函数的单调性与导数 公开课
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函数的单调性与导数 课件

【典型例题】
1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取
值范围为( )
A.a≥1
B.a=1
C.a≤1
D.0<a<1
2.已知函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)上不单调,则实数k的
取值范围是______.
3.(2013·天津高二检测)设函数f(x)=ax3+ 3 (2a-1)x2-6x
【解析】1.选A.因为f′(x)=3x2-2ax-1,f(x)在(0,1)内单调 递减,所以f′(0)≤0,f′(1)≤0,所以a≥1. 2.因为f′(x)=3x2-k.当k≤0时,f′(x)≥0,不合题意,舍 去,所以k>0. 令f′(x)=0,则 x k .
3
因为在(-3,-1)上函数不单调,
________,单调递增区间为_______.
3.讨论函数f(x)=x2-aln x(a≥0)的单调性.
【解题探究】1.解含有对数函数的问题,应注意什么?利用 导数求函数的单调区间,其实质是什么? 2.如何求多项式乘积形式函数的导数? 3.当函数的解析式中含有参数时,一般的处理思路是什么?
探究提示: 1.(1)要注意对数函数的定义域,即真数大于零.(2)求函数的单 调区间就是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集. 2.求多项式乘积式的导数,可以利用积的导数法则求解,也可以 把乘积式展开,利用和与差的导数法则求解. 3.当函数的解析式中含有参数时,一般的处理思路是对参数进 行分类讨论,然后在参数的不同情况下,分别求出结果.
x2
1 a
,
因为f(x)在(-∞,-3)上是增函数,即x<-3时,f′(x)>0恒成
函数的单调性与导数课件人教新课标

练习2:确定下面函数的单调区间:
f(x)=x/2+sinx;
解: (1)函数的定义域是R,
f ( x) 1 cos x.
2
令 1 cos x 0 ,解得 2kp 2p x 2kp 2p (k Z).
2
3
3
令 1 cos x 0
2
,解得 2kp 2p x 2kp 4p (k Z).
小 结:
函数的单调性与其导函数正负的关系
求函数的单调区间的1x0)000即x2(x1x21(1xx1)11x0)
,
0
,
解得x>1.
故f(x)的递增区间是(1,+∞);
由
f
x
(x) 0 1 0
解得-1<x<1,
故f(x)的递减区间是(-1,1).
求函数的单调区间的一般步骤:
(1) 求出函数 f(x)的定义域A;
(2) 求出函f(x)数的导数
在x∈(-∞,0)内
图象是单调降落的.
y
1 x2
0
在x∈( 0,+∞)内
图象是单调降落的.
y
1 x2
0
函数的单调性与其导函数正负的关系: 当函数y=f (x)在某个区间内可导时,
如果 f (x) 0 , 则f (x)为增函数;
如果 f (x) 0 , 则f (x)为减函数。
f (x)
例1、 f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
解: f (x)=3x2+3=3(x2+1)>0
从而函数f(x)=x3+3x 在x∈R上单调递增, 见右图。
o
x
f (x) x3 3x
(2) f(x)=x2-2x-3 ;
(完整版)导数与函数的单调性公开课课件

二、解题方法
2020/2/8
13
分离参数
三、求参数的取值范围
练习3:函数f (x) x2 2ax 1在区间(-,1]单调递减.
求a的取值范围. 方法一: f '(x) 2x 2a 0
方法二:二次函数
a x在(,1]恒成立
令g(x) x
a gmax (x) a 1
课堂小结
一、本节课所学知识 1、导数与函数单调性的关系; 2、导函数与原函数的图象; 3、求函数的单调区间; 4、求参数的取值范围.
当a 0时,增区间(, ),无减区间;
当a 0时,增区间(, a), (1, ),减区间(a,1).
三、求参数的取值范围
例3:已知函数f (x) x a ln x,若f (x)在区间(1, 2)单调递增,
x
求a的取值范围.
