， 求抛物线的解析式．
3.二次函数y=ax²+bx+c的图象过点A(－2，5)，且当 x＝2时，y＝－3，求这个二次函数的解析式，并 判断点B(0，3)是否在这个函数的图象上．
4.抛物线y=ax²+bx+c经过(0，0)，(12，0)两点，其 顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解x1 析式．(要 求用多种方法)
• 求二次函数表达式的方法有很多，今 天主要学习用待定系数法来求二次函 数的表达式（解析式）
• 2015已知二次函数的图象与y轴的交点为C， 与x轴正半轴的交点为A．且．tan ACO 1
4
• (1)求二次函数的解析式；
课后练习
1.抛物线y=ax²+bx+c过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式
• 3.交点式：y a(x x1)(x x2 ) (a 0)
一般式 y ax2 bx c(a )
例题1 (1) 已知二次函数图象经过点A(-1,0), B（4，5），C（0，－3），求该二次函
数的表达式．
(2) (2015牡丹江)抛物线y=x²+bx+c经过 点A(1,-4),B(3,0).求此抛物线的解析式.
二、顶点式 y a(x h)2 k
例题1 (1)(2013绥化)若二次函数图像的顶点坐 标为(-2,3），且过点（－3,5）,求此二次 函数的解析式。
轴（交其点中的x1横, 坐x2标是）抛，物选线交与点x式轴：交y 点 (的x 横x坐1)(标x ）x2 )
但不论何种形式，最后都化为一般形x1 式。
2.抛物线y=ax²+bx+c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点， 求抛物线的解析式．
3.二次函数y=ax²+bx+c的图象过点A(－2，5)，且当 x＝2时，y＝－3，求这个二次函数的解析式，并 判断点B(0，3)是否在这个函数的图象上．
4.抛物线y=ax²+bx+c经过(0，0)，(12，0)两点，其 顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解x1 析式．(要 求用多种方法)
• 求二次函数表达式的方法有很多，今 天主要学习用待定系数法来求二次函 数的表达式（解析式）
• 2015已知二次函数的图象与y轴的交点为C， 与x轴正半轴的交点为A．且．tan ACO 1
4
• (1)求二次函数的解析式；
课后练习
1.抛物线y=ax²+bx+c过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式
• 3.交点式：y a(x x1)(x x2 ) (a 0)
一般式 y ax2 bx c(a )
例题1 (1) 已知二次函数图象经过点A(-1,0), B（4，5），C（0，－3），求该二次函
数的表达式．
(2) (2015牡丹江)抛物线y=x²+bx+c经过 点A(1,-4),B(3,0).求此抛物线的解析式.
二、顶点式 y a(x h)2 k
例题1 (1)(2013绥化)若二次函数图像的顶点坐 标为(-2,3），且过点（－3,5）,求此二次 函数的解析式。
专题(五) 用待定系数法求二次函数解析式课件(人教版)
(1)求抛物线C1的解析式； (2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐 标原点，并写出C2的解析式．
解：(1)y＝x2－2x－3 (2)抛物线C1向左平 移3个单位长度，可使得到的抛物线C2经过坐 标原点，所求抛物线C2的解析式为y＝x(x＋4)， 即y＝x2＋4x
5．如图，直线 l 过点 A(4，0)和 B(0，4)两点，它与二次函数 y＝ax2 的图象在第一象限内交于点 P，若 S△AOP＝92，求二次函数的解析式．
解：易求直线 AB 的解析式为 y＝－x＋4，∵S△ AOP＝29，∴12×4×yp＝29，∴yp＝94，∴94＝－x＋4，解得 x＝74，把点 P 的坐标(74，94)代入 y＝ax2，解得 a＝3469， ∴y＝3469x2
五、已知图形变换求解析式
6．如图，已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0) ，C(0，－3)．
(1)求抛物线C1的解析式； (2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐 标原点，并写出C2的解析式．
五、已知图形变换求解析式
6．如图，已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0) ，C(0，－3)．
