函数单调性公开课PPT课件
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函数的单调性ppt课件
利用函数的单调性求最值 [思路分析] (1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性，从而确定其最大值； 利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性，再求最值．
[规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的步骤： 判断：先判断函数的单调性． 求值：利用单调性代入自变量的值求得最值． 明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点： 写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标． 求最值忘记求定义域． 求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．
添加标题
下列命题正确的是( )
[答案] D
PART 1
利用定义证明或判断函数的单调性
结论：根据差的符号，得出单调性的结论．
定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；
作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方、分母(分子)有理化等方法变形；
取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2；
在定义域的某个子集上是增加的或是减少的
增函数
减函数
单调函数
3．函数的单调性 如果函数_________________________________，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为________或________，统称为________．
[正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图像的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3. [答案] a＝－3 [规律总结] 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
函数的单调性ppt课件
在[0, ) 上，任取 x1， x2 ，只要 x1 x2 ，就有 f ( x1 ) f ( x2 ) ．
问题：你能归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数 =
()在区间I上单调性的符号表述吗？
二、新课讲解
1、函数的单调性的定义:
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间 ⊆D:
• 思考1：根据图象，当自变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的呢？
4
当x≤ 0时，y随x的增大而减小
当x≥0时，y随x的增大而增大
1
-2 -1
O
x
1 2
0.001和0.002差着
0.001，0.001和0却
差着一切。
二、新课讲解
• 以函数图像y=f(x)= 2 为例：
思考2：我们知道当x≤0时，y随x的增大而减小。那“x增大了”如何用符号语言
表示？“对应函数值y减小”又该如何表示？观察下表，你能给出具体描述吗？
x
...
-5
-4
-3
-2
-1
...
f(x)=x2
...
25
16
9
4
1
...
当x从-5增大到-4，函数值f(x)从25减小到16；当x从-4增大到-3，函数值f(x)从
16减小到9；当x从-3增大到-2，函数值f(x)从9减小到4；
即f (x1)<f (x2).这时,f (x)=kx+b是增函数.
②当k<0时,k(x1-x2)＞0.于是f (x1)-f (x2)>0,
即f (x1)>f (x2).这时,f (x)=kx+b是减函数.
变形
判号
定论
三、题目训练
问题：你能归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数 =
()在区间I上单调性的符号表述吗？
二、新课讲解
1、函数的单调性的定义:
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间 ⊆D:
• 思考1：根据图象，当自变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的呢？
4
当x≤ 0时，y随x的增大而减小
当x≥0时，y随x的增大而增大
1
-2 -1
O
x
1 2
0.001和0.002差着
0.001，0.001和0却
差着一切。
二、新课讲解
• 以函数图像y=f(x)= 2 为例：
思考2：我们知道当x≤0时，y随x的增大而减小。那“x增大了”如何用符号语言
表示？“对应函数值y减小”又该如何表示？观察下表，你能给出具体描述吗？
x
...
-5
-4
-3
-2
-1
...
f(x)=x2
...
25
16
9
4
1
...
当x从-5增大到-4，函数值f(x)从25减小到16；当x从-4增大到-3，函数值f(x)从
16减小到9；当x从-3增大到-2，函数值f(x)从9减小到4；
即f (x1)<f (x2).这时,f (x)=kx+b是增函数.
②当k<0时,k(x1-x2)＞0.于是f (x1)-f (x2)>0,
即f (x1)>f (x2).这时,f (x)=kx+b是减函数.
