函数单调性与导数精品PPT课件
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函数的单调性与导数 课件
【典型例题】
1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减，则实数a的取
值范围为( )
A.a≥1
B.a=1
C.a≤1
D.0<a<1
2.已知函数f(x)=x3-kx在区间(-3，-1)上不单调，则实数k的
取值范围是______.
3.(2013·天津高二检测)设函数f(x)=ax3+ 3 (2a-1)x2-6x
【解析】1.选A.因为f′(x)=3x2-2ax-1，f(x)在(0,1)内单调 递减，所以f′(0)≤0,f′(1)≤0,所以a≥1. 2.因为f′(x)=3x2-k.当k≤0时，f′(x)≥0，不合题意，舍 去，所以k>0. 令f′(x)=0,则 x k .
3
因为在(-3,-1)上函数不单调，
________，单调递增区间为_______.
3.讨论函数f(x)=x2－aln x(a≥0)的单调性.
【解题探究】1.解含有对数函数的问题，应注意什么？利用 导数求函数的单调区间,其实质是什么? 2.如何求多项式乘积形式函数的导数？ 3.当函数的解析式中含有参数时,一般的处理思路是什么?
探究提示： 1.(1)要注意对数函数的定义域,即真数大于零.(2)求函数的单 调区间就是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集. 2.求多项式乘积式的导数,可以利用积的导数法则求解,也可以 把乘积式展开,利用和与差的导数法则求解. 3.当函数的解析式中含有参数时,一般的处理思路是对参数进 行分类讨论,然后在参数的不同情况下,分别求出结果.
x2
1 a
,
因为f(x)在(-∞,-3)上是增函数，即x<-3时，f′(x)>0恒成
数学：3.3.1函数的单调性与导数课件
3.3.1函数的单调性与导数
第一页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
一、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数；
的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
内的图象平缓.
第十二页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
练习
函数 y f (x)的图象如图所示, 试画出导函数 f (x图) 象的
大致形状
第十三页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
第二十页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
• 解法二：(数形结合)
• 如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在 (1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0 有一根为1，则另一根在[4,6]上．
所以ff′′((46))≤≥00，， 即35((57－－aa))≤≥00，， 所以 5≤a≤7.
总结
在某个区间上，f '(x)>0(或<0) ，f（x）在这个区间上单调递增 （递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅 仅得到 f '(x)>0(或<0)是不够的。还有可能导数等于0也能使 f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要 单独验证。
数.
第十六页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
练习
1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
第一页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
一、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数；
的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
内的图象平缓.
第十二页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
练习
函数 y f (x)的图象如图所示, 试画出导函数 f (x图) 象的
大致形状
第十三页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
第二十页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
• 解法二：(数形结合)
• 如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在 (1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0 有一根为1，则另一根在[4,6]上．
所以ff′′((46))≤≥00，， 即35((57－－aa))≤≥00，， 所以 5≤a≤7.
总结
在某个区间上，f '(x)>0(或<0) ，f（x）在这个区间上单调递增 （递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅 仅得到 f '(x)>0(或<0)是不够的。还有可能导数等于0也能使 f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要 单独验证。
数.
第十六页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
练习
1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
2024版《函数的单调性》全市一等奖完整版PPT课件
利用单调性证明不等式
1 2
构造函数 根据不等式的特点，构造一个与不等式相关的函 数。
判断函数单调性 通过求导或差分等方法判断所构造函数的单调性。
3
利用单调性证明不等式 根据函数的单调性，结合不等式的性质，证明不 等式成立。
2024/1/29
18
利用单调性解决实际应用问题
要点一
建立数学模型
要点二
判断函数单调性
2024/1/29
21
导数与微分在函数单调性研究中的应用
导数大于零的区间内函数单调 增加，导数小于零的区间内函 数单调减少。
2024/1/29
导数等于零的点为函数的驻点， 需要进一步判断其左右两侧导 数的符号来确定该点的单调性。
微分的概念可以应用于函数单 调性的研究，通过微分可以分 析函数的局部变化率，进而判 断函数的单调性。
14
指数函数与对数函数
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的单调 性
当 $0 < a < 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递减。
当 $a > 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递增。
指数函数与对数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称，即 互为反函数。
2024/1/29
19
05
函数单调性与其他知识点关联
2024/1/29
20
函数奇偶性与周期性对单调性影响
奇函数在对称区间上的单调性相 同，偶函数在对称区间上的单调
性相反。
周期函数在一个周期内的单调性 与整体单调性一致，可以通过研 究一个周期内的单调性推断整体
的单调性。
导数与函数的单调性课件
答案:A
.