三、已知抛物线与x轴的交点求解析式 已知抛物线与x轴两交点坐标：设y＝a(x－x1)(x－x2)求解 3．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3， 0)，求这条抛物线的解析式．
解：∵抛物线与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，∴抛物线的解析式可 表示为y＝－(x－3)(x－1)，即y＝－x2＋4x－3
九年级上册人教版数学
专题(五) 用待定系数法求二次函数解析式
一、已知三点求解析式
解：(1)y＝x2－2x－3 (2)抛物线C1向左平 移3个单位长度，可使得到的抛物线C2经过坐 标原点，所求抛物线C2的解析式为y＝x(x＋4)， 即y＝x2＋4x
5．如图，直线 l 过点 A(4，0)和 B(0，4)两点，它与二次函数 y＝ax2 的图象在第一象限内交于点 P，若 S△AOP＝92，求二次函数的解析式．
解：易求直线 AB 的解析式为 y＝－x＋4，∵S△ AOP＝29，∴12×4×yp＝29，∴yp＝94，∴94＝－x＋4，解得 x＝74，把点 P 的坐标(74，94)代入 y＝ax2，解得 a＝3469， ∴y＝3469x2
五、已知图形变换求解析式
6．如图，已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0) ，C(0，－3)．
(1)求抛物线C1的解析式； (2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐 标原点，并写出C2的解析式．
五、已知图形变换求解析式
6．如图，已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0) ，C(0，－3)．
三、已知抛物线与x轴的交点求解析式 已知抛物线与x轴两交点坐标：设y＝a(x－x1)(x－x2)求解 3．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3， 0)，求这条抛物线的解析式．
解：∵抛物线与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，∴抛物线的解析式可 表示为y＝－(x－3)(x－1)，即y＝－x2＋4x－3
九年级上册人教版数学
专题(五) 用待定系数法求二次函数解析式
一、已知三点求解析式
初中数学九年级PPT课件二次函数可编辑全文
2
解：根据题意，得
k
1 2
0
①
2k 2 k 1 2
②
由①，得 k 1
2
由②，得
k1
1 2
,
k
2
1
∴
k 1
二.抛物线y=ax2+bx+c的特征与a、 b、c的符号：
(1)a决定开口方向:aa
0, 0,
开口向上, 开口向下;
((32))a与c决b定决抛定物对线称轴与位y轴置交:点aa,,位bb异 同置号 号， ，在 在yy轴 轴右 左侧 侧； ，
4a+2b+c=0
c=3
36a-6b+c=0
解得：
a=Leabharlann 1 4b= -1c=3
所以二次函数的解析式为： y 1 x2 x 3 4
顶点式：
解：因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函 数的解析式为：y=a(x+2)2+k，把点（2，0） （0，3）代入可得：
16a+k=0
4a+k=3
解得
a=
例2、函数
y 1 x2 x 2
2
3
的开口方向
向上
，
顶点坐标是 ( 1 , 1 ) 6
，对称轴方程是 x 1.
解：a 1 ,b 1, c 2
2
3
a 0,
开口向上
又 b 2a
1 2
1
1
2
4ac b2
4 1 2 12 23
1
4a
4 1
6
2
∴ 顶点坐标为: (1, 1 ) 6
对称轴方程是： x 1
1 4
k=4 所以二次函数的解析式为：y 1 x2 x 3
解：根据题意，得
k
1 2
0
①
2k 2 k 1 2
②
由①，得 k 1
2
由②，得
k1
1 2
,
k
2
1
∴
k 1
二.抛物线y=ax2+bx+c的特征与a、 b、c的符号：
(1)a决定开口方向:aa
0, 0,
开口向上, 开口向下;
((32))a与c决b定决抛定物对线称轴与位y轴置交:点aa,,位bb异 同置号 号， ，在 在yy轴 轴右 左侧 侧； ，
4a+2b+c=0
c=3
36a-6b+c=0
解得：
a=Leabharlann 1 4b= -1c=3
所以二次函数的解析式为： y 1 x2 x 3 4
顶点式：
解：因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函 数的解析式为：y=a(x+2)2+k，把点（2，0） （0，3）代入可得：
16a+k=0
4a+k=3
解得
a=
例2、函数
y 1 x2 x 2
2
3
的开口方向
向上
，
顶点坐标是 ( 1 , 1 ) 6
，对称轴方程是 x 1.