解:
则a gmin (x)
令g(x) x2 x,
导数与函数的单调性
教师:段茂森
知识梳理
函数 y=f(x)在区间(a,b)内可导, 1.若 f′(x)>0,则 f(x)在这个区间内是_单__调__递__增__函__数_; 2.若 f′(x)<0,则 f(x)在这个区间内是_单__调__递__减__函__数_;
函数 y=f(x)在区间(a,b)内可导,
解:f '(x) x2 2ax 8a2 0
(x 2a)(x 4a) 0 x 2a或x 4a 当a 0时,增区间(, 2a), (4a, ),减区间(2a, 4a); 当a 0时,增区间(, ),无减区间; 当a 0时,增区间(, 4a), (2a, ),减区间(4a, 2a).
二、求函数的单调区间
2020/2/8
13
分离参数
三、求参数的取值范围
练习3:函数f (x) x2 2ax 1在区间(-,1]单调递减.
求a的取值范围. 方法一: f '(x) 2x 2a 0
方法二:二次函数
a x在(,1]恒成立
令g(x) x
a gmax (x) a 1
课堂小结
一、本节课所学知识 1、导数与函数单调性的关系; 2、导函数与原函数的图象; 3、求函数的单调区间; 4、求参数的取值范围.
当a 0时,增区间(, ),无减区间;
当a 0时,增区间(, a), (1, ),减区间(a,1).
三、求参数的取值范围
例3:已知函数f (x) x a ln x,若f (x)在区间(1, 2)单调递增,
x
求a的取值范围.
解:
则a gmin (x)
令g(x) x2 x,
导数与函数的单调性
教师:段茂森
知识梳理
函数 y=f(x)在区间(a,b)内可导, 1.若 f′(x)>0,则 f(x)在这个区间内是_单__调__递__增__函__数_; 2.若 f′(x)<0,则 f(x)在这个区间内是_单__调__递__减__函__数_;
函数 y=f(x)在区间(a,b)内可导,
解:f '(x) x2 2ax 8a2 0
(x 2a)(x 4a) 0 x 2a或x 4a 当a 0时,增区间(, 2a), (4a, ),减区间(2a, 4a); 当a 0时,增区间(, ),无减区间; 当a 0时,增区间(, 4a), (2a, ),减区间(4a, 2a).
二、求函数的单调区间
函数的单调性与导数 课件

②若 k=1 时,1k-1=0,f′(x)≥0 恒成立,
所以,k=1 时单调增区间为(-1,+∞).
③若 k>1 时,1k-1∈(-1,0),当 x∈(-1,1k-1)时,f′(x) >0,当 x∈(1k-1,0)时,f′(x)<0,当 x∈(0,+∞)时,f′(x) >0, 所以,k>1 时的单调增区间为(-1,1k-1),(0,+∞); 单调减区间为(1k-1,0).
由
f′ (x)<0
得
x<
2, 2
又 x∈(0,+∞),
所以函数
f(x)的单调递减区间为0,
2 2
.
(2)函数 f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),
f′(x)=exxx--22-2 ex=exx-x-232.
因为 x∈(-∞,2)∪(2,+∞),
所以 ex>0,(x-2)2>0.
由 f′(x)>0 得 x>3, 所以函数 f(x)的单调递增区间为(3,+∞); 由 f′(x)<0 得 x<3,
综上所述:当 k=0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(-1,0),
单调递减区间为(0,+∞);
当 0<k<1 时,函数 f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1k-1, +∞),单调递减区间为(0,1k-1); 当 k=1 时,函数 f(x)的单调递增区间为(-1,+∞);
当 k>1 时,函数 f(x)的单调递增区间为(-1,1k-1),(0,+ ∞),单调递减区间为(1k-1,0).
即函数 f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0, +∞).
(2)当 k≠0 时,令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=1k-1, ①若 0<k<1 时,1k-1>0,当 x∈(-1,0)时,f′(x)>0,当 x∈(0,1k-1)时,f′(x)<0,当 x∈(1k-1,+∞)时,f′(x) > 0, 所以,0<k<1 时的单调增区间为(-1,0),(1k-1,+∞); 单调减区间为 (0,1k- 1).
