2009年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
,
) 的光滑曲线，当
22
x 0 时，曲线上任一点处的发现都过原点，当 0 x 时，函数 y(x)满足
y y x 0 。求 y(x)的表达式。
（21）（本题满分 11 分）（I）证明拉格朗日中值定理：若函数 f (x) 在[a,b]上连续，在（a,b）
可导，则存在 (a,b) ，使得 f (b) f (a) f ( )(b a) 。（II）证明：若函数 f (x) 在 x=0
（A）
0 2 A
3B
0
（B）
0 3 A
2B
0
（C）
0 2B
3A
0
（D）
0 3B
2 A
0
100
（8）设
A，P
均为
3
阶矩阵，
PT
为
P
的转置矩阵，且
PT
AＰ＝
010
，若
002
P (1,2,3),Q (1 2,2,3) ，则 QT AQ 为（）
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tan
x)]
（16）（本题满分 10 分）计算不定积分 ln(1 1 x )dx(x 0)
x
（17）（本题满分 10 分）设 z f (x y, x y, xy) ，其中 f 具有 2 阶连续偏导数，求 dz 与
2z xy
（18）（本题满分 10 分）设非负函数 y=y(x)(x 0)，满足微分方程 xy y 2 0 ，当曲线
（23）（本题满分 11 分）设二次型 f (x1, x2, x3) ax12 ax22 (a 1)x32 2x1x3 2x2x3
（I）求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（II）若二次型 f 的规范形为 y12 y22 ，求 a 的值。
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lim x x3 lim 1 3x2 2 , x1 sin x x1 cos x
lim x x3 lim 1 3x2 2 . x1 sin x x1 cos x
故可去间断点为 3 个,即 0, 1.
(2) 当 x 0 时, f x x sin ax 与 g x x2 ln 1 bx 是等价无穷小,则
（A）不是 f (x, y) 的连续点
（B）不是 f (x, y) 的极值点
（C）是 f (x, y) 的极大值点
（D）是 f (x, y) 的极小值点
（4）设函数 f (x, y) 连续，则
2
dx
2
f (x, y)dy
2
dy
4 y f (x, y)dx =（）
1
x
1
y
2
4 y
（A） dx f (x, y)dy
为
P
的转置矩阵，且
PT AP
0
1
0
，若
0 0 2
P (1,2,3),Q (1 2,2,3) ，则 QT AQ 为
2 1 0
A
.
1
1
0
0 0 2
1 1 0
B.
1
2
0
0 0 2
2 0 0
C
.
0
1
0
0 0 2
1 0 0
D
.
0
2
0
0 0 2
【答案】 A
1 0 0 【解析】 Q (1 2,2,3) (1,2,3) 1 1 0 (1,2,3)E12 (1) ，即：
A O
的伴随矩阵为
A
O 2 A*
3B* .
O
B
O 3 A*
2B* .
O
C
O 2B*
3A* .
O
D
O 3B*
2 A* .
O
【解析】根据 CC C E 若 C C C 1,C 1 1 C C
【答案】 B
分块矩阵
0 B
A
0
的行列式
0 B
A （1）22 A B 2 3 6 即分块矩阵可逆 0
y=y(x)过原点时，其与直线 x=1 及 y=0 围成平面区域的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转 体体积。
（19）（本题满分 10 分）求二重积分 (x y)dxdy ，其中
D
D {(x, y) | (x 1)2 ( y 1)2 2, y x}
（20）（本题满分 12 分）设 y=y(x)是区间 ( , ) 内过点 (
1
1
2
4x
（B） dx f (x, y)dy
1
x
2
4 y
（C） dx f (x, y)dx
1
1
（D）
2
dx
2
f (x, y)dx
1
y
（5）若 f (x) 不变号，且曲线 y f (x) 在点（1，1）的曲率圆为 x2 y2 2 ，则 f (x) 在
区间（1，2）内（） （A）有极值点，无零点 （C）有极值点，有零点
A a 1,b 1 B a 1,b 1
6
6
【答案】 A
C a 1,b 1 D a 1,b 1
6
6
【解析】
lim
x0
f (x) g(x)
lim
x0
x sin ax x2 ln(1 bx)
lim
x0
x sin ax x2 (bx)
洛
lim
x0
1
a cos 3bx2
ax
200
（14）设 ,
为
3
维列向量，
T
为
的转置，若
T
相似于
000
，则
000