)
2.若函数f(x)= 1 x2-2x-3ln x,则函数f(x)的单调递减区间为(
2
A.(-∞,-1)∪[3,+∞)
B.[-1,3] C.[0,3]
1 2
解析:函数 f(x)=2x -2x-3ln x 的定义域为{x|x>0},
3
2 -2-3
(-3)(+1)
因为 f'(x)=x-2- = =
人教2019 B版 选择性必修三
第六章 导数及其应用
6.2.1 导数与函数的单调性
学习目标
1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，
体会数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数
学运算素养。
导语
导数是函数的瞬时变化率，因此导数必然与函数的增减性以及增减的快与慢等
f ′(x)的正负
f (x)的单调性
f ′(x)＞0
单调递____
增
f ′(x)＜0
单调递____
减
小试牛刀
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 f (x)在区间(a，b)上都有 f ′(x)＜0，则函数 f (x)在这个区间上单调递
减． (
)
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (
＋∞)．]
当堂达标
1.函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是(
A.
C.
1
-1, 3
1
-1,- 3
B.
D.
1
- 3 ,1
1
,1
3
解析:f'(x)=-3x2-2x+1,
.
)
2.若函数f(x)= 1 x2-2x-3ln x,则函数f(x)的单调递减区间为(
2
A.(-∞,-1)∪[3,+∞)
B.[-1,3] C.[0,3]
1 2
解析:函数 f(x)=2x -2x-3ln x 的定义域为{x|x>0},
3
2 -2-3
(-3)(+1)
因为 f'(x)=x-2- = =
人教2019 B版 选择性必修三
第六章 导数及其应用
6.2.1 导数与函数的单调性
学习目标
1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，
体会数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数
学运算素养。
导语
导数是函数的瞬时变化率，因此导数必然与函数的增减性以及增减的快与慢等
f ′(x)的正负
f (x)的单调性
f ′(x)＞0
单调递____
增
f ′(x)＜0
单调递____
减
小试牛刀
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 f (x)在区间(a，b)上都有 f ′(x)＜0，则函数 f (x)在这个区间上单调递
减． (
)
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (
＋∞)．]
当堂达标
1.函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是(
A.
C.
1
-1, 3
1
-1,- 3
B.
D.
1
- 3 ,1
1
,1
3
解析:f'(x)=-3x2-2x+1,
函数单调性课件(公开课)
定义法
总结词
通过函数定义判断单调性
详细描述
在区间内任取两个数$x_{1}$、$x_{2}$，如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递增；如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) geq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递减。
感谢您的观看
03 函数单调性的应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工 具。
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的 变化趋势，通过单调性可以判断函 数在某个区间内是否取得最值，以 及最值的位置。
举例
对于函数f(x)=x^2，在区间(-∞,0) 上单调递减，因此在该区间上取得 最大值0。
单调性与不等式证明
单调递减函数的图像
在单调递减函数的图像上，随着$x$的增大，$y$的值减小，图像 呈现下降趋势。
单调性转折点
在单调性转折点上，函数的导数由正变负或由负变正，对应的函数 图像上表现为拐点或极值点。
02 判断函数单调性的方法
导数法
总结词
通过求导判断函数单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，根据导数的正负判断函数的增减性。如 果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间 内单调递减。
总结词
单调性是证明不等式的重要手段。
详细描述
通过比较函数在不同区间的单调性，可以证明一些不等式。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上 单调递增，那么对于任意x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)，从而证明了相应的不等式。
举例
利用函数f(x)=ln(x)的单调递增性质，可以证明ln(x1/x2)≤(x1-x2)/(x1+x2)。
第2节导数与函数的单调性课件
3.已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的递增区间是 _－__π_，__－__π2_和 ___0_，__π2_. 解析 f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x. 令f′(x)＝xcos x>0， 则其在区间(－π，π)上的解集为
－π，－π2∪0，π2，
训练 2 若函数 f(x)＝x－13sin 2x＋asin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则 a 的取值
范围是( C )
A.[－1，1]
B.－1，13
解析 ∵f(x)＝x－31sin 2x＋asin x，
C.－13，13
D.－1，－31
∴f′(x)＝1－23cos 2x＋acos x＝－43cos2x＋acos x＋53. 由f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立.
(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.( × ) (2)如果f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( √ ) (3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＞0，则f(x)在定义域上一定单调递增.( × ) (4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.( √ )
5.(易错题)若函数 f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4 的单调递减区间为[－1，4]，则实数 a
的值为___－__4___.
解析 f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1，4]， ∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4], ∴－1，4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.
解析 (1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0. (3)反例，f(x)＝－1x，虽然 f′(x)＝x12＞0，但 f(x)＝－1x，在其定义域(－∞，0)∪(0， ＋∞)上不具有单调性.