变形
判号
定论
三、题目训练
函数的单调性课件(共17张PPT)
如果我们以x表示时间间隔（单位：h),y表示记忆保持量，则 不难看出，图3-7中，y是的函数，记这个函数为y =f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
函数单调性课件(公开课)
定义法
总结词
通过函数定义判断单调性
详细描述
在区间内任取两个数$x_{1}$、$x_{2}$，如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递增；如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) geq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递减。
感谢您的观看
03 函数单调性的应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工 具。
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的 变化趋势，通过单调性可以判断函 数在某个区间内是否取得最值，以 及最值的位置。
举例
对于函数f(x)=x^2，在区间(-∞,0) 上单调递减，因此在该区间上取得 最大值0。
单调性与不等式证明
单调递减函数的图像
在单调递减函数的图像上，随着$x$的增大，$y$的值减小，图像 呈现下降趋势。
单调性转折点
在单调性转折点上，函数的导数由正变负或由负变正，对应的函数 图像上表现为拐点或极值点。
02 判断函数单调性的方法
导数法
总结词
通过求导判断函数单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，根据导数的正负判断函数的增减性。如 果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间 内单调递减。
总结词
单调性是证明不等式的重要手段。
详细描述
通过比较函数在不同区间的单调性，可以证明一些不等式。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上 单调递增，那么对于任意x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)，从而证明了相应的不等式。
举例
利用函数f(x)=ln(x)的单调递增性质，可以证明ln(x1/x2)≤(x1-x2)/(x1+x2)。
高中数学第二章函数3函数的单调性省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
解析 由图知单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)． 答案 (－∞，－1)，(1，＋∞)
31/37
4．设函数f(x)是R上减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m取 值范围是________． 解析 由f(m－1)>f(2m－1)且f(x)是R上减函数，得m－1<2m －1，所以m>0． 答案 {m|m>0}
7/37
【预习评价】 1．若函数f(x)在定义域内两个区间D1，D2上都是减函数，那么
f(x)减区间能写成D1∪D2吗？ 提示 单调区间不能取并集，如 y＝1x在(－∞，0)上递减， 在(0，＋∞)上也递减，但不能说 y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋ ∞)上递减．
8/37
2．任何函数在定义域上都含有单调性吗？
1．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( )
A．y＝x2－2
B．y＝3x
C．y＝1＋2x
D．y＝－(x＋2)2
28/37
解析 y＝x2－2 在(－∞，0]上是减函数， y＝3x在(－∞，0)内是减函数． y＝1＋2x 在 R 上为增函数，所以在(－∞，0]是增函数．y ＝－(x＋2)2 在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是 减函数． 答案 C
答案 (1)[－2,1] [3,5] [－5，－2] [1,3] (2)(－∞，1)，(1，＋∞)
11/37
【例2】 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1图像并写出函数单调区 间． 解 y＝－ －xx22＋ －22xx＋ ＋11， ，xx≥ <00，， 即 y＝－ －xx－ ＋1122＋ ＋22， ，xx≥ <00. ， 函数的大致图像如图所示，单调 增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单 调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
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4．设函数f(x)是R上减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m取 值范围是________． 解析 由f(m－1)>f(2m－1)且f(x)是R上减函数，得m－1<2m －1，所以m>0． 答案 {m|m>0}
7/37
【预习评价】 1．若函数f(x)在定义域内两个区间D1，D2上都是减函数，那么
f(x)减区间能写成D1∪D2吗？ 提示 单调区间不能取并集，如 y＝1x在(－∞，0)上递减， 在(0，＋∞)上也递减，但不能说 y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋ ∞)上递减．
8/37
2．任何函数在定义域上都含有单调性吗？
1．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( )
A．y＝x2－2
B．y＝3x
C．y＝1＋2x
D．y＝－(x＋2)2
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解析 y＝x2－2 在(－∞，0]上是减函数， y＝3x在(－∞，0)内是减函数． y＝1＋2x 在 R 上为增函数，所以在(－∞，0]是增函数．y ＝－(x＋2)2 在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是 减函数． 答案 C
答案 (1)[－2,1] [3,5] [－5，－2] [1,3] (2)(－∞，1)，(1，＋∞)
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【例2】 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1图像并写出函数单调区 间． 解 y＝－ －xx22＋ －22xx＋ ＋11， ，xx≥ <00，， 即 y＝－ －xx－ ＋1122＋ ＋22， ，xx≥ <00. ， 函数的大致图像如图所示，单调 增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单 调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
函数的单调性(公开课课件)
04 函数单调性的应用举例
利用函数单调性求最值问题
极值问题
通过判断函数在某一点的单调性 ，可以确定该点是否为极值点， 从而求得函数的最值。
最值问题
利用函数在整个定义域上的单调 性，可以确定函数在定义域上的 最大值和最小值。
利用函数单调性解不等式问题
单调性比较法
通过比较两个函数的单调性，可以确定它们的大小关系，从而解决一些不等式问题。
02