T =___________
三、解答题：15-23 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分
9
分）求极限
lim
x0
(1
cos
x)[x ln(1 sin4 x
2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学 二试题
一、选择题：1~8 小题，每小题 8 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）函数 f (x) x x3 与 g(x) x2 ln(1 bx) 是等价无穷小，则（） sin nx
处连续，在 (0, )(
0) 内可导，且 lim x0
f
( x)
A则
f(0)
存在，且 f(0) A 。
1 1 1 1
（22）（本题满分
11
分）设
A
1
1
1
,
1
1
0 4 2 2
（I）求满足 A 2 1, A2 3 1的所有向量 2, 3 ；
（II）对（I）中的任一向量 2, 3 ，证明：1, 2, 3 线性无关。
A 不是 f x, y 的连续点 B 不是 f x, y 的极值点
C 是 f x, y 的极大值点 D 是 f x, y 的极小值点 【答案】 D
【解析】因 dz xdx ydy 可得 z x, z y . x y
2z A 1,B
2z
2z
0,C 2z 1 ,
x2
xy yx
210
110
200
100
（Ａ） 1
（Ｂ）
120
（Ｃ）
01
（Ｄ）
020
00
002
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定 位置上。
（9）曲线
x
1t eu2 du
0
在（0，0）处的切线方程为____________
y t2 ln(2 t2)
1
1
C
2
dy
4y f x, y dx
1
1
B
2
dx
4x f x, y dy
1
x
D
2
1
2
dyy
f
x,
y dx
【答案】 C
2
2
2
2
【解析】 dx f (x, y)dy dy f (x, y)dx 的积分区域为两部分：
1
x
1
x
D1 (x, y) 1 x 2, x y 2, D2 (x, y) 1 y 2, y x 4 y ,
③ x 2,3 时， F(x) 为常函数。
④ x 1, 0 时， F(x) 0 为线性函数，单调递增。
⑤由于 F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为 D 。 （7）设 A, B 均为 2 阶矩阵， A*, B* 分别为 A, B 的伴随矩阵，若 A 2, B 3 ，则分块矩
阵
O B
洛
lim
x0
a
2 sin ax 6bx
lim a2 sin ax a3 1, x0 6b ax 6b a
a3 6b ,故排除 B,C .
另外,
lim
x0
1 a cos 3bx2
ax
存在,蕴含了1
a
cos
ax
0
x
0
,故
a
1.
排除
D
.
所以本题选 A .
(3) 设函数 z f x, y 的全微分为 dz xdx ydy ,则点 0, 0
2009 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题：1～8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
2009—数二真题、标准答案及解析
) ( x ≥ 0 ) 满足微分方程 xy′′ − y′ + 2 = 0 ，当
曲线 y = y ( x ) 过原点时， 其与直线 x = 1 及 y = 0 围成平面区域 D 的面积为 2， 求D绕 y轴 旋转所得旋转体体积.
（ 19 ）（ 本 题 满 分
（Ⅰ）求满足 Aξ 2 = ξ1 , A
2
ξ3 = ξ1 的所有向量 ξ 2 , ξ3 ；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量 ξ 2 , ξ3 ，证明： ξ1 , ξ 2 , ξ3 线性无关. （23） （本题满分 11 分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = ax1 + ax2 + ( a − 1) x3 + 2 x1 x3 − 2 x2 x3
块矩阵 ⎜
⎛O A⎞ ⎟ 的伴随矩阵为（ ⎝ B O⎠
）
⎛ O 3B* ⎞ . A ( )⎜ * ⎟ O ⎠ ⎝ 2A
⎛ O ( B) . ⎜ * ⎝ 3A
2 B* ⎞ ⎟ O ⎠ 2 A* ⎞ ⎟ O ⎠
T
(C ) . ⎜
⎛ O 3 A* ⎞ ⎟ * O ⎠ ⎝ 2B
T
( D) . ⎜
⎛ O * ⎝ 3B
2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）函数 f ( x ) =
x − x3 的可去间断点的个数为（ sin nx
）
( A ) 1.