函数的单调性与导数 课件
(4)解不等式 f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
特别提醒：若一个函数的单调递增区间(或单调递减区 间)有两个(或多个)，则这些区间要分开写，不能用并集符 号连结．如函数 y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋ ∞)，不能表示为“函数 y＝x1的单调递减区间是(－∞， 0)∪(0，＋∞)”．
由 f′(x)＞0，得 x＞－2ba； 由 f′(x)＜0，得 x＜－2ba. ∴函数 f(x)的单调递增区间为－2ba，＋∞，单调递减区间为 －∞，－2ba. (2)f′(x)＝6x－2x＝6x2x－2＝2·3x2x－1， 令 f′(x)＞0，即3x2x－1＞0，
∵x＞0，∴3x2－1＞0，∴x＞
点评：函数f(x)在某一区间上f′(x)＞0是f(x)是增函 数的充分不必要条件，若在此区间内有有限个点使f′(x) ＝0，f(x)在该区间内为增函数，因此，在证明f(x)在给 定区间内是增函数时，证明f′(x)≥0(但f′(x)＝0不恒成立) 即可．
题型3 已知函数单调性求参数的范围 例3
已知函数 f(x)＝ln x－1ax2－x(a∈R)． 2
又因为 x＞0，则 ax2＋x－1＞0 在(0，∞)上有解． ①当 a＝0 时，x＞1 在(0，∞)上有解； ②当 a＞0 时，ax2＋x－1＞0 在(0，∞)上总有解； ③当 a＜0 时，要使 ax2＋x－1＞0 在(0，∞)上有解， 只需 ax2＋x－1＝0 有两个不等的正实根，
Δ＝1＋4a＞0， 所以－21a＞0，
解得－14＜a＜0.
综上知，a 的取值范围是－14，＋∞. 点评：利用导数解决含参数函数的单调性问题应 从两点考虑：①若参数对函数的定义域有影响，需对 参数分类讨论；②若参数对导数的正负取值有影响， 也需对参数分类讨论．
特别提醒：若一个函数的单调递增区间(或单调递减区 间)有两个(或多个)，则这些区间要分开写，不能用并集符 号连结．如函数 y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋ ∞)，不能表示为“函数 y＝x1的单调递减区间是(－∞， 0)∪(0，＋∞)”．
由 f′(x)＞0，得 x＞－2ba； 由 f′(x)＜0，得 x＜－2ba. ∴函数 f(x)的单调递增区间为－2ba，＋∞，单调递减区间为 －∞，－2ba. (2)f′(x)＝6x－2x＝6x2x－2＝2·3x2x－1， 令 f′(x)＞0，即3x2x－1＞0，
∵x＞0，∴3x2－1＞0，∴x＞
点评：函数f(x)在某一区间上f′(x)＞0是f(x)是增函 数的充分不必要条件，若在此区间内有有限个点使f′(x) ＝0，f(x)在该区间内为增函数，因此，在证明f(x)在给 定区间内是增函数时，证明f′(x)≥0(但f′(x)＝0不恒成立) 即可．
题型3 已知函数单调性求参数的范围 例3
已知函数 f(x)＝ln x－1ax2－x(a∈R)． 2
又因为 x＞0，则 ax2＋x－1＞0 在(0，∞)上有解． ①当 a＝0 时，x＞1 在(0，∞)上有解； ②当 a＞0 时，ax2＋x－1＞0 在(0，∞)上总有解； ③当 a＜0 时，要使 ax2＋x－1＞0 在(0，∞)上有解， 只需 ax2＋x－1＝0 有两个不等的正实根，
Δ＝1＋4a＞0， 所以－21a＞0，
解得－14＜a＜0.
综上知，a 的取值范围是－14，＋∞. 点评：利用导数解决含参数函数的单调性问题应 从两点考虑：①若参数对函数的定义域有影响，需对 参数分类讨论；②若参数对导数的正负取值有影响， 也需对参数分类讨论．
导数与函数的单调性ppt课件
x1x2 x1 - x2
x0x
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在
该区间有下面的结论:
如果在某区间上f/(x)>0,则f(x)为该区间上的增函数;
如果在某区间上f/(x)<0,则f(x)为该区间上的减函数.
引例：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
（方法3:导数法）
解:函数的定义域为R, f/(x)=2x-4 令f /(x)>0,解得x>2， 则f(x)的单增区间为（2，＋∞）. 再令f /(x)<0,解得x<2, 则f(x)的单减区间(－∞,2).
上是单调递增的，求a的取值范围. a 16
f
(x) 2x
a x2
0对任意x [2, )恒成立.
2x3 a 0对任意x [2, )恒成立.
2x3 a对任意x [2, )恒成立.
变式：(2已x3)知min函数a对f (任x)意xx2[2,a(a)恒 R成)立在.x (, 2] x
课外作业
教材P84页 习题4-1 第1题
步骤：根据导数确定函数的单调性
1.确定函数f(x)的定义域.
. 2.求出函数的导数f/(x)
3.解不等式f/(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f/(x)<0,得函数单减区间.