所以,k=1 时单调增区间为(-1,+∞).
③若 k>1 时,1k-1∈(-1,0),当 x∈(-1,1k-1)时,f′(x) >0,当 x∈(1k-1,0)时,f′(x)<0,当 x∈(0,+∞)时,f′(x) >0, 所以,k>1 时的单调增区间为(-1,1k-1),(0,+∞); 单调减区间为(1k-1,0).
由
f′ (x)<0
得
x<
2, 2
又 x∈(0,+∞),
所以函数
f(x)的单调递减区间为0,
2 2
.
(2)函数 f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),
f′(x)=exxx--22-2 ex=exx-x-232.
因为 x∈(-∞,2)∪(2,+∞),
所以 ex>0,(x-2)2>0.
由 f′(x)>0 得 x>3, 所以函数 f(x)的单调递增区间为(3,+∞); 由 f′(x)<0 得 x<3,
综上所述:当 k=0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(-1,0),
单调递减区间为(0,+∞);
当 0<k<1 时,函数 f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1k-1, +∞),单调递减区间为(0,1k-1); 当 k=1 时,函数 f(x)的单调递增区间为(-1,+∞);
当 k>1 时,函数 f(x)的单调递增区间为(-1,1k-1),(0,+ ∞),单调递减区间为(1k-1,0).
即函数 f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0, +∞).
(2)当 k≠0 时,令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=1k-1, ①若 0<k<1 时,1k-1>0,当 x∈(-1,0)时,f′(x)>0,当 x∈(0,1k-1)时,f′(x)<0,当 x∈(1k-1,+∞)时,f′(x) > 0, 所以,0<k<1 时的单调增区间为(-1,0),(1k-1,+∞); 单调减区间为 (0,1k- 1).
函数的单调性与导数--公开课省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

假如函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有单调性。区间D叫做函数旳单调区间。
2.怎样用定义判断函数旳单调性?
(1)取值(2)作差(3)变形(4)定号(5)结论
二、讲授新课------导入新课
下图(1)表达高台跳水运动员旳高度 h 随时间 t 变化旳函 数h(t)= -4.9 t 2+6.5t+10 旳图象, 图(2)表达高台跳水运动 员旳速度 v 随时间 t 变化旳函数 v(t)= -9.8t+6.5 旳图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间旳运动状态有什么区别?
二、讲授新课-----问题探究
观察下面某些函数旳图象, 探讨函数旳单调性与其导函数正负
旳关系.
y
(1)
y y=x (2)
y=x2o (3ຫໍສະໝຸດ yxoy=x3
y
(4)
x
y1 x
ox
o
x
二、讲授新课-----问题探究
y
一般地,函数旳单调性与其导
函数旳正负有如下关系:
(x1,f(x1))
y=f(x)
在某个区间(a,b)内,
解:(1)f '(x)=x3+3x= 3(x2+1)>0
所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。 所以函数f(x)=x3+3x旳单调增区间为R。
二、讲授新课-----典例精讲
例 3. 判断下列函数旳单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x2-2x-3,
(2) f(x)=x2-2lnx
解 (2) 函数f(x)=x2-2lnx定义域为0,
h
(1)
2.怎样用定义判断函数旳单调性?
(1)取值(2)作差(3)变形(4)定号(5)结论
二、讲授新课------导入新课
下图(1)表达高台跳水运动员旳高度 h 随时间 t 变化旳函 数h(t)= -4.9 t 2+6.5t+10 旳图象, 图(2)表达高台跳水运动 员旳速度 v 随时间 t 变化旳函数 v(t)= -9.8t+6.5 旳图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间旳运动状态有什么区别?