解：a 1 ,b 1, c 2
2
3
a 0,
开口向上
又 b 2a
1 2
1
1
2
4ac b2
4 1 2 12 23
1
4a
4 1
6
2
∴ 顶点坐标为: (1, 1 ) 6
对称轴方程是： x 1
1 4
k=4 所以二次函数的解析式为：y 1 x2 x 3
【例题讲解】求二次函数解析式例 -完整版课件
• 例.已知二次函数图象的顶点为C(1,4)，与x轴左交点为 A(-1,0),右交点为点B，求其解析式.
方法1：一般式（三点式 ）
解
： 分析： 设二次函数的解析式为
y=ax2+bx+c
将A、B、C三点坐标代入
利用待定系数法可得其解析式
设二次函数的解析式 将A、B、C三点坐标代入
为y=ax²+bx+c ∵顶点C的坐标为(1,4)
a-bc 0
a bc 4
9a 3b c 0
∴直线x=1为对称轴 解得：a= -1, b=2, c=3.
∵A、B关于直线x=1对 故二次函数的解析式为:
称，且A点坐标为(-1,0) y= -x2+2x+3
∴B点坐标为(3,0)
• 例.已知二次函数图象的顶点为C（1,4），与x轴左交点为A(-1,0)，右交点为点B，求其解析式.
• 例、已知二次函数图象的顶点为C（1,4），与x轴左交点为A(-1,0)，右交点为点B，求其解析式.
方法3：交点式 分析： 设二次函数的解析式为
y=a(x-x1)(x-x2)
由点A、C坐标可得点B坐标
把点A和点B的坐标代入交点式
再把点C坐标代入可得其解析式
解 设二次函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2) ： ∵二次函数图象的顶点为C(1,4)，与x轴的函数的解析式为 y=a(x-h)2+k
把顶点C和点A的坐标代入
利用待定系数法可得其解析式
解 设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k ： ∵二次函数图象的顶点为C(1,4)
∴h=l,k=4. ∴y=a(x-1)2+4 又∵A(-1,0)在二次函数图象上 ∴0=a(-1-1)2+4 ∴a=-1 ∴二次函数的解析式为：y=-(x-1)2+4 即：y=-x2＋2x+3
方法1：一般式（三点式 ）
解
： 分析： 设二次函数的解析式为
y=ax2+bx+c
将A、B、C三点坐标代入
利用待定系数法可得其解析式
设二次函数的解析式 将A、B、C三点坐标代入
为y=ax²+bx+c ∵顶点C的坐标为(1,4)
a-bc 0
a bc 4
9a 3b c 0
∴直线x=1为对称轴 解得：a= -1, b=2, c=3.
∵A、B关于直线x=1对 故二次函数的解析式为:
称，且A点坐标为(-1,0) y= -x2+2x+3
∴B点坐标为(3,0)
• 例.已知二次函数图象的顶点为C（1,4），与x轴左交点为A(-1,0)，右交点为点B，求其解析式.
• 例、已知二次函数图象的顶点为C（1,4），与x轴左交点为A(-1,0)，右交点为点B，求其解析式.
方法3：交点式 分析： 设二次函数的解析式为
y=a(x-x1)(x-x2)
由点A、C坐标可得点B坐标
把点A和点B的坐标代入交点式
再把点C坐标代入可得其解析式
解 设二次函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2) ： ∵二次函数图象的顶点为C(1,4)，与x轴的函数的解析式为 y=a(x-h)2+k
把顶点C和点A的坐标代入
利用待定系数法可得其解析式
解 设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k ： ∵二次函数图象的顶点为C(1,4)
∴h=l,k=4. ∴y=a(x-1)2+4 又∵A(-1,0)在二次函数图象上 ∴0=a(-1-1)2+4 ∴a=-1 ∴二次函数的解析式为：y=-(x-1)2+4 即：y=-x2＋2x+3
第22章二次函数求二次函数解析式的九种方法课件人教版数学九年级上册提分法
(1)求此抛物线的解析式； 解：由抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0) 和点B(3，0)， 可知抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)， 即y＝－x2＋2x＋3.