x − x3 的可去间断点的个数为（ sin nx
09考研数二真题与答案
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析(1) 【答案】C 【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即0,1±.(2)【答案】A 【解析】 2200()sin sin limlim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x axg x x bx x bx →→→--==-⋅- 22002301cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a axbx bxa ax ab b axa→→→---==-=-⋅洛洛 36a b ∴=-,故排除,B C .另外,201cos lim3x a axbx →--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D .所以本题选A .(3) 【答案】D 【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂. 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>,故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点. (4) 【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C .(5) 【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||(1())y y ρ''=='+,而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-. 在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .（6）【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. （3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A 、B的伴随矩阵。
2009年考研数学二真题
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx -=的可去间断点的个数，则（ ）（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=.（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点.()B 不是(),f x y 的极值点.()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xx dx f x y dy-⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx-⎰⎰.()D .()221,ydy f x y dx⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点.()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0x F x f t dt=⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A 、B 的伴随矩阵。
若A =2B =3，，则分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A .**0320B A ⎛⎫⎪⎝⎭ ()B .**2B 3A 0⎛⎫⎪⎝⎭()C .**03A 2B0⎛⎫⎪⎝⎭()D .**2A 3B0⎛⎫⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且T 100P AP=010002⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭，若 P=Q=+ααααααα1231223（，，），（，，），则Q AQ T为（ ）()A .210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为（10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k =（11）n 1lim e sin 0x nxdx -→∞=⎰（12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则2x=0d y=dx 2（13）函数2xy x =在区间(]01，上的最小值为 (14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵Tαβ相似于200000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+（16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰ (0)x >（17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2zx y ∂∂∂（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积。
2009【考研数二】真题及解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1〜8小题,每小题4分，共32分,下列每小题给出的四个选项中 合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .3X _ X函数f (X )=—的可去间断点的个数为sin Ji x设函数Z = f (X, y )的全微分为 dz = xdx + ydy ,则点(0,0 )设函数 f (X, y )连续,则[dx Jx f (X,y dy +[ dy. f (x,y )dx = ()"(X )不变号,且曲线y = f (X )在点(1,1)处的曲率圆为X 2+y 2=2,则函数f ( X )在区间(1,2 )内(A)有极值点，无零点. (B) (C)有极值点,有零点.(D)设函数y = f (X )在区间［-1,3 ］上的图形为(A)1.(B) 2. 当 X T 0 时,f (x ) = x —sinax 与 g(x ) = x(C) 3.2(D )In (1-bx )是等价无穷小无穷多个.1(A) a =1,b =——.6 1(C) a = —1,b =6(B )(D )a = 1,b =—.6a = -1,b =J 6(A)不是f (x,y )的连续点. (B)不是f (x,y )的极值点.(C)是f (x,y )的极大值点.(D) 是f (X, y )的极小值点. (A) (C )24 _x—dx — f (x,y dy .2 4今—dy — f (X, y dx . (D )(B ) 24_xf dx f H X, y dy .1 X 22[dyj y f (x’yjdx .,只有一项是符 2 4_y无极值点，有零点. 无极值点，无零点.x⑺ 设A, B 均为2阶矩阵，A * ,B *分别为A, B 的伴随矩阵，()则函数F (X )= L f (t p t 的图形为若A =2, B =3,则分块矩阵f O A 、1的伴随矩阵为 ()I B 0丿'o3B *〕(02B* "(A)*|. (B)12A 0丿V 3A0丿 (C)‘0 3A * ](D)f 02A*' *12B|.1 *0丿13B 0丿0 设A,P 均为 3阶矩阵， P T为P 的转置矩阵 ,且P TAP = 0 1、0 若 P =(%,勺,—)2 = (% +02,02,03)，则 Q TAQ 为 ‘21 0、‘11 0"1 1 0 (B)1 2 0 .0 0 2>.0 0 2丿100 (82 ,(A2,52,1lim fe 」sinnxdx =n 卡cd 2y设y = y(x)是由方程xy + e y =x+1确定的隐函数，则一ydx(17)(本题满分10分)设z =f(x + y,x-y,xy),其中f 具有二阶连续偏导数，求dz 与dx 讪(18)(本题满分10分)设非负函数y = y (x )(x >0 )满足微分方程xy” —y' + 2 = 0 .当曲线y=y(x )过原点 时,其与直线X =1及y = 0围成的平面区域 D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体"2 0 0 ^"10 0"0 1 01 (D)0 2 01° 0 2丿 0 2丿二、填空题: (9)I x 曲线｛ [y -r 丄"U2d=」0 e U ，在点(0,0)处的切线方程为 =t 2ln(2 -t 2)(10)” 乂 k x已知L edx=1,则“(11) (12) (13) 函数y =x 2x在区间(0,1 ］上的最小值为(14) 设a , P 为3维列向量，P T为P 的转置，若矩阵up T相似于|0 1。
2009年考研数学二真题
B 1 dx x
2
2
4 x
f x, y dy
C 1 dy 1
【答案】 C 【解析】
4 y
D 1 dy y f x, y dx
2
2
1
dx f ( x, y)dy dy f ( x, y )dx 的积分区域为两部分：
x 1 x
2
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a3 6b ,故排除 B, C .