二、讲授新课-----问题探究
观察下面某些函数旳图象, 探讨函数旳单调性与其导函数正负
旳关系.
y
(1)
y y=x (2)
y=x2o (3ຫໍສະໝຸດ yxoy=x3
y
(4)
x
y1 x
ox
o
x
二、讲授新课-----问题探究
y
一般地,函数旳单调性与其导
函数旳正负有如下关系:
(x1,f(x1))
y=f(x)
在某个区间(a,b)内,
解:(1)f '(x)=x3+3x= 3(x2+1)>0
所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。 所以函数f(x)=x3+3x旳单调增区间为R。
二、讲授新课-----典例精讲
例 3. 判断下列函数旳单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x2-2x-3,
(2) f(x)=x2-2lnx
解 (2) 函数f(x)=x2-2lnx定义域为0,
h
(1)
函数的单调性与导数-图课件

单调减函数的性质
03
04
05
函数图像从左至右下降 。
若$f(x)$在区间$I$上单 调递减,且$a, b in I$, 且$a < b$,则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减,则其反函 数在相应的区间上单调 递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0,则该函数在此区间单调递增;如果导
数小于0,则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点,需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如,二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点,即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中 的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2),来判断函数在该区间内的单调性。 如果对于任意x1<x2,都有f(x1)<f(x2),则函数在该区间内单调递增;如果对于任意x1<x2,都有f(x1)>f(x2),则函数在该 区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化,例如边际成本、边际收 益等,帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题,例 如最大利润、最小成本等,为企业 提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性,例如 价格敏感度、需求变化等,帮助企 业制定更加精准的市场策略。
公开课利用导数判断函数的单调性

1.3.1利用导数判断函数的单调性
问题
如何判断函数 f (x) ex x 在 (0,)上的单调性?
解: 任意 x1, x2 (0,), 且 x1 x2 ;
都有 f (x1) f (x2)
(ex1 x1) (ex2 x2 )
(ex1 ex2 ) (x2 x1)
如何运用已有 知识解决?
任意 x1, x2 (a, b), 当 x1 x2时,都有 f (x1) f (x2 ) ;
导数
即:y 0
x
(瞬时变化率)
(函数的平均变化率)
1.3.1 利用导数判断函数的单调性
问题分析
作图
判断函数 f (x) ex x 在 (0,)上的单调性.
y
y
x
f (x) ex x
x
f (x) ex 1
一种方法 四部曲
思想方法
特殊到一般 数形结合
教材P27 练习A 2、3 、4题;
探究:对于函数y=f(x),x∈(a,b), “f′(x)>0”是“函数y=f(x)为增函数”
的什么条件? 思考:函数增减快慢由什么刻画?
理论分析
函数单调性定义:
函数 f ( x)在区间 (a,b) 内是增函数.
任意 x1, x2 (a, b), 当 x1 x2时,都有 f (x1) f (x2 ) ;
即证:
f (x2 ) f (x1) x2 x1
0
即:
y 0 x
理论分析
函数单调性定义:
函数 f ( x)在区间 (a,b)内是 减函数.
f '( x) 0
f (x) 0 在R上单增
f '( x) 0 在(-,0)内单减 f '( x) 0 在(0,+)内单减
问题
如何判断函数 f (x) ex x 在 (0,)上的单调性?
解: 任意 x1, x2 (0,), 且 x1 x2 ;
都有 f (x1) f (x2)
(ex1 x1) (ex2 x2 )
(ex1 ex2 ) (x2 x1)
如何运用已有 知识解决?
任意 x1, x2 (a, b), 当 x1 x2时,都有 f (x1) f (x2 ) ;
导数
即:y 0
x
(瞬时变化率)
(函数的平均变化率)
1.3.1 利用导数判断函数的单调性
问题分析
作图
判断函数 f (x) ex x 在 (0,)上的单调性.
y
y
x
f (x) ex x
x
f (x) ex 1
一种方法 四部曲
思想方法
特殊到一般 数形结合
教材P27 练习A 2、3 、4题;
探究:对于函数y=f(x),x∈(a,b), “f′(x)>0”是“函数y=f(x)为增函数”
的什么条件? 思考:函数增减快慢由什么刻画?
理论分析
函数单调性定义:
函数 f ( x)在区间 (a,b) 内是增函数.