(2)直接写出点C和点D的坐标； 解：C(0，3)，D(1，4)．
(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，
【点拨】 令y＝160，列出关于x的一元二次方程求解即可；
(3)若该单位用8 600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物 共400棵，每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面 积如下表．
甲乙 丙
单价/元
14 16 28
合理用地面积/(平方米/棵) 0.4 1 0.4
丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以 全部栽种到这块空地上吗？请说明理由． 解：∵y＝－2x2＋36x＝－2(x－9)2＋162， ∴当x＝9时，y取得最大值162. 设购买了乙种植物a棵，购买了丙种植物b棵， 由题意得14(400－a－b)＋16a＋28b＝8 600， ∴a＋7b＝1 500.
问题时，设交点式可简便运算．
4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋4x－3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两 点，与y轴交于点D，点B的坐标是(1，0)．
(1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x 的取值范围； 解：把点B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3， 得0＝a＋4－3，解得a＝－1， ∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1. ∴A(2，1)，抛物线的对称轴为直线x＝2. 易知B，C关于直线x＝2对称，∴C(3，0)． 当y＞0时，1＜x＜3.
(1)求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时， 自变量x的取值范围； 解：由题意得a－＋2bba＝＝－2，3，解得ab＝＝1－，4. ∴抛物线的解析式为 y＝x2－4x.
方法训练求二次函数解析式的九种常用方法PPT课件(人教版)
方法训练 (2)将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移 2 个单位长度，
再向下平移 5 个单位长度，求平移后所得函数的解析式．
解：∵y＝2x2＋2x＝2x＋122－12， ∴图象向左平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度后所得 函数的解析式为 y＝2x＋2＋122－12－5＝2x＋522－121.
点中的其中两个点，求该二次函数的解析式；
解：当 x＝1 时，y＝a＋b－(a＋b)＝0，∴抛物线不经过点 C. 把点 A(－1，4)，B(0，－1)的坐标分别代入，得 4－＝1a＝－－b（－a（＋a＋b）b），，解得ab＝ ＝3－，2. ∴该二次函数的解析式为 y＝3x2－2x－1.
方法训练
(3)若 a＋b＜0，点 P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a ＞0.
(1)试求 w 与 x 之间的函数解析式． 解：根据题意，得 w＝(－4x＋220)x－1 000＝－4x2＋220x－1 000.
方法训练 (2)影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利
润是多少元？ 解：∵w＝－4x2＋220x－1 000＝－4(x－27.5)2＋2 025， ∴当 x＝27 或 28 时，w 取得最大值，最大值为 2 024. 答：影城将电影票售价定为 27 元/张或 28 元/张时，每天获利最 大，最大利润是 2 024 元．
点与终点的距离大约 840 m，他需要多少时间才能到达终点？ 解：∵该二次函数的图象过点(0，0)， ∴设二次函数的解析式为 y＝ax2＋bx. 当 x＝1 时，y＝4；当 x＝2 时，y＝12， ∴a4＋a＋b＝ 2b4＝，12，解得ab＝＝22， .