1 a cos ax 存在,蕴含了 1 a cos ax 0 x 0 ,故 a 1. 排除 D . x 0 3bx 2 所以本题选 A .
x x3 1 3x 2 1 lim lim , x 0 sin x x 0 cos x 3 2 xx 1 3x 2 lim lim , x 1 sin x x 1 cos x 3 2 xx 1 3x 2 lim lim . x 1 sin x x 1 cos x
在 [1,2] 上, f ( x) f (1) 1 0 ,即 f ( x) 单调减少,没有极值点. 对于 f (2) f (1) f ( ) 1 (1,2) ,(拉格朗日中值定理)
f (2) 0 而 f (1) 1 0 ,由零点定理知,在 [1,2] 上, f ( x) 有零点.故应选 B .
故 0, 0 为函数 z f ( x, y) 的一个极小值点.
(4) 设函数 f x, y 连续,则
2
1
dx f x, y dy dy
x 1
2
2
4 y y
f x, y dx
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）函数的可去间断点的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D）无穷多个 （2）当 时， 是等价无穷小，则（A）（B）（C）（D）（3）设函数的全微分为，则点（0,0）（A）不是的连续点（B）不是的极值点1/9（C）不是的极大值点（D）不是的极小值点（4）设函数连续，则（A）（B）（C）（D）（5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则函数在区间内（A）有极值点，无零点 （B）无极值点，有零点 （C）有极值点，有零点 （D）无极值点，无零点 （6）设函数 在区间 上的图形为：2/9则函数的图形为（7）设 随矩阵为均为 2 阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块长阵的伴3/9（A）（B）（C）（D）（ 8 ） 设均 为 3 阶 矩 阵 ，为 P 的 转 置 矩 阵 ， 且， 若，则为（A）（B）（C）（D）二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。
4/9（9）曲线在处的切线方程为_________。
（10）已知，则 K=_______（11）=________。
（12）设是由方程确定的隐函数，则=_______。
（13）函数在区间上的最小值为_____。
（14）设为 3 维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则=_____。
三、解答题：15~23 小题，共 94 分，请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。
矚慫润厲钐瘗睞枥。
（15） （本题满分 9 分）求极限（16） （本题满分 10 分）计算不定积分（17） （本题满分 10 分）设，其中具有 2 阶连续偏导数，求与（18） （本题满分 10 分）设非负函数 点时，其与直线氇。
满足微分方程，当曲线过原围成平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体积。
2009-数二真题、标准答案及解析
（6）设函数 y = f ( x) 在区间−1,3 上的图形为：
则函数 F ( x) = x f (t ) dt 的图形为 0
( A)
(B)
(C)
(D)
【答案】 D
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 y = f (x) 的图形可见，其图像与 x 轴及 y 轴、
x = x0 所围的图形的代数面积为所求函数 F (x) ，从而可得出几个方面的特征：
a
a3 = −6b ,故排除 B,C .
另外,
lim
x→0
1− a cos ax −3bx2
存在,蕴含了1−
a
cos
ax
→
0
(
x
→
0)
,故
a
=
1.
排除
D
.
所以本题选 A .
(3) 设函数 z = f ( x, y) 的全微分为 dz = xdx + ydy ,则点 (0, 0)
( A) 不是 f ( x, y) 的连续点 ( B) 不是 f ( x, y) 的极值点
【解析】1 =
+ ek x dx = 2 + ekxdx = 2 lim 1 ekx b
−
0
k b→+
0
【答案】 −2
因为极限存在所以 k 0 1=0− 2
k k = −2
（11） lim 1e−x sin nxdx = n→ 0
【答案】0
【解析】令 In = e−x sin nxdx = −e−x sin nx + n e−x cos nxdx
y = t2 ln(2 − t2 )
【答案】 y = 2x
【解析】
历年考研数学二真题与答案(09~13年)
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A 1()B 2 ()C 3()D 无穷多个【答案】C【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即0,1±.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()A 11,6a b ==- ()B 11,6a b == ()C 11,6a b =-=- ()D 11,6a b =-=【答案】A 【解析】 22000()sin sin limlim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x axg x x bx x bx →→→--==-⋅- 22002301cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a ax bx bxa ax ab b axa→→→---==-=-⋅洛洛36a b ∴=-,故排除,B C .另外,201cos lim 3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D . 所以本题选A .(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点【答案】D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂. 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>, 故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点.(4) 设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰ ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx ⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C .(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则函数()f x 在区间()1,2内()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点()C 有极值点,有零点()D 无极值点,无零点【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||(1())y y ρ''=='+,而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-. 在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。
2009考研数学二真题及答案
2009考研数学二真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C 【解析】()3sin x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==.()C 11,6a b =-=-.()D 11,6a b =-=.【答案】 A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。
另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。