任意 x1, x2 (a, b), 当 x1 x2时,都有 f (x1) f (x2 ) ;
即证:
f (x2 ) f (x1) x2 x1
0
即:
y 0 x
理论分析
函数单调性定义:
函数 f ( x)在区间 (a,b)内是 减函数.
f '( x) 0
f (x) 0 在R上单增
f '( x) 0 在(-,0)内单减 f '( x) 0 在(0,+)内单减
《导数与函数的单调性》示范公开课教学课件

点到最高点,以及从最高点到2 s这段时间的运动
状态有什么区别? y
y
y
y
O
x
O
x
(1)
(2)
O
x
(3)
(3)函数y=x3的定义域为R,在定义域上为增函数; 而y′=3x2,若x≠0,其导数y′=3x2>0,当x=0时,其导数y′=3x2=0.
Ox (4)
新知探究
导入新课
问题 5.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的 增与减、增减的快慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数 的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解. 函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的,那么函数的单调性与函数的 导数是否有着某种内在的联系呢?
问题2 通过观察图像,小物体从起点到最高点,以及从最高点到2 s这段时间的运动
状态有什么区别? y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
Ox
(1)
(2)
(3)
(4)
(4)函数y= 1 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在(-∞,0)上单调递减,在 x
(0,+∞)上单调递减;
而y′=
1 x2
,因为x≠0,所以y′<0.
典例分析
小结:如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个,在表 示这些区间时不能用“∪”连接,只能用“,”或“和”字 隔开.
典例分析
例3 求函数f(x)=xex的单调区间.
解:根据题意有 f′(x)=ex+xex=(x+1)ex.
令f′(x)>0,可得(x+1)ex>0,因为ex>0恒成立, 所以x+1>0,因此x>-1, 令f′(x)<0,可得(x+1)ex>0,解不等式可得x<-1. 因此,可知函数f(x)的单调递增区间为[-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1].
状态有什么区别? y
y
y
y
O
x
O
x
(1)
(2)
O
x
(3)
(3)函数y=x3的定义域为R,在定义域上为增函数; 而y′=3x2,若x≠0,其导数y′=3x2>0,当x=0时,其导数y′=3x2=0.
Ox (4)
新知探究
导入新课
问题 5.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的 增与减、增减的快慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数 的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解. 函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的,那么函数的单调性与函数的 导数是否有着某种内在的联系呢?
问题2 通过观察图像,小物体从起点到最高点,以及从最高点到2 s这段时间的运动
状态有什么区别? y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
Ox
(1)
(2)
(3)
(4)
(4)函数y= 1 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在(-∞,0)上单调递减,在 x
(0,+∞)上单调递减;
而y′=
1 x2
,因为x≠0,所以y′<0.
典例分析
小结:如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个,在表 示这些区间时不能用“∪”连接,只能用“,”或“和”字 隔开.
典例分析
例3 求函数f(x)=xex的单调区间.
解:根据题意有 f′(x)=ex+xex=(x+1)ex.
令f′(x)>0,可得(x+1)ex>0,因为ex>0恒成立, 所以x+1>0,因此x>-1, 令f′(x)<0,可得(x+1)ex>0,解不等式可得x<-1. 因此,可知函数f(x)的单调递增区间为[-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1].
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减区间为(0,1)
三、问题总结
利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导数f '(x); (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f '(x)>0和 f '(x)<0; (4)根据(3)的结果确认f(x)的单调区间。
四、巩固练习
判断函数f(x)=3x-x3的单调性, 并求出单调区间:
(1)f '(x)=x3+3x= 3(x2+1)>0 解: 所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。 所以函数f(x)=xБайду номын сангаас+3x的单调增区间为R。
二、讲授新课-----典例精讲
例 3. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x2-2x-3, (2) f(x)=x2-2lnx
五、课堂小结
1.函数的单调性与导函数的正负的关系:
在某个区间(a,b)内,
如果 f '(x) >0 ,那么函数在这个区间内单调递增; 如果 f '(x)<0 , 那么函数在这个区间内单调递减;
2.利用导函数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:
(1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f '(x); (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f '(x)>0和f '(x)<0; (4)根据(3)的结果确认f(x)的单调区间。
h (1) v (2) t O t O a b
a
b
通过观察图像,我们可以发现:
(1)
v
(2)
h
t t O a b ②从最高点到入水,运动员离 水面的高度h随时间t的增加 而减少,即h(t)是减函数.相应 地,v(t)=h'(t)<0.