方法训练
∴二次函数的解析式为 y＝2x2＋2x. 当 y＝840 时，2x2＋2x＝840， 解得 x1＝20，x2＝－21(不合题意，舍去)． 答：他需要 20 s 才能到达终点．
二次函数解析式的求法(PPT课件(共24张PPT)
解:∵抛物线的顶点为(2,-1) ∴设解析式为:y=a(x-2)2-1 把点(-1,2)代入
a(-1-2)2-1=2
(3)图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)
解法(一)可设一般式 解法(二)可设两根式 解:∵抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0)
∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入
元山中学九年级四班
年1月12日
有两个交点，则a的取值范围是————
6。抛物线y=(k-1)x2+(2-2k)x+1，那么此抛物
线的对称轴是直线_________，它必定经过
________和____
7。若
为二次函数
的
图象上的三点，则 y1 ， y2 ，y3 的大小关
系是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.抛物线y= (k2-2)x2 -4kx+m的对称轴是直线 x=2，且它的最低点在直线y= -k x+2上，求函数
解析式。
9. y= ax2+bx+c图象与x轴交于点A、点B，与y 轴交于点C，OA=2，OB=1 ，OC=1，
求函数解析式
10。若抛物线
的顶点在 x轴的下
方，则 的取值范围是（ ）
Ａa>1． Ｂ．A<1 Ｃ． Ｄ．
11.（天津市）已知二次函数 的图象如图所示， 下列结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0； ④2c<3b；⑤a+b>m(am+b), （ 的实数）. 其中正确的结论序号有（ ）
8 已知抛物线 y=ax2+bx+c
a(-1-2)2-1=2
(3)图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)
解法(一)可设一般式 解法(二)可设两根式 解:∵抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0)
∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入
元山中学九年级四班
年1月12日
有两个交点，则a的取值范围是————
6。抛物线y=(k-1)x2+(2-2k)x+1，那么此抛物
线的对称轴是直线_________，它必定经过
________和____
7。若
为二次函数
的
图象上的三点，则 y1 ， y2 ，y3 的大小关
系是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.抛物线y= (k2-2)x2 -4kx+m的对称轴是直线 x=2，且它的最低点在直线y= -k x+2上，求函数
解析式。
9. y= ax2+bx+c图象与x轴交于点A、点B，与y 轴交于点C，OA=2，OB=1 ，OC=1，
求函数解析式
10。若抛物线
的顶点在 x轴的下
方，则 的取值范围是（ ）
Ａa>1． Ｂ．A<1 Ｃ． Ｄ．
11.（天津市）已知二次函数 的图象如图所示， 下列结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0； ④2c<3b；⑤a+b>m(am+b), （ 的实数）. 其中正确的结论序号有（ ）
8 已知抛物线 y=ax2+bx+c
二次函数解析式的求法1课件
求二次函数的对称轴
公式法：利用对称轴公式x=-b/2a求解 配方法：将二次函数配方成顶点式，顶点的横坐标即为对称轴 交点法：将二次函数与x轴交点横坐标的平均值作为对称轴 性质法：利用二次函数的性质，如对称性，确定对称轴的方程
求二次函数的开口方向
二次函数解析 式的一般形式
为 y=ax^2+bx+ c，其中a、b、
YOUR LOGO
THANK YOU
汇报人：XX
c为常数，且 a≠0
二次函数的开 口方向取决于 系数a的正负， 当a>0时，开
口向上；当 a<0时，开口
向下
可以通过观察 二次函数图像 的开口方向， 判断系数a的正
负
在实际应用中， 可以根据二次 函数的开口方 向判断函数的 增减性，从而 进行相应的计
算或分析
求二次函数的最大值或最小值
公式法：利用二次函数的顶点公式求最值 配方法：将二次函数配方成顶点式，再利用顶点求最值 判别式法：通过求解一元二次方程的判别式来求最值 导数法：利用导数求函数的极值，再与区间端点函数式的
04
应用
求二次函数的顶点坐标
顶点公式：$(\frac{b}{2a}, f(\frac{b}{2a}))$
顶点坐标的意义： 代表二次函数图像 的最高点或最低点
顶点坐标的求法： 将$x = \frac{b}{2a}$代入 $f(x)$中计算得到
顶点坐标的应用： 在解决实际问题中 ，可以通过顶点坐 标来描述二次函数 的最大值或最小值
法等
注意事项：因 式分解法的适 用范围较广， 但有时需要多 次尝试才能找 到合适的方法
待定系数法
定义：将二次 函数解析式表 示为待定系数
的形式
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4
例1．已知二次函数的图象经过点A(0,1)、B(1,0)、C(-1,2)；求它的关系式．
解: 设二次函数关系式y＝ax2＋bx＋c ，由已知，
这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又
由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得
到
｛ a+b=1 a-b=3
解这个方程组，得 a=2，b= -1． 所以，所求二次函数的关系式是y＝2x2－x－ 1
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例2．已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y 轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式.