建议学生多参与数学建模和数学竞赛等活动，提高数学应用发展
03
学生可以通过阅读数学期刊、参加学术会议等方式，了解数学
学科的最新发展动态和前沿研究领域。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
单调性分析法
利用函数的单调性，可以分析不等式的解集和边界情况。
利用函数单调性解决实际问题
优化问题
在经济学、金融学等领域中，经常需要解决一些优化问题，如最优化生产、最优化投资等。利用函数 单调性可以找到最优解或近似最优解。
决策问题
在企业管理、市场营销等领域中，经常需要做出一些决策，如选择最佳的营销策略、确定最优的产品 价格等。利用函数单调性可以分析不同决策方案的效果，从而做出更好的决策。
03 函数单调性的判定方法
导数法判定函数单调性
总结词
通过求导数判断函数的单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，如果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
举例
对于函数$f(x) = x^3$，其导数$f'(x) = 3x^2$，在$x > 0$时，$f'(x) > 0$，因此函数 $f(x)$在$x > 0$时单调递增。
函数的单调性优质课课件
利用定义判断函数单调性的例题
总结词
通过比较任意两点间函数值的大小来判断函数的单调性。
详细描述
选取定义域内任意两点$x_1$和$x_2$（假设$x_1 < x_2$），如果对于任意$x_1 < x_2$都有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则函数在此区间内 单调递增（或递减）。例如，对于函数$f(x) = x^2$， 在区间$(-infty, 0)$上任取两点$x_1 < x_2$，有$f(x_1) = x_1^2 < x_2^2 = f(x_2)$，因此函数在区间$(-infty, 0)$上单调递增。
要点一
总结词
要点二
详细描述
通过求导数判断函数的单调性，是解决此类问题的常用方法。
首先求出函数的导数，然后根据导数的正负判断函数的增 减性。例如，对于函数$f(x) = x^3 - 3x^2$，求导得到 $f'(x) = 3x^2 - 6x$，令$f'(x) > 0$，解得$x < 0$或$x > 2$，因此函数在区间$(-infty, 0)$和$(2, +infty)$上单调递 增，在区间$(0, 2)$上单调递减。
定义法
总结词
通过比较任意两点函数值判断函数单调性
详细描述
在区间内任取两点x1、x2，比较f(x1)与f(x2)的大小，若f(x1) < f(x2)，则函数 在此区间内单调递增；若f(x1) > f(x2)，则函数在此区间内单调递减。
图像法
总结词
通过观察函数图像判断函数单调 性
详细描述
通过观察函数图像的上升或下降 趋势，判断函数的增减性。如果 图像上升，则函数单调递增；如 果图像下降，则函数单调递减。
函数的单调性ppt课件
应用实例
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
THANKS
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定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
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当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调
函数，I称为f(x)的单调增区间.
减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
2单021调区间
3
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数 f (x)= x2 在,是单调增函数.
y
y x2
o
x
2021
4
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
3.3函数的单调性
江苏省惠山中等专业学校 郭晓凤
2021
1
导入 y 上升
y f1(x)
O
x
y 下降
y f2(x)
O
x
图（1）
图（2）
函数的这种性质称为函数的单调性
思考：能用图象上动点P（x，y）的横、
在纵某坐一标区关间内系，来说明上升或下降趋势吗？
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升； 当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
x
a 2
,
由图象可知只要 x a 1 ，即a 2即可.
2
2021
9
例2.证明函数 yx2在区2间 上单[0调,递减)。
主要步骤
1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）； 4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
1 x
图像，并写出单调区间：
y
y 1
x
？
x y1x的单调减区间是_(___,_0_)__, _(0_,___ )
1、讨论：根据函数单调性的定义，
能 不 能 说 y1(x0)在 定 义 域 ( ,0) (0, )上 x
是 单 调 减 函 数 ?
2、试讨论
f
(x)
k x
(k
0)
在
,
0
和0,
上的单调性？
2021
2
函数增减性的定义
y
y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2，
如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2，
2021
7
yax2bxc(a0)的对称轴为 x b
2a
yax2 bxc单调增区 单调减区
间
间
a>0
Hale Waihona Puke b 2a,,
b 2a
a<0
,
b 2a
b 2a
,
2021
返回 8
成果运用
若二次函数f(x)x2ax4在区间 ,1 上单调递
增，求a的取值范围。
解：二次函数 f(x)x2ax4的对称轴为
2021
6
拓展：画出函数 yx2 2 图像，并写出单调区间：
y x2+ 2 的 单 调 增 区 间 是 _(____, _0_];
y
y=-x2+2
2
1
y x2+ 2 的 单 调 减 区 间 是 _[_0_,____) .
-2 -1
12 x
-1
-2
探究：讨论 yax2bxc(a0)的单调性 成果交流
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （3） x 1, x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则
函数 f (x)在R上是增函数；
y
f(2)
f(1)
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O 1 2x
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例1.画出函数 y
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试用定义法证明函数 f (x) 1 1 x
在区间 0, 上是单调增函数。
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1、函数增减性的定义
2、利用函数单调性的证明函数单调性的步骤
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谢谢！
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