O
a
b
①运动员从起跳到最高点,离 水面的高度h随时间t 的增加 而增加,即h(t)是增函数.相应 地,v(t)=h'(t)>0.
六、布置作业
作业: 课本P26 页:练习 第1题 练习册: 课时作业(7)
谢谢指导
“临界点”) 综上, 函数 f (x) 图象的大 致形状如右图所示.
O
1
4
x
二、讲授新课-----牛刀小试
练习. 设导函数y=f '(x)的图象如图,则其原函数可能为 ( C ) (A)
y
o 1
y=f(x)
(B)
y
o
y=f(x)
2 x
(D) y=f(x)
1
2 x
y=f(x)
y y f '( x ) o 2x
(C)
y 2 x
y
o 1
o 12
x
二、讲授新课-----典例精讲
例 2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x3+3x (2) f(x)=x2-2lnx
二、讲授新课-----典例精讲
例 2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x3+3x (2) f(x)=x2-2lnx
2.怎样用定义判断函数的单调性?
(1)取值(2)作差(3)变形(4)定号(5)结论
二、讲授新课------导入新课
下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函 数h(t)= -4.9 t 2+6.5t+10 的图象, 图(2)表示高台跳水运动 员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t)= -9.8t+6.5 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别?
解 :
(2) 函数f(x)=x2-2lnx定义域为0,
'
2 2 x 2 2 2( x 2 1) 2( x 1)( x 1) f ( x) 2 x x x x x
当f '(x)>0,即x>1时,函数f(x)=x2-2lnx单调递增; 当f '(x)<0,即0<x<1时,函数f(x)=x2-2lnx单调递减; 所以函数f(x)=x2-2lnx的单调增区间为 (1,),单调
y=f(x)
在某个区间(a,b)内,
o
(x0,f(x0))
x
如果 f '(x) >0 , 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;
如果 f '(x)<0 , 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减;
特别地,如果 在某个区间内恒有f '(x)=0 , 那么函数 y=f(x)在这个区间内是常数函数.
解:
f '(x)=3x-x3=3-3x2=-3(x2-1)=-3(x-1)(x+1) 当f '(x)>0,即-1<x<1时,函数f(x)=3x-x3 单调递增; 当f '(x)<0,即x>1或x<-1时,函数f(x)=3x-x3 单调递减; 所以函数f(x)=3x-x3的单调增区间为 (-1,1),单调 减区间为 , 1 和 (1, )
1.3.1函数的单调性与导数(第1课时)
高二数学
一、新课导入------复旧知新
1.函数的单调性是怎样定义的?
一般地,设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,
当x1<x2时,都有f(x1)<f (x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数; 当x1<x2时,都有f(x1)>f (x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数; 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有单调性。区间D叫做函数的单调区间。
二、讲授新课-----问题探究
观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负 的关系. y y y=x y=x2
(1)
(2)
o
(3 )
x y=x3 x
(4 )
o y o
x
1 y x
y o
x
二、讲授新课-----问题探究 y
一般地,函数的单调性与其导 (x1,f(x1)) 函数的正负有如下关系:
二、讲授新课-----牛刀小试
例 1. 已知导函数 f '(x) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f '(x)>0;当 x > 4 , 或 x < 1时, f '(x) <0;
当 x = 4 , 或 x = 1时, f '(x) =0。 试画出函数 f (x) 的图象的大致形状.
解:
当1 < x < 4 时, f '(x) >0,可知 f (x) 在此区间内单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f '(x) <0 ,可知 f (x) 在此区间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f '(x) =0 . (这两点比较特殊,我们称他们为 y