分析:根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数 关系式为y＝a(x－1)2－3，再根据抛物线与y轴 的交点可求出a的值；
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例2．已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与 y轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式
分析:根据已知抛物线的顶点坐标(3，-2)，可设函数关系式 为y＝a(x－3)2－2，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再 由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交 点为（1，0）和（5，0），任选一个代入 y＝a(x－3)2－ 2，即可求出a的值．
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例4．已知抛物线与x轴交于点M(-3，0)、N(5，0)， 且与y轴交于点P(0，-3)．求它的解析式
二、求二次函数解析式的思想方法
1、 求二次函数解析式的常用方法：
待定系数法、配方法、数形结合等。
2、求二次函数解析式的 常用思想：
转化思想
解方程或方程组
3、二次函数解析式的最终形式：
无论采用哪一种解析式求解，最后 结果都化为一般式。
3
Hale Waihona Puke 例1．已知二次函数的图象经过点A(0,1)、B(1,0)、C(-1,2)；求它的关系式． 分析:根据二次函数的图象经过三个已知点， 可设函数关系式为y＝ax2＋bx＋c的形式
分析:
方法1:因为已知抛物线上三个点，所以可设函数关 系式为一般式y＝ax2＋bx＋c，把三个点的坐标代 入后求出a、b、c，就可得抛物线的解析式。 方法2:根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函 数关系式为 y＝a(x＋3)(x－5)，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a的值；
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课堂练习:
1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系 式．
11
三、应用举例
例1、已知二次函数 求其解析式。
解法一： 一般式 设解析式为
∵顶点C（1，4）， ∴对称轴 x=1. ∵A(-1,0)关于 x=1对称， ∴B（3，0）。 ∵A(-1,0)、B（3，0）和 C（1，4）在抛物线上，
∴
即：
的图像如图所示，
12
三、应用举例
例1、已知二次函数 求其解析式。
(1)已知二次函数的图象经过点(0，2)、(1，1)、 (3， 5)；
(2)已知抛物线的顶点为(-1，2)，且过点(2，1)； (3)已知抛物线与x轴交于点(-1，0)、(2，0)，且经过 点 (1，2)．
2．二次函数图象的对称轴是x = -1，与y轴交点的纵坐 标是 –6，且经过点(2，10)，求此二次函数的关系式．
∴ 4 = a (1+1) (1-3) ∴ a = -1 ∴ y = - ( x+1) (即x-：3)
的图像如图所
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•
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1
一、二次函数常用的三种解析式的确定
1、一般式 y=ax2+bx+c
已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。 2、顶点式 y=a(x-h)2+k 已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值）， 通常选择顶点式。 3、交点式 y=a(x-x1)(x-x2)
已知抛物线与x轴的交点坐标或对称轴， 选择交点式。
2
解法二：顶点式 设解析式为
∵顶点C（1，4） ∴ h=1, k=4.
∴ 又∵A(-1,0)在抛物线上， ∴
∴ a = -1 ∴
即：
的图像如图所示，
13
三、应用举例
例1、已知二次函数 示，
解法三求：其交解点析式式。 设解析式为
∵抛物线与x 轴的两个交点坐标
为 A (-1,0)、B（3，0）
∴ y = a (x+1) (x- 3) 又 C（1，4）在抛物线上
解:因为抛物线的顶点为(1，-3)，所以设二此函数
的关系式为y＝a(x－1)2－3，又由于抛物线与y轴
交于点(0，1)，可以得到
1＝a(0－1)2－3
解得
a＝4
所以，所求二次函数的关系式是y＝4(x－1)2－3．
即
y＝4x2－8x＋1
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•
8
例3．已知抛物线的顶点为(3，-2)，且与 x轴两交点间的距离为4，求它的解析式．
例1．已知二次函数的图象经过点A(0,1)、B(1,0)、C(-1,2)；求它的关系式．
解: 设二次函数关系式y＝ax2＋bx＋c ，由已知，
这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又
由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得
到
｛ a+b=1 a-b=3
解这个方程组，得 a=2，b= -1． 所以，所求二次函数的关系式是y＝2x2－x－ 1
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例2．已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y 轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式.