例5：已知函数f (x) x2 a (a R)在x [2, ) x
解：函数的定义域为x>0, f/(x)=lnx+1.
当lnx+1>0时，解得x>1/e.则f(x)的 单增区间是(1/e,+∞). 当lnx+1<0时，解得0<x<1/e.则f(x) 的单减区间是（0，1/e).
函数的单调性与导数 课件
即k的取值范围为[1，＋∞).
引申探究 1.若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围. 解 ∵f′(x)＝k－1x， 又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴f′(x)＝k－1x≤0 在(1，＋∞)上恒成立， 即 k≤1x，∵0<1x<1，∴k≤0. 即k的取值范围为(－∞，0].
2.若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围. 解 f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝k－1x. 当k≤0时，f′(x)<0. ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意. 当 k>0 时，令 f′(x)＝0，得 x＝1k， 只需1k∈(1，＋∞)，即1k>1，则 0<k<1. ∴k的取值范围是(0,1).
跟踪训练 2 已知 x>0，证明不等式 ln(1＋x)>x－12x2 成立. 证明 设 f(x)＝ln(1＋x)－x＋12x2， 则 f′(x)＝1＋1 x－1＋x＝1＋x2 x. 当x>－1时，f′(x)>0， 则f(x)在(－1，＋∞)内是增函数. ∴当x>0时，f(x)>f(0)＝0.
∴当 x>0 时，不等式 ln(1＋x)>x－12x2 成立.
函数的单调性与导数
1.函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f′(x)>0 f′(x)<0
f(x)的单调性 单调递_增__ 单调递_减__
特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x) ＝0 ，其余的点恒有 f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似). ②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b) 内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
引申探究 1.若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围. 解 ∵f′(x)＝k－1x， 又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴f′(x)＝k－1x≤0 在(1，＋∞)上恒成立， 即 k≤1x，∵0<1x<1，∴k≤0. 即k的取值范围为(－∞，0].
2.若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围. 解 f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝k－1x. 当k≤0时，f′(x)<0. ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意. 当 k>0 时，令 f′(x)＝0，得 x＝1k， 只需1k∈(1，＋∞)，即1k>1，则 0<k<1. ∴k的取值范围是(0,1).
跟踪训练 2 已知 x>0，证明不等式 ln(1＋x)>x－12x2 成立. 证明 设 f(x)＝ln(1＋x)－x＋12x2， 则 f′(x)＝1＋1 x－1＋x＝1＋x2 x. 当x>－1时，f′(x)>0， 则f(x)在(－1，＋∞)内是增函数. ∴当x>0时，f(x)>f(0)＝0.
∴当 x>0 时，不等式 ln(1＋x)>x－12x2 成立.
函数的单调性与导数
1.函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f′(x)>0 f′(x)<0
f(x)的单调性 单调递_增__ 单调递_减__
特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x) ＝0 ，其余的点恒有 f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似). ②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b) 内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
函数的单调性与导数题型分类讲解课件
总结词
导数在求解切线问题中起到关键作用， 通过求导可以找到切线的斜率和截距。
VS
详细描述
切线问题通常涉及到函数在某一点的导数 值，即该点的斜率。通过求导，可以找到 切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线 的方程。此外，还可以利用导数研究曲线 的切线变化趋势，进一步分析函数的性质。
曲线的凹凸性
总结词
导数可以用于判断曲线的凹凸性，通过求二 阶导数并分析其符号确定曲线的凹凸性。
单调增函数的性质
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上单调递增，那么对于任意$x_1, x_2 in [a, b]$， 且$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) leq f(x_2)$。
单调减函数
单调减函数的定义
对于函数$f(x)$的定义域内的任意两 个数$x_1$和$x_2$，如果$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) geq f(x_2)$，则 称函数$f(x)$为减函数。
这类题目通常会以实际问题的背景给出，如经济、物理等， 要求通过建立数学模型，利用导数解决实际问题。解决这 类题目需要理解实际问题的背景和数学模型的关系，掌握 利用导数解决实际问题的技巧和方法。
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导数的计算方法有多种，包括基本初等函数的导数公式、链式法则、乘积法则和 商的导数公式等。这些方法可以帮助我们快速准确地求出函数的导数，进而分析 函数的单调性和极值等性质。
03 利用导数研究函数的单调 性
单调增函数的导数特征
总结词
单调增函数的导数大于等于0
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单调增函数的导数在定义域 内大于等于0，即对于任意x 属于定义域，有f'(x)>=0。
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曲线的凹凸性是函数的一种重要性质，通过 求函数的二阶导数并分析其符号可以确定曲 线的凹凸性。如果二阶导数大于零，则曲线 为凹函数；如果二阶导数小于零，则曲线为 凸函数。利用这一性质，可以进一步研究函 数的极值问题和其他相关问题。