分析:根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数 关系式为y＝a(x－1)2－3，再根据抛物线与y轴 的交点可求出a的值；
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例2．已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与 y轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式
分析:根据已知抛物线的顶点坐标(3，-2)，可设函数关系式 为y＝a(x－3)2－2，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再 由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交 点为（1，0）和（5，0），任选一个代入 y＝a(x－3)2－ 2，即可求出a的值．
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例4．已知抛物线与x轴交于点M(-3，0)、N(5，0)， 且与y轴交于点P(0，-3)．求它的解析式
二、求二次函数解析式的思想方法
1、 求二次函数解析式的常用方法：
待定系数法、配方法、数形结合等。
2、求二次函数解析式的 常用思想：
转化思想
解方程或方程组
3、二次函数解析式的最终形式：
无论采用哪一种解析式求解，最后 结果都化为一般式。
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Hale Waihona Puke 例1．已知二次函数的图象经过点A(0,1)、B(1,0)、C(-1,2)；求它的关系式． 分析:根据二次函数的图象经过三个已知点， 可设函数关系式为y＝ax2＋bx＋c的形式
分析:
方法1:因为已知抛物线上三个点，所以可设函数关 系式为一般式y＝ax2＋bx＋c，把三个点的坐标代 入后求出a、b、c，就可得抛物线的解析式。 方法2:根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函 数关系式为 y＝a(x＋3)(x－5)，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a的值；
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课堂练习:
1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系 式．
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三、应用举例
例1、已知二次函数 求其解析式。
解法一： 一般式 设解析式为
∵顶点C（1，4）， ∴对称轴 x=1. ∵A(-1,0)关于 x=1对称， ∴B（3，0）。 ∵A(-1,0)、B（3，0）和 C（1，4）在抛物线上，
∴
即：
的图像如图所示，
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三、应用举例
例1、已知二次函数 求其解析式。
(1)已知二次函数的图象经过点(0，2)、(1，1)、 (3， 5)；
(2)已知抛物线的顶点为(-1，2)，且过点(2，1)； (3)已知抛物线与x轴交于点(-1，0)、(2，0)，且经过 点 (1，2)．
2．二次函数图象的对称轴是x = -1，与y轴交点的纵坐 标是 –6，且经过点(2，10)，求此二次函数的关系式．
∴ 4 = a (1+1) (1-3) ∴ a = -1 ∴ y = - ( x+1) (即x-：3)
的图像如图所
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一、二次函数常用的三种解析式的确定
1、一般式 y=ax2+bx+c
已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。 2、顶点式 y=a(x-h)2+k 已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值）， 通常选择顶点式。 3、交点式 y=a(x-x1)(x-x2)
已知抛物线与x轴的交点坐标或对称轴， 选择交点式。
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解法二：顶点式 设解析式为
∵顶点C（1，4） ∴ h=1, k=4.
∴ 又∵A(-1,0)在抛物线上， ∴
∴ a = -1 ∴
即：
的图像如图所示，
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三、应用举例
例1、已知二次函数 示，
解法三求：其交解点析式式。 设解析式为
∵抛物线与x 轴的两个交点坐标
为 A (-1,0)、B（3，0）
∴ y = a (x+1) (x- 3) 又 C（1，4）在抛物线上
解:因为抛物线的顶点为(1，-3)，所以设二此函数
的关系式为y＝a(x－1)2－3，又由于抛物线与y轴
交于点(0，1)，可以得到
1＝a(0－1)2－3
解得
a＝4
所以，所求二次函数的关系式是y＝4(x－1)2－3．
即
y＝4x2－8x＋1
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例3．已知抛物线的顶点为(3，-2)，且与 x轴两交点间的距离为4，求它的